Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 77-82

1. ВВЕДЕНИЕ

В случае, когда переопределенные данные (данные Дирихле и Неймана) известны на замкнутой кривой (в пространственном случае поверхности), охватывающей неоднородность (включение, полость или трещину), весьма эффективным методом идентификации указанной неоднородности является метод, основанный на скачке в функционале взаимности [1]. В результате применения этого метода к обратным задачам теории упругости были решены задачи идентификации множественных прямолинейных трещин в упругой плоскости, а также плоской трещины, эллипсоидального включения и нескольких эллипсоидальных включений в упругом пространстве (см. [2–4] и имеющиеся там ссылки). В упомянутых публикациях, в основном, решались задачи для неоднородностей, имеющих каноническую форму. В данной работе рассматривается плоская задача обнаружения и идентификации неоднородностей, имеющих, в том числе, неканоническую форму.

Поскольку ниже рассматриваются включения, являющиеся квадратурными областями, коротко напомним определение и основные свойства квадратурных областей. Мы ограничимся рассмотрением односвязных областей $D \subset {{R}^{2}}$, ограниченных гладкой, замкнутой, жордановой кривой $\partial D$. Начало изучению квадратурных областей было положено в [5, 6]. Обозначим $A{{L}^{1}}\left( D \right)$ множество функций, голоморфных в $D$ и принадлежащих ${{L}_{1}}\left( D \right)$. Согласно [6] область $D$ называется квадратурной, если существуют точки ${{z}_{1}},{{z}_{2}}, \ldots ,{{z}_{m}}$, ${{z}_{i}} \in D$ такие, что $\forall $ $f\left( z \right) \in A{{L}^{1}}\left( D \right)$ справедливо равенство

Здесь $O{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ – декартова система координат, $z = {{x}_{1}} + i{{x}_{2}}$, ${{a}_{{kj}}}$ – комплексные постоянные, не зависящие от функции $f\left( z \right)$. Точки ${{z}_{k}} = {{x}_{{k1}}} + i{{x}_{{k2}}}$ назовем узловыми точками. Величина $n$ = $\sum\limits_{k = 1}^m {{{n}_{k}}} $ называется порядком квадратурного тождества (1).

Другое, эквивалентное (1), определение квадратурной области дано в [5]. Согласно [5], область $D$ называется квадратурной, если существует функция $S\left( z \right)$, называемая функцией Шварца, которая удовлетворяет следующим условиям. Функция $S\left( z \right)$ мероморфна в $D$. Полюсы $S\left( z \right)$ совпадают с точками ${{z}_{k}}$ из (1), а порядок полюсов совпадает с соответствующими величинами ${{n}_{k}}$. Кроме того, на границе $\partial D$ справедливо равенство

Плотность квадратурных областей в классе односвязных областей, ограниченных простой, замкнутой, ${{C}^{\infty }}$ кривой, доказана в [7–9].

До настоящего времени открытой остается проблема единственности для квадратурных областей, т.е. вопрос о том, в какой степени равенство (1) определяет область $D$. Здесь известны лишь частные результаты. Например, доказано, что квадратурная область порядка 1 ($m = 1$, ${{n}_{1}} = 1$) является кругом. Другие результаты, касающиеся проблемы единственности для квадратурных областей, можно найти в [6, 10].

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $D \subset {{R}^{2}}$ – односвязная область, ограниченная простой, замкнутой, ${{C}^{\infty }}$ кривой. Предположим, что область $D$ занята материалом с модулем сдвига ${{\mu }_{I}}$ и коэффициентом Пуассона ${{\nu }_{I}}$. Границу области $D$ обозначим $\partial D$. Предположим, что область $S = {{R}^{2}}{{\backslash }}D$ занята материалом с модулем сдвига ${{\mu }_{M}}$ и коэффициентом Пуассона ${{\nu }_{M}}$. Предполагается, что в заданной декартовой системе координат на бесконечности заданы постоянные напряжения $\sigma _{{11}}^{\infty }$, $\sigma _{{12}}^{\infty }$ и $\sigma _{{22}}^{\infty }$. Вектор перемещений, тензоры деформаций и напряжений в матрице $S$ будем помечать верхним индексом $M$: ${{{\mathbf{u}}}^{M}}\left( x \right)$ – вектор перемещений, $e_{{\alpha \beta }}^{M}\left( x \right)$ – тензор деформаций, $\sigma _{{\alpha \beta }}^{M}\left( x \right)$ – тензор напряжений, $x \in S$. Уравнения теории упругости в области $S$ имеют вид

Здесь ${{\delta }_{{\alpha \beta }}}$ – символ Кронекера, ${{\nu }_{{M*}}} = {{\nu }_{M}}$ в случае плоской деформации и ${{\nu }_{{M*}}}$ = ${{\nu }_{M}}{\text{/}}\left( {1 + {{\nu }_{M}}} \right)$ в случае плоского напряженного состояния.

Упругое поле во включении $D$ помечаем верхним индексом $I$: ${{{\mathbf{u}}}^{I}}\left( x \right)$ – вектор перемещений, $e_{{\alpha \beta }}^{I}\left( x \right)$ – тензор деформаций, $\sigma _{{\alpha \beta }}^{I}\left( x \right)$ – тензор напряжений, $x \in D$. Упругое поле во включении удовлетворяет уравнениям, аналогичным уравнениям (3), с заменой упругих постоянных ${{\mu }_{M}}$ и ${{\nu }_{M}}$ на упругие постоянные ${{\mu }_{I}}$ и ${{\nu }_{I}}$ соответственно.

Между матрицей и включением предполагаются выполненными условия полного сцепления

Здесь ${\mathbf{N}}\left( {x{\kern 1pt} *} \right) = \left( {{{N}_{1}}\left( {x{\kern 1pt} *} \right),{{N}_{2}}\left( {x{\kern 1pt} *} \right)} \right)$ – единичная нормаль к границе включения $\partial D$ в точке $x{\kern 1pt} *$.

Предполагается, что $D \subset \Omega $, где $\Omega $, односвязная, ограниченная область с кусочно-гладкой границей $\partial \Omega $. Предполагается также, что на границе $\partial \Omega $ известны приложенные усилия и перемещения:

Здесь $n\left( {x{\kern 1pt} '} \right) = \left( {{{n}_{1}}\left( {x{\kern 1pt} '} \right),{{n}_{2}}\left( {x{\kern 1pt} '} \right)} \right)$ – единичная внешняя нормаль к $\partial \Omega $ в точке $x{\kern 1pt} '$.

В общем виде задача заключается в идентификации включения $D$ по имеющимся данным. В данной статье мы рассматриваем более скромную задачу идентификации узловых точек квадратурного включения $D$.

3. ФУНКЦИОНАЛ СКАЧКА В СООТНОШЕНИИ ВЗАИМНОСТИ И ЕГО СВОЙСТВА

Назовем регулярными упругие поля, удовлетворяющие уравнениям (3) во всей плоскости, и будем помечать их верхним индексом $r$. Рассмотрим функционал, зависящий от регулярных упругих полей

Из принципа взаимности следует, что в случае, когда внутри области $\Omega $ нет никаких дефектов, справедливо равенство $RG\left( {{{{\mathbf{u}}}^{r}}} \right) = 0$ для любого регулярного упругого поля ${{{\mathbf{u}}}^{r}}\left( x \right)$. Если внутри области $\Omega $ содержится включение $D$, то для некоторых регулярных упругих полей величина функционала $RG\left( {{{{\mathbf{u}}}^{r}}} \right)$ может отличаться от нуля, причем значения функционала несут информацию об области $D$. Заметим также, что из предположения о том, что функции $t_{\alpha }^{0}\left( {x{\kern 1pt} '} \right)$ и $u_{\alpha }^{0}\left( {x{\kern 1pt} '} \right)$ известны на всей границе $\partial \Omega $, следует, что величина $RG\left( {{{{\mathbf{u}}}^{r}}} \right)$ может быть вычислена для любого регулярного упругого поля. При наличии включения $D$ выражение (7) сводится к интегралу по области $D$.

Здесь ${{\lambda }_{I}} = 2{{\mu }_{I}}{{\nu }_{{I*}}}{\text{/}}\left( {1 - 2{{\nu }_{{I*}}}} \right)$, ${{\lambda }_{M}} = 2{{\mu }_{M}}{{\nu }_{{M*}}}{\text{/}}(1$ – ‒ $2{{\nu }_{{M*}}})$ – постоянные Ламе, ${{\theta }^{r}}\left( x \right)$ = $\sum\limits_{k = 1}^2 {e_{{kk}}^{r}\left( x \right)} $.

Как известно [11], любое упругое поле в односвязной области может быть представлено с помощью двух голоморфных функций. В частности, регулярное упругое поле может быть представлено в виде

Здесь ${{\kappa }_{M}} = 3 - 4{{\nu }_{M}}$ для плоско деформированного состояния и ${{\kappa }_{M}}$ = $\left( {3 - {{\nu }_{M}}} \right){\text{/}}\left( {1 + {{\nu }_{M}}} \right)$ для плоско напряженного состояния, ${{\Phi }_{r}}\left( z \right) = \varphi _{r}^{'}\left( z \right)$, ${{\Psi }_{r}}\left( z \right)$ = = $\psi _{r}^{'}\left( z \right)$ – голоморфные функции.

Пусть $H\left( z \right)$ – голоморфная функция во всей плоскости. Обозначим верхними индексами $r$ и $\rho $ регулярные упругие поля, построенные согласно формулам (9), (10) с помощью голоморфных функций ${{\Phi }_{r}}\left( z \right) = 0$, ${{\Psi }_{r}}\left( z \right)$ = ${{\mu }_{M}}H\left( z \right)$ и ${{\Phi }_{\rho }}\left( z \right) = 0$, ${{\Psi }_{\rho }}\left( z \right)$ = $i{{\mu }_{M}}H\left( z \right)$ соответственно.

Лемма 1. Нетрудно доказать следующее равенство

Выражение в правой части (11) представляет собой функционал на пространстве голоморфных функций $H\left( z \right)$. Обозначим этот функционал $P\left( H \right)$.

Отметим, что упругое поле в односвязной области $D$ определяется двумя голоморфными функциями ${{\varphi }_{I}}\left( z \right)$ и ${{\psi }_{I}}\left( z \right)$ аналогично формулам (9) и (10) с заменой ${{\mu }_{M}}$ и ${{\kappa }_{M}}$ на ${{\mu }_{I}}$ и ${{\kappa }_{I}}$ соответственно.

Область $S$ не является односвязной, однако усилия, приложенные к границе $\partial D$, в силу условий сопряжения (4) самоуравновешены, поэтому напряженное состояние в области $S$ также представляется двумя голоморфными функциями ${{\varphi }_{M}}\left( z \right)$ и ${{\psi }_{M}}\left( z \right)$ согласно формулам (9) и (10). При этом, голоморфные функции удовлетворяют условиям [11]

где

На границе $\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right) \in \partial D$ определим две функции

Лемма 2. Выражение (11) для функционала $P\left( H \right)$ можно привести к следующему виду

Условия сопряжения (4) в терминах введенных голоморфных функций имеют вид [11]

Пусть область $D$ является квадратурной и $S\left( z \right)$ – мероморфная функция Шварца, определенная в $\bar {D}$. $\bar {D}$ – замыкание области $D$. Построим функции, определенные в $D \times \bar {D}$ и $D \times \left( {{{R}^{2}}{{\backslash }}D} \right)$ соответственно.

Здесь $\gamma = \frac{{{{\mu }_{I}}}}{{{{\mu }_{M}}}}$.

Лемма 3. Из определения функции Шварца, определений (14) и условий сопряжения (16), (17) следует равенство

Построим функцию, определенную в области $D$

Теорема. Функция $Q\left( z \right)$ мероморфна в $D$, полюсами $Q\left( z \right)$ являются полюсы функции Шварца и справедливо равенство

Предположим для простоты, что функция $S\left( z \right)$ имеет простые полюсы в $D$. Обозначим их ${{z}_{1}},{{z}_{2}}, \ldots ,{{z}_{n}}$. Таким образом, в окрестности точки ${{z}_{k}}$ функция $S\left( z \right)$ имеет вид

где ${{g}_{k}}\left( z \right)$ – голоморфная в окрестности точки ${{z}_{k}}$ функция.

Учитывая поведение упругого поля u^M = = $\left( {u_{1}^{M},u_{2}^{M}} \right)$ на бесконечности (12), получим асимптотику ${{Q}_{2}}\left( {z,S\left( z \right)} \right)$ при $z \to {{z}_{k}}$

Здесь ${{G}_{k}}\left( z \right)$ – голоморфная в окрестности точки ${{z}_{k}}$ функция.

Следствие. Из (22) и (24) следует

где ${{A}_{k}} = \frac{{\pi \left( {{{\mu }_{I}} - {{\mu }_{M}}} \right)\left( {{{\kappa }_{M}} + 1} \right)\bar {\Gamma }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {{R}_{k}}}}{{\left( {{{\mu }_{I}}{{\kappa }_{M}} + {{\mu }_{M}}} \right)}}$.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЗЛОВЫХ ТОЧЕК КВАДРАТУРНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

Рассмотрим последовательность голоморфных функций ${{H}_{m}}\left( z \right) = {{\left( {\frac{z}{L}} \right)}^{m}}$, где $L$ – некоторый линейный размер, $m = 0,1,2, \ldots $. Обозначим

Из (25) и (26) получаем систему уравнений

Уравнения (27) содержат $2n$ неизвестных: ${{A}_{k}}$ и ${{w}_{k}}$, $k = 1, \ldots ,n$. Методы нахождения этих неизвестных по известным значениям ${{b}_{m}}$, $m = 0, \ldots ,2n - 1$ хорошо разработаны [12–14]. В этих методах предполагается, что число $n$ известно. В рассматриваемой задаче число узловых точек, отвечающих области $D$, заранее неизвестно. Поэтому нужно решать последовательность задач в предположении, что имеется $n = 1,2, \ldots $ узловых точек. В случае, когда предполагаемое количество узловых точек $n$ превосходит действительное количество узловых точек области $D$, некоторые получаемые значения ${{w}_{k}}$ окажутся паразитными. Для исключения паразитных решений используется следующий критерий.

Обозначим ${{A}_{{n\max }}} = \mathop {\max }\limits_{k = 1, \ldots ,n} \left| {{{A}_{k}}} \right|$. Узловые точки ${{z}_{k}}$, для которых соответствующие коэффициенты ${{A}_{k}}$ удовлетворяют неравенству $\left| {{{A}_{k}}} \right|{\text{/}}{{A}_{{n\max }}} < {{\varepsilon }_{{{\text{cr}}}}}$, где ${{\varepsilon }_{{{\text{cr}}}}}$ – некоторая малая величина, считаются паразитными и исключаются из рассмотрения. В численном примере, рассмотренном ниже, принято ${{\varepsilon }_{{{\text{cr}}}}} = 0.01$.

В представленных выше теоретических результатах упругое тело предполагалось безграничным. В рассмотренном ниже примере упругое тело конечно, но характерные размеры дефекта малы по сравнению с характерными размерами тела, что позволяет использовать полученные результаты.

Пример. Предположим, что упругое тело занимает квадратную область $\Omega $ = {x = $({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ : $\left| {{{x}_{i}}} \right| \leqslant L$, $i = 1,2\} $, $L = 10$ см. Упругие постоянные материала предполагаются равными: модуль Юнга ${{E}_{M}} = 2{{\mu }_{M}}\left( {1 + {{\nu }_{M}}} \right)$ = 68.5 ГПа, коэффициент Пуассона ${{\nu }_{M}} = 0.36$. Предположим также, что приложенные к границе тела $\partial \Omega $ нагрузки представляют собой одноосное растяжение в направлении оси ${{x}_{2}}$.

где $\sigma = 100$ МПа.

Переопределенные данные (перемещения на внешней границе тела $\partial \Omega $) получены путем численного решения прямой задачи для тела с неоднородностью при заданных условиях (28) на границе тела $\partial \Omega $. Рассмотрим случай, когда дефектом является полость, имеющая форму овала Неймана, ограниченного контуром (см. рис. 1).

В примере приняты следующие значения постоянных: $a = 0.3$ и $\varepsilon = 0.25$.

Согласно [5], функция Шварца для овала Неймана, соответствующего уравнению (29), имеет вид

Как видно из (30), функция Шварца имеет два простых полюса в точках $z = \pm \varepsilon $. Таким образом, полость является квадратурной областью второго порядка. Проведенные численные расчеты показали, что, начиная с $n = 2$, после применения принятого выше критерия остаются ровно две узловые точки. Проиллюстрируем это результатом расчетов для предполагаемого количества узловых точек $n = 10$. В табл. 1 представлены все 10 узловых точек ${{z}_{k}}$, отвечающих $n = 10$, и соответствующие им нормированные коэффициенты ${{\alpha }_{k}} = \left| {{{A}_{k}}} \right|{\text{/}}{{A}_{{n\max }}}$.

Из табл. 1 следует, что согласно принятому критерию остаются только две узловые точки под номерами $k = 5$ и $k = 6$. Полученные приближенно значения координат этих точек достаточно близки к точным.