Физика плазмы, 2021, T. 47, № 10, стр. 935-949

2.1. Интегральные сечения

Для зависимости интегрального сечения упругого рассеяния σ_s(ε) от энергии электрона ε в области ε ≤ 60 эВ использованы данные, рассчитанные в работе [35], для области 60 эВ–20 кэВ зависимость рассчитана по программе ELSEPA [36]. Зависимость σ_s(ε), рассчитанная в [35], согласуется с рекомендованными значениями из книги [37], полученными усреднением экспериментальных данных в диапазоне энергий от 0 до 1 кэВ. Сечение, рассчитанное по программе ELSEPA, согласуется с экспериментальными данными, начиная с энергии электрона 60 эВ.

Полные сечения возбуждения электронных состояний вычислены по формуле [38]:

полученной в нерелятивистском приближении и справедливой при энергиях электрона ε ≤ 20 кэВ. Здесь $\pi a_{0}^{2} = 0.8797 \times {{10}^{{ - 20}}}$ м² (a₀ – радиус Бора), Ry = 13.6057 эВ – постоянная Ридберга (Ridberg), ε_ex – пороговая энергия возбуждения. Функция Ω отношения ε/ε_ex (collision strength [38]) аппроксимирована формулами для трех групп состояний 2¹P, 3¹P; 2¹S, 3¹S и 2³P, 2³S, 3³P, 3³S [38].

Нами выполнено сравнение сечения возбуждения, рассчитанного по формуле (1) с учетом всех 18 состояний, указанных в работе [38], с сечением из библиотеки Фелпса (Phelps) [39] и сечением, вычисленным по формулам работы [40]. В области ε ≥ 200 эВ сечения, рассчитанные по данным работ [38] и [40], практически совпадают, причем приблизительно 2/3 вклада в суммарное сечение вносит возбуждение состояния 2¹P. В области меньших энергий сечения по данным работ [38–40] существенно различаются (в максимумах почти в два раза). Поскольку работа [38] наиболее актуальна, мы используем ее данные. Отметим также, что вклад неучтенных в нашей программе состояний из работы [38] в суммарное сечение возбуждения не превышает 10% в рассматриваемом диапазоне энергии 0–20 кэВ.

Дифференциальное сечение ионизации атома $d\sigma ({{\varepsilon }_{i}},{{\varepsilon }_{s}}){\text{/}}d{{\varepsilon }_{s}}$ рассчитывалось по нерелятивистской (binary-encounter-dipole (BED)) модели Кима (Kim) и Рада (Rudd) [41]. Здесь ε_i и ε_s – энергии первичного и вторичного электрона. Мы сравнили полное сечение ионизации, получаемое интегрированием $d\sigma ({{\varepsilon }_{i}},{{\varepsilon }_{s}}){\text{/}}d{{\varepsilon }_{s}}$ по ε_s, с данными измерений в работах [42–44]. Рассчитанное и измеренные сечения согласуются достаточно хорошо, хотя в области ε > 1 кэВ экспериментальные значения из [43] несколько ниже рассчитанных, но они также ниже экспериментальных значений из [42, 44] в области меньших энергий.

2.2. Дифференциальные сечения углового рассеяния электронов

В области энергий ε ≤ 60 эВ использовано дифференциальное сечение из статьи [35]. При больших энергиях сечение рассчитано по программе ELSEPA [36]. На рис. 1 сравниваются значения использованных в нашей программе сечений с экспериментальными данными работ [45–47]. В целом наблюдается хорошее согласие вычисленных и измеренных значений сечений.

Нами использованы данные работ [48–55] для дифференциальных сечений углового рассеяния электронов указанных энергий в процессах возбуждения следующих состояний гелия

2¹P: ε = 23.5–35 эВ [48]; ε = 40 и 50 эВ [49]; ε = 80–120 эВ; ε = 200 эВ [51]; ε = 300–500 зВ [52];

2¹S: ε = 23.5–35 эВ [48]; ε = 40 и 50 эВ [49]; ε = 80–120 эВ [50]; ε = 200 и 500 эВ [51];

2³P и 2³S: ε = 23.5–27.5 эВ [48]; ε = 30–50 эВ [49]; ε = 80–120 эВ [50]; ε = 200 и 500 эВ [51];

3¹P и 3³P: ε = 24–29.6 эВ [53]; ε = 28.50 и 31.17 эВ [55]; ε = 40–500 эВ [51];

3¹S и 3³S: ε = 23.22–29.6 эВ [54]; ε = 28.50 и 31.17 эВ [55]; ε = 40–500 эВ [51].

В доступней литературе отсутствуют данные по дифференциальным сечениям возбуждения гелия для энергий электрона ε > 500 эВ. В рамках первого Борновского приближения (ПБП), справедливого при больших энергиях, сечение возбуждения имеет следующий вид [56]:

где G – обобщенная сила осцилляторов (generalized oscillator strength (GOS)); k_i и k_f – начальный и конечный импульс электрона, выраженные в атомных единицах, т.е. $k = {{{{a}_{0}}p} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{0}}p} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }$, p – импульс электрона, $\hbar $ – постоянная Планка (Plank), θ – угол рассеяния. По формуле (2) нами вычислены дифференциальные сечения возбуждения состояний 2¹P, 2¹S, 3¹P, 3¹S в области ε = 0.5–20 кэВ. Обобщенная сила осцилляторов рассчитана на основании данных табл. 2 и 3 и формул (12) и (13) работы [57].

Примеры вычисленных дифференциальных сечений возбуждения состояния 2¹P иллюстрируются на рис. 2, где для сравнения приведены сечения, полученные в работе [52].

Сечения максимальны при θ = 0 и очень быстро спадают с ростом θ; это значит, что рассеяние происходит в основном в малые углы, а в этой области сечения очень хорошо согласуются между собой.

Нам не удалось найти в литературе какие-либо данные по обобщенной силе осцилляторов состояний 2³P, 2³S, 3³P, 3³S; поэтому для них мы полагаем, что рассеяние электрона происходит на фиксированный угол. Для среднего косинуса угла рассеяния мы используем следующие зависимости от энергии, выраженной в эВ: $\left\langle {\cos \theta } \right\rangle = $ $ = 1 - 63.65 \cdot {{\varepsilon }^{{ - 1.15}}}$ для 2³P, $\left\langle {\cos \theta } \right\rangle = 1 - 68.80 \cdot {{\varepsilon }^{{ - 1.15}}}$ для 3³P, $\left\langle {\cos \theta } \right\rangle = 1 - 0.905 \cdot {{e}^{{ - \varepsilon /311.5}}}$ для 2³S, $\left\langle {\cos \theta } \right\rangle = $ $ = 1 - 1.030 \cdot {{e}^{{ - \varepsilon /291.5}}}$ для 3³S. Зависимости получены путем аппроксимации в диапазоне энергий 200–500 эВ среднего косинуса угла рассеяния, рассчитанного на основе дифференциальных сечений из работ [48, 49, 51] для 2³P и 2³S, [51, 54, 55] для 3³S и [51, 53, 55] для 3³P. Как отмечалось выше, в области больших энергий основной вклад в полное сечение возбуждения вносит уровень 2¹P, поэтому использование этих зависимостей не должно вносить заметную ошибку в вычисления.

Для наиболее точного описания рассеяния электрона в процессе ионизации необходимо знать трижды дифференциальное сечение ионизации – по энергии вторичного электрона, по углу рассеяния первичного электрона и по углу вылета вторичного электрона (вторичным называется электрон с меньшей энергией). Литературные данные по этим сечениям крайне скудны. Имеется достаточно данных по дважды дифференциальным сечениям ионизации (ДДСИ), в основном по энергии и углу вылета вторичного электрона [58–61], и только в работе [61] также приведены данные по углу рассеяния первичного электрона. Экспериментальные данные по угловому распределению вторичных электронов существенно разнятся (см. рис. 3). В нашей модели для расчета угла вылета вторичных электронов используется предложенная в работе [62] аппроксимация сечения, которая наиболее полно удовлетворяет имеющимся экспериментальным данным.

Аппроксимация сечения работы [62] используется для энергий первичного электрона ε_i в диапазоне от 50 до 600 эВ. При ε_i < 50 эВ угловое распределение вторичных электронов полагается изотропным, при ε_i > 600 эВ, где справедливо ПБП, используется сечение, выведенное в его рамках. В работе [63] для атома водорода приведено ДДСИ рассеяния вторичных электронов, полученное в рамках ПБП (формула (6) [63]), которое масштабируется на другие атомы следующим образом [63]:

где n – число электронов в атоме (2 для гелия), z – эффективный ядерный заряд атома (1.704 для гелия). Аналогично масштабируются на атом гелия ДДСИ первичных электронов, полученное для атома водорода в рамках ПБП (формула (9) [63]).

На рис. 4 сравниваются рассчитанное ДДСИ и измеренное в работе [61] для энергии первичного электрона ε_i = 100 эВ. Наблюдается удовлетворительное согласие сечений между собой, несмотря на то, что при этой энергии ПБП еще не вполне удовлетворительно. При ε_i < 100 эВ угловое рассеяние первичных электронов в нашей модели рассчитывается не масштабированием сечения для атома водорода работы [63], а из сечения упругого рассеяния электрона с энергией ε_i – ε_s. На рис. 4 видно, что последнее лучше описывает измеренное ДДСИ первичных электронов при больших значениях ε_s, при малых же значениях ε_s результатам измерений лучше соответствует сечение, полученное по ПБП.

На рис. 5 иллюстрируются дифференциальные сечения углового рассеяния электрона с энергией ε_s = 500 эВ в процессах упругих столкновений, возбуждения состояния 2¹P и ионизации при энергии вторичных электронов ε_s = 1 эВ. Видно, что сечение упругого рассеяния спадает с ростом угла гораздо медленнее, чем сечения углового рассеяния в процессах ионизации и возбуждения. Следовательно, в упругих взаимодействиях электрон рассеивается значительно сильнее, чем в неупругих процессах.

Для ε_i = 500 эВ сечение ионизации в два раза превосходит сечение упругого рассеяния, а полное сечение возбуждения сравнимо с упругим. Таким образом, использование сечения углового рассеяния в упругих столкновениях для расчета углового рассеяния электронов в процессах возбуждения и ионизации должно значительно снижать вероятность ускорения электронов до высоких энергий, поскольку рассеяние неправомерно усиливается. В разд. 4.2 мы оценим данный эффект, выполнив расчеты по полной модели МК (full model) с точным учетом всех процессов углового рассеяния, и по упрощенной модели (simplified model), в которой для рассеяния в неупругих процессах используются сечение упругого рассеяния.

3.1. Метод нулевых столкновений

Как известно, метод МК в задачах переноса сводится к построению большого числа траекторий частиц, представляющих некоторые ломаные линии. Движение электрона между столкновениями описывается известной системой уравнений

где ${{\vec {r}}},\;\vec {v},\;{{\vec {p}}}$ – координата, скорость и импульс электрона, е – элементарный заряд.

Вероятность P того, что за промежуток времени Δt электрон испытает столкновение, определяется формулой

где ν – частота столкновений, зависящая от энергии электрона где N_j – концентрация атомов или молекул, на которых происходит реакция типа j, определяемая сечением σ_j; суммирование ведется по всем возможным процессам. Поскольку ν зависит от энергии электрона ε, то согласно формуле (6) вероятность столкновения также зависит от ε. Чтобы избежать этого и сократить время расчетов, Рейдом (Reid) была разработана модель нулевых столкновений [64]. Согласно данной модели сначала определяется максимальное значение частоты столкновений в формуле (5)после чего находится шаг по времени где δ – произвольное число меньшее 1 (в наших расчетах δ = 0.1). Теперь вероятность столкновений не зависит от энергии электрона

После этого метод нулевых столкновений сводится к следующей трехшаговой процедуре:

1. Выбирается случайное число ξ₁ в диапазоне от 0 до 1. Если ξ₁ меньше P_coll, полагается, что произошло столкновение.

2. Если взаимодействие произошло, определяется, было ли столкновение нулевым или реальным. Для этого вводится частота нулевых столкновений ν_null, определяемая уравнением

Тогда вероятность реального столкновения определяется отношением

Для каждого электрона, испытавшего столкновение на первом шаге, выбирается новое случайное число ξ₂. Если ξ₂ меньше P_real, то столкновение считается реальным, если нет, то столкновение является нулевым и импульс электрона не меняется.

3. Если на шаге 2 произошло реальное столкновение, то далее определяется тип взаимодействия. Для этого рассчитываем вероятности возможных процессов

Далее выбирается случайное число ξ₃ и определяется, в какой из интервалов [0, P₁], [P₁, P₁ + P₂], [P₁ + P₂, P₁ + P₂ + P₃] и т.д. оно попадает. Соответственно тип столкновения определяется номером интервала.

3.2. Вычисление угла рассеяния электрона

Зная дифференциальное сечение углового рассеяния электрона в каком-либо процессе dσ/dΩ, угол рассеяния электрона θ можно найти, решая уравнение

где ξ – случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [0, 1]. Для ускорения вычислений в нашей программе предварительно рассчитывается таблица значений θ_ij. Для этого численно решается уравнение (13) для дискретного ряда значений ξ_i = i/N_ξ, i = 1 – N_ξ, где N_ξ – число разбиений отрезка [0, 1] (в наших расчетах N_ξ = = 500), и дискретного ряда значений энергии электрона: ${{\varepsilon }_{{\text{j}}}} = {{\varepsilon }_{{\min }}}\left( {\frac{{{{q}^{{j - 1}}} - 1}}{{q - 1}}} \right),$ где j = 1 – N_ε, и q есть решение уравнения $\frac{{{{q}^{{{{N}_{\varepsilon }} - 1}}} - 1}}{{q - 1}} = \frac{{{{\varepsilon }_{{\max }}}}}{{{{\varepsilon }_{{\min }}}}}$. В наших расчетах ε_min = 0.01 эВ, ε_max = 20 кэВ, N_ε = 1000. В случае ионизации добавляется еще разбиение по энергии вторичного электрона ε_k, которое тождественно разбиению ε_j, и получаем трехмерную таблицу значений θ_ijk.

3.3. Вычисление энергии электрона после взаимодействия

В случае упругого столкновения энергия электрона ${{\varepsilon }_{f}}$ после рассеяния на угол θ определяется из уравнения

где m_e и M – масса электрона и атома гелия, соответственно.

В случае возбуждения энергия электрона после столкновения равна

В случае ионизации сначала определяется энергия вторичного электрона на основе дифференциального сечения по модели Кима и Рада [41], для чего решается уравнение

а затем вычисляется энергия первичного электрона после акта ионизации:

Как и в случае углового рассеяния, уравнение (16) решается численно до начала МК расчетов и полученные значения энергии вторичного электрона ε_s,ij табулируются.

3.4. Вычисление импульса электрона после взаимодействия

Зная угол рассеяния θ и энергию ε_f электрона после столкновения можно определить импульс электрона после рассеяния ${{\vec {p}}_{f}}$ (см. рис. 6) по формулам

где φ = 2πξ – азимутальный угол рассеяния,

4.1. Транспортные и кинетические коэффициенты электронов

С целью тестирования программы нами было выполнено численное моделирование развития электронной лавины в однородном электрическом поле, и на основе полученных результатов рассчитаны коэффициент ионизации, дрейфовая скорость и средняя энергия электронов. Как известно, реализованы различные виды лабораторных экспериментов по определению параметров лавины электронов: time-of-flight (TOF), steady-state Townsend (SST), pulsed Townsend (PT) [65]. Измеряемые в данных экспериментах значения дрейфовой скорости могут заметно отличаться как друг от друга, так и от вычисленных значений [66]. Так, в работе [65], где методом МК скорость дрейфа в аргоне рассчитана для условий SST и TOF экспериментов, значение скорости при E/N = 566 Тд в TOF-эксперименте на 54% превышает значение в SST-эксперименте.

Моделирование выполнялось нами в следующей постановке. В начальный момент времени t = 0 в точке $\vec {r} = (0,0,0)$ в поле с напряженностью $\vec {E}(\vec {r}) = - E \cdot {{\vec {e}}_{z}}$, направленной вдоль координаты $\vec {z}$, задавался изотропный моноэнергетический источник электронов с энергией ε₀ = 1 эВ, содержащий N_e(0) = 10³ частиц. Концентрация атомов гелия полагалась равной числу Лошмидта (Loshmidt) ${{N}_{L}} = 2.69 \times {{10}^{{19}}}$ см^–3. Электроны поглощались в “аноде”, моделируемом плоскостью с координатой z = d_gap, где d_gap – “межэлектродное расстояние”. Данная постановка позволяет рассчитать параметры лавины в рамках экспериментов TOF и SST. Определение дрейфовой скорости ${{v}_{{{\text{TOF}}}}}$ в рамках эксперимента TOF дано в [67]. Формулы для определения первого коэффициента ионизации Таунсенда (Townsend) α_ion и дрейфовой скорости в рамках эксперимента SST ${{v}_{{{\text{SST}}}}}$ даны в [65]. Отметим также, что значение d_gap нами подобрано так, чтобы за время счета плоскости “анода” достигали ≈10⁷ электронов. Значение d_gap выбиралось достаточно большим, чтобы за время моделирования характеристики лавины (коэффициент ионизации, дрейфовая скорость и средняя энергия электронов) достигли стационарных значений.

На рис. 7 зависимость коэффициента ионизации Таунсенда α_ion от приведенной напряженности поля E/N, рассчитанная по нашей МК программе, сравнивается с зависимостью, измеренной в известной работе Чейнина (Chanin) и Рока (Rork) [68]. Рассчитанные и измеренные значения α_ion хорошо согласуются в области E/N ниже 200 Тд. В области больших E/N измеренные значения заметно превышают рассчитанные, что, по-видимому, связано с отсутствием равновесия электронов с полем в эксперименте [68] для значений E/N, превышающих 288 Тд. Действительно, Чейнин и Рок пишут, что в области E/P > > 100  (см Торр)^–1 электроны не были в равновесии с полем [68] и считают полученные ими данные в области больших E/N сомнительными (“…the validity of the data is highly questionable” [68]).

На рис. 8 сравниваются рассчитанные нами значения дрейфовой скорости электронов ${{v}_{{{\text{TOF}}}}}$ и ${{v}_{{{\text{SST}}}}}$ c измеренными в работах [67] и [69, 70], соответственно. Рассчитанные значения ${{v}_{{{\text{TOF}}}}}$ очень хорошо согласуются с данными измерений в работе [67] во всем диапазоне значений E/N от 1.4 до 226 Тд [67], причем согласие лучше, чем результаты расчетов дрейфовой скорости, выполненные методом МК самими авторами [67]. Рассчитанные нами значения ${{v}_{{{\text{SST}}}}}$ в области 20 ≤ E/N ≤ ≤ 400 Тд удовлетворительно согласуются с данными измерений, приведенных в статье Андерсона (Anderson) [69] и докладе Стерна (Stern) [70]. Но, начиная с E/N ≈ 500 Тд, рассчитанные значения ${{v}_{{{\text{SST}}}}}$ заметно превосходят данные Стерна, приведенные до E/N = 820 Тд [70]: отличие достигает ≈80% при E/N ≈ 800 Тд. Скорее всего, расхождение связано с тем, что в эксперименте Стерна [70], как и в эксперименте Чейнина и Рока [68], в области больших E/N равновесное состояние электронов c полем не достигалось. Стерн выполнял измерения в области положительного столба тлеющего разряда [70], используя методику, разработанную в статье [71]. Согласно нашим расчетам методом МК средняя энергия электронов в поле c E/N = 800 Тд равна 315 эВ, что сравнимо с величиной eU, соответствующей напряжению на электродах в тлеющем разряде U ~ ~ 100–1000 В [72], причем, как известно, значительная часть напряжения в тлеющем разряде падает в катодных слоях, а не в положительном столбе [72]. Из результатов наших расчетов следует, что в поле с E/N = 800 Тд равновесное состояние достигается при значении d_gap ≈ 50 мкм, чему соответствует напряжение ≈1000 В. К сожалению, неизвестно напряжение в области положительного столба в эксперименте Стерна [70].

Заметим, что в работе [67] с использованием крайне ограниченной системы сечений расчеты дрейфовой скорости $v$ методом МК выполнены для двух моделей рассеяния электронов в ионизующих столкновениях: тот же закон рассеяния, что и в упругих столкновениях, и изотропное рассеяние. Авторы [67] пишут, что для достижения хорошего согласия с параметрами “роя” ((“fit to the swarm parameters” [67]) во всем диапазоне E/N в их программе МК требуется масштабирование некоторых сечений. Расчеты выполнены до очень больших значений E/N, вплоть до 2260 Тд. Начиная с E/N ≈ 300–400 Тд, приведенные на рис. 7 [67] кривые $v(E{\text{/}}N)$ расходятся, причем в случае изотропного рассеяния кривая проходит ниже, и именно она согласуется с данными Стерна [70].

4.2. Частота генерации электронов высоких энергий

В рамках классического детерминистического подхода в заданном электрическом поле электрон считается убегающим, если напряженность поля превосходит энергетические потери электрона на единице пути [1, 2, 73]. В гелии максимум энергетических потерь электрона равен ≈51 кэВ см^–1 и достигается при энергии электрона ≈150 эВ [1, 2]. Таким образом, любой электрон, движущийся в поле с напряженностью, большей 50 кВ см^–1, считается убегающим в рамках детерминистического подхода. В реальности угловое рассеяние электрона на атомах или молекулах среды замедляет процесс ускорения. К сожалению, невозможно дать строгое определение УЭ в рамках стохастического подхода, т.е. когда траектория электрона моделируется с учетом рассеяния: можно говорить лишь о вероятности достижения электроном некоторой пороговой энергии ε_th за заданное время. В литературе свободно используется термин “убегающий электрон” без четкого определения, и чаще всего убегающим считается электрон с энергией, превышающей 1 кэВ.

Нами выполнены расчеты частоты ν_he генерации электронов высоких энергий, которыми считались электроны, достигающие заданное значение энергии ε_max. Вычисления проводились в той же постановке, что и в статье [33]. В однородном электрическом поле с напряженностью E при концентрации атомов гелия N = ${{N}_{L}} = 2.69 \times $ 10¹⁹ см^–3 задавался точечный источник, содержащий N₀ = = 10⁴ электронов с энергией 1 эВ. Вектор начальной скорости электронов направлен вдоль вектора электрической силы $ - eE \cdot {{{{\vec {e}}}}_{z}}$. Предполагается, что изменение во времени числа электронов N_he высоких энергий (ε ≥ ε_max) описывается системой уравнений [33]

с начальным условием

Здесь t_d – момент, когда первый электрон достигает энергии ε_max. Решение системы уравнений (19)

Используя полученную в расчетах методом МК зависимость N_he(t), с помощью формулы (21) можно вычислить частоту генерации электронов высоких энергий ν_he. Поскольку момент времени t_d является стохастическим параметром, целесообразно его исключить. Частота ν_he рассчитывается по участку зависимости N_he(t), на котором число электронов N_he меняется от 0.1N₀ до 0.9N₀

где t_0.1 и t_0.9 моменты времени, когда величина N_he достигает значений 0.1N₀ и 0.9N₀ соответственно. Траектории электронов прослеживались до момента, когда их энергия достигала значения ε_max.

Значения ν_he, вычисленные для нескольких значений ε_max в диапазоне от 0.25 до 10 кэВ и напряженности поля E от 50 до 300 кВ см^–1, приведены в табл. 2. Частота ν_he сильно зависит от напряженности поля и является крайне слабой функцией ε_max: при изменении ε_max в 40 раз ν_re изменяется максимум в 8 раз при Е = 50 кВ см^–1 и практически не зависит от ε_max при больших Е. На рис. 9 иллюстрируется изменение со временем доли электронов, достигших энергии 4 кэВ, в полях с напряженностью 75, 100 и 150 кВ см^–1. Видно, что формула (21), действительно, очень хорошо описывает результаты расчетов, выполненные методом МК. Столь хорошее согласие наблюдается во всем исследованном диапазоне значений ε_max и E.

Как отмечалось выше, одной из целей нашей работы является оценка влияния различных моделей углового рассеяния на процесс убегания электронов. Поэтому выполнен расчет частоты генерации электронов высоких энергий ν_he по упрощенной модели, в которой угловое рассеяние электронов в процессах возбуждения и ионизации (для первичных электронов) описывается так же, как в упругих столкновениях. На рис. 10 сравниваются значения частоты ν_he, рассчитанные по упрощенной и полной моделям МК. Видно, что значения ν_he, рассчитанные по упрощенной модели, на порядок меньше значений, полученных по полной модели: электроны в упругих столкновениях рассеиваются гораздо сильнее, чем в неупругих процессах. Здесь же приведены результаты расчетов из статьи [33], в которой убегающими считались электроны, достигающие энергии ε_max = 4 кэВ. Вычисленные нами по полной модели значения частоты ν_he близки к полученным в работе [33]: различие не превышает полутора раз.

Функцию ν_he(ε_max, E) рекомендуется использовать для расчета скорости генерации электронов высоких энергий в задачах по моделированию газового разряда в гелии с локальным источником электронов с энергий ε_max

где E – напряженность локального поля и ${{n}_{{{\text{le}}}}}$ – концентрация электронов низких энергий (low energies). Поскольку электрическое поле в газоразрядном промежутке обычно сильно неоднородно, встает вопрос о правомерности данного подхода. Очевидным критерием применимости является выполнение условия l_he ≪ λ_e, где l_he – средняя длина, на которой электроны набирают энергию ε_max и λ_e – характерный масштаб изменения напряженности поля. Рассчитанные нами значения l_he(ε_max) приведены в табл. 3.

Хотя точно определить понятие “убегающий электрон” невозможно, используя рассчитанные зависимости l_he(ε_max, E) (табл. 3), можно оценить пороговую энергию убегания. В рамках детерминистического подхода в заданном поле электрон набирает энергию в соответствии с уравнением

в котором функция F_loss,(ε), описывающая энергетические потери электрона на единице пути в результате столкновений с атомами, рассчитана нами на основании использованных в программе МК-сечений возбуждения и ионизации по формуле где суммирование ведется по всем состояниям, приведенным в табл. 1, ${{\varepsilon }_{{{\text{ex,i}}}}}$ и ε_ion – пороговые энергии возбуждения и ионизации, $\left\langle {{{\varepsilon }_{{\text{s}}}}} \right\rangle $ – средняя энергия вторичных электронов, рождаемых электроном с энергией ε. F_loss(ε) возрастает с ростом энергии ε, проходит через максимум ≈50 кэВ см^–1 при ε ≈ 150 эВ, что согласуется с данными [1, 2], и далее с ростом энергии быстро спадает до значения ≈5 кэВ см^–1 при ε ≈ 8 кэВ. Таким образом, в области ε > 8 кэВ для всех значений напряженности поля в таблицах 2 и 3 выполняется условие eE ≫ F_loss. Следовательно, в этой области потерями энергии можно пренебречь, так что энергия электрона линейно растет с расстоянием.

На рис. 11 приведены зависимости энергии электрона от пройденного расстояния для четырех значений напряженности поля E = 50, 75, 100 и 150 кВ см^–1, полученные из решения уравнения (24) и рассчитанные методом МК (табл. 3). Видно, что начиная со значения ε ≈ 2 кэВ, энергия электрона линейно растет с расстоянием, причем угол наклона прямолинейного участка примерно равен eE. Таким образом, для гелия в электрических полях с напряженностью E ≥ 50 кВ см^–1 значение 2 кэВ можно считать энергетическим порогом убегания ε_th, достигнув которого электрон переходит в режим непрерывного ускорения, приобретая от электрического поля гораздо больше энергии, чем теряет в столкновениях с атомами.

Расчеты частоты ν_he выполнены для концентрации атомов гелия, равной числу Лошмидта ${{N}_{L}} = 2.69 \times {{10}^{{19}}}$ см^–3. Представляет интерес выяснить, справедлив ли для ν_he закон подобия, а именно, зависит ли отношение ν_he/N от ${E \mathord{\left/ {\vphantom {E N}} \right. \kern-0em} N}$ (подобно коэффициенту ионизации Таунсенда α_ion/N) или ν_he/N зависит от E и N отдельно. Формулу (54) в обзоре [74] для времени экспоненциального нарастания числа УЭ можно переписать для частоты ${{{{\nu }_{{he}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{{he}}}} N}} \right. \kern-0em} N} = {\text{const}}Z\sqrt {{{{\left( {{{eE} \mathord{\left/ {\vphantom {{eE} {N{{F}_{{\min ,1}}}}}} \right. \kern-0em} {N{{F}_{{\min ,1}}}}}} \right)}}^{3}}} $, где $N{{F}_{{\min ,1}}}$ – минимальное значение силы трения, испытываемой электронами с энергией вблизи 1 МэВ в результате взаимодействия с атомарными частицами. Отсюда видно, что закон подобия выполняется: ${{{{\nu }_{{he}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{{he}}}} N}} \right. \kern-0em} N}$ зависит от ${E \mathord{\left/ {\vphantom {E N}} \right. \kern-0em} N}$.

Но формула (54) в [74] получена исходя из КУ для ФРЭ, зависящей от времени и скорости электронов. Если учесть зависимость от координаты, то закон подобия нарушается. Действительно, рассмотрим более общее КУ

с интегралом столкновений $N \times St\{ F({{v}_{x}},x,t)\} $. Факторизуя ФРЭ $F({{v}_{x}},x,t) = f({{v}_{x}},x) \times \exp ({{\nu }_{{he}}}t)$ и деля результат на N, получаем КУ содержащее требуемые для выполнения закона подобия отношения ${{{{\nu }_{{he}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{{he}}}} N}} \right. \kern-0em} N}$ и E/N. Видно, однако, что закон подобия выполняется только в случае ФРЭ, не зависящей от координаты, что соответствует нашим расчетам, т.е. ${{{{\nu }_{{he}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\nu }_{{he}}}} N}} \right. \kern-0em} N}$ зависит от E/N.