Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2022, T. 58, № 1, стр. 22-26

ВВЕДЕНИЕ

Стратифицированные по плотности геофизические среды, прежде всего, атмосфера, представляют собой неравновесные системы, которые могут находиться в состоянии покоя только когда градиенты плотности параллельны (антипараллельны) направлению силы тяжести. Статическое состояние невозможно, например, при горизонтально-неоднородном нагреве (охлаждении), с чем связаны многие классы течений в таких средах. В настоящей заметке обращается внимание на то, что горизонтальные плотностные неоднородности в стратифицированной среде могут возникать и без неоднородных источников (стоков) плавучести. Они могут быть обусловлены горизонтальными неоднородностями эффективных коэффициентов переноса. Сильная вертикальная изменчивость интенсивности турбулентного обмена в атмосфере общеизвестна и не требует комментариев, но для рассматриваемых ниже эффектов существенны, прежде всего, горизонтальные вариации коэффициентов переноса.

Можно указать ряд факторов, вследствие которых эффективные коэффициенты турбулентного обмена могут заметно меняться по горизонтали. Простейший пример – случай наклонной подстилающей поверхности, когда турбулентный обмен существенно зависит от нормальной к поверхности координаты, т.е. меняется не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении. Неоднородная по горизонтали турбулентность может быть также связана, например, со струйными течениями, проявлениями внутренних гравитационных волн, с высокой неоднородной растительностью или застройкой [1], с интенсивным движением на автостраде. Еще один пример относится к искусственному перемешиванию приземного слоя воздуха (динамические методы борьбы с заморозками – искусственное перемешивание воздуха на защищаемых территориях с помощью мощных вентиляторов или вертолетов). В последнее время активно изучается модификация пограничного слоя атмосферы большими массивами ветроэнергетических установок [2].

Физический механизм течений, о которых идет речь, пояснен на рис. 1, где затушевана область, в которой коэффициенты обмена отличаются от “фона”. Неоднородности этих коэффициентов в стратифицированной среде, очевидно, приводят к возникновению горизонтальных неоднородностей в распределениях плавучести, давления и, следовательно, к возникновению горизонтальных течений.

2. Склоновые течения, обусловленные неоднородностью коэффициентов обмена. В качестве простейшего примера рассмотрим стратифицированную среду, ограниченную снизу твердой наклонной поверхностью. Если поверхность, например, холоднее среды, то охлажденный у поверхности более плотный слой среды стекает по склону под собственной тяжестью. Подобные склоновые течения весьма распространены в атмосфере и интенсивно изучаются (см., например, [3–10] и библиографию в этих источниках). Геометрия задачи схематически изображена на рис. 2, где пунктирные линии изображают вертикальные профили потенциальной температуры $\Theta $, возрастание которой с высотой $z$ соответствует устойчивой стратификации среды. Потенциальная температура, с точностью до постоянного отсчетного значения, может быть представлена в виде

Здесь $n$ – координата, нормальная к наклонной границе, $\gamma > 0$ – фоновый вертикальный градиент потенциальной температуры (предполагается постоянным), $\theta $ – отклонение температуры от фона, вызванное влиянием нижней границы.

В сороковые годы была предложена одномерная стационарная модель Прандтля [3–5, 9], которая, будучи весьма прозрачной, и в настоящее время нередко рассматривается как базовая при описании геофизических склоновых течений:

Здесь $u$ – искомая скорость склонового течения, φ – угол склона к горизонту; $\alpha $ – термический коэффициент расширения среды, $g$ – ускорение свободного падения. Коэффициент турбулентного обмена $K$ для простоты предполагаем одинаковым для всех субстанций (обобщение на случай различия значений коэффициентов вязкости и температуропроводности не представляет трудности). Используется приближение Буссинеска.

На наклонной границе $n = 0$, задается отклонение потенциальной температуры ${{\theta }_{0}}$ (отрицательное, если склон охлаждается) и условие прилипания:

Вдали от поверхности ($n \to \infty $) предполагается затухание возмущений. Система уравнений (2) однородна, и в случае однородности краевых условий (${{\theta }_{0}} = 0$) задача, очевидно, имеет нулевое статическое решение.

Модель Прандтля предполагает постоянство коэффициентов обмена. Но эффективные коэффициенты турбулентного обмена в атмосфере существенно зависят от нормальной к поверхности координаты $n$ (обычно уменьшаются при $n \to 0$). Поэтому многие работы претендуют на соответствующие обобщения этой модели (см., например, [4–7, 9]). Обычно рассматривают обобщенную систему уравнений

Эта система с переменными коэффициентами значительно сложнее для анализа, чем (2). В литературе имеется большой опыт численных и приближенных аналитических решений системы (4) (библиографию можно найти, например, в [5, 9]).

Система (4) однородна, как и (2), и также имеет нулевое статическое решение. Термин “статическое решение” в данном контексте подразумевает отсутствие регулярных течений в плоскости $\left( {x,\,z} \right)$. Но при этом возможно фоновое горизонтальное течение вдоль другой горизонтальной оси $y$ (в направлении, поперечном склону). Более того, наличие такого фонового течения необходимо для корректной постановки физической задачи, так как обмен предполагается турбулентным, а при полном отсутствии регулярных течений источник турбулентности отсутствует.

Но возможность упомянутого статического решения противоречит простым физическим соображениям, приведенным ниже.

В статическом состоянии из непрерывности диффузионного потока тепла следует постоянство (независимость от высоты) произведения коэффициента обмена и градиента потенциальной температуры. При $n \to 0$ коэффициент обмена убывает, следовательно, вертикальный градиент в статическом состоянии должен увеличиваться. Это схематически показано на рис. 2.

Если сравнить вес столбов среды на вертикалях 3 и 4, то на одной и той же горизонтальной поверхности 5 этот вес будет различаться: вертикаль 4 включает более холодный (более плотный) участок около наклонной границы. Таким образом, гидростатическое давление на упомянутой горизонтали 5 не будет однородным – в рассматриваемом случае оно уменьшается влево от вертикали 4. Уже из этих качественных соображений видно, что зависимость $K$ и вертикального градиента потенциальной температуры от $n$ приводит к наличию в среде горизонтального градиента температуры и давления и, следовательно, к наличию горизонтальной составляющей силы градиента давления и возникновению склонового течения. Иными словами, статического решения в стратифицированной среде над наклонной поверхностью не существует, так как вес столбов по вертикалях 3 и 4 всегда будет разным; этот факт не зависит от заданной температуры наклонной поверхности. Таким образом, в обычно рассматриваемой системе уравнений (4) теряется фундаментальный факт отсутствия статического решения.

Ошибка в использовании системы (4), насколько мы понимаем, заключается в следующем. В действительности, во второе уравнение (4) должна входить потенциальная температура $\Theta = \gamma z + \theta \left( n \right)$, а не только ее отклонение $\theta \left( n \right)$. Долгое время на это не обращалось внимания, поскольку при $K = {\text{const}}$ указанная ошибка не сказывается на результате, так что модель Прандтля дает правильный результат. Отметим, что в [6] первоначально было рассмотрено правильное уравнение с правой частью

Но затем автор высказал мнение, что слагаемое $\gamma \cos \varphi $ в круглых скобках относительно мало и пренебрег им. Во многих последующих работах это слагаемое не рассматривается без каких-либо комментариев.

Связанная с этим количественная ошибка во многих случаях действительно бывает относительно небольшой, поскольку в приземном слое обычно $\gamma \ll {{d\theta } \mathord{\left/ {\vphantom {{d\theta } {dz}}} \right. \kern-0em} {dz}}$. Но при малых отклонениях температуры поверхности возникает не только заметная количественная, но и качественная ошибка: теряется факт отсутствия статического состояния. При $K = K\left( n \right)$ второе уравнение (4) после исправления, о котором идет речь, становится неоднородным:

Поэтому статическое решение $\theta = 0,\,\,u = 0$ становится невозможным, и снимается противоречие с приведенными выше физическими соображениями.

В правой части (6) появился неучтенный ранее эффективный источник/сток тепла. Оценим его интенсивность. Полное эффективное “тепловыделение” на единицу площади наклонной поверхности между уровнями ${{n}_{1}}$ и ${{n}_{2}}\,\,\,({{n}_{2}} > {{n}_{1}})$, очевидно,

где ${{c}_{p}}$ – теплоемкость, $\bar {\rho }$ – средняя плотность среды соответственно. Если ${{c}_{p}} = {{10}^{3}}\,$ Дж/(кгК), $\,\bar {\rho } = 1\,$ кг/м³, $\gamma = 3 \times {{10}^{{ - 3}}}$ К/м, $K\left( {{{n}_{2}}} \right) - K\left( {{{n}_{1}}} \right)$ = = 5 м²/с, $\cos \varphi \approx 1$, то выражение (7) дает эффективный источник тепла около 15 Вт/м². Такой источник может вносить заметный вклад в баланс тепла при относительно слабых катабатических ветрах [10].

3. Пример численного решения. В качестве конкретного примера рассмотрим решение для модельного профиля турбулентного обмена, рассмотренного в книге [4] (стр. 268–269) – “соотношение Дородницына”:

Примем значения параметров, близкие к [4]: $\varphi = 3 \times {{10}^{{ - 2}}},$ $\gamma = 3 \times {{10}^{{ - 3}}}$ К/м, ${{K}_{1}} = 5$ м²/с, K₀ = = 10^–2 м²/с, $\alpha = 3.4 \times {{10}^{{ - 3}}}\,\,{{{\text{K}}}^{{ - 1}}}$, ${{h}_{ * }} = 50$ м. Соотношение (8) описывает монотонное возрастание коэффициента турбулентного обмена от малого значения ${{K}_{0}}$ вблизи нижней границы до характерного для пограничного слоя атмосферы значения ${{K}_{1}}$ на вертикальных масштабах порядка толщины приземного слоя ${{h}_{ * }}$. На наклонной нижней границе предполагаем однородные краевые условия: $\theta = 0,\,\,u = 0$. На рис. 3 представлены результаты численного решения системы, состоящей из первого уравнения (4) и уравнения (6). Обычно рассматриваемая система (4) приводит в этом случае к тождественно нулевому решению (не согласующемуся с приведенными выше физическими соображениями); при настоящей уточненной постановке задачи возникает течение, хотя и довольно слабое. Отметим, что при уменьшении угла наклона φ течение может существенно усиливаться и возрастает толщина охваченного им слоя, но при этом возрастает и время выхода на стационарный режим.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе обращается внимание на то, что течения в стратифицированной среде могут возникать в отсутствие источников плавучести и количества движения – вследствие перераспределения диффундирующего через среду тепла из-за пространственной неоднородности коэффициентов переноса. Например, наличие области пониженной интенсивности турбулентного обмена вблизи твердой поверхности (и, следовательно, области пониженной теплопроводности) может приводить к накоплению тепла, приходящего за счет диффузии или (в зависимости от краевых условий), наоборот, к замедлению диффузионного “прогрева”. Если упомянутая область горизонтально-неоднородна, то указанные термические эффекты приводят к появлению горизонтальных градиентов давления и возникновению плотностных течений. Это означает, в частности, возникновение упорядоченного течения в турбулентной стратифицированной среде у наклонной поверхности.

Горизонтальная неоднородность коэффициентов переноса приводит к отсутствию статических состояний в стратифицированной среде над наклонной поверхностью – склоновое течение возникает при любых краевых условиях на этой поверхности. В литературе по склоновым течениям эта качественная особенность задачи долгое время оставалась незамеченной, тем более, что количественные поправки к расчетным течениям во многих случаях относительно малы.

Турбулентные склоновые течения – лишь простейший пример течений, обусловленных горизонтальными вариациями эффективных коэффициентов турбулентного обмена. Пусть, например, происходит интенсивное перемешивание устойчиво стратифицированного приземного слоя в некоторой области над горизонтальной подстилающей поверхностью (некоторые относящиеся сюда ситуации упомянуты во Введении). Отклонения температуры $\Delta T$, возникающие при таком перемешивании, могут быть порядка $\gamma h$, где $h$ – толщина перемешанного слоя; амплитуда отклонений гидростатического давления порядка $\alpha \bar {\rho }g\Delta Th$. Приравняв горизонтальную силу градиента давления турбулентной вязкости $\sim {\kern 1pt} {{Ku} \mathord{\left/ {\vphantom {{Ku} {{{h}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{h}^{2}}}}$, получаем оценку скорости горизонтального течения возникающего из-за пространственной неоднородности коэффициентов обмена: $u\sim {{\alpha g\gamma {{h}^{4}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha g\gamma {{h}^{4}}} {KL}}} \right. \kern-0em} {KL}}$, где $L$ – горизонтальный масштаб перемешанной области. Если, например, $K = 10\,\,{{{\text{м}}}^{{\text{2}}}}{\text{/c,}}$ $h = 20\,\,{\text{м,}}\,\,$ $L = {\text{50 м,}}$ $\gamma = 0.1$ К/м, то $u\sim 1$ м/с. Вероятно, эта ориентировочная оценка завышена, поскольку возникающие течения приводят к уменьшению градиентов температуры и давления. Но представляется, что полезно иметь в виду возможность и даже неизбежность возникновения течений такой неисследованной ранее природы.