1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 513, № 1, 2023

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2023, T. 513, № 1, стр. 51-56

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С БОЛЬШИМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

С. А. Кащенко 1, *, А. О. Толбей 1, **

1 Региональный научно-образовательный математический центр “Центр интегрируемых систем”, Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Ярославль, Россия

* E-mail: kasch@uniyar.ac.ru
** E-mail: a.tolbey@uniyar.ac.ru

Поступила в редакцию 20.06.2023
После доработки 21.07.2023
Принята к публикации 17.08.2023

Аннотация

Рассматривается локальная динамика систем двух уравнений с запаздыванием. Основное предположение заключается в том, что параметр запаздывания является достаточно большим. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия и показано, что они имеют бесконечную размерность. Использованы и получили дальнейшее развитие методы бесконечномерной нормализации. В качестве основных результатов построены специальные нелинейные краевые задачи, которые играют роль нормальных форм. Их нелокальная динамика определяет поведение всех решений исходной системы в окрестности состояния равновесия.

Ключевые слова: динамика, устойчивость, запаздывание, квазинормальные формы, сингулярные возмущения

Список литературы

  1. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. 280 с.

  2. Kashchenko S.A. The Dynamics of Second-order Equations with Delayed Feedback and a Large Coefficient of Delayed Control // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. V. 21. № 7/8. P. 811–820. https://doi.org/10.1134/S1560354716070042

  3. Giacomelli G., Politi A. Relationship between delayed and spatially extended dynamical systems // Physical review letters. 1996. V. 76. № 15. P. 2686.

  4. Mensour B., Longtin A. Power spectra and dynamical invariants for delay-differential and difference equations // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. V. 113. № 1. P. 1–25.

  5. Wolfrum M., Yanchuk S. Eckhaus instability in systems with large delay // Physical review letters. 2006. V. 96. № 22. P. 220201.

  6. Bestehorn M., Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2000. V. 145. № 1/2. P. 110–129. https://doi.org/10.1016/S0167-2789(00)00106-8

  7. Giacomelli G., Politi A. Multiple scale analysis of delayed dynamical systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1998. V. 117. № 1–4. P. 26–42.

  8. Ikeda K., Daido H., Akimoto O. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Physical Review Letters. 1980. V. 45. № 9. P. 709.

  9. Hale J.K. Theory of Functional Differential Equations, 2nd ed.; Springer: New York, NY, USA, 1977. 626 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-9892-2

  10. D’Huys O., Vicente R., Erneux T., Danckaert J., Fischer I. Synchronization properties of network motifs: Influence of coupling delay and symmetry // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2008/12/03. AIP, 2008. V. 18. № 3. P. 37116.

  11. Klinshov V.V., Nekorkin V.I. Synchronization of time-delay coupled pulse oscillators // Chaos, Solitons and Fractals. 2011. V. 44. № 1–3. P. 98–107.

  12. Клиньшов В.В., Некоркин В.И. Синхронизация автоколебательных сетей с запаздывающими связями // Успехи физических наук. 2013. Т. 183, № 12. С. 1323–1336.

  13. Klinshov V., Shchapin D., Yanchuk S., Nekorkin V. Jittering waves in rings of pulse oscillators // Physical Review E. 2016. V. 94. № 1. P. 012206.

  14. Yanchuk S., Perlikowski P. Delay and periodicity // Physical Review E. APS. 2009. V. 79. № 4. P. 1–9.

  15. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1448–1451.

  16. Kashchenko S.A. Van der Pol Equation with a Large Feedback Delay // Mathematics. 2023. V. 11. № 6. P. 1301. https://doi.org/10.3390/math11061301

  17. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // Int. J. Bifurc. Chaos Appl. Sci. Eng. 1996. V. 6. P. 1093–1109. https://doi.org/10.1142/S021812749600059X

  18. Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. № 3. P. 443–451.

  19. Vasil’eva A.B., Butuzov V.F. Asymptotic expansions of the solutions of singularly perturbed equations. Moscow: Nauka, 1973. 272 p.

  20. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Omel’chenko O., and Recke L. Boundary layer solutions to singularly perturbed quasilinear systems. Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. 2022. V. 27. № 8. P. 4255–4283. https://doi.org/10.3934/dcdsb.2021226

  21. Nefedov N.N. Development of methods of asymptotic analysis of transitionlayers in reaction–diffusion–advection equations: theory and applications // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2021. V. 61. № 12. P. 2068–2087. https://doi.org/10.1134/S0965542521120095

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал