Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 54-59

Введение. Пусть $A \geqslant 0$ – замкнутый неотрицательный плотно определенный симметрический оператор в гильбертовом пространстве $\mathfrak{H}$. Согласно теореме Стоуна-Фридрихса, множество ${{\operatorname{Ext} }_{A}}(0,\infty )$ всех неотрицательных самосопряженных расширений $\tilde {A} = \tilde {A}{\text{*}}$ оператора $A$ непусто (см. [1, 5]). Наиболее полная теория расширений оператора $A \geqslant 0$, включающая описание всех расширений $\tilde {A} = \tilde {A}* \geqslant 0$, была построена М. Крейном [13]. В частности, им было доказано [13] (cм. также [1, 10]), что множество ${{\operatorname{Ext} }_{A}}(0,\;\infty )$ содержит максимальное (Фридрихса) и минимальное (Крейна-фон Неймана) расширения ${{\hat {A}}_{F}}$ и ${{\hat {A}}_{K}}$. Они однозначно характеризуются неравенствами:

Теория Крейна была существенно дополнена Вишиком [15] и Бирманом [4]. В настоящее время она известна как теория Бирмана–Крейна–Вишика (см. [2]).

Обозначим через ${{m}_{A}} = \inf \left\{ {(Af,f):\left\| f \right\| = 1} \right\}$ нижнюю грань оператора $A$. Подчеркнем, что расширение Фридрихса ${{\hat {A}}_{F}}$ всегда сохраняет нижнюю грань, т.е. (${{m}_{{{{{\hat {A}}}_{F}}}}} = {{m}_{A}}$), в то время как расширение Крейна ${{\hat {A}}_{K}}$ сохраняет ее, только если ${{m}_{A}} = 0$.

В дальнейшем мы будем систематически использовать ортогональное разложение

Обозначим ${{P}_{1}}$ и ${{P}_{{ - 1}}}$ ортопроекторы в разложении [2] на подпространства ${{\mathfrak{H}}_{1}}$ и $\mathfrak{H}_{1}^{ \bot } = {{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}(A)$ соответственно. Далее, считая $A$ положительно определенным, $A \geqslant {{m}_{A}} > 0$, и полагая ${{\mathfrak{N}}_{0}}$ = ${{\mathfrak{N}}_{0}}(A)$ := := $\ker A{\text{*}}$, приходим к следующему представлению для ${{\hat {A}}_{K}}$:

Оператор $\hat {A}_{K}^{'}$ называют редуцированным расширением Крейна.

В заметке развивается и дополняется следующий результат Крейна ([13], теорема 26):

Мы показываем, что многие спектральные свойства оператора ${{\left( {{{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}} + \hat {A}_{K}^{'}} \right)}^{{ - 1}}}$ близки к соответствующим спектральным свойствам оператора ${{P}_{1}}{{(I + A)}^{{ - 1}}}$, а не оператора ${{\left( {{{I}_{\mathfrak{H}}} + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$. В частности, показано, что обратная к (4) импликация, вообще говоря, неверна, а замена оператора ${{\left( {{{I}_{\mathfrak{H}}} + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ на ${{P}_{1}}{{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ превращает ее в эквивалентность (предложение 1). Более того, показывается (см. теорему 2), что собственные значения этих операторов имеют одинаковую степенную асимптотику.

Мы также приводим полное отрицательное решение следующей проблемы Бирмана:

Проблема 1 (Бирман). Верна ли импликация ${{A}^{{ - 1}}} \in \mathfrak{S}{{S}_{\infty }}$ ⇒ ${{\left( {{{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ ∈ ${{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$?

Именно, показано, что при условии ${{A}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}$ спектр ${{\hat {A}}_{F}}$ может быть произвольным (см. теорему 4). В частности, каждый симметрический оператор $A \geqslant 0$, удовлетворяющий условиям ${{A}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}$ и ${{\left( {{{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}} \notin {{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$, не допускает полуограниченных расширений $\tilde {A} = \tilde {A}{\text{*}}$ с компактной резольвентой, однако, в силу классической теоремы Вишика [15], всегда допускает расширения $\tilde {A} = \tilde {A}{\text{*}}$ с ${{(\tilde {A})}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}$. В этом случае все расширения $\tilde {A} = \tilde {A}{\text{*}}$ с компактной резольвентой – не полуограниченные.

Мы также дополняем исследования Бирмана [4] и Грубб [7] об эквивалентности полуограниченности расширения $\tilde {A} = \tilde {A}{\text{*}}$ оператора $A$ и граничного оператора (теорема 6).

Обозначения. Всюду в заметке $\mathfrak{B}(\mathfrak{H}{\text{'}},\mathfrak{H})$, $\mathfrak{C}(\mathfrak{H}{\kern 1pt} ',\mathfrak{H})$ – обозначают, соответственно, пространства ограниченных и замкнутых операторов из гильбертова пространства $\mathfrak{H}{\text{'}}$ в гильбертово пространство $\mathfrak{H}$; $\mathfrak{B}(\mathfrak{H}): = \mathfrak{B}(\mathfrak{H},\mathfrak{H})$ и $\mathfrak{C}(\mathfrak{H})$ := := $\mathfrak{C}(\mathfrak{H},\mathfrak{H})$. В дальнейшем, ${\text{dom}}(T)$, ${\text{ran}}(T)$ и $\ker (T)$ – область определения, образ и ядро оператора $T \in \mathfrak{C}(\mathfrak{H})$ соответственно; ${{\sigma }_{{ac}}}(T)$, ${{\sigma }_{{{\text{ess}}}}}(T)$ и ${{\sigma }_{p}}(T)$ обозначают абсолютно непрерывный, существенный и точечный спектры оператора $T = T{\text{*}}$ (см. [5]).

1. Преобразование М.Г. Крейна. Следуя [13], рассмотрим дробно-линейное преобразование М.Г. Крейна:

Хорошо известно ([1, 13]), что ${{T}_{1}}( \in \mathfrak{B}({{\mathfrak{H}}_{1}},\mathfrak{H}))$ – симметрическое неплотно заданное сжатие в $\mathfrak{H}$ с областью определения ${\text{dom}}({{T}_{1}})$ = ${\text{ran}}(I + A)$ = ${{\mathfrak{H}}_{1}}$. В соответствии с ортогональным разложением (2) сжатие ${{T}_{1}}$ допускает блочно-матричное представление

Здесь ${{D}_{{{{T}_{{11}}}}}}: = \sqrt {I - T_{{11}}^{2}} $, $V$ – сжатие, однозначно определяемое условием $\ker V \supset \ker {{D}_{{{{T}_{{11}}}}}}$, и $D_{{{{T}_{{11}}}}}^{{( - 1)}}$ обозначает обобщенный обратный оператор, $D_{{{{T}_{{11}}}}}^{{( - 1)}} \upharpoonright \ker {{D}_{{{{T}_{{11}}}}}}$ = 0.

2. Основное тождество, связывающее $\hat {A}_{K}^{'}$ и $A$.

Теорема 1. Пусть $A$ – замкнутый положительно определенный (${{m}_{A}} > 0$), плотно заданный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$, ${{T}_{1}}$ = $X(A)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{T}_{{11}}}} \\ {V{{D}_{{{{T}_{{11}}}}}}} \end{array}} \right)$ определен соотношениями (5), (6) и ${{D}_{V}}: = {{(I - V{\kern 1pt} *{\kern 1pt} V)}^{{1/2}}}$ – дефектный оператор оператора $V$. Тогда:

(i) операторы ${{\left( {{{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}} + \hat {A}_{K}^{'}} \right)}^{{ - 1}}}$ и ${{D}_{V}}{{P}_{1}}{{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}{{D}_{V}}$ унитарно эквивалентны, т.е. существует изометрия $U( \in \mathfrak{B}({{\mathfrak{H}}_{1}},{{\mathfrak{M}}_{0}}))$ из ${{\mathfrak{H}}_{1}}$ на ${{\mathfrak{M}}_{0}}$ такая, что

(ii) если дополнительно $\dim (\ker V) = \dim (\ker V{\text{*}})$, то существует изометрия ${{U}_{1}}( \in \,\mathfrak{B}({{\mathfrak{H}}_{1}},{{\mathfrak{H}}_{2}}))$ из ${{\mathfrak{H}}_{1}}$ на ${{\mathfrak{H}}_{2}}$ такая, что оператор ${{D}_{V}}$ в (7) допускает представление

Следствие 1. Пусть в условиях теоремы 1, $c = \left\| {{{D}_{V}}} \right\|( \leqslant 1)$. Тогда:

(i) существует изометрия ${{U}_{1}}$ из ${{\mathfrak{H}}_{1}}$ на ${{\mathfrak{M}}_{0}}$ такая, что справедливы неравенства:

(ii) если, к тому же, ${{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ компактен, то собственные значения операторов ${{\left( {{{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}} + \hat {A}_{K}^{'}} \right)}^{{ - 1}}}$, ${{P}_{1}}{{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ упорядоченные по убыванию, связаны неравенствами

(iii) если, к тому же, ${{\left( {{{I}_{\mathfrak{H}}} + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ компактен, то верны неравенства:

3. Спектральные свойства редуцированного расширения Крейна оператора $A$ с компактным обратным. В соответствии с результатом Крейна ([13], теорема 26) верна импликация (4). Заметим, что обратная к (4) импликация, вообще говоря, неверна, но замена ${{\left( {{{I}_{\mathfrak{H}}} + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ на ${{P}_{1}}{{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ в (4) превращает ее в эквивалентность.

Как вытекает из результатов раздела 4, оператор $\hat {A}_{K}^{'}$ не наследует другие спектральные свойства ${{\hat {A}}_{F}}$ такие, как абсолютная непрерывность, сингулярность и т.д.

3A. Компактность резольвенты редуцированного расширения Крейна. Применяя теорему 1, мы дополняем и обобщаем результат Крейна (импликацию (4)).

Как обычно, ${{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$ – класс компактных операторов в $\mathfrak{H}$, а ${{\mathfrak{S}}_{p}}(\mathfrak{H})$ – идеалы Неймана-Шаттена в $\mathfrak{H}$: ${{\mathfrak{S}}_{p}}(\mathfrak{H})$ = $\left\{ {T \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H}):{{s}_{n}}(T) \in {{l}^{p}}(\mathbb{N})} \right\}$, $p \in (0,\infty $).

Определение 1. Оператор $T \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$ принадлежит классу ${{\Sigma }_{p}}(\mathfrak{H})$, $p \in (0,\;\infty )$, если

Класс $\Sigma _{p}^{0}(\mathfrak{H})$ – подкласс класса ${{\Sigma }_{p}}(\mathfrak{H})$, выделяемый условием ${{s}_{n}}(T)$ = $o\left( {{{n}^{{ - 1/p}}}} \right)$, $n \to \infty $.

Классы ${{\mathfrak{S}}_{p}}(\mathfrak{H})$ и ${{\Sigma }_{p}}(\mathfrak{H})$ не могут быть нормированы при $p \in (0,\;1)$ и $p \in (0,\;1]$ соответственно. Для таких $p$ они могут быть квазинормированы. Для любого $p \in (0,\;\infty )$ класс ${{\Sigma }_{p}}(\mathfrak{H})$, снабженный квазинормой (11), образует квазинормированный идеал в ${{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$.

Предложение 1. Пусть $A$ – замкнутый плотно заданный положительно определенный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$ и $\hat {A}_{K}^{'}$ – редуцированное расширение Крейна оператора $A$, заданное соотношением (3). Тогда:

(i) для любого симметрично нормированного идеала $\mathfrak{S}$ в $\mathfrak{B}({{\mathfrak{H}}_{1}})$ справедлива следующая эквивалентность:

(ii) для любого $p \in (0,\;\infty ]$ верна эквивалентность:

(ii) для любого $p \in (0,\;\infty )$ справедливы эквивалентности:

В частности, операторы ${{\left( {{{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}} + \hat {A}_{K}^{'}} \right)}^{{ - 1}}}$ и ${{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ компактны лишь одновременно.

Замечание 1. Заметим также, что импликация $ \Rightarrow $ в (13) усиливает импликацию Крейна (4). При этом эквивалентность (13) вместе с отрицательным решением проблемы 1 Бирмана показывают, что импликация обратная к (4) не верна.

Любопытно, что замена оператора ${{P}_{1}}{{\left( {{{I}_{\mathfrak{H}}} + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ в (4) оператором ${{P}_{1}}{{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ позволила заменить крейновскую импликацию (4) эквивалентностью (13).

3B. Асимптотическое поведение собственных значений редуцированного расширения Крейна. Вначале сравним асимптотическое поведение собственных значений операторов ${{P}_{1}}{{(I + A)}^{{ - 1}}}$ и ${{\left( {{{I}_{{{{\mathfrak{M}}_{0}}}}} + \hat {A}_{K}^{'}} \right)}^{{ - 1}}}$.

Предложение 2. Пусть $A$ – замкнутый плотно заданный положительно определенный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$, имеющий компактный обратный ${{A}^{{ - 1}}}$. Пусть также $\hat {A}_{K}^{'}$ – редуцированное расширение Крейна оператора $A$, заданное соотношением (3). Тогда для любого $p \in (0,\;\infty )$ справедливы следующие эквивалентности:

Покажем, что при дополнительном предположении предложение 2 можно усилить.

Теорема 2. Пусть $A$ – замкнутый плотно заданный положительно определенный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$, имеющий компактный обратный ${{A}^{{ - 1}}}$. Пусть также $\hat {A}_{K}^{'}$ – редуцированное расширение Крейна оператора $A$, заданное соотношением (3), и ${{P}_{{ - 1}}}: = {{P}_{{{{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}}}}$ – ортопроектор в $\mathfrak{H}$ на ${{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}(A)$. Если дополнительно

то для любых фиксированных $p \in (0,\;\infty )$ и $a \geqslant 0$ верны соотношения при $n \to \infty $:

Предложение 3. Пусть в условиях теоремы 2, вместо условия (15) выполнено условие ${{P}_{1}}{{({{I}_{\mathfrak{H}}} + A)}^{{ - 1}}}$ ∈ ∈ $\Sigma _{p}^{0}({{\mathfrak{H}}_{1}})$ с $p \in (0,\;\infty )$ и $a > 0$. Тогда верна эквивалентность:

Теперь сравним асимптотики спектров операторов ${{\hat {A}}_{F}}$ и $\hat {A}_{K}^{'}$. Следующее предложение можно рассматривать в рамках абстрактной версии проблемы Алонсо–Саймона [2]. Именно, в [2] сформулирована проблема о совпадении асимптотик спектров двух реализаций выражения Лапласа в ограниченной области: оператора задачи Дирихле и редуцированного расширения Крейна. Эта проблема положительно решена в [8] (эллиптические операторы порядка $2m$) и [3] (оператор Шредингера) при различных ограничениях на коэффициенты и границу области (см. также литературу в [3]).

Предложение 4. Пусть $A$ – замкнутый плотно заданный положительно определенный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$ и $\hat {A}_{K}^{'}$ – редуцированное расширение Крейна оператора $A$. Пусть также ${{\left( {I + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ ∈ ${{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$ и $p \in (0,\;\infty )$, $a \geqslant 0$. Тогда:

(i) справедлива следующая импликация:

(ii) если дополнительно ${{P}_{{ - 1}}}{{\left( {I + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}} \upharpoonright {{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}(A)$ ∈ ∈ $\Sigma _{p}^{0}\left( {{{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}(A)} \right)$, то при $n \to \infty $ верна эквивалентность:

Эквивалентность (17) верна не всегда. Именно, существует такой симметрический оператор $A \geqslant {{m}_{A}}$, что операторы ${{\hat {A}}_{F}}$ и $\hat {A}_{K}^{'}$ имеют различные степенные асимптотики.

Предложение 5. Пусть $p > {{p}_{1}} > 0$ и $a,{{a}_{1}} > 0$ – две пары положительных чисел. Существует положительно определенный симметрический оператор $A$ в $\mathfrak{H}$, $\overline {{\text{dom}}} (A) = \mathfrak{H}$, ${{n}_{ \pm }}(A) = \infty $ и такой, что его расширение Фридрихса ${{\hat {A}}_{F}}$ и редуцированное расширение Крейна $\hat {A}_{K}^{'}$ удовлетворяют асимптотическим соотношениям:

4. Спектры расширений Крейна-фон Неймана и Фридрихса. Решение проблемы Бирмана. Контрпример к проблеме 1 Бирмана легко извлекается (см. [12]) из блочного представления оператора ${{\left( {{{I}_{\mathfrak{H}}} + {{{\hat {A}}}_{F}}} \right)}^{{ - 1}}}$ (см. [10, 14]). Здесь приведено полное (на абстрактном уровне) решение проблемы 1. Оказывается, что при условии ${{(I + A)}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}(\mathfrak{H})$ спектр расширения Фридрихса ${{\hat {A}}_{F}}$ может иметь произвольную природу, хотя, в силу классической теоремы Вишика [15], всегда существуют неполуограниченные расширения $\tilde {A} = \tilde {A}{\text{*}}$ оператора $A$ с компактной резольвентой. Также приведем общий результат о спектре оператора ${{\hat {A}}_{K}}$ при условии ${{(I + A)}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}$.

Предложение 6. Пусть $A$ – неотрицательный плотно заданный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$, ${{n}_{ \pm }}(A) = \infty $ и ${{(I + A)}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{H}}_{\infty }}$. Тогда верны следующие утверждения.

(i) Существенный спектр расширения Крейна ${{\hat {A}}_{K}}$ состоит из двух точек – нуля и бесконечности, т.е. ${{\sigma }_{{{\text{ess}}}}}({{\hat {A}}_{K}})$ = $\{ 0, + \infty \} $.

(ii) Равенство ${{\sigma }_{{{\text{ess}}}}}\left( {{{{\hat {A}}}_{K}}} \right) = {{\sigma }_{{{\text{ess}}}}}\left( {{{{\hat {A}}}_{F}}} \right)$ справедливо в точности тогда, когда

(iii) Если расширения ${{\hat {A}}_{F}}$ и ${{\hat {A}}_{K}}$ трансверсальны, то ${{\sigma }_{{{\text{ess}}}}}\left( {{{{\hat {A}}}_{K}}} \right)$ ≠ ${{\sigma }_{{{\text{ess}}}}}\left( {{{{\hat {A}}}_{F}}} \right)$.

(iv) Если $A$ положительно определен, то редуцированное расширение Крейна $\hat {A}_{K}^{'}$ положительно определено, ${{m}_{{\hat {A}_{K}^{'}}}} \geqslant {{m}_{A}}$ и его спектр дискретен, т.е. ${{\left( {\hat {A}_{K}^{'}} \right)}^{{ - 1}}}$ ∈ ${{\mathfrak{S}}_{\infty }}({{\mathfrak{M}}_{0}})$.

Следующий результат дает полное решение проблемы 1 Бирмана.

Теорема 3. Пусть $R = R* \geqslant 0$ – оператор в $\mathfrak{H}$. Тогда существует неотрицательный симметрический оператор $A \geqslant 0$ в $\mathfrak{H}$ с ${{n}_{ \pm }}(A) = \infty $ и компактной пререзольвентой ${{(I + A)}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}$, для которого операторы ${{\hat {A}}_{F}}$ и $R$ унитарно эквивалентны, ${{\hat {A}}_{F}} \sim R$.

Кроме того, покажем, что для любого оператора $A \geqslant 0$, можно указать другой оператор $S \geqslant 0$, близкий в некотором смысле к $A$ и такой, что его расширение Фридрихса ${{\hat {S}}_{F}}$ удовлетворяет требуемому спектральному свойству. Для этого свяжем с оператором $A \geqslant 0$ множество ${{\mathfrak{A}}_{A}}$ симметрических неотрицательных операторов, полагая:

Теорема 4. Пусть $A \geqslant 0$ – неотрицательный симметрический оператор в $\mathfrak{H}$ с ${{n}_{ \pm }}(A) = \infty $ и компактной пререзольвентой ${{(I + A)}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{\infty }}$. Пусть также $R = R* \geqslant 0$ – неотрицательный самосопряженный оператор в $\mathfrak{H}_{1}^{ \bot } = {{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}(A)$. Тогда:

(i) существует оператор $S \geqslant 0$, $S \in {{\mathfrak{A}}_{A}}$ такой, что его расширение Фридрихса ${{\hat {S}}_{F}}$ удовлетворяет соотношению

(ii) кроме того, если ${{P}_{1}}{{(I + A)}^{{ - 1}}} \in {{\mathfrak{S}}_{{1/2}}}({{\mathfrak{H}}_{1}})$, то абсолютно непрерывные части ($ac$-части) операторов ${{\hat {S}}_{F}}$ и $R$ унитарно эквивалентны, т. е. ${{\left( {{{{\hat {S}}}_{F}}} \right)}^{{ac}}} \sim {{R}^{{ac}}}$.

Явные примеры неотрицательных дифференциальных операторов, дающих (отрицательное) решение проблемы 1 Бирмана, будут опубликованы в другом месте.

5. Полуограниченность самосопряженных расширений оператора $A$. Следуя [4], с каждым расширением $\tilde {A} = \tilde {A}* \in {{\operatorname{Ext} }_{A}}$ у которого $ - 1 \notin {{\sigma }_{p}}(\tilde {A})$ связывают самосопряженный оператор

Оператор $B$ называют граничным для $\tilde {A}$ и полагают $\tilde {A} = {{A}_{B}}( = A_{B}^{*})$. Отметим еще, что ${{B}^{{ - 1}}}$ ограничен, ${{B}^{{ - 1}}} \in \mathfrak{P}({{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}})$, в точности тогда, когда $ - 1 \in \rho (\tilde {A})$.

В своей фундаментальной работе [4] Бирман открыл следующее соотношение между свойствами полуограниченности расширения ${{A}_{B}}$ и его граничного оператора $B$.

Предложение 7 [4]. Пусть $A$ – симметрический положительно определенный оператор в $\mathfrak{H}$, $A \geqslant {{m}_{A}} > 0$, $\tilde {A} = \tilde {A}* \in {{\operatorname{Ext} }_{A}}$ – расширение, у которого $ - 1 \notin {{\sigma }_{p}}(\tilde {A})$, и $B$ – граничный оператор (см. [21]). Тогда справедлива следующая импликация

Другими словами, граничный оператор $B$ реализации $\tilde {A} = {{A}_{B}} = A_{B}^{*}$ наследует у ${{A}_{B}}$ свойство полуограниченности снизу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Грубб [7] нашла дополнительное достаточное условие на оператор $A \geqslant {{m}_{A}}$, превращающее импликацию (22) в эквивалентность.

Теорема 5 ([7]). Пусть выполнены условия Предложения 7 и пусть оператор ${{\left( {{{{\hat {A}}}_{{\text{F}}}}} \right)}^{{ - 1}}}$ компактен. Тогда справедлива следующая эквивалентность:

Другие доказательства этого результата были получены в [6] и [11] (см. также [10]). Справедливость эквивалентности (23) в некоторых эллиптических граничных задачах исследована в [9]. Здесь мы существенно усиливаем теорему 5 Грубб.

Теорема 6. Пусть $A \geqslant 0$ – неотрицательный оператор в $\mathfrak{H}$. Пусть также ${{P}_{{ - 1}}}$ – ортопроектор на ${{\mathfrak{N}}_{{ - 1}}}$ = $\ker (I + A*)$. Тогда эквивалентность (23) верна при условии:

Доказательство основано на общем критерии из [11] (см. также [10]), ретранслирующем свойство (23) в соотношение для функции Вейля: ${{M}_{F}}(x) \rightrightarrows - \infty $ при $x \to - \infty $.

Следующий результат показывает, что условие (24) действительно слабее условия ${{({{\widehat A}_{{\text{F}}}})}^{{ - 1}}} \in {{S}_{\infty }}(\mathfrak{H})$, и, значит, теорема 6 усиливает теорему 5.

Предложение 8. Пусть $R = R* \geqslant 0$. Тогда существует симметрический оператор $A \geqslant 0$ с расширением Фридрихса ${{\hat {A}}_{F}}$, удовлетворяющим условию [24], и такой, что

В частности, существует оператор $A \geqslant 0$, у которого расширение ${{\hat {A}}_{F}}$ удовлетворяет условиям ${{\sigma }_{{ac}}}({{\hat {A}}_{F}})$ = $[0,\;\infty )$ и (24).