Журнал физической химии, 2020, T. 94, № 6, стр. 812-816

К.П.Д. ЭНЕРГОПРЕОБРАЗУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА

Энергопреобразующим устройством ЭПУ назовем устройство, преобразующее поток энергии ${{\dot {E}}_{1}}$, состоящий в общем случае из потоков квалифицированной и неквалифицированной энергии, в поток квалифицированной энергии ${{\dot {W}}_{2}}$. В отличие от потока квалифицированной энергии поток неквалифицированной энергии, например, теплота, энтальпия, излучение, всегда сопряжен с потоком энтропии [1]. С термодинамической точки зрения ЭПУ представляет собой открытую систему (рис. 1). Здесь обозначены: поток энтальпии $\dot {H}$, поток теплоты $\dot {Q}$, излучение $\dot {J}$, поток энтропии $\dot {S}$, поток квалифицированной энергии $\dot {W}$, мощность источника энтропии, характеризующая неидеальность ЭПУ, $\dot {\sigma }$. Верхние индексы (m) и (r) характеризуют потоки энтропии, переносимые веществом и излучением, нижние индексы: 1 – вход в ЭПУ; 2 – выход из ЭПУ. В частности, ${{\dot {W}}_{1}}$ – потребляемый поток квалифицированной энергии, используемый для обеспечения функционирования ЭПУ (электромоторы, насосы, компрессоры), ${{\dot {W}}_{2}}$ – переданный внешнему потребителю поток произведенной квалифицированной энергии. Далее будем рассматривать только стационарные ЭПУ.

Запишем стационарные уравнения баланса энергии и энтропии для ЭПУ (рис. 1)

где $\Delta \dot {H} = {{\dot {H}}_{1}} - {{\dot {H}}_{2}}$, $\Delta {{\dot {S}}^{{\left( m \right)}}} = \dot {S}_{1}^{{\left( m \right)}} - \dot {S}_{2}^{{\left( m \right)}}$, $\Delta \dot {J} = {{\dot {J}}_{1}} - {{\dot {J}}_{2}}$, $\Delta {{\dot {S}}^{{\left( r \right)}}} = \dot {S}_{1}^{{\left( r \right)}} - \dot {S}_{2}^{{\left( r \right)}}$.

В теплоэнергетике потоком преобразуемой энергии является поток теплоты сгорания топливной смеси, т.е. разность потоков энтальпии топливной смеси и энтальпии продуктов сгорания, $\Delta \dot {H} = {{\dot {H}}_{1}} - {{\dot {H}}_{2}}$. В общем случае определим поток преобразуемой энергии $\dot {E}{\text{*}}$ и сопряженный этому потоку поток энтропии $\dot {S}{\text{*}}$ как

Определения (2) позволяют представить уравнения баланса энергии и энтропии (1) в виде соотношений между потоком преобразуемой энергией $\dot {E}{\text{*}}$, сопряженным потоком энтропии $\dot {S}{\text{*}}$, неравенством Клаузиуса, потоком произведенной полезной работы ${{\dot {W}}_{2}}$ и потоком рассеянной теплоты ${{\dot {Q}}_{2}}$Определяя к.п.д. ЭПУ обычным образом в виде отношения потока полученной квалифицированной энергии к потоку преобразуемой энергии, получаем формулу для расчета к.п.д. реального стационарного ЭПУ При $\dot {\sigma } \to 0$ выражение (4) переходит в к.п.д. идеального стационарного ЭПУ ${{\eta }_{{id}}} = \left( {1 - \frac{{{{T}_{2}}\dot {S}{\text{*}}}}{{\dot {E}{\text{*}}}}} \right)$ [1].

Реальное ЭПУ представляет собой суперпозицию многих локальных процессов, неидеальность которых характеризуется мощностью локального источника энтропии ${{\dot {\sigma }}_{i}} \geqslant 0$. С термодинамической точки зрения идеальным образом реального устройства является устройство, в котором все процессы в соответствии с условием Гиббса реализованы “при помощи механических и термодинамических устройств, теоретически предполагаемых идеальными” [2]. Следовательно, условие идеальности ЭПУ преобразуется в систему локальных условий идеальности ${{\dot {\sigma }}_{i}} = 0$, при этом интегральное условие $\dot {\sigma } = \sum\nolimits_i {{{{\dot {\sigma }}}_{i}}} = 0$ будет выполняться автоматически. Очевидно, при фиксированных внешних условиях (поток преобразуемой энергии, температура), величины $\dot {S}{\text{*}}$, $\dot {E}{\text{*}}$ при ${{\dot {\sigma }}_{i}} \to 0$, вообще говоря, отличаются от наблюдаемых в реальном устройстве.

Рассмотрим несколько примеров, подтверждающих корректность формулы (4).

а) Преобразование потока теплоты ${{\dot {Q}}_{1}}$ в поток квалифицированной энергии при помощи идеального цикла Карно. Для идеального цикла имеем $\dot {\sigma } = 0$, определения (2) принимают вид $\dot {E}* = {{\dot {Q}}_{1}}$, ${{\dot {S}* = {{{\dot {Q}}}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\dot {S}* = {{{\dot {Q}}}_{1}}} {{{T}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{1}}}}$ и формула (4) преобразуется в формулу Карно [3]

б) Преобразование потока квалифицированной энергии ${{\dot {W}}_{1}}$ в поток квалифицированной энергии (электромотор, электрогенератор). Определения (2) принимают вид $\dot {E}* = {{\dot {W}}_{1}}$, $\dot {S}* = 0$ (квалифицированная энергия вклад в энтропию не вносит), и формула (4) преобразуется в

В идеальном случае (отсутствие трения и других устранимых потерь, вызывающих тепловые эффекты) имеем $\dot {\sigma } = 0$, следовательно, квалифицированную энергию в принципе можно полностью преобразовать в квалифицированную энергию.

в) Преобразование потока химической энергии в поток квалифицированной (электрической) энергии в идеальном топливном элементе. Для идеального топливного элемента $\dot {\sigma } = 0$, определения (2) при заданной конверсии принимают вид $E* = \Delta \dot {H}$, $\dot {S}* = \Delta {{\dot {S}}^{{\left( m \right)}}}$ и формула (4) преобразуется в

Используя термодинамические таблицы, с помощью этой формулы нетрудно рассчитать к.п.д. обратимого топливного элемента для любой пары окислитель–топливо. Например, для водородо-воздушного топливного элемента, работающего при температуре ${{T}_{2}} = 298$ K, получаем $\eta = 0.945$.

г) Преобразование излучения в поток квалифицированной (электрической) энергии в идеальном фотоэлектрическом преобразователе. Для идеального фотоэлектрического преобразователя $\dot {\sigma } = 0$, определения (2) принимают вид $\dot {E}* = \Delta \dot {J}$, $\dot {S}* = \Delta {{\dot {S}}^{{\left( r \right)}}}$ и при температуре фотоэлемента ${{T}_{2}}$ формула (4) преобразуется в

которая после подстановки известных формул $\Delta \dot {J}\, = \,\alpha (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})$, $\Delta {{\dot {S}}^{{\left( r \right)}}} = \frac{4}{3}\alpha (T_{1}^{3} - T_{2}^{3})$, где $\alpha \, = \,5.67 \times $ $ \times \;{{10}^{{ - 8}}}$ Дж/(с К⁴) – постоянная Стефана–Больцмана, преобразуется при ${{T}_{1}} > {{T}_{2}}$ в формулу академика М.А. Леонтовича [4]

Для идеального фотоэлектрического преобразователя, абсорбирующего солнечное излучение ${{T}_{1}} = 5800$ K и работающего при температуре окружающей среды ${{T}_{2}} = {{T}_{0}} = 298$ K, ${{\eta }_{{id}}} = 93\% $ [4]. В то же время в этих условиях к.п.д. цикла Карно ${{\eta }_{C}} = 95\% $, что объясняется отличием сопряженных потоков энтропии.

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ТЕПЛОВОЙ МАШИНЫ МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ

Тепловая машина представляет собой частный случай ЭПУ, преобразующего поступающий от источника теплоты (нагревателя) тепловой поток ${{\dot {Q}}_{1}}$ с температурным потенциалом ${{T}_{1}}$ в передаваемый внешнему потребителю поток квалифицированной энергии ${{\dot {W}}_{2}}$ и передаваемый в холодильник тепловой поток ${{\dot {Q}}_{2}}$ с температурным потенциалом ${{T}_{2}} < {{T}_{1}}$.

Реальная тепловая машина состоит из генератора квалифицированной энергии (полезной работы) и комплекса вспомогательных устройств, обеспечивающих обмен энергией генератора с устройствами. К вспомогательным устройствам относятся, в частности, резервуары теплоты (“горячий”, или нагреватель, и “холодный”, или холодильник), теплообменные устройства, дроссели. Многолетние усилия инженеров и конструкторов способствовали созданию эффективных генераторов квалифицированной энергии (газовые и паровые турбины) для тепловых электростанций. Поэтому можно принять, что генератор квалифицированной энергии в сравнении с остальными элементами тепловой машины генерирует минимальное количество энтропии и может рассматриваться как идеальное устройство, например, как идеальный цикл Карно. Это позволяет представить структуру реальной тепловой машины двумя взаимосвязанными генераторами – идеальный генератор квалифицированной энергии (цикл Карно) и генератор энтропии (комплекс вспомогательных устройств).

При таком представлении мощность и к.п.д. тепловой машины совпадает с мощностью и к.п.д. цикла Карно, а неидеальность тепловой машины характеризуется мощностью источника энтропии комплекса вспомогательных устройств. Это позволяет применить для определения оптимального режима функционирования тепловой машины вариационный принцип максимальной мощности, сформулированный в 1955 г. академиком А.И. Алихановым [5] и обобщенный в 1957 г. академиком И.И. Новиковым [6]. Принцип Алиханова–Новикова утверждает, что при заданных внешних условиях оптимальному режиму функционирования тепловой машины соответствует его максимальная мощность. Математически задача сводится к решению вариационной задачи на границе между идеальным генератором и генератором энтропии при фиксированных внешних условиях. Заметим, что в литературе при рассмотрении тепловой машины конечной мощности с генератором полезной работы в виде идеального цикла Карно употребляют термины “endoreversible converter” и “endoreversible heat engine” [7].

Для упрощения дальнейших выкладок в качестве резервуаров теплоты будем рассматривать идеальные термостаты (температура “горячего” термостата ${{T}_{1}}$, температура “холодного” термостата ${{T}_{2}} < {{T}_{1}}$), предполагая идеальность процесса теплообмена цикла Карно с “холодным” резервуаром. Тогда в первом приближении в качестве адекватной модели реальной тепловой машины можно рассмотреть суперпозицию идеального цикла Карно и генератора энтропии, составленного из единственного теплообменного устройства $a$, передающего тепловой поток ${{\dot {Q}}_{1}}$ от горячего термостата с температурой ${{T}_{1}}$ к циклу Карно при температуре ${{T}_{h}}$ на изотермической стадии получения теплоты циклом Карно (рис. 2) [8]. В этом случае неидеальность тепловой машины характеризуется мощностью источника энтропии $\dot {\sigma }$ единственного теплообменного устройства.

Следуя схеме тепловой машины на рис. 2 и используя принцип Алиханова–Новикова была рассчитана безразмерная температуры $\theta = \frac{{{{T}_{h}}}}{{{{T}_{1}}}}$ изотермической стадии получения теплоты циклом Карно [8]

Здесь $\chi = {{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} {{{T}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{1}}}}$ – параметр, характеризующий внешние условия функционирования рассматриваемой тепловой машины, $n$ – параметр Нуссельта, характеризующий механизм переноса теплоты в теплообменном устройстве. К.п.д. адекватной тепловой машины максимальной мощности ${{\eta }_{{{\text{real}}}}}$ тождественен к.п.д. цикла Карно ${{\eta }_{C}} = 1 - \frac{{{{T}_{2}}}}{{{{T}_{h}}}}$ и в переменных $\theta $ и $\chi $ имеет вид Подставив выражение (5) в формулу (6), получим общее выражение для к.п.д. адекватной тепловой машины максимальной мощности в зависимости от определяющих параметров тепловой машины $n$ и $\chi $Нетрудно видеть, что при фиксированном отношении температур холодильника и нагревателя $\chi $ к.п.д. тепловой машины максимальной мощности уменьшается с увеличением параметра Нуссельта $n$. В частности, при $n \to \infty $ имеем $\theta \to \chi $, ${{\eta }_{{{\text{real}}}}} \to 0$; при $n \to - 1$ (при условии $n > - 1$) имеем $\theta \to 1$ и ${{\eta }_{{{\text{real}}}}} \to 1 - \chi $. При $n = 0$ (линейная зависимость потока теплоты ${{\dot {Q}}_{1}}$ от движущей силы теплопереноса $\left( {{{T}_{1}} - {{T}_{h}}} \right)$) выражение (7) преобразуется в формулу которую, исходя из публикаций [6, 9, 10], называют формулой Шамбадаля–Новикова (Chambadal–Novikov efficiency). В работе [11] аналогичное формуле (8) выражение получено для тепловой машины, максимальной мощности, состоящей из цикла Карно и двух теплообменных устройств, характеризуемых линейной зависимостью потока теплоты от движущей силы.

Эффективность ЭПУ можно охарактеризовать скоростью потерь эксергии, равной скорости генерации энтропии $\dot {\sigma }$, умноженной на температуру универсального термостата ${{T}_{0}}$, за которую обычно принимают величину ${{T}_{0}} = 298$ K [1]. Заметим, что в известной монографии [10] вместо понятия “эксергия” используется термодинамически эквивалентное понятие “полезная энергия”. Определим удельные потери эксергии тепловой машины на единицу мощности тепловой машины как

Мощность тепловой машины ${{\dot {W}}_{2}}$ и поток преобразуемой теплоты ${{\dot {Q}}_{1}}$ связаны общим определением к.п.д. реального ЭПУ В рамках принятой модели (рис. 2) мощность тепловой машины тождественна мощности цикла Карно, функционирующего между температурами ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{h}}$, а скорость генерации энтропии тепловой машины тождественна скорости генерации энтропии в теплообменном устройстве. Из баланса энтропии стационарного теплообменного устройства $a$и соотношений (8) и (10) следует формула для оценки удельных потерь эксергии на единицу мощности тепловой машины Из баланса эксергии стационарного энергопреобразующего устройства следует, что максимальная работа ${{\dot {W}}_{{\max }}}$, которую в принципе может совершить тепловая машина, равна произведенной реальной работе ${{\dot {W}}_{2}} = {{\dot {Q}}_{1}}{{\eta }_{{{\text{real}}}}}$ плюс работа, которую можно получить из сбрасываемой в холодильник с температурой ${{T}_{2}}$ теплоты ${{\dot {Q}}_{2}}$, плюс потери эксергии $\dot {\sigma }{{T}_{0}}$ [1] Работа идеальной тепловой машины совпадает с работой цикла Карно ${{\dot {W}}_{C}}$ и является по определению максимальной работой ${{\dot {W}}_{{\max }}} = {{\dot {W}}_{C}}$, поэтому в случае равенства температур холодильника ${{T}_{2}}$ и окружающей среды ${{T}_{0}}$ формулу (12) можно представить в виде Если ввести коэффициент эксергетической эффективности ЭПУ то, комбинируя формулы (13) и (14), получим При переносе тепла по механизму теплопроводности к.п.д. реальной машины вычисляется по формуле Шамбадаля–Новикова ${{\eta }_{{{\text{real}}}}}\, = \,{{\eta }_{N}}\, = \,1\, - \,\sqrt {{{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} {{{T}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{1}}}}} $ и поскольку ${{\eta }_{C}} = 1 - {{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} {{{T}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{1}}}}$, то из (15) следует, что коэффициент эксергетической эффективности реальной тепловой машины с переносом тепла по механизму теплопроводности принимает значение В случае других механизмов переноса тепла в формулу для расчета коэффициента эксергетической эффективности тепловой машины будет входить параметр Нуссельта $n$.

В качестве примера рассмотрим имеющиеся в литературе данные о некоторых тепловых электростанций, использующих различные источники теплоты – горение угля, атомный реактор и геотермальное тепло [11]. Будем исходить из предположения, что эти электростанции функционируют в оптимальных условиях, что является следствием заведомо тщательной проработки всех инженерных и технологических решений при проектировании этих электростанций. Тогда в соответствии с принципом Алиханова–Новикова эти электростанции генерируют максимальную мощность при заданных внешних условиях – температуры нагревателя ${{T}_{1}}$ и холодильника ${{T}_{2}}$.

Реальные значения параметров трех промышленных электростанций, отличающихся источниками теплоты, реальными к.п.д. $\eta $, к.п.д. цикла Карно ${{\eta }_{C}}$ и к.п.д. Новикова η_N, приведены в первых пяти столбцах Таблицы 1 (все данные из работы [11]), A – атомная электростанция, B – угольная электростанция, С – геотермальная электростанция, $\chi = {{{{T}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{T}_{2}}} {{{T}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{T}_{1}}}}$). Используя реальные значения ${{\eta }_{{{\text{real}}}}}$ и $\chi $, из формулы (6) вычислим для каждой электростанции значения безразмерной температуры $\theta $, а из формулы (5) рассчитаем для каждой электростанции параметр Нуссельта $n$. Из соотношения (11) определим потери эксергии $\dot {e}$ на единицу мощности для каждой электростанции при условии ее максимальной мощности. Коэффициент эксергетической эффективности тепловой машины ${{\lambda }_{e}}$ рассчитан по формуле (15). Расчетные значения приведены в четырех последних столбцах таблицы 1.

Из результатов расчета следует, что среди рассмотренных в статье [11] трех промышленных электростанций при условии максимальной мощности наименьшие удельные потери эксергии и наибольший коэффициент эксергетической эффективности демонстрирует атомная электростанция, а наибольшие удельные потери эксергии и наименьший коэффициент эксергетической эффективности – геотермальная электростанция. Интересно отметить, что рассчитанное значение $n = - 0.20$ близко к параметру Нуссельта при переносе теплоты конденсацией пара, а рассчитанные значения $n = 0.35$ и $n = 0.33$ близки к известным параметрам Нуссельта, относящимся к конвективному теплопереносу [12]. К сожалению, типы теплообменных устройств в статье [11] не обсуждаются.

ВЫВОДЫ

1. Предложено выражение для оценки к.п.д. устройства, преобразующего в квалифицированную энергию различные потоки неквалифицированной энергии.

2. Получена формула для расчета к.п.д. тепловой машины максимальной мощности, учитывающая параметр Нуссельта, характеризующий механизм переноса тепла в теплообменном устройстве.

3. Конкретизировано выражение коэффициента эксергетической эффективности тепловой машины максимальной мощности как отношение к.п.д. реального энергопреобразующего устройства к к.п.д. цикла Карно, функционирующего в тех же условиях.

4. Из анализа литературных данных следует, что по сравнению с угольной и геотермальной станциями атомная электростанция максимальной мощности имеет наибольшее значение коэффициента эксергетической эффективности.