Журнал физической химии, 2019, T. 93, № 8, стр. 1252-1258

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим бинарную порошковую смесь компонентов А и В с объемами ${{V}_{{\text{A}}}}$ и ${{V}_{{\text{B}}}}$, плотностями компонентов ${{\rho }_{{\text{A}}}}$ и ${{\rho }_{{\text{B}}}}$, радиусами частиц ${{r}_{{\text{A}}}}$ и ${{r}_{{\text{B}}}}$ соответственно. Смесь занимает объем V. В этом случае ее пористость определится следующим образом:

В специальном аппарате мощностью W происходит смешивание, а также возможное измельчение компонентов порошковой смеси. Дополнительно примем следующие допущения:

– МО порошковой смеси происходит в изотермических условиях,

– в период МО пористость смеси не изменяется.

Принятые допущения позволяют упростить математические выкладки и выделить основные факторы, влияющие на рассматриваемый процесс.

Структура механообрабатываемой бинарной смеси

Эволюция структуры бинарной порошковой смеси в зависимости от времени механической обработки схематично представлена на рис. 1. Как видно из рисунка, в исходном состоянии (а) поверхность раздела разнородных компонентов, определяемая количеством контактов типа АВ, незначительна (${{n}_{{{\text{AB}}}}} \approx 0$). Здесь степень гомогенизации пренебрежимо мала ($G\sim 0$). В процессе механической обработки происходит измельчение компонентов А и В, начинается их постепенное перемешивание (рис. 1б). В этот период МО число разнородных контактов возрастает ($0 < {{n}_{{{\text{AB}}}}} \ll {{n}_{{{\text{mAB}}}}}$), и наблюдается частичная гомогенизация смеси ($0 < G \ll 1$). С продлением механообработки порошковая смесь измельчается и окончательно гомогенизируется (рис. 1в). В этом случае количество разнородных контактов и степень ее гомогенизации близки к максимальным своим значениям: ${{n}_{{{\text{AB}}}}} \approx {{n}_{{{\text{mAB}}}}}$, $G \approx 1$. В конечном итоге, при идеальном перемешивании бинарная порошковая смесь будет представлять собой совокупность эквивалентных элементарных ячеек, вид которых, в зависимости от размерных параметров компонентов, изображен на рис. 2.

Рис. 1.

Схема структуры бинарной порошковой смеси в исходном состоянии (a), на начальном (б) и завершающем (в) этапах МО.

Рис. 2.

Схема элементарной ячейки в зависимости от структуры порошковой смеси при ее идеальном смешении: a – тип I , б –тип II(A), в – тип II(B).

Для частиц равных размеров (${{r}_{{\text{A}}}} \approx {{r}_{{\text{B}}}}$) в элементарной ячейке реализуется структура типа I (рис. 2a). Будем полагать, что тип I имеет место, когда размеры разнородных частиц соизмеримы, а их отношение находится в определенном диапазоне значений: ${{l}_{1}} \leqslant {{r}_{{\text{A}}}}{\text{/}}{{r}_{{\text{B}}}} \leqslant {{l}_{2}}$ (где ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$ – дополнительно задаваемые параметры, причем ${{l}_{1}} \leqslant 1,\;{{l}_{2}} \geqslant 1$). Если ${{r}_{{\text{A}}}} > {{r}_{{\text{B}}}}$ (или ${{r}_{{\text{A}}}}{\text{/}}{{r}_{{\text{B}}}} > {{l}_{2}}$), то в этом случае реализуется структура типа II(A). Здесь в центре ячейки находится крупная частица А, окруженная более мелкими частицами В (рис. 2б). Структура типа II(В) выполняется при ${{r}_{{\text{B}}}} > {{r}_{{\text{A}}}}$ (или ${{r}_{{\text{A}}}}{\text{/}}{{r}_{{\text{B}}}} < {{l}_{1}}$). В этом случае в центре ячейки будет расположена частица В, окруженная частицами А (рис. 2в).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Динамика степени гомогенизации бинарной порошковой смеси и размеров частиц компонентов в процессе МО представлена на рис. 3. Рассматриваются два случая смешения компонентов: без заметного измельчения (кривая 1) и в условиях измельчения порошковой смеси (кривые 2, 2', 2''). Можно констатировать, что с увеличением времени МО структура смеси становится более однородной, вследствие чего растет степень ее гомогенизации G (кривые 1 и 2). В это время может происходить дробление частиц компонентов А и В, сопровождающееся уменьшением их размера (кривые 2' и 2'' соответственно). Радиус частиц стремится к минимальному своему значению, которое соответствует пределу измельчения ${{r}_{m}}$. В приведенном примере частицы В измельчаются лучше, чем А. Как следует из рис. 3, скорость гомогенизации без измельчения частиц выше, чем при их измельчении. Данное обстоятельство можно объяснить тем, что дробление вещества приводит к необходимости затратить дополнительное время и энергию для перераспределения вновь образованных частиц среди компонентов порошкового состава.

Рис. 3.

Динамика степени гомогенизации без измельчения (1) и с учетом измельчения (2), а также размеров частиц компонентов А (2') и В (2'') в условиях МО бинарной порошковой смеси в энергонапряженной мельнице при ${{k}_{G}} = 2$ мин^–1, ${{r}_{{{\text{A}},0}}} = {{r}_{{{\text{B}},0}}}$, ${{k}_{{\text{A}}}} = 1$ мин^–1, ${{k}_{{\text{B}}}} = 3$ мин^–1.

Численное моделирование позволяет рассмотреть ситуацию, когда при определенных параметрах смеси и работы измельчительного устройства зависимость степени гомогенизации $G$ от времени механообработки может быть немонотонной. Подобный режим смешивания твердых порошков, в данном случае имеющий два локальных минимума, демонстрирует рис. 4. Как видно, после прохождения локальных минимумов, характеризующихся заметным снижением величины $G$, степень гомогенизации в процессе МО увеличивается до своего предела, соответствующего идеальному смешению компонентов (рис. 4а). Немонотонную зависимость степени гомогенизации $G(t)$ можно объяснить, анализируя динамику отношения размеров частиц ${{r}_{{\text{A}}}}{\text{/}}{{r}_{{\text{B}}}}$ в процессе МО (рис. 4б). На рисунке горизонтальными пунктирными линиями выделена область, соответствующая режимам МО, при которых структура идеально перемешенной смеси должна соответствовать типу I.

Рис. 4.

Динамика степени гомогенизации (а) и отношения размеров компонентов (б) в условиях МО порошковой смеси при ${{k}_{G}} = 2$ мин^–1, ${{l}_{{\text{1}}}} = 0.5$, ${{l}_{2}} = 2$, ${{r}_{{{\text{A}},0}}}{\text{/}}{{r}_{{{\text{B}},0}}} = 10$, ${{r}_{{{\text{Am}}}}}{\text{/}}{{r}_{{{\text{Bm}}}}} = 10$, ${{k}_{{\text{A}}}} = 1$ мин^–1, ${{k}_{{\text{B}}}} = 10$ мин^–1, ${{r}_{{{\text{A}},0}}} = {{10}^{{ - 4}}}$ м, ${{r}_{{{\text{B}},0}}}{\text{/}}{{r}_{{{\text{A}},0}}} = 10$, ${{k}_{{\text{A}}}} = 1$ мин^–1, ${{k}_{{\text{B}}}} = 0.1$ мин^–1.

Как видно из рис. 4, в начальный период МО, когда ${{r}_{{\text{A}}}} \gg {{r}_{{\text{B}}}}$, структура обрабатываемой смеси ориентирована на тип II(A). По мере измельчения происходит смена ориентации структуры состава на тип I (${{r}_{{\text{A}}}}\sim {{r}_{{\text{B}}}}$), вследствие чего степень гомогенизации резко падает (первый локальный минимум). При дальнейшей механообработке, сопровождающейся измельчением вещества, ориентация структуры снова меняется на тип II(A), а зависимость $G(t)$ претерпевает второй локальный минимум. Отметим, что в данном примере при МО ориентации структуры смеси на тип II(B) не происходит.

На рис. 5 изображена диаграмма в координатах “отношение коэффициентов измельчения и гомогенизации – время механической обработки”, характеризующая различные режимы МО бинарной порошковой смеси. Для удобства координаты представлены в логарифмическом виде. $\Omega $-образная кривая на диаграмме является геометрическим местом точек, соответствующих условию $G = 0.99$. В областях I, II и III, расположенных выше $\Omega $-кривой, реализуются режимы МО, при которых степень гомогенизации близка к идеальной. Параметры механообработки, фиксирующие точки, расположенные ниже $\Omega $-кривой, соответствуют степени гомогенизации состава меньше заданной (области ${\text{I}}{\kern 1pt} '$, ${\text{II}}{\kern 1pt} '$ и ${\text{III}}{\kern 1pt} '$).

Рис. 5.

Диаграмма в координатах $\ln ({{k}_{i}}{\text{/}}{{k}_{G}}) - \ln {{t}_{{{\text{MO}}}}}$, определяющая различные режимы МО порошковой смеси при ${{r}_{{{\text{A}},0}}} = {{r}_{{{\text{B}},0}}} = {{10}^{{ - 4}}}$ м, ${{k}_{{\text{A}}}} = {{k}_{{\text{B}}}} = 1$ мин^–1.

В расположенных слева на диаграмме областях ${\text{I}}$ и ${\text{I}}{\kern 1pt} '$ реализуются режимы МО, при которых измельчение несущественно (${{k}_{i}} \ll {{k}_{G}}$). Здесь происходит только смешение компонентов. В правой части диаграммы в областях ${\text{III}}$ и ${\text{III}}{\kern 1pt} '$ скорость измельчения вещества значительно выше скорости его гомогенизации (${{k}_{i}} \gg {{k}_{G}}$). В этом случае подвергается перемешиванию фактически предельно измельченный материал. И в том, и в другом случаях требуется достаточно небольшое время механообработки для полной гомогенизации смеси. При режимах МО, соответствующих расположенным в средней части диаграммы областям ${\text{II}}$ и ${\text{II}}{\kern 1pt} '$, скорости измельчения и гомогенизации сравнимы (${{k}_{i}}\sim {{k}_{G}}$). Здесь, в силу конкуренции процессов диспергирования разнородных частиц и равномерного их перераспределения в объеме измельчительного аппарата, время смешивания компонентов до полной гомогенизации смеси существенно возрастает.

Таким образом, в макроскопическом приближении разработана математическая модель измельчения и смешивания бинарной порошковой смеси в энергонапряженной мельнице. Модель позволяет вычислять размеры частиц порошковой смеси, степень ее гомогенизации, количество однородных и разнородных контактов в любой момент времени механической обработки. Численным методом исследована динамика процесса. Выявлены основные режимы измельчения и гомогенизации. Дальнейшее развитие предложенной математической модели состоит в учете диссипации тепла на местах межчастичных контактов, запаса избыточной энергии в компонентах в результате их активации, а также химического превращения на контактах типа АВ.