Физика плазмы, 2020, T. 46, № 5, стр. 401-407

1. ВВЕДЕНИЕ

Нитевидные плазменные возмущения наблюдаются на многих токамаках. Они являются результатом нелинейного развития периферических МГД-неустойчивостей в области максимального градиента давления плазмы [1]. Поскольку филаменты могут играть ключевую роль в аномальном переносе частиц и энергии на периферии плазмы, исследования филаментов активно продолжаются на токамаках для лучшего понимания физики филаментов и экстраполяции параметров филаментов на токамаки масштаба ITER [2]. Для этой цели используются различные методы диагностики. Несколько лет назад авторы предложили использовать метод доплеровского обратного рассеяния (ДОР) для исследования филаментов [3, 4]. Позднее эта диагностика была успешно применена для изучения филаментов в токамаке ASDEX Upgrade [5, 6]. Доплеровское обратное рассеяние на филаментах проявлялось на этих токамаках примерно одинаковым образом как всплеск квазикогерентных колебаний (ВКК) IQ-сигналов (In-phase and Quadrature) квадратурных детекторов обратного излучения. Такие сигналы легко описать в борновском приближении в случае линейного обратного рассеяния. Опираясь на представление о линейном рассеянии, можно было определить положение и скорость филамента. Однако филаменты в токамаках заметно различаются по размеру и интенсивности. При увеличении плотности в филаментах необходимо учитывать переход от линейного рассеяния к нелинейному рассеянию вплоть до возникновения отражения от движущегося филамента. Эта проблема может быть решена только с помощью полноволнового кода.

Известно несколько работ, в которых процесс ДОР моделировался с использованием полноволнового кода [7, 8]. В этих исследованиях использовались различные представления рассеивающих турбулентных флуктуаций плазмы в тороидальных системах с магнитным удержанием. Однако нам известно только одно краткое сообщение, в котором представлена попытка моделирования обратного рассеяния на филаментах специфической формы [6]. В настоящей работе использован полноволновой код [9] для моделирования обратного доплеровского рассеяния микроволнового излучения О-моды с целью расчетов выходных сигналов ДОР для различных значений плотности филамента, его размеров и положения относительно отсечки падающего микроволнового излучения. Геометрические параметры диагностической схемы и радиальные распределения плотности плазмы были близки к параметрам экспериментов, проведенных на сферическом токамаке Глобус-М. Статья состоит из двух частей. В первой описана адаптация полноволнового кода для моделирования обратного доплеровского рассеяния на филаментах и описано, каким образом представляются филаменты. Во второй части представлены результаты моделирования. В Заключении на основе полученных данных обсуждается, в какой мере полноволновое моделирование способствует адекватной интерпретации экспериментальных данных.

2. МЕТОД ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В описании филаментов, рассеяние на которых моделировалось в работе, мы не прибегали к 2D расчетам формы и интенсивности филаментов, основанным на применении известных нелинейных МГД-кодов. Такие расчеты, к сожалению, не определяют перемещение филаментов, которое необходимо для восстановления временных сигналов ДОР, и были выполнены для ограниченного диапазона экспериментальных условий. Вместо этого мы использовали относительно простую модель филамента с 2D гауссовым поперечным сечением, которая позволяет свободно выбирать размер, амплитуду и положение филамента в широких пределах.

Двумерное полноволновое моделирование было выполнено с использованием конечно-разностного кода IPF-FD3D [9]. При заданном движении филамента в результате расчета получаются значения I- и Q-сигналов квадратурного детектора. Расчет электрического поля проводился в прямоугольной геометрии в боксе размером 30 × × 25 см². Ось х соответствовала полоидальному направлению в токамаке, а ось y – радиальному направлению. Параметры схемы ДОР следующие: угол наклона антенны α = 13°, раскрыв антенны 5.5 см с гауссовским распределением поля и с плоским фронтом волны в раскрыве антенны. Раскрыв антенны показан сплошной линией на рис. 1а, б. Расчеты были выполнены для частот F = 16 ГГц, 24 ГГц, 32 ГГц, 40 ГГц, 48 ГГц, 56 ГГц, 64 ГГц для O-моды, которые соответствуют частотному диапазону, который использовался в диагностике ДОР на токамака Глобус-М (48 ГГц, 39 ГГц, 29 ГГц и 20 ГГц). Профиль плотности плазмы в расчетах, близкий к линейному в области обратного рассеяния, n_e = 5.6 × 10¹⁹ см^–3 при y = 0.15 м (совпадающий с профилем плотности в выстреле #36569 на токамаке Глобус-М), показан на рис. 1 в виде тоновой полосы. Филамент движется в полоидальном направлении при y = 0.092 м, направление движения показано стрелкой. Радиальное положение траектории филамента относительно отсечки изменялось при изменении зондирующей частоты. Движение филамента в полоидальном направлении моделировалось путем последовательного моделирования рассеяния при различных x-координатах филамента с пространственным шагом 1.3 мм. Если задавался временной интервал, соответствующий этому шагу, то тем самым определялась полоидальная скорость филамента. Для каждого снимка были рассчитаны значения IQ-сигналов (амплитуда и фаза, или сигналы I и Q), моделирующие зависимость I(t) и Q(t) от времени. Различные амплитуды филамента A (0.1%, 1%, 5%, 50%, 100% и 150% от плотности в отсечке зондирующего излучения n_c) задавались в процессе моделирования с целью исследования перехода от линейного к нелинейному рассеянию.

Рис. 1.

Распределение электрического поля для линейного (a) и нелинейного (б) режимов. Круг – сечение филамента.

На рис. 1 представлен пример наложения электрических полей падающей, отраженной и обратно рассеянной волн. Распределение полей было рассчитано для размера филамента l_c = 1.5 см при частоте зондирования 48 ГГц как в линейном (рис. 1а), так и в нелинейном (рис. 1б) режимах рассеяния. Здесь имеется в виду следующее распределение плотности филамента: $\delta n = $ $ = {{n}_{c}}(A{\text{/}}100\% )\exp [ - ({{x}^{2}} + {{y}^{2}}){\text{/}}l_{c}^{2}]$. Соответствующие амплитуды филамента составляли A = 0.1% и A = 50% от плотности в отсечке. Круг в центре схематически отображает филамент. Искажение распределения электрического поля отчетливо видно в нелинейном случае.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Полноволновое моделирование первоначально было предпринято для случая линейного рассеяния. В линейном случае проявление обратного допплеровского рассеяния в виде вспышек квазикогерентных колебаний можно пояснить, опираясь на представление о весовой функции диагностики [7, 10]. 2D знакопеременной весовой функции, к примеру, соответствует распределение, представленное на рис. 1a, рассчитанное для случая, когда филамент не искажает поля падающей и отраженной волн. Так как в борновском приближении IQ-сигналы представляют собой интеграл от произведения возмущения плазмы на весовую функцию [10], то перемещение филамента вдоль отсечки (см. рис. 1a) приводит к появлению биений сигналов в виде ВКК (рис. 2a и 2б, черные кривые). При малой амплитуде филамента рассеяние происходит преимущественно в области отсечки, и допплеровское смещение связано со скоростью филамента соотношением Δω_D = k_⊥ ⋅ V_⊥, k_⊥ = 2k_i, где k_i – волновой вектор зондирующего излучения в отсечке. Для плоской геометрии k_⊥ = k_х = 2k₀sinα (k₀ – вакуумное волновое число зондирующего излучения).

Рис. 2.

a) – рассчитанные Q(t) сигналы для линейного (синий) и нелинейного (красный) режимов; б) – нормированные сигналы; в) – I(t) и Q(t) ДОР сигналы, записанные на токамаке Глобус-М. Разряд # 36537, F = 48 ГГц.

Вычисления, проведенные с использованием полноволнового кода для размера филамента 1.5 см и с амплитудой филамента 1%, продемонстрировали появление ВКК, см. рис. 2a. Размер 1.5 см близок к пространственному полупериоду весовой функции в отсечке – π/2k₀sinα. Расчеты проводились для филамента, движущегося вдоль радиуса y = 9 см, который соответствует радиусу отсечки излучения частотой 48 ГГц. При этом равенство Δω_D = k_⊥ ⋅ V_⊥ выполняется с большой точностью. Использование полноволнового моделирования позволяет ответить на вопрос, происходят ли искажения ВКК и в какой мере соблюдается соотношение Δω_D = k_⊥ ⋅ V_⊥ при возрастании амплитуды филамента, т.е. при переходе в нелинейный режим рассеяния. Расчеты, проведенные для филамента того же размера 1.5 см и движущегося по той же траектории, показали, что при амплитуде 50% также наблюдается сходные по форме ВКК (рис. 2a и 2б, серые кривые). При этом проявлялось существенное искажение суперпозиции электрических полей (см. рис. 1б). Отмечается ожидаемое возрастание амплитуды квазикогерентных колебаний с ростом амплитуды филамента (см. рис. 2а). После нормировки всплески квазикогерентных колебаний оказались сходными, как видно из рис 2б. Соответственно, сохраняется выражение для допплеровского сдвига при k_⊥ = k_х = 2k₀sinα. Отметим, что похожие по форме ВКК наблюдались в экспериментах на токамаке Глобус-М (рис. 2в) [3, 4]. Подобие ВКК в линейном и нелинейном случае, с одной стороны, объясняет тот факт, что сходные ВКК наблюдались на токамаках Глобус-М и ASDEX-Upgrade [3–6], в которых ожидалось существенное отличие в амплитудах филаментов. С другой стороны, так как в эксперименте IQ-сигналы регистрировались в относительных единицах, отсутствовала возможность определить, какой режим рассеяния наблюдался.

Следующим шагом в моделировании являлось определение зависимости IQ-сигналов от размера филамента. При размере π/2k₀sinα в линейном режиме должна наблюдаться максимальная интенсивность обратного рассеяния. Если размер филамента превосходит величину π/2k₀sinα, то в борновском приближении ожидается падение эффективности обратного рассеяния из-за процесса усреднения по знакопеременной весовой функции. Это явно подтверждается в расчетах, в которых была получена зависимость с максимумом (см. рис. 3a) и спадом с ростом размера филамента. Напротив, амплитуды сигналов, полученные при нелинейном рассеянии с использованием полноволнового кода, слабо зависели от размера филамента, как это видно из рис. 3б. На рис. 4 показано, как деформируются всплески квазикогерентных колебаний и их огибающие в случае сильно нелинейного рассеяния. ВКК, подобные тем, которые возникают в линейном случае, в нелинейном режиме отмечаются в расчетах только при малом размере филамента <π/2k₀sinα. При увеличении размера филамента ВКК удлиняется, при этом в огибающей ВКК появляется второй максимум, см. рис. 4б, в.

Рис. 3.

Зависимости амплитуды сигналов от размера филамента в линейном (а) и нелинейном (б) режимах.

Рис. 4.

I(t) сигналы и их огибающие для амплитуды филамента 100%, частоты зондирования 48 ГГц. a) – размер филамента 0.5 см; б) – 3 см; в) – 6 см.

Расчеты также были проведены для различных частот зондирования при движении филамента при том же x = 9 см. Тем самым были получены зависимости IQ-сигналов от расстояния между траекторией филамента и отсечками, что позволяет судить о радиальном разрешении метода. Сигналы были рассчитаны в линейном случае для размера филамента 1.5 см (рис. 5a). В нелинейном случае это было выполнено для размера 1.5 и 6 см (рис. 5б, в). Видно, что в линейном случае смещение траектории филамента относительно отсечки на расстояние масштаба 1.5–2 см приводит к спаду амплитуды сигналов более чем на порядок, что говорит о хорошем радиальном разрешении метода. В нелинейном режиме для размера филамента масштаба π/2k₀sinα радиальное разрешение заметно слабее (см. рис. 5б). Наконец, в сильно нелинейном режиме, когда филамент большого размера движется в полоидальном направлении, определить радиальное положение его траектории не удается (рис. 5в). Снова появляются при расчетах огибающие сигналов c двумя максимумами. Можно сказать, что сигналы с такими огибающими являются отличительным признаком сильно нелинейного режима обратного рассеяния на филаменте большого размера. В экспериментах на токамаке Глобус-М наблюдались ВКК сигналы с одним максимумом. Однако это не означает отсутствия в этих экспериментах нелинейного рассеяния, при котором, как показало моделирование, могут возникать ВКК с одним максимумом (см. рис. 4a).

Рис. 5.

Огибающие IQ-сигналов для: a) – амплитуды филамента 1%, размера филамента 1.5 cм; б) – 70%, 1.5 cм; в) – 100%, 6 cм. Здесь r_c = y_c – радиус отсечки.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полноволновое моделирование выявило ряд особенностей перехода от линейного к нелинейному режиму обратного рассеяния. Во-первых, моделирование показало, что сходные ВКК формируются, как в линейном, так и в нелинейном случае, если размер филамента не превосходит значительно характерную величину π/2k₀sinα. При этом доплеровское смещение определяется выражением, справедливым и в борновском приближении в прямоугольной геометрии. Во-вторых, c ростом амплитуды и размера филамента ВКК деформируются с образованием огибающих ВКК с двумя максимумами. Тот и другой результат полноволнового моделирования можно интерпретировать, опираясь на представление о том, что при большой амплитуде филамента, когда локальная плотность плазмы в филаменте становится выше критической, происходит переход от обратного рассеяния к отражению. Процесс отражения схематично представлен на рис. 6, где показаны ход пучка зондирующего излучения и окружности равной локальной плотности плазмы в филаментах разных размеров. Видно, что при расположении филаментов справа от точки а в отсечке происходит обратное отражение, причем допплеровское смещение, как и в случае обратного линейного рассеяния, равно Δω_D = k_⊥V ₍k_⊥ = = k_х = 2k₀sinα). Обратное отражение возможно также при смещении филаментов в точках b. Однако доплеровское смещение изменится: Δω_D = = k_⊥(b)Vcosβ, где k_⊥(b) – волновое число зондирующего излучения, β – угол между вектором скорости и волновым вектором k_⊥(b). Это смещение при малом размере филамента незначительно отличается от значения для линейного случая, так что формируется IQ-сигналы, показанные на рис. 4a. При большом размере филамента появление отражений от точек а и b заметно разнесено во времени, в результате появляются сигналы вида рис. 4в. Понятно, что обратное отражение происходит и в промежуточных точках, поскольку при конечной апертуре антенны имеются парциальные падающие волны с различными лучевыми траекториями. Все эти процессы обратного рассеяния и отражения учитываются при использовании полноволнового кода.

Рис. 6.

Схематическое изображение обратного отражения от филаментов разного сечения.

Предложенный в работе подход в использовании полноволнового кода IPF-FD3D позволяет расширить область моделирования, включив в него моделирование рассеяния на филаментах с различной формой поперечного сечения, движущихся по различным траекториям. Целью такого моделирования будет являться описание того многообразия ВКК, которое наблюдается в эксперименте. При этом надо иметь в виду, что проделанное моделирование имеет ряд недостатков. Расчеты проводились в режиме распространения излучения O-моды с использованием простой плоскослоистой модели для невозмущенной плотности и не учитывали сложную конфигурацию магнитного поля, имеющую место в реальном эксперименте. Такая задача, которая трудна даже в оптическом приближении, особенно актуальна для токамаков с низким аспектным отношением. Кроме того, в представленных расчетах не учитывались эффекты, связанные с фоновой турбулентностью.

Работа была поддержана Российским научным фондом, грант 18-72-10028.