Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 509, № 1, стр. 83-86

1. ВВЕДЕНИЕ

Следующая теорема впервые доказана в 1962 г. (см. [2]) Арне Берлингом и Полем Мальявеном.

Теорема А. Пусть $\omega :\mathbb{R} \to (0,1]$ – непрерывная функция, такая что $\log (1{\text{/}}\omega ) \in {{L}^{1}}\left( {\mathbb{R},dx{\text{/}}\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)} \right)$ и функция $\log \left( {1{\text{/}}\omega } \right)$ липшицева. Тогда для всякого $\delta > 0$ найдется функция $f \in {{L}^{2}}(\mathbb{R})$, не равная нулю почти всюду и удовлетворяющая ${\text{spec}}(f) \subset [0,\delta ]$ и ${\text{|}}f(x){\text{|}} \leqslant \omega (x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$ (под ${\text{spec}}(f)$ мы подразумеваем носитель преобразования Фурье функции $f$).

Если для некоторой функции $\omega $ верно, что для некоторого $\delta > 0$ найдется функция $f \in {{L}^{2}}(\mathbb{R})$, не равная нулю почти всюду и удовлетворяющая условиям ${\text{spec}}(f) \subset [0,\delta ]$ и ${\text{|}}f(x){\text{|}} \leqslant \omega (x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то такую $\omega $ мы будем называть $\delta $-допустимой мажорантой. Если описанное выше верно для всех $\delta > 0,$ то $\omega $ по определению является $BM$ мажорантой.

Теорему A также иногда называют теоремой Берлинга–Мальявена о мажоранте.

Теорема A неразрывно связана со второй теоремой Берлинга–Мальявена, также называемой теоремой Берлинга–Мальявена о полноте системы гармоник, см. [9]. Действительно, первая теорема Берлинга–Мальявена существенно используется при доказательстве второй теоремы Берлинга–Мальявена. Не приводя формулировки, скажем лишь, что по мнению некоторых видных аналитиков, этот результат является одной из глубочайших теорем математического анализа двадцатого века.

Отметим также, что теорема A – очень важный результат и в современной теории функций. Чтобы это проиллюстировать, подчеркнем ее связь с задачей о лакуне, см. [11], и с теорией теплицевых ядер, см. [8]. Отдельно процитируем относительно недавнее ее применение в теории резонансов гиперболических поверхностей, см. [3].

Заметим, что теорема A интересна и сама по себе, так как в каком-то смысле указывает границы следующей наивной формулировки принципа неопределенности в гармоническом анализе: “Ненулевая функция и ее преобразование Фурье не могут быть одновременно малы.” Недавние границы совсем другого рода для принципа неопределенности содержатся в статьях [10] и [7].

У доказательств первой и второй теорем Берлинга–Мальявена есть богатая история, но мы опишем ее здесь лишь вкратце. Помимо оригинального доказательства, существует множество других подходов к доказательству теорем Берлинга–Мальявена, принадлежащих следующим авторам: Г. Редхефферу (см. [12]), Л. Де Бранжу (см. [4]), П. Каргаеву, Н. Макарову и А. Полторацкому (см. [8]), и многим другим. В 2005 г. В. Хавин, Дж. Машреги и Ф. Назаров, см. [9], предложили новое доказательство первой теоремы Берлинга–Мальявена. Существенная новизна их доказательства состояла в том, что оно было сделано полностью вещественными методами и не использовало комплексный анализ. Слегка забегая вперед, отметим, что наш подход при доказательстве основного результата этой работы будет частично основан на приведенной работе вышеупомянутых трех авторов.

Цель нашей работы – проанонсировать новое нетривиальное обощение теоремы A. Чтобы сформулировать наш основной результат, введем один класс функций.

Определение 1. Пусть $j \in \mathbb{N}$ и пусть $r$ – положительное число. Рассмотрим следующую систему интервалов: ${{J}_{0}}: = [ - 2,2)$, при $j \in \mathbb{N}$ положим ${{J}_{j}}: = \left[ {{{2}^{j}}{{{,2}}^{{j + 1}}}} \right)$ и ${{J}_{{ - j}}}$ := $\left[ { - {{2}^{{j + 1}}}, - {{2}^{j}}} \right)$. Условимся считать, что абсолютно непрерывная функция $\varphi $ лежит в классе ${{V}_{r}}$, если выполняется условие

Следующая теорема – главный результат этой статьи.

Теорема 1. Пусть $\omega :\mathbb{R} \to (0,1]$ – непрерывная функция, такая что $\log \left( {1{\text{/}}\omega } \right)$ ∈ ${{L}^{1}}\left( {\mathbb{R},dx{\text{/}}\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)} \right)$, и пусть при этом функция $\log (1{\text{/}}\omega )$ абсолютно непрерывна и удовлетворяет $\log (1{\text{/}}\omega ) \in {{V}_{r}}$ для некоторого $r > 1$. Тогда для всякого $\delta > 0$ найдется функция $f \in {{L}^{2}}(\mathbb{R})$, не равная нулю почти всюду и удовлетворяющая ${\text{spec}}(f) \subset [0,\delta ]$ и ${\text{|}}f(x){\text{|}} \leqslant \omega (x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Заметим, что теорема 1 очевидно влечет теорему A. Кроме того, нетрудно привести пример функции $\omega $, к которой применима теорема 1, но не применима первая теорема Берлинга–Мальявена. Можно также показать, что существуют мажоранты, удовлетворяющие условиям теоремы 1, к которым не применим так называемый общий вид теорем Берлинга–Мальявена о мажоранте и мультипликаторе (имеется в виду теорема из раздела 3.4 статьи [9]).

Второй основной результат данной статьи показывает, что теорема 1 довольно точна.

Теорема 2. Существуют функции $\omega :\mathbb{R} \to (0,1]$, такие что $\log (1{\text{/}}\omega )$ ∈ ${{V}_{1}}\bigcap\nolimits_ {{L}^{1}}\left( {\mathbb{R},dx{\text{/}}\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)} \right)$, не являющиеся $BM$ мажорантами.

Чтобы доказать теорему 2, мы пользуемся одной идеей А.А. Боричева, которую автор данной статьи узнал из обзора [1]. Эта идея заключается в наблюдении, что функция с малым спектром, большая на некотором интервале, остается относительно большой на существенно большем концентрическом интервале. Точной формулировке этого принципа посвящены лемма 1 и теорема 2 из статьи [1]. Заметим, что в [1] этот принцип применяется только к функциям, растущим на бесконечности строго быстрее линейной. Наши же функции в теореме 2 могут линейно расти на бесконечности. Поэтому, чтобы доказать теорему 2, нам пришлось совместить идею А.А. Боричева с неким итеративным процессом.

Теорема 1 точна также в следующих смыслах. Теорема 1, вообще говоря, не будет выполняться, если в ее формулировке заменить классы ${{V}_{r}}$ на аналогичные, в которых длины отрезков ${{J}_{j}}$ образуют последовательность, лакунарную по Адамару. То же самое верно и для концов отрезков ${{J}_{j}}$. Соответствующие утверждения доказываются аналогично теореме 2.

В следующей главе мы опишем вкратце основные идеи доказательства главного результата работы – теоремы 1. Развернутая версия доказательства будет опубликована позднее.

2. СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА СТАТЬИ

Доказательство теоремы 1 ведется по схеме, предложенной и разработанной в статье [9]. Предварительная версия доказательства доступна в препринте [14].

Мы будем использовать следующий критерий для принадлежности функции классу $BM$ мажорант.

Это утверждение принадлежит В.П. Хавину и Дж. Машреги, см. [5] и [6].

Теорема B. Если $\omega :\mathbb{R} \to (0,1]$, $\log (1{\text{/}}\omega )$ ∈ ∈ ${{L}^{1}}\left( {\mathbb{R},dx{\text{/}}\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)} \right)$ и ${\text{||}}(\mathcal{H}\log (1{\text{/}}\omega )){\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\infty }} < \pi \sigma $, то $\omega $ – $\sigma $-допустимая мажоранта.

Благодаря теореме B, чтобы доказать теорему 1, достаточно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть $\Omega \in {{L}^{1}}\left( {\mathbb{R},dx{\text{/}}\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)} \right)$ – неотрицательная, абсолютно непрерывная функция, такая что $\Omega \in {{V}_{r}}$. Тогда для каждого $\varepsilon > 0$ найдется функция ${{\Omega }_{1}}$, удовлетворяющая условиям

1) $\Omega (x) \leqslant {{\Omega }_{1}}(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$;

2) ${{\Omega }_{1}} \in {{L}^{1}}\left( {\mathbb{R},dx{\text{/}}\left( {1 + {{x}^{2}}} \right)} \right)$;

3) $\mathcal{H}{{\Omega }_{1}} \in {\text{Lip}}(\mathbb{R},\varepsilon ),$ где $\mathcal{H}$ – преобразование Гильберта на вещественной прямой.

Напомним, что для функций $\psi \in {{L}^{1}}(\mathbb{R},dx{\text{/}}(1$ + + x²)) преобразование Гильберта задается такой формулой:

Утверждения типа леммы 1 называются иногда в литературе леммами Назарова, см. [13]. Оставшаяся часть доказательства посвящена лемме 1.

Достаточно доказать такой локальный вариант леммы 1.

Лемма 2. Пусть $I \subset \mathbb{R}$ – интервал и пусть $\delta > 0$ и $\kappa > 0$. Предположим, что $f$ – неотрицательная, абсолютно непрерывная функция, такая что ${\text{||}}f{\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{r}}(I)}}}$ ≤ $\kappa l{{(I)}^{{1{\text{/}}r}}}$ и ${\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(I)}}} \leqslant \delta l(I)$. Тогда найдется неотрицательная функция $F \in {{{\text{C}}}^{\infty }}(\mathbb{R})$, удовлетворяющая условиям

1) $F = 0$ вне $1.5I$,

2) $f(x) \leqslant F(x)$ для всех $x \in I$,

3) ${\text{||}}\left( {\mathcal{H}F} \right){\kern 1pt} '{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(\mathbb{R})}}} \lesssim \delta $,

4) ${{\left( {\frac{\delta }{\kappa }} \right)}^{{2r{\text{/}}(2r - 1)}}}\int_\mathbb{R} F(x)dx \lesssim {{\left( {\int_I f(x)dx} \right)}^{{(2r - 2){\text{/}}(2r - 1)}}}$.

Действительно, вывести глобальный вариант из локального не составляет особого труда: для этого достаточно применить последний к сужениям функции $\Omega $ на интервалы ${{J}_{j}}$ из определения 1.

Сосредоточимся теперь на лемме 2. Несложно видеть, что, ввиду однородности условий, наложенных на функцию $f$, этот результат достаточно доказать для интервала $[ - 1{\text{/}}2,1{\text{/}}2]$ и $\delta = 1$.

Чтобы построить искомую мажоранту, рассмотрим вспомогательную систему интервалов. (Отныне и до конца статьи все интервалы будут диадическими.)

Будем говорить, что интервал $I \subset [ - 1{\text{/}}2,1{\text{/}}2]$ – существенный, если ${\text{||}}f{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{\infty }}(I)}}} \geqslant l(I){\text{/}}2$. Обозначим через $A$ систему всех существенных интервалов. Возьмем ее максмимальную по включению подсистему, которую обозначим символом ${{A}^{M}}$. Присоединим к каждому интервалу из системы ${{A}^{M}}$ его так называемый “хвост”, см. [9], раздел 2.6.5, где находится определение “хвоста” интервала. Затем, после присоединения всех “хвостов”, у получившейся системы еще раз возьмем максмимальную по включению подсистему. То, что получится в итоге – так называемая резгуляризованная система интервалов, обозначаемая здесь $\tau $. Искомая мажоранта определяется теперь формулой

где ${{\phi }_{a}}$ – функция–“шапочка”, подогнанная под интервал $a$ (т.е., бесконечно дифференцируемая функция, тождественно равная длине интервала $a$ на этом интервале, всюду на $\mathbb{R}$ меньшая этой длины и обнуляющаяся на концентрическом $a$ интервале, в полтора раза большей чем у $a$ длины).

Далее, проверим у мажоранты $F$ нужные в лемме 2 свойства. Первые два свойства проверяются легко. Оценка преобразования Гильберта следует из третьего свойства и проводится способом, сходным с методом доказательства из раздела 2.6.8 статьи [9].

Опишем теперь, как проверить третье свойство. Нам потребуется следующая лемма.

Лемма 3. Пусть $a \in \tau $ и пусть $f$ удовлетворяет ${{\left\| {f{\kern 1pt} '} \right\|}_{{{{L}^{r}}(a)}}} \leqslant \kappa l{{(a)}^{{1{\text{/}}r}}}$ для некоторых $\kappa \geqslant 1$ и $r > 1$. Обозначим $\alpha : = (2r - 2){\text{/}}(2r - 1)$. Тогда выполняется

Доказательство этой леммы проводится с помощью формулы Ньютона–Лейбница и неравенства Гельдера.

Благодаря лемме 3, мы можем, наконец, завершить описание доказательства леммы 2. Действительно, из конструкции системы интервалов $\tau $ следует, что величина $\int_\mathbb{R} F$ мажорируется, с точностью до мультипликативной константы, выражением

где $l(b)$ обозначает длину интервала $b$. Слагаемое в последней сумме оценивается теперь благодаря лемме 3, а проверка третьего свойства из локальной леммы 2 завершается еще одним применением неравенства Гельдера.