Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2020, T. 56, № 6, стр. 689-699

ВВЕДЕНИЕ

К настоящему времени установлено [1–4], что внутренние водоемы играют важную роль в процессах взаимодействия атмосферы и деятельного слоя суши. При этом известно, что процессы мелкомасштабного турбулентного перемешивания в приповерхностном слое океана и внутренних водоемов играют ключевую роль как при разработке глобальных моделей климата [5–8], так и при создании региональных моделей прогноза погоды [9, 10]. Современные глобальные океанические модели не разрешают мелкомасштабные процессы турбулентного перемешивания в приповерхностном слое океана. Поэтому эти процессы учитываются за счет параметризаций коэффициентов турбулентного обмена – турбулентной вязкости и диффузии, связывающих турбулентные потоки массы, импульса, плавучести и т.д. с характеристиками средних крупномасштабных полей скорости, плотности (температуры) и других параметров. Значения этих коэффициентов существенным образом зависят от состояния границы раздела воды и воздуха, плотностной стратификации и других факторов. В большей части современных численных моделей при описании процессов турбулентного перемешивания в океане и внутренних водоемах приходится решать уравнения в частных производных для осредненного течения; появляющиеся в этих уравнениях члены турбулентного переноса (напряжения Рейнольдса) определяются в соответствии с принятыми гипотезами турбулентного замыкания, например градиентными, позволяющими связать напряжения Рейнольдса с градиентами средней скорости (или любой другой скалярной переносимой субстанции [11]). Наиболее широко используемыми при моделировании турбулентных процессов во внутренних водоемах являются одномерные (по вертикали) модели, что связано с их вычислительной простотой. К таким моделям можно отнести и так называемые k [12, 13] и k-ε [14, 15] схемы, в которых рассматриваются эволюционные уравнения для кинетической энергии турбулентных флуктуаций ($k = \frac{1}{2}\left\langle {u_{i}^{'}u_{i}^{'}} \right\rangle $, где $u_{i}^{'}$ – турбулентные флуктуации i-той компоненты скорости), либо используется дополнительное уравнение для скорости ее (плотности кинетической энергии) диссипации (ε). Отметим, что введение дополнительного уравнения для ε связано с тем, что в k модели с единственным уравнением для кинетической энергии турбулентных флуктуаций (см., например, [16]) в выражения для коэффициентов турбулентной вязкости ${{K}_{m}}$, турбулентной теплопроводности ${{K}_{h}}$, а также скорости диссипации $\varepsilon $ входит неизвестная величина – внешний линейный масштаб турбулентности L. Так, согласно гипотезе Колмогорова–Прандтля [12], ${{K}_{h}} = {{c}_{\mu }}\sqrt k L,~$ $~\varepsilon = \frac{{C{{k}^{{3/2}}}}}{L}{\text{\;}},$ при этом определение L в случае сложных течений затруднительно. Решение уравнений в k-ε модели при больших числах Рейнольдса в условиях локальной изотропной турбулентности позволяет определить распределение линейных масштабов турбулентности $L = \frac{{{{k}^{{\frac{3}{2}}}}}}{\varepsilon }.$ Важно отметить, что при расчете переноса тепла в рамках стандартной k-ε модели полагается, что турбулентное число Прандтля, $~$связывающее коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии $\left( {{{{\Pr }}_{T}} = {{{{K}_{m}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{K}_{m}}} {{{K}_{h}}}}} \right. \kern-0em} {{{K}_{h}}}}} \right),$ постоянно.

Применимость k-ε схемы может быть расширена с использованием дополнительных алгебраических соотношений, учитывающих, например, действие сил плавучести, анизотропию турбулентности и т.д. В последнее время появились и более сложные модели, позволяющие учесть, например, разницу в эволюции различных компонент напряжений Рейнольдса (например, [17]). Это, в свою очередь, требует перехода к более сложным схемам замыкания турбулентных напряжений Рейнольдса более высокого порядка. Однако получаемые при этом уравнения позволяют учесть и проанализировать ряд интересных особенностей, возникающих в турбулентных течениях при наличии сил плавучести, горизонтальных движений во внутренних водоемах, анизотропии и т.д.

Особенностью мелкомасштабной турбулентности в океанах, морях и внутренних водоемах является то, что она, как правило, находится под действием двух факторов – плотностной стратификации и сдвига скорости, что необходимо учитывать при построении ее статистической теории. Как показано в [18] учет расслоения плотности, зависящей только, например, от температуры, приводит к появлению в уравнениях энергетического баланса так называемого динамического (или потокового) числа Ричардсона ${\text{R}}{{{\text{i}}}_{f}} = - g\frac{{\left\langle {\rho {\kern 1pt} 'u_{i}^{'}} \right\rangle }}{{\left\langle {u_{i}^{'}u_{j}^{'}} \right\rangle {{V}_{{0z}}}}},$ (здесь $\left\langle {\rho {\kern 1pt} 'u_{i}^{'}} \right\rangle $ – поток массы, $\left\langle {u_{i}^{'}u_{j}^{'}} \right\rangle $ – поток импульса, ${{V}_{{0z}}}$ – сдвиг скорости), характеризующего роль сил Архимеда и осредненного сдвигового движения в балансе турбулентной энергии. В частности, в [18] показано, что незатухающая турбулентность возможна лишь при ${\text{R}}{{{\text{i}}}_{f}} < {\text{R}}{{{\text{i}}}_{f}}_{{{\text{кр}}}} < 1$ или, с учетом определения коэффициентов турбулентной вязкости и турбулентной диффузии, условие существования незатухающей турбулентности сводится к ${\text{Ri}} < {\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}$, где $~{\text{Ri}} = \frac{{{{N}^{2}}}}{{V_{{0z}}^{2}}},$ ($N$ – частота Брента–Вяйсяля) – градиентное число Ричардсона. Однако есть некоторые основания полагать, что число Прандтля $~{\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}$ не остается постоянным, и при изменении градиентного числа Ричардсона Ri может быть настолько велико, что динамическое число Ричардсона ${\text{R}}{{{\text{i}}}_{f}}$ остается меньше критического значения, и турбулентность существует [18]. В частности, экспериментальные измерения в атмосфере, верхнем слое океана и в лаборатории [18–21] показывают, что даже при сильно устойчивой стратификации число Прандтля может принимать большие значения, т.е. коэффициент турбулентной диффузии тепла оказывается значительно меньше, чем коэффициент турбулентной вязкости, а, следовательно, турбулентность может существовать и при больших значениях градиентного числах Ричардсона. Из сказанного выше следует, что вопрос о зависимости ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$ представляется важным для изучения возможности поддержания турбулентности слабыми сдвигами в стратифицированной жидкости, характерными и для океана, и для внутренних водоемов.

Существует достаточное количество работ, в которых исследуются особенности полуэмпирических моделей турбулентного замыкания [11–14] для стратифицированных сдвиговых течений, и в частности, вопрос о существовании турбулентности при больших числах Ричардсона. Предложены многочисленные эмпирические зависимости $~{\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$ (например, [22–25]), характеризующие, в основном, асимптотическое поведение зависимости ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$, но не позволяющие с достаточной точностью установить форму зависимости при промежуточных значениях ${\text{\;Ri}}$, характеризующих переход от слабых к сильным турбулентным стратифицированным сдвиговым течениям жидкости.

В настоящей работе мы предлагаем параметризацию числа Прандтля, полученную на основе модифицированной теории турбулентного замыкания в стратифицированных сдвиговых потоках, разработанной одним из авторов в 1987 году¹¹ [28]. Процедура получения соответствующих уравнений для средних аналогична той, которая используется в кинетической теории газов [29, 30], при этом решается уравнение для одноточечной функции распределения f – так называемое кинетическое уравнение, и по известной функции распределения вычисляются напряжения Рейнольдса. Предложенный подход позволил учесть некоторые важные, но обычно пренебрегаемые эффекты, например, зависимость вертикальной анизотропии турбулентности от стратификации, неградиентную поправку к традиционному выражению турбулентного потока массы, обратный переход из потенциальной энергии турбулентных флуктуаций в кинетическую, что приводит к устранению ограничений на существование турбулентности при больших числах Ричардсона.

Полученную зависимость числа Прандтля мы рассматриваем в рамках численного моделирования термогидродинамического режима внутренних водоемов с применением трехмерной термогидростатической модели [31, 32], ранее верифицированной в работе [33], где также приведено сравнение с более широко известной одномерной (по вертикали) моделью LAKE, используя модификацию k-ε схемы, позволяющую учесть особенности турбулентного перемешивания в стратифицированных водоемах. Показано, что аналогичная параметризация числа Прандтля может быть получена и в рамках модифицированной k-ε схемы, учитывающей взаимную трансформацию кинетической и потенциальной энергии турбулентности.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА В СТРАТИФИЦИРОВАННОМ СДВИГОВОМ ПОТОКЕ

Кратко остановимся на основных результатах модели [28]. Основная проблема, возникающая при вычислении средних значений гидродинамических величин, связана с адекватной аппроксимацией так называемого “интеграла столкновений” (слагаемые, связанные с пульсациями давления и пульсационными компонентами вязких сил). Как показано в [28], для получения общих выражений турбулентных потоков импульса, плотности, энергии и других гидродинамических величин удается решить уравнение для одноточечной функции распределения f при ряде предположений. После нахождения функции распределения вычисляются напряжения Рейнольдса по формулам теории вероятностей. При этом для турбулентных потоков импульса $\left\langle {u_{i}^{'}u_{j}^{'}} \right\rangle $ и массы $\left\langle {\rho {\kern 1pt} 'u_{i}^{'}} \right\rangle $, а также потоков кинетической энергии $\left\langle {\sum\nolimits_{j = 1}^3 {u_{i}^{{'{\kern 1pt} 2}}u_{j}^{'}} } \right\rangle $ и дисперсии флуктуаций плотности $\left\langle {\sum\nolimits_{j = 1}^3 {{{\rho }^{{'{\kern 1pt} 2}}}u_{j}^{'}} } \right\rangle $ были получены следующие выражения:

Здесь $L$ – характерный внешний масштаб турбулентности, $V$– характерный масштаб скорости, $\vec {g}$ – ускорение свободного падения, ${{\beta }_{i}}$ – компоненты вектора $\overrightarrow {\beta ,} $ характеризующего пульсации давления в стратифицированной жидкости (см. далее).

Заметим, что в выражение для потока массы (2) входит дополнительное слагаемое $~{{g}_{i}}\frac{{\left\langle {{{\rho }^{{'2}}}} \right\rangle }}{{{{V}^{2}}{{\rho }_{0}}}} - \frac{{g{{\beta }_{i}}}}{{{{V}^{2}}{{\rho }_{0}}}}$, что приводит к ряду существенных отличий от результатов, полученных в рамках обычных градиентных моделей [34]. Для статистически однородного поля флуктуаций плотности компоненты вектора $\overrightarrow {~\beta } $ имеют вид ${{\beta }_{x}} = {{\beta }_{y}} = 0,$ $~{{\beta }_{z}} = \left\langle {{{\rho }^{{'2}}}} \right\rangle R,~$ где $R$– параметр анизотропии:

где ${{L}_{z}},{{L}_{r}}$ вертикальный и горизонтальный масштабы корреляции поля плотности соответственно.

Приведенные выше выражения позволяют получить замкнутую модель турбулентного течения в стратифицированной жидкости в виде уравнений для средних: скорости $\left\langle {\vec {u}} \right\rangle $, плотности $\left\langle \rho \right\rangle $, а также кинетической энергии турбулентности $k$ и дисперсии пульсаций плотности $\left\langle {{{\rho }^{{'2}}}} \right\rangle $:

Заметим, что в уравнениях (4.3) и (4.4) приняты колмогоровские гипотезы для учета диссипативных и диффузионных процессов. При этом скорость диссипации энергии турбулентности $\varepsilon $ и турбулентной диффузии ${{\varepsilon }_{D}}$ определяются выражениями $\varepsilon = \frac{{C{{k}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}{L}$ и ${{\varepsilon }_{D}} = \frac{{D{{k}^{{1/2}}}}}{L}\left\langle {{{\rho }^{{'2}}}} \right\rangle $, где $C\sim D = 0.09$ – эмпирические константы.

На основе предложенной модели были рассмотрены некоторые примеры взаимодействия турбулентности со сдвиговыми течениями в стратифицированной жидкости и, в частности, в [28] исследована эволюция однородной турбулентности в поле течения с постоянным сдвигом скорости. Остановимся на последней задаче подробнее, поскольку в рамках этой постановки удается проанализировать влияние взаимной трансформации кинетической и потенциальной энергий в эволюцию турбулентности при больших числах Ричардсона, а также рассчитать зависимость турбулентного числа Прандтля от числа Ричардсона.

Кратко остановимся на результатах работы [28]. Система (4) при указанных предположениях сводится к двум уравнениям для кинетической k и потенциальной $\Pi = \frac{{\left\langle {{{\rho }^{{'2}}}} \right\rangle {{g}^{2}}}}{{2{{N}^{2}}\rho _{0}^{2}}}$ энергий турбулентности и имеет вид:

Прежде всего, анализ системы (5) показал, что в системе имеются стационарные значения кинетической и потенциальной энергий:

которые устанавливаются за время ${{t}_{1}}\sim {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{V}_{{0z}}}}}} \right. \kern-0em} {{{V}_{{0z}}}}}\sqrt {C~} $ (см. рис. 1), где $f\left( {{\text{Ri}}} \right) = 1 - \left( {4 - 3R~} \right){\text{Ri}}$ + + ${{\left( {1 - {\text{Ri}}{{{\left( {4 - 3R} \right)}}^{2}} + 12\left( {1 - R} \right){\text{Ri}}} \right)}^{{1/2}}}$ – функция числа Ричардсона.

Из системы (5) ясно, что градиентное слагаемое $\left( { - {{N}^{2}}L\sqrt k } \right)$ в выражении для потока плавучести описывает переход энергии из кинетической в потенциальную (устойчивая стратификация гасит турбулентность). Дополнительное слагаемое $~\left( {\frac{{3{\text{П}}{{N}^{2}}L\left( {1 - R} \right)}}{{\sqrt k }}} \right)\sim ~\left\langle {{{\rho }^{{'2}}}} \right\rangle ,$ связанное с неградиентной добавкой в потоке массы, имеет противоположный градиентному знак и описывает обратный переход энергии из потенциальной в кинетическую за счет работы силы плавучести. При этом, если число Ричардсона велико (${\text{Ri}}~\,\, \gg 1)$ (см. рис. 1), то за достаточно короткое время $t{{~}_{2}}\,\,\sim \left( {\frac{{\sqrt k }}{{{{N}^{2}}L}}} \right) \ll {{t}_{1}};$ $~\left( {\frac{{t{{~}_{2}}}}{{{{t}_{1}}}} = {\text{R}}{{{\text{i}}}^{{ - 1}}}} \right)$ происходит уравновешивание доли энергии турбулентных флуктуаций, переходящей из кинетической в потенциальную и наоборот за счет работы силы плавучести. Это означает, что при больших числах Ричардсона достаточно быстро устанавливается определенное соотношение между кинетической и потенциальной энергиями турбулентности $~k = {\text{3П}}\left( {1 - ~R} \right)$; при этом дальнейшая эволюция турбулентности не зависит от числа Ричардсона [см. 28].

Приведенные выше результаты позволяют вычислить турбулентное число Прандтля в стационарном состоянии. По определению:

При этом из системы (6) получаем возрастающую зависимость числа Прандтля от числа Ричардсона:

Важно подчеркнуть некую универсальность зависимости ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$, которая определяется величиной $~\frac{{{\text{3П}}}}{k}\left( {1 - R} \right)$, связанной с переходом части потенциальной энергии в кинетическую, причем при ${\text{Ri}}~\,\, \gg 1$:

Отметим, что выражения (7–8) сохраняют свой вид и в рамках k-ε модели, когда для коэффициента вихревой вязкости используется выражение ${{K}_{m}} = {{c}_{\mu }}\sqrt k L,~$ и, соответственно, для масштаба турбулентности $L = C\frac{{{{k}^{{\frac{3}{2}}}}}}{\varepsilon }.$ Если при этом воспользоваться традиционной аппроксимацией скорости диффузии турбулентных пульсаций скалярной величины (см., например, [16]), то для скорости диссипации потенциальной энергии турбулентных флуктуаций можно воспользоваться выражением ${{\varepsilon }_{{\text{П}}}} = {{R}_{1}}\varepsilon \frac{{\text{П}}}{k}$ при R₁ = 1 (что означает равенство временных масштабов пульсаций скорости и скалярной величины). Тогда выражения (6) преобразуются к виду:

Поскольку полученная выше (см. (7–8)) параметризация числа Прандтля зависит только от отношения П/k, из (*.2) следует ее справедливость и для расширенной k-ε модели.

Таким образом, из (7–8) ясно, что условие поддержания турбулентности в стратифицированной жидкости $~{\text{Ri}} \ll {\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}$ выполняется при любом ${\text{Ri}}$, т.е. порога генерации по числу Ричардсона нет. Отметим, что асимптотическая зависимость (7–8) согласуется с результатами в работах ([27, 35]), где представлены параметризации с неограниченным ростом Прандтля. Сопоставление с моделью EFB группы С.С. Зилитинкевича представлено на рис. 2.

В следующем разделе будет продемонстрирован результат использования полученной параметризации турбулентного числа Прандтля (7) в идеализированных расчетах термогидродинамики внутренних водоемов.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЛОЖЕННОЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В МОДЕЛИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО РЕЖИМА ИДЕАЛИЗИРОВАННОГО ВНУТРЕННЕГО ВОДОЕМА

Для оценки влияния параметризации турбулентного числа Прандтля на процессы перемешивания во внутренних водоемах в настоящей работе использовалась трехмерная гидростатическая RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) модель, разрабатываемая в НИВЦ МГУ на основе единого гидродинамического кода, объединяющего как RANS, так и DNS- (Direct Numerical Simulation), LES- (Large-Eddy Simulation) подходы для расчета геофизических турбулентных течений при высоком пространственном и временном разрешении (см., например, [31–33]).

Численная модель включает уравнения гидродинамики в стратифицированном турбулентном вращающемся слое жидкости в приближении мелкой воды, а также уравнение для переноса тепла с учетом горизонтальной и вертикальной диффузии:

Здесь ${\mathbf{u}} = \left( {u,v,w} \right)$ – вектор скорости, $\eta $ – отклонение свободной поверхности от равновесного состояния, f – параметр Кориолиса, T – температура, ρ – плотность; ${{K}_{m}}~$(λ_m) и ${{K}_{h}}$ (λ_h) – коэффициенты вертикальной (горизонтальной) турбулентной вязкости и температуропроводности соответственно; ν, χ' – коэффициенты молекулярной вязкости и температуропроводности, z – вертикальная координата, проходящая от дна водоема z = –H(x, y) до поверхности, а t – время. Также здесь $A\left( q \right)$ – оператор адвекции:

а ${{D}_{H}}\left( {q,~{\lambda }} \right)$ и ${{D}_{z}}\left( {q,~K} \right)$ – операторы горизонтальной и вертикальной диффузии с коэффициентами ${\lambda }$ и К соответственно:

Для описания процессов вертикального турбулентного перемешивания (расчета коэффициентов ${{K}_{m}}$ и ${{K}_{h}}$) используется двухпараметрическая, так называемая стандартная k-ε модель (см., например, [22]), в которой используются прогностические уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации:

Здесь слагаемое $P$ соответствует генерации энергии турбулентности за счет сдвига скорости, а B описывает генерацию или потребление энергии за счет действия сил плавучести, ${{{\delta }}_{k}},{\text{\;\;}}{{{\delta }}_{{\varepsilon }}}$ – турбулентные числа Шмидта для ТКЭ и скорости диссипации, соответственно, а ${{C}_{{1{\varepsilon }}}}$, ${{C}_{{2{\varepsilon }}}}$, ${{C}_{{3{\varepsilon }}}}$ – эмпирические константы, ${{C}_{{\varepsilon }}}$ и ${{C}_{{{\varepsilon },T}}}$ – функции устойчивости для импульса и скалярных величин, полагаемые в стандартной k-ε модели постоянными.

Заметим, что для однородного и стационарного турбулентного потока с учетом выражений для источников энергии турбулентности P и G из (10.2) следует выражение:

Учитывая формулы (**.1) для ε²/k² и (**.2) для П/k, выражающие эти величины через число Ричардсона Ri, получим, что константы k-ε модели не являются независмыми, а связаны соотношением, зависящим от Ri:

В частности, учитывая асимптотику функции f(Ri) при Ri → ∞, получим соотношение между константами вида:

Эта особенность учитывалась при выборе констант k-ε-модели, использованной при проведении расчетов.

Что касается численных методов, используемых при расчетах, то для дискретизации системы уравнений по пространству применяются консервативные конечно-разностные схемы второго порядка точности, а для интегрирования по времени – полунеявная аппроксимация [20].

Для оценки влияния параметризации турбулентного числа Прандтля на описание процессов турбулентного перемешивания в этой модели нами были проведены численные эксперименты двух типов. В обоих случаях рассматривались идеализированные водные объекты с прямоугольным сечением и параметрами, характерными для реальных озер и водохранилищ: глубина 10 м, температура поверхности 20°C с начальным градиентом ${{\partial T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial T} {\partial {\text{z}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {\text{z}}}} = 1.5$°C/м, частота Брента–Вяйсяля (частота плавучести): $N = 4 \times {{10}^{{ - 2}}}$ c^–1. В рамках первого эксперимента было проведено сопоставление расчетов по стандартной k-ε схеме, в которой полагалось постоянное значение числа Прандтля ${{\Pr }_{{{{T}_{0}}}}} = 1.25.$ Такое значение согласуется с оценками ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{{{{T}_{0}}}}}$ при ${\text{Ri}} \approx 0$ по данным лабораторных исследований и прямого численного моделирования [36, 37] и, как правило, используется в расчетах циркуляции во внутренних водоемах с нейтральной (или близкой к ней) стратификацией (см., например, [38]). Во второй серии численных экспериментов проводилось сопоставление расчетов при использовании модернизированной k-ε модели со стандартной при значении числа Прандтля ${{\Pr }_{{{{T}_{0}}}}} = 1$, что согласно приведенной выше параметризации (7) соответствует случаю ${\text{Ri}} \to 0$. Также рассматривалось влияние величины потока импульса на поверхности и сил вращения на процессы перемешивания в обоих замыканиях. В первом эксперименте ветровой форсинг полагался одномерным: компоненты скорости трения: $u* = 0.00316~$ м/с, $v* = 0{\text{\;}}$ м/с, значение параметра анизотропии R в формуле ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$ равно 0.5. Во втором – форсинг был увеличен: $u* = v* = 0.00316$ м/с, рассматривались значения параметра R равные 0.2 и 0.7.

Ниже представлены результаты расчета основных характеристик термогидродинамического режима перемешивания идеализированного внутреннего водоема: вертикальное распределение температуры и кинетической энергии в первом эксперименте (рис. 3), эти же характеристики, а также их градиенты (рис. 4 и 5) во втором эксперименте, а также профили изменения числа Ричардсона в процессе перемешивания (рис. 6).

Результаты расчетов c параметризацией показывают чувствительность основных характеристик перемешивания: вертикального распределения температуры, профиля коэффициента теплопроводности к параметризации ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$. В процессе численного эксперимента число Ричардсона Ri меняется значительно в диапазоне от ~0.001 до ~100, достигая уже на глубине около 2.5–3 м значения 10. При этом кинетическая энергия плавно меняется по всей глубине области перемешивания. Важно подчеркнуть, что учет параметризации приводит к сглаживанию всех резких изменений в вертикальных распределениях турбулентной кинетической энергии, температуры и толщины слоя скачка. Полученные результаты связаны с особенностями данной параметризации, из которой следует существование турбулентности при значениях ${\text{Ri}} \gg 1$.

Изменение входных данных при расчете (значение форсинга, параметра анизотропии) также влияют на характерные параметры перемешивания. Но эти изменения ожидаемы и не носят принципиального характера (меняется время формирования, глубина и толщина скачка температуры) для данной модели. Изменение значений скорости трения в основном влияет на время формирования перемешанного слоя (в, частности, процессы перемешивания происходят быстрее при увеличении u*, см. также расчеты в работе [20]).

Следует отметить, что чувствительность модели к используемой параметризации ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$ (особенно в области больших градиентов) представляется важной в задачах воспроизведения концентраций биохимический примесей во внутренних водоемах и описания газообмена с атмосферой (см. [39]). В настоящей работе мы ограничились рассмотрением термически стратифицированный среды в отсутствии примесей, однако в моделях внутренних водоемов, включающих перенос биохимических составляющих, турбулентные числа Шмидта, описывающие подобие между процессами турбулентной диффузии скаляра и турбулентным переносом импульса, как правило, полагаются равными турбулентному числу Прандтля (см., например, [40]). Таким образом, можно ожидать, что использование параметризации ${\text{P}}{{{\text{r}}}_{T}}\left( {{\text{Ri}}} \right)$ может влиять на перенос биохимических примесей в небольших внутренних водоемах, в частности, через термоклин. В свою очередь, данные измерений [41] показывают, что сезонные изменения в коэффициенте экстинкции проникающей коротковолновой радиации для водоемов в северных широтах напрямую связаны с вертикальным распределением концентраций органических веществ, влияющих на оптическую проницаемость среды. Результаты численного моделирования при воспроизведении сезонной изменчивости и, в частности, времени формирования ледяного покрова [41], сильно чувствительны к параметризациям данных процессов и потому требуют детального изучения с помощью полных моделей, включающих описание радиационных процессов и переноса биохимических примесей.

ВЫВОДЫ

В настоящей работе предложена параметризация турбулентного числа Прандтля, полученная на основе модели турбулентного замыкания [28], учитывающей двустороннюю трансформацию кинетической и потенциальной энергий турбулентных пульсаций. Характерной особенностью предложенной параметризации является входящее в нее отношение потенциальной энергии турбулентных флуктуаций П к кинетической k, которое, в свою очередь, определяет неградиентную добавку в выражении для среднего потока массы. Полученная параметризация находится в хорошем качественном соответствии со сравнительно недавно полученной моделью С.С. Зилитинкевича с соавторами [26, 27]. Параметризация внедрена в формулу коэффициента турбулентной теплопроводности k-ε модели с целью корректного учета устойчивой стратификации при расчете термогидродинамического режима внутренних водоемов.

Результаты расчетов позволяют сделать вывод о том, что описание вертикального перемешивания во внутренних водоемах даже в идеализированной постановке чувствительно к параметризации турбулентного числа Прандтля. Важно подчеркнуть, что учет параметризации приводит к сглаживанию всех резких изменений в вертикальных распределениях турбулентной кинетической энергии, температуры и толщины слоя скачка. Это связано с особенностями данной параметризации, справедливой в широком диапазоне изменения чисел Ричардсона (в частности, и при больших значениях ${\text{Ri}} \gg 1$), в то время как расчеты по стандартной модели с постоянным значением числа Прандтля предполагают наличие критического значения динамического (потокового) числа Ричардсона, в окрестности которого теряют смысл ряд гипотез полуэмпирической теории турбулентности [18].

Полученный результат свидетельствует о целесообразности проведения дополнительных лабораторных и натурных измерений соответствующих коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии с целью выбора обоснованных параметризаций турбулентного числа Прандтля при расчете сезонной и межгодовой динамики стратифицированных внутренних водоемов.

Работа выполнена в рамках проектов РФФИ 18-05-00292, 18-05-60299 и 20-05-00776, а также в рамках грантов Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МК-1867.2020.5 и МД-1850.2020.5.