Доклады Российской академии наук. Науки о Земле, 2020, T. 495, № 2, стр. 41-45

ВВЕДЕНИЕ

В литературе по моделям мантийной конвекции имеются сотни статей, в которых по настоящее время используются различающиеся между собой упрощающие приближения. При этом в большинстве работ рассчитанное в этих моделях распределение температуры не только не обсуждается, но часто даже не приводится и не сравнивается с возможным распределением для реальной мантии. Эти распределения значительно различаются между собой, поскольку используемые приближения сильно влияют на вычисленное распределение температуры с глубиной. В настоящей работе анализируются приближения, связанные с пренебрежением сжимаемостью вещества мантии и вязкой диссипацией, а также с отличием структуры конвекции в сферической области от прямоугольной модели. Приводится численная модель мантийной конвекции, дающая распределение температуры в основной части мантии Земли по глубине, которое оптимально согласуется с имеющимися данными о термодинамических параметрах вещества мантии и значениями температуры в реперных точках, определяемых при использовании сейсмических данных.

РЕПЕРНЫЕ ТОЧКИ

Для общей оценки температур в мантии можно использовать пять реперных точек. На поверхности Земли температура принимается равной около 0°C или 300 K. На границе с ядром температура составляет около 3800 K с неопределенностью порядка ±200 K [1].

По сейсмическим данным известны значения глубин фазовых переходов оливин‒вадслеит z₁ = = 410 км, рингвудит‒перовскит z₂ = 660 км и перовскит‒постперовскит (бриджманит) z₃ ≈ 2650 км. По лабораторным данным о фазовых переходах известны соотношения между температурой и давлением. Используя известную зависимость давления в мантии от глубины, находятся значения температуры в этих трех реперных точках. Для переходов на глубинах 410, 660 и 2650 км эти температуры составляют соответственно 1810, 1940 и 2500 K [2, 3]. При этом для нижнего перехода перовскит‒постперовскит пока еще остаются значительная неопределенность по глубине в первые сотни километров и неопределенность в температуре в первые сотни градусов.

УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ

Всю кривую распределения температуры в мантии можно рассчитать по численным моделям конвекции в мантии. В литературе используют как декартову, так и сферическую геометрию, как в простейшем приближении несжимаемого вещества Буссинеска (BA), так и в расширенном приближении Буссинеска (EBA). При этом вязкость и другие параметры берут с разной зависимостью от глубины. Распределения скоростей конвективных течений и температуры находятся путем численного решения уравнений тепловой конвекции. В расширенном приближении Буссинеска (EBA), учитывающем эффекты сжимаемости и вязкой диссипации, зависимость параметров от глубины и фазовые переходы, уравнения конвекции в безразмерных переменных имеют вид [4–6]:

где координата x₃ совпадает с глубиной z, ${{{v}}_{i}}$ – скорости течений, η – вязкость, зависящая от температуры и глубины, p – динамическое давление, τ_ij – тензор вязких напряжений, T – температура в мантии, T_s – поверхностная температура, D – толщина слоя мантии, Ra = α₀ρ₀gΔTD³/(η₀κ₀) – тепловое число Рэлея, ΔT – перепад температуры от поверхности до нижней границы мантии, g – ускорение силы тяжести, α₀, ρ₀, η₀, κ₀ – соответственно средние значения коэффициента теплового расширения, плотности, вязкости и температуропроводности мантии, Di = α₀gD/c_p – диссипативное число, c_p – удельная теплоемкость мантии, H – плотность внутренних тепловых источников, Rb_n = δρ_ngD³/(η₀κ₀) – фазовые числа, δρ_n – скачок плотности при n-м фазовом переходе, Г_n – фазовая функция. Безразмерные переменные и физические параметры мантии задаются стандартным образом [4]. При значениях параметров по [5] получим Ra = 2 × 10⁷, Di = 0.65, ΔT = = 3500 K, H = 8 × 10⁻¹² Вткг^–1, η₀ = 4 × 10²¹ Па с и α₀ = 2.8 × 10^–5 K^–1.

В приближении Буссинеска пренебрегают членами, содержащими множителем безразмерное число Di. Член Diα(T + T_s)${{{v}}_{z}}$ связан с адиабатической сжимаемостью и соответственно нагреванием или охлаждением опускающихся или поднимающихся элементов мантии, в которой происходит конвекция. Член (Di/Ra)τ_ij∂${{{v}}_{i}}$/∂x_j обусловлен диссипативным разогревом движущейся вязкой среды. Приближение BA не может корректно воспроизводить глубинный профиль мантийной температуры, а только показывает наличие двух тепловых погранслоев у верхней и нижней границы мантии с быстрым ростом температуры по глубине и так называемого изотермического ядра конвекции.

ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ ВЕЩЕСТВА И СФЕРИЧНОСТИ МАНТИИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА ПРИМЕРЕ ИДЕАЛИЗИРОВАННОЙ МОДЕЛИ С ПОСТОЯННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ

В декартовой геометрии мантию Земли можно моделировать вязкой средой в двухмерной прямоугольной области размером 2900 км по вертикали при соотношении сторон 3:1 с заданными значениями температуры на верхней и нижней границах, которые считаются непроницаемыми при нулевых касательных напряжениях. В сферической геометрии рассчитывается конвекция в трехмерной сферической оболочке. Численное решение уравнений конвекции выполнялось по программе конечных элементов CitcomCU [7, 8].

Как могут различаться между собой рассчитанные разными авторами распределения температуры в мантии, можно проиллюстрировать на простой характерной модели конвекции с постоянной вязкостью при интенсивности, характеризуемой числом Рэлея Ra = 10⁶. На рис. 1 приведены распределения температуры по глубине, получаемые при различных приближениях: 1 – декартова модель, приближение Буссинеска BA без внутренних источников тепла, 2 – декартова модель, расширенное приближение ЕBA без внутренних источников тепла, 3 – декартова модель, расширенное приближение ЕBA с учетом внутренних источников тепла H = 6 × 10⁻¹² Вткг^–1, 4 – сфера, приближение ЕBA без внутренних источников тепла, 5 – сфера, приближение ЕBA с внутренними источниками тепла H = 6 × 10⁻¹² Вткг^–1.

Как видно на рис. 1, распределения температуры в мантии, вычисляемые в различных приближениях, сильно различаются. В простейшем приближении Буссинеска температура (кривая 1) в основной части мантии оказывается постоянной. В приближении EBA (кривая 2) эффекты сжимаемости вызывают нагрев нисходящих потоков и охлаждение восходящих конвективных потоков, причем охлаждение последних превалирует над нагревом в силу того, что соответствующий член уравнений конвекции пропорционален локальной температуре. При учете адиабатической сжимаемости рассчитанная средняя по латерали температура растет с глубиной с адиабатическим градиентом dT/dz = gαT/c_p. Дополнительный учет внутренних источников тепла в мантии (кривая 3) смещает кривую температуры вправо, примерно на 300 K.

Учет сферичности мантии также меняет кривую распределения температуры. Распределение температуры, рассчитанное для сферы в приближении ЕBA без внутренних источников тепла (кривая 4), по сравнению с кривой для декартовой модели в том же приближении, оказывается смещенным влево. Это свидетельствует, что эффект сферичности эквивалентен отрицательным фиктивным внутренним источникам тепла. Данный факт объясняется тем, что плотность теплового потока в сфере при постоянном суммарном потоке тепла благодаря геометрии уменьшается с высотой так же, как при наличии отрицательных внутренних источников тепла.

Кривая температуры для сферы с реальными внутренними источниками тепла H = 6 × × 10^‒12 Вткг^–1 (кривая 5) оказывается очень близкой к кривой для декартовой модели, но без таких источников. Для тепловой конвекции с параметрами, близкими к современной Земле, случайным образом оказалось, что величина фиктивных отрицательных источников, обусловленных сферической геометрией, по модулю приблизительно равна величине реальных положительных внутренних источников тепла мантии, обусловленным радиоактивным распадом и вековым остыванием мантии.

Отметим, что эффекты сжимаемости и сферичности существенно влияют на распределение температуры только для моделей конвекции во всей мантии. Иногда для упрощения расчетов рассматривают конвективные модели, рассматривающие отдельно верхнюю мантию. В этом случае эффектами сферичности и сжимаемости можно пренебречь. Но поскольку в реальной Земле конвекция охватывает всю мантию, то для моделей верхнемантийной конвекции граничные условия на нижней границе необходимо брать из моделей всей мантии.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ОСНОВНОЙ ОБЛАСТИ МАНТИИ ЗЕМЛИ С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ, ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТИ И СФЕРИЧНОСТИ

Для расчета распределения температуры в реальной мантии Земли была взята декартова модель с переменными параметрами, соответствующими геофизическим данным, но без внутренних тепловых источников. В частности, была использована зависимость вязкости мантии от температуры и давления с разными параметрами для верхней и нижней мантии, учитывающая уменьшение объема активации при фазовом переходе на глубине 670 км [9, 10], при которой вычисленное распределение вязкости по глубине согласуется с данными послеледниковых поднятий. Отметим, что в формулу для вязкости мантии, зависящей от энергии активации, по физическому смыслу всегда должна входить полная абсолютная температура, а не нададиабатическая температура (которую нередко используют при расчетах в приближении несжимаемой мантии Буссинеска).

Вычисления осуществлялись в приближении EBA при Ra = 2 × 10⁷ и Di = 0.65 с коэффициентом теплового расширения, меняющимся с глубиной согласно рис. 2 (слева) и аппроксимирующим термодинамические данные [2]. Рассчитанный глубинный профиль логарифма средней вязкости для установившегося режима конвекции показан на рис. 2 справа.

Кривая 1 на рис. 3 показывает усредненное по латерали распределение температуры по глубине в мантии Земли, рассчитанное в рассматриваемой модели по уравнениям конвекции (1–4) для сжимаемого вещества. Квадратными маркерами отмечены взятые из литературы значения температур в реперных точках на границах фазовых переходов 410 и 660 км, соответственно 1810 и 1940 K. Наклонным прямоугольником показана с учетом неопределенности температура в реперной точке фазового перехода в постперовскит на глубине около 2650 км при температуре около 2500 K [3, 11].

Как видно на рис. 3, рассчитанный температурный профиль мантии очень хорошо согласуется с реперными точками, полученными из экспериментальных данных. Рассчитанная кривая 1 усреднена не только по латерали, но и по времени. Амплитуда колебаний средних значений температуры во времени из-за нестационарности конвекции при числе Рэлея Ra = 2 × 10⁷ составляет от 50 K в верхней мантии до 100 K вблизи нижнего погранслоя. Кривые 2 и 3 рис. 3 показывают рассчитанные зависимости температуры от глубины вдоль осевых линий нисходящих и восходящих конвективных потоков. Конвекция в мантии нестационарна, и конвективные потоки имеют разную интенсивность. Кривые 2 и 3 были рассчитаны для наиболее интенсивных (протяженных вдоль всей мантии) потоков.

Выше на рис. 1 было показано, что для идеализированной модели с Ra = 10⁶ рассчитываемое в декартовой геометрии без источников распределение температуры практически совпадает с распределением в сферической геометрии с внутренними источниками тепла при H = 6 × 10⁻¹² Вт кг^–1 (что несколько меньше принимаемых для мантии Земли). Рассчитанное без источников распределение температуры для декартовой модели с параметрами современной Земли (кривая 1 рис. 3) также практически совпадает с распределением в сферической модели с внутренними источниками тепла, однако при H = 8 × 10⁻¹² Вт кг^-1, что соответствует реальной мантии. Подробнее см. [12].

Вычисляемый градиент мантийной температуры на глубинах от 300 до 2000 км составляет от 0.28 до 0.30 K/км. Ниже он уменьшается и при 2500 км равен 0.14 K/км, что обусловлено уменьшением коэффициента теплового расширения с глубиной. Наружный тепловой поток, определенный по наклону верхней части кривой 1, составляет 90 мВт K^–1 м^–2, что согласуется с данными измерений [13].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на важность знания распределения температуры в мантии Земли, оно все еще известно со значительной неопределенностью [14]. В настоящей работе показано, что для вычисления удовлетворительного распределения температуры в мантии наряду с полной сферической моделью в приближении ЕBA можно использовать и более простую декартову модель с поправкой на сферичность в виде дополнительных фиктивных отрицательных источников тепла. При этом для параметров современной Земли, благодаря удивительному случайному совпадению, величина этих фиктивных источников тепла по модулю с хорошей точностью компенсирует реальные источники тепла. В результате модель сферы с реальными внутренними источниками тепла и более простая декартова модель с пренебрежением реальными источниками тепла дают почти одинаковые распределения мантийной температуры.

Показано, что для декартовой модели мантии, с использованными в работе параметрами, численное решение уравнений тепловой конвекции дает распределение температуры по глубине, которое в основной области мантии оптимально согласуется со значениями температуры в реперных точках по данным о фазовых переходах, с измеренным тепловым потоком Земли, а также с адиабатическим градиентом, определенным по лабораторным данным о термодинамических параметрах вещества мантии.

В настоящее время остается значительная неопределенность значений температуры вблизи дна мантии на глубинах 2700–2850 км, где находятся два гигантских скопления горячего эклогита и соответственно имеются большие латеральные вариации температуры. Также рассчитанное усредненное распределение температуры является неточным в верхней части верхней мантии, поскольку модель не учитывает континенты и приближенно соответствует океанической мантии. Последнему вопросу посвящено много других специальных публикаций (например, [15]).