1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 512, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 512, № 1, стр. 5-9

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ И ТЕОРИЯ p-РЕГУЛЯРНОСТИ

Б. Медак 1, *, А. А. Третьяков 1, 2, 3, 4, **

1 Siedlce University of Natural Sciences and Humanities, Faculty of Exact and Natural Sciences
Siedlce, Poland

2 Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

3 System Researche Institute, Polish Academy of Sciences
Warsaw, Poland

4 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Долгопрудный, Московская обл., Россия

* E-mail: bmedak@uph.edu.pl
** E-mail: tret@uph.edu.pl

Поступила в редакцию 02.02.2022
После доработки 27.10.2022
Принята к публикации 05.05.2023

Аннотация

В статье рассматриваются различные модификации нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и вырожденного в решении вида

$F(u,\varepsilon ) = {{u}_{t}} - {{u}_{{xx}}} + u{{u}_{x}} + \varepsilon {{u}^{2}} - f(x,t) = 0,$            (1)

где $F:\Omega \to C([0,\pi ] \times [0,T])$, $T > 0$, $\Omega = {{C}^{2}}([0,\pi ] \times [0,T]\,)\,\mathbb{R}$ и $u(0,t) = u(\pi ,t) = 0$, $u(x,0) = \varphi (x)$, $f(x,t) \in C([0,\pi ] \times [0,T])$, $\varphi (x) \in C[0,\pi ]$. Нас будет интересовать наиболее важный в приложениях случай малого параметра ε с осциллирующими начальными условиями вида $\varphi (x) = k\sin x$, где k –некоторая, вообще говоря, зависящая от ε, константа, и изучать вопрос существования решения в окрестности тривиального $(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)$, которому соответствует $k = k{\kern 1pt} * = 0$ и при каких начальных условиях на значения k возможно построение аналитического приближения этого решения при малых ε.

Мы будем искать решение в традиционном русле разделения переменных на подпространстве функций вида $u(x,t) = v(t)u(x)$, где $v(t) = c{{e}^{{ - t}}}$, $u(x) \in {{\mathcal{C}}^{2}}([0,\pi ])$. В этом случае рассматриваемая задача является вырожденной в точке $(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)$, так как ${\text{Im}}F_{u}^{'}(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) \ne Z = \mathcal{C}([0,\pi ] \times [0,T])$. Это следует из теории Штурма–Лиувилла. Для осуществления наших целей мы применяем аппарат теории p-регулярности [6, 7, 15, 16] и показываем, что отображение $F(u,\varepsilon )$ является 3-регулярным в точке $(u{\kern 1pt} *,\varepsilon {\kern 1pt} *) = (0,0)$, т.е. p = 3.

Список литературы

  1. Baxley J.V. Nonlinear second-order boundary value problems: Continuous dependence and periodic boundary conditions // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1982. V. 31. № 2. P. 305–320.

  2. Brezhneva O.A., Tret’yakov A.A. Marsden: Higher-order implicit function theorems and degenerate nonlinear boundary-value problems // Communications on Pure and Applied Analysis. 2008. V. 7. № 2. P. 293–315.

  3. Gaines R. Continuous dependence on parameters and boundary data for nonlinear two-point boundary value problems // Pacific J. Math. 1969. V. 28. P. 327–336.

  4. Grzegorczyk W., Medak B., Tret’yakov A.A. Application of p-regularity theory to nonlinear boundary value problems // Boundary Value Problems. 2013. V. 2013. P. 251, http:/www.boundaryvalueproblems.com/content/2013/1/251

  5. Ingram S.K. Continuous dependence on parameters and boundary data for nonlinear two-point boundary value problems // Pacific J. Math. 1972. V. 41. P. 395–408.

  6. Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. Фактор-анализ нелинейных отображений. М.: Наука, 1994.

  7. Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. 2-регулярные решения нелинейных проблем. Теория и численные методы. М.: Наука, 1999.

  8. Medak B. Development of p-regularity apparatus and its application to describing the structure of solution sets of degenerated differential equations, Doctoral thesis, UMCS, Lublin, 2013 (in Polish).

  9. Medak B., Tret’yakov A.A. Existence of periodic solutions to nonlinear p-regular boundary value problem // Boundary Value Problems. 2015. V. 2015. P. 91. https://doi.org/10.1186/s13661-015-0360-2

  10. Medak B., Tret’yakov A.A. Application of p-regularity theory to the Duffing equation // Boundary Value Problems. 2017. V. 2017. P. 85. https://doi.org/10.1186/s13661-017-0815-8

  11. Medak B., Tret’yakov A.A. Continuous dependence of the singular nonlinear Van der Pol equation solutions with respect to the boundary conditions: Elements of p-regularity theory // Journal of Dynamics and Differential Equations. 2021. V. 33. P. 1087–1107. https://doi.org/10.1007/s10884-020-09849-0

  12. Michael E.A. Continuous selector // Ann. Math. 1956. V. 64. P. 562–580.

  13. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: МГУ, Наука, 2004.

  14. Тихонов А.Н., Василева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Москва, Физматлит, 1998.

  15. Tret’yakov A.A. The implicit function theorem in degenerate problems // Russ. Math. Surv. 1987. V. 42. P. 179–180.

  16. Tret’yakov A.A., Marsden J.E. Factor analysis of nonlinear mappings: p-regularity theory // Communications on Pure and Applied Analysis. 2003. V. 2. № 4. P. 425–445.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал