1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Физика плазмы
  4. T. 47, № 10, 2021

Физика плазмы, 2021, T. 47, № 10, стр. 867-875

Влияние анизотропии давления на диамагнитный сигнал в токамаке с некруглой плазмой

В. Д. Пустовитов a, b, *, Е. А. Рябушев a, c

a Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”
Москва, Россия

b Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”
Москва, Россия

c Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Москва, Россия

* E-mail: Pustovitov_VD@nrcki.ru

Поступила в редакцию 15.02.2021
После доработки 30.04.2021
Принята к публикации 18.05.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Анализируется связь диамагнитного сигнала с током и давлением анизотропной плазмы в токамаке. Она хорошо известна для цилиндрической плазмы круглого сечения, но здесь форма плазмы считается произвольной и учитывается тороидальность системы в комбинации с анизотропией. Это существенно усложняет вычисления и требует интегрирования обобщенного уравнения Грэда–Шафранова. Аналитические вычисления выполняются по схеме, применявшейся для изотропной плазмы в [Pustovitov V.D., Fusion Eng. Des. 2017. V. 117. P. 1]. Сделаны оценки большой группы слагаемых, возникающих из-за анизотропии, и выделен главный эффект. Результат готов для практического использования.

Ключевые слова: токамак, диамагнитный сигнал, анизотропное давление

1. ВВЕДЕНИЕ

Диамагнитные измерения принадлежат к стандартному набору методов диагностики плазмы, применяемых на всех действующих токамаках и стеллараторах [1–31]. Обычно при вычислении созданного плазмой тороидального магнитного потока

(1)
$\Delta {{\Phi }_{{pl}}} \equiv \int\limits_{pl} {(B - {{B}^{e}})d{{S}_{{pl}}}} ,$
где B – полное магнитное поле, ${{B}^{e}}$ – магнитное поле, порожденное внешними по отношению к плазме источниками, а интегрирование осуществляется по ее поперечному сечению ${{S}_{{pl}}}$ ($d{{S}_{{pl}}}$ – элемент его площади), плазма предполагается изотропной, однако при неомическом нагреве на современных установках она может оказаться существенно анизотропной [6, 7, 9, 19, 22, 23, 31–41]. В этом случае теория предлагает использовать выражение [42–45]
(2)
$2\frac{{\Delta {{\Phi }_{{pl}}}}}{{{{\Phi }_{0}}}} = \frac{{B_{J}^{2}}}{{B_{0}^{2}}} - {{\beta }_{ \bot }},$
связывающее $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ с полным тороидальным магнитным потоком ${{\Phi }_{0}}$ через сечение ${{S}_{{pl}}}$, полоидальным магнитным полем ${{B}_{J}}$ на его границе, вакуумным тороидальным магнитным полем ${{B}_{0}}$ на геометрической кольцевой оси системы и ${{\beta }_{ \bot }}$ – отношением усредненного по ${{S}_{{pl}}}$ поперечного давления плазмы ${{p}_{ \bot }}$ к магнитному давлению. Также известно обобщение на случай эллиптической формы ${{S}_{{pl}}}$ с вытянутостью K
(3)
$\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = \frac{{\mu _{0}^{2}J_{{pl}}^{2}}}{{8\pi {{B}_{0}}}}\frac{{2K}}{{{{K}^{2}} + 1}}(1 - {{\beta }_{{ \bot p}}}),$
где ${{J}_{{pl}}}$ – полный тороидальный ток. Вывод (3) и определение “полоидальной” беты ${{\beta }_{{ \bot p}}}$ даны в [43], см. там уравнения (5) и (15). При равенстве продольного ${{p}_{{||}}}$ и поперечного ${{p}_{ \bot }}$ давлений формулы (2) и (3) с $K = 1$ воспроизводят широко известный классический результат, полученный более 60 лет тому назад [46–48]. Основные элементы в задаче иллюстрируются рис. 1.

Рис. 1.

Схематическое изображение основных элементов в задаче. Внешняя оболочка w – вакуумная камера (стенка), центральная часть pl – плазма. В вакуумном зазоре плазма-стенка показана диамагнитная петля d, лежащая в плоскости, перпендикулярной тороидальной оси.

В выражении (3), варианты которого можно найти в [1, 2, 18, 22, 31], единственным геометрическим параметром является K, от которого неявно зависит и ${{\beta }_{{ \bot p}}}$. В действительности форма плазмы часто отличается от эллипса, поэтому (3) дает лишь оценку. Еще одно неявное ограничение связано с использованием при выводе (3) приближения большого аспектного отношения A (отношение большого радиуса плазмы к малому). В [49] показано, что формулы, полученные для $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ как асимптотики при $A \gg 1$, при $A \to 1$ дают завышенную в 2–10 раз оценку запасенной в плазме энергии. Это означает, что они заведомо неверны для сферических токамаков. При увеличении A ошибка (2) и (3) уменьшается. Для обычных токамаков с $A \approx 3$ она должна быть на уровне $O(1{\text{/}}{{A}^{2}})$, но при нынешней точности измерений даже это становится существенным недостатком.

Для изотропной плазмы общее соотношение, пригодное при любой форме ${{S}_{{pl}}}$ и без ограничений на A, в линейном приближении по диамагнитному эффекту плазмы имеет вид [50]

(4)
${{I}_{g}}\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = {{C}_{J}}J_{{pl}}^{2} - {{C}_{p}}\int\limits_{pl} {pd\tau } ,$
где ${{I}_{g}} = 2\pi {{R}_{0}}{{B}_{0}}{\text{/}}{{\mu }_{0}}$ – полный внешний полоидальный ток, ${{R}_{0}}$ – большой радиус центра вакуумной камеры, интегрирование ведется по всему объему плазмы ($d\tau $ – его элемент), ${{C}_{p}} \approx 1$, а ${{C}_{J}}$ – положительная константа, которая находится из решения уравнения равновесия, см. определение (36) ниже. Например, для эллиптической плазмы зависимость ${{C}_{J}}$ от вытянутости K можно аппроксимировать равенством [50]
(5)
${{C}_{J}} \approx \frac{{{{\mu }_{0}}}}{2}\frac{K}{{{{K}^{2}} + 1}}{{R}_{0}},$
тогда (4) даст нам аналог (3).

Целью настоящей работы является обобщение (4) на анизотропный случай. По выводу оно должно быть более точным, чем (3). Окончательный результат оказывается компактным для обычных токамаков, но для систем с малым A он показывает, что анизотропия давления плазмы приводит к еще большим отличиям, чем было обнаружено в [49].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для вычисления $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$, производимого аксиально-симметричной плазмой произвольной формы, будем использовать метод, предложенный в [50]. Там он применялся в предположении ${{p}_{ \bot }} = {{p}_{{||}}} = p$, а здесь в уравнении равновесия

(6)
$\nabla \cdot \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {p} = j \times B$
будем различать продольное и поперечное давления в тензоре

(7)
$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {p} \equiv {{p}_{{||}}}\frac{{BB}}{{{{B}^{2}}}} + {{p}_{ \bot }}\left( {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {E} - \frac{{BB}}{{{{B}^{2}}}}} \right).$

Здесь $j = \nabla \times B{\text{/}}{{\mu }_{0}}$ – плотность электрического тока, а $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}$}} {E} $ – единичный тензор.

Равновесие анизотропной плазмы на основе уравнений (6) и (7) хорошо изученная область, см. [35, 39, 51–62]. Нам потребуется их следствие

(8)
$\nabla {{p}_{{||}}} = {{\sigma }_{{||}}}\nabla \left( {\frac{{{{{\mathbf{B}}}^{2}}}}{{2{{\mu }_{0}}}}} \right) + K \times B,$
где
(9)
${{\mu }_{0}}K \equiv {\text{ }}\nabla \times (\sigma B)$
и

(10)
${{\sigma }_{{||}}} \equiv \frac{{{{p}_{{||}}} - {{p}_{ \bot }}}}{{{{B}^{2}}{\text{/}}{{\mu }_{0}}}},\quad \sigma \equiv 1 - {{\sigma }_{{||}}}.$

Как известно, в конечном итоге из (8) и уравнений Максвелла при аксиальной симметрии получается анизотропный аналог уравнения Грэда–Шафранова [52, 55, 57, 63]

(11)
$\frac{{{{K}_{\zeta }}}}{{2\pi r}} = - \nabla \cdot \frac{{\sigma \nabla \psi }}{{4{{\pi }^{2}}{{\mu }_{0}}{{r}^{2}}}} = \frac{{\partial {{p}_{{||}}}}}{{\partial \psi }} + {{\mu }_{0}}\frac{{{{F}_{k}}F_{k}^{'}(\psi )}}{{4{{\pi }^{2}}\sigma {{r}^{2}}}}.$

Здесь

(12)
${{K}_{\zeta }} \equiv {\mathbf{K}} \cdot {{e}_{\zeta }} = \sigma {{j}_{\zeta }} + \frac{{\nabla {{\sigma }_{{||}}} \cdot \nabla \psi }}{{2\pi r{{\mu }_{0}}}},$
${{F}_{k}} = \sigma I$ является функцией магнитной поверхности [52, 55, 57, 63], штрих обозначает производную, а величины
(13)
$\psi (r,z) \equiv \int {B \cdot d{{S}_{{pol}}}} = 2\pi \int\limits_0^r {B \cdot {{e}_{z}}rdr} $
и
(14)
$I(r,z) \equiv \int {j \cdot d{{S}_{{pol}}}} = 2\pi \int\limits_0^r {{\mathbf{j}} \cdot {{{\mathbf{e}}}_{z}}rdr} $
имеют смысл полоидального магнитного потока и тока соответственно. Магнитное поле B связано с ними равенством
(15)
$2\pi B = \nabla \psi \times \nabla \zeta + {{\mu }_{0}}I\nabla \zeta ,$
где ζ – тороидальный угол в стандартной цилиндрической системе координат $(r,\zeta ,z)$, показанной на рис. 2.

Рис. 2.

Геометрия задачи и используемые обозначения. Плазма с большим радиусом R отделена от стенки токамака вакуумным зазором. Показаны два типа используемых в токамаках диамагнитных петель – внутри $(d)$ и снаружи $({{d}_{e}})$ вакуумной камеры. $(r,\zeta ,z)$ – цилиндрические координаты, связанные с главной осью симметрии токамака.

Нашей целью будет вычисление величины

(16)
$\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{pl} {({\mathbf{B}} - {{{\mathbf{B}}}^{e}}) \cdot \nabla \zeta d\tau } = \frac{{{{\mu }_{0}}}}{{4{{\pi }^{2}}}}\int\limits_{pl} {\frac{{I - {{I}_{g}}}}{{{{r}^{2}}}}d\tau } ,$
где ${{I}_{g}}$ – это значение I в вакуумном зазоре между стенкой и плазмой. Последнее равенство в (16) получается подстановкой (15) в определение (1).

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$

Интеграл в (16) определяется разностью $I - {{I}_{g}}$. Чтобы связать ее с величиной

(17)
${{F}_{k}}F_{k}^{'}(\psi ) = \frac{1}{2}\frac{d}{{d\psi }}(F_{k}^{2} - I_{g}^{2})$
из уравнения (11), воспользуемся тождеством
(18)
$\begin{gathered} I - {{I}_{g}} \\ = {{\sigma }_{{||}}}{{I}_{g}} + \frac{1}{{2\sigma {{I}_{g}}}}[F_{k}^{2} - I_{g}^{2} - {{({{F}_{k}} - {{I}_{g}})}^{2}} + 2\sigma _{{||}}^{2}I_{g}^{2}], \\ \end{gathered} $
где, напомним, ${{F}_{k}} = \sigma I$. В обычных токамаках всегда $\left| {{{F}_{k}}{\text{/}}{{I}_{g}} - 1} \right| \ll 1$ и $\left| {{{\sigma }_{{||}}}} \right| \ll 1$, поэтому в (18) можно пренебречь последними двумя слагаемыми, квадратичными по этим малым параметрам.

При такой подстановке из (16) получим

(19)
$\begin{gathered} \frac{{8{{\pi }^{2}}}}{{{{\mu }_{0}}}}{{I}_{g}}\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = \int\limits_{pl} {\frac{{F_{k}^{2} - I_{g}^{2} + 2{{\sigma }_{{||}}}I_{g}^{2}}}{{\sigma {{r}^{2}}}}d\tau = } \\ \, = \int\limits_{pl} {\left[ {(F_{k}^{2} - I_{g}^{2})\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle + 2I_{g}^{2}\left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right\rangle } \right]dV} , \\ \end{gathered} $
где введена операция усреднения
(20)
$\left\langle f \right\rangle \equiv \frac{d}{{dV}}\int\limits_V {fd\tau } $
по объему тороидального слоя $dV$ между соседними магнитными поверхностями $\psi (V) = {\text{const}}$. Постоянство ${{F}_{k}}$ и ${{I}_{g}}$ на магнитной поверхности позволило перейти в (19) от трехмерного интегрирования по $d\tau $ к одномерному по $dV$.

Далее, следуя алгоритму, предложенному в [50], усредним уравнение (11) по правилу (20). Результат этой операции

(21)
$\psi {\kern 1pt} '(V){{J'}_{k}}(V) = \left\langle {\frac{{\partial {{p}_{{||}}}}}{{\partial V}}} \right\rangle + \frac{{{{\mu }_{0}}}}{{8{{\pi }^{2}}}}\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle \frac{d}{{dV}}(F_{k}^{2} - I_{g}^{2}),$
где
(22)
${{J}_{k}}(V) \equiv \int\limits_V {\frac{{{{K}_{\zeta }}}}{{2\pi r}}d\tau } ,$
умножим на функцию ${{h}_{k}}$, определенную равенством
(23)
$\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle {{h}_{k}}(V) \equiv \int\limits_0^V {\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle dV} ,$
и проинтегрируем по всему объему плазмы. На ее границе ${{\left. {{{F}_{k}}} \right|}_{{boundary}}} = {{I}_{g}}$, поэтому получим

(24)
$\begin{gathered} \int\limits_{pl} {(F_{k}^{2} - I_{g}^{2})\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle dV} = \\ \, = \int\limits_{pl} {\left[ {{{h}_{k}}\left\langle {\frac{{\partial {{p}_{{||}}}}}{{\partial V}}} \right\rangle - \psi {\kern 1pt} '(V)J_{k}^{'}(V){{h}_{k}}} \right]dV} . \\ \end{gathered} $

Подстановка этого равенства в (19) приводит к

(25)
$\begin{gathered} {{I}_{g}}\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = \int\limits_{pl} {\left[ {{{h}_{k}}\left\langle {\frac{{\partial {{p}_{{||}}}}}{{\partial V}}} \right\rangle + \frac{{{{\mu }_{0}}I_{g}^{2}}}{{4{{\pi }^{2}}}}\left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right\rangle } \right]dV} - \\ \, - \int\limits_{pl} {\psi {\kern 1pt} '(V)J_{k}^{'}(V){{h}_{k}}dV} . \\ \end{gathered} $

Это аналог выражения (50) из работы [50], к которому (25) сводится при ${{p}_{{||}}} = {{p}_{ \bot }}$.

Первый интеграл в правой части (25) преобразуется к виду

(26)
$ - \int\limits_{pl} {\frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}}\left\langle {{{p}_{ \bot }}} \right\rangle dV} + \int\limits_{pl} {[{{\varepsilon }_{1}} + {{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})]dV} ,$
где
(27)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{1}} \equiv \left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}(B_{{tg}}^{2} - B_{t}^{2})}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle + \\ \, + \left( {1 - \frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}}} \right)\left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}B_{t}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle - \frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}}\left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}B_{p}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle , \\ \end{gathered} $
(28)
$D({{p}_{{||}}}) \equiv \left\langle {\frac{{\partial {{p}_{{||}}}}}{{\partial V}}} \right\rangle - \frac{d}{{dV}}\left\langle {{{p}_{{||}}}} \right\rangle ,$
${{B}_{{tg}}} = {{B}_{0}}{{R}_{0}}{\text{/}}r = {{\mu }_{0}}{{I}_{g}}{\text{/}}(2\pi r)$ – вакуумное тороидальное поле, ${{B}_{t}} = {{\mu }_{0}}I{\text{/}}(2\pi r)$ – полное тороидальное поле, а ${{B}_{p}} = \left| {\nabla \psi } \right|{\text{/}}(2\pi r)$ – полоидальное поле. Переход к (26) производится путем вычитания из выражения в скобках […] в (25) комбинации
(29)
${{h}_{k}}\frac{d}{{dV}}\left\langle {{{p}_{{||}}}} \right\rangle + \frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}}\left\langle {{{p}_{ \bot }}} \right\rangle + \left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}B_{t}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle $
c учетом соотношений (10), ${{B}^{2}} = B_{t}^{2} + B_{p}^{2}$ и

(30)
$\int\limits_{pl} {{{h}_{k}}\frac{d}{{dV}}\left\langle {{{p}_{{||}}}} \right\rangle dV} = - \int\limits_{pl} {\frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}}\left\langle {{{p}_{{||}}}} \right\rangle dV} .$

Отметим, что для изотропной плазмы ${{\varepsilon }_{1}} = $ $ = D({{p}_{{||}}}) = 0$, и тогда в (26) остается только первое слагаемое. В следующем разделе показано, что при типичных параметрах токамака второй интеграл в (26) является малой поправкой, поэтому им можно пренебречь и для плазмы с ${{p}_{{||}}} \ne {{p}_{ \bot }}$.

Входящая в (25) величина

(31)
$\begin{gathered} {{J}_{k}}(V) = J(V) + \int\limits_V {div\frac{{{{\sigma }_{{||}}}\nabla \psi }}{{4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}{{\mu }_{0}}}}d\tau } = \\ \, = J(V) + \frac{{dV}}{{d\psi }}\left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}B_{p}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle \\ \end{gathered} $
лишь ненамного отличается от полного тороидального тока
(32)
$J(V) \equiv \int\limits_V {\frac{{{{j}_{\zeta }}}}{{2\pi r}}d\tau } = \int\limits_V {\nabla \cdot \frac{{\nabla \psi }}{{4{{\pi }^{2}}{{r}^{2}}{{\mu }_{0}}}}d\tau } = - \frac{{{{\alpha }_{{22}}}\psi {\kern 1pt} '\left( V \right)}}{{{{\mu }_{0}}}},$
текущего внутри магнитной поверхности $\psi (V) = $ $ = {\text{const}}$. Здесь использовано тождество
(33)
$\int\limits_V {\nabla \cdot qd\tau } = \int\limits_V {\left\langle {\nabla \cdot q} \right\rangle dV} = \left\langle {q \cdot \nabla V} \right\rangle $
и введено обозначение

(34)
${{\alpha }_{{22}}} \equiv \frac{1}{{4{{\pi }^{2}}}}\left\langle {\frac{{{{{\left| {\nabla V} \right|}}^{2}}}}{{{{r}^{2}}}}} \right\rangle .$

Подстановка (31) во второй интеграл в (25) дает

(35)
$ - \int\limits_{pl} {\psi {\kern 1pt} '(V)J_{k}^{'}(V){{h}_{k}}dV} = C_{J}^{a}J_{{pl}}^{2} + \int\limits_{pl} {{{\varepsilon }_{2}}dV} ,$
где
(36)
$\frac{2}{{{{\mu }_{0}}}}C_{J}^{a} \equiv {{\left. {\frac{{{{h}_{k}}}}{{{{\alpha }_{{22}}}}}} \right|}_{b}} - \int\limits_{pl} {\frac{{{{J}^{2}}}}{{J_{{pl}}^{2}}}\frac{d}{{dV}}\left( {\frac{{{{h}_{k}}}}{{{{\alpha }_{{22}}}}}} \right)dV} ,$
а

(37)
${{\varepsilon }_{2}} \equiv \left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}B_{p}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle \left[ {\frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}} + \frac{{{{h}_{k}}\psi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(V)}}{{\psi {\kern 1pt} '(V)}}} \right].$

Первое слагаемое в правой части (35) получается с учетом равенства

(38)
$\psi {\kern 1pt} '(V)J{\kern 1pt} '(V) = - \frac{{{{\mu }_{0}}}}{{2{{\alpha }_{{22}}}}}\frac{{d{{J}^{2}}}}{{dV}},$
которое следует из (32), а второе находится путем интегрирования по частям
(39)
$\begin{gathered} - \int\limits_{pl} {\psi {\kern 1pt} '(V){{h}_{k}}\frac{d}{{dV}}({{J}_{k}} - J)dV = } \\ \, = \int\limits_{pl} {\left[ {\frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}} + \frac{{{{h}_{k}}\psi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(V)}}{{\psi {\kern 1pt} '(V)}}} \right]\left\langle {\frac{{{{\sigma }_{{||}}}B_{p}^{2}}}{{{{\mu }_{0}}}}} \right\rangle dV} , \\ \end{gathered} $
где учтено (31) и его следствие, что ${{J}_{k}} - J = 0$ на магнитной оси и на границе плазмы. При ${{p}_{ \bot }} = {{p}_{{||}}}$ величина ${{\varepsilon }_{2}}$ обращается в ноль, а выражение (35) переходит во второе слагаемое из (4).

При помощи (26) и (35) формула (25) преобразуется к виду

(40)
${{I}_{g}}\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = C_{J}^{a}J_{{pl}}^{2} - С_{p}^{a}\int\limits_{pl} {{{p}_{ \bot }}} d\tau + \int\limits_{pl} {[\varepsilon + {{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})]dV} ,$
где
(41)
$С_{p}^{a}\int\limits_{pl} {{{p}_{ \bot }}} d\tau \equiv \int\limits_{pl} {\frac{{d{{h}_{k}}}}{{dV}}\left\langle {{{p}_{ \bot }}} \right\rangle } dV,$
а $\varepsilon \equiv {{\varepsilon }_{1}} + {{\varepsilon }_{2}}$.

Для изотропной плазмы ε и $D({{p}_{{||}}})$ обращаются в ноль, множители $C_{J}^{a}$ и $С_{p}^{a}$ превращаются в ${{С}_{J}}$ и ${{С}_{p}}$ из (4), а (40) в точности воспроизводит (4).

4. КОЭФФИЦИЕНТЫ И ПОПРАВКИ В (40)

При ${{p}_{ \bot }} = {{p}_{{||}}} = p$, что предполагалось при выводе (4), замена $p \to {{p}_{ \bot }}$ в (4) ничего не меняет, но облегчает сравнение (4) с (40). Их сходство усиливается, если заметить, что в (40) коэффициенты $C_{J}^{a}$ и $С_{p}^{a}$ можно с хорошей точностью заменить на ${{С}_{J}}$ и ${{С}_{p}}$ из (4).

Действительно, из (23) следует, что

(42)
${{h}_{k}}{\text{/}}h = 1 + O({{\sigma }_{{||}}}),$
где h есть значение ${{h}_{k}}$ при ${{\sigma }_{{||}}} = 0$, т. е. для изотропной плазмы. Анизотропия входит в определение $C_{J}^{a}$ только через ${{h}_{k}}$, поэтому

(43)
$C_{J}^{a}{\text{/}}{{C}_{J}} = 1 + O({{\sigma }_{{||}}}).$

При типичных условиях в токамаках величина $2{{\sigma }_{{||}}} = O({{\beta }_{{||}}} - {{\beta }_{ \bot }})$ может достигать значений лишь на уровне 0.01. Это и позволяет пренебречь отличием ${{h}_{k}}$ от h в (36) и с хорошей точностью полагать $C_{J}^{a} = {{C}_{J}}$ при вычислении $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$.

Далее, из (23) видно, что

(44)
$\begin{gathered} 1 - d{{h}_{k}}{\text{/}}dV = {{h}_{k}}(V){{\frac{d}{{dV}}\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle } \mathord{\left/ {\vphantom {{\frac{d}{{dV}}\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle } {\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle \approx }}} \right. \kern-0em} {\left\langle {\frac{1}{{\sigma {{r}^{2}}}}} \right\rangle \approx }} \\ \, \approx V\frac{d}{{dV}}\left\langle {{{\sigma }_{{||}}} + 2x{\text{/}}{{R}_{с}} + 3{{x}^{2}}{\text{/}}R_{с}^{2}} \right\rangle , \\ \end{gathered} $
где $x = {{R}_{с}} - r$, ${{R}_{с}} = {{R}_{0}} + \Delta (a)$ – большой радиус магнитной поверхности с горизонтальной полуосью a, а $\Delta (a)$ – ее смещение относительно центра вакуумной камеры. В последнем равенстве мы сохранили только слагаемые, линейные по ${{\sigma }_{{||}}}$ и вплоть до квадратичных по $x{\text{/}}{{R}_{с}}$. Из (44) получается
(45)
${{h}_{k}}{\text{/}}V = 1 + O({{b}^{2}}{\text{/}}R_{0}^{2}) + O({{\sigma }_{{||}}}) + O(\Delta {\kern 1pt} 'b{\text{/}}{{R}_{0}}),$
где b – малый радиус, а штрих обозначает производную. Учет тороидальных эффектов в выражениях для $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ обсуждался в [47, 48, 59, 64]. Обусловленные ими поправки к $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$, которые автоматически учитываются в ${{С}_{J}}$ и ${{С}_{p}}$, могут быть на порядок выше, чем $O({{\sigma }_{{||}}})$, потому что у многих токамаков, включая JET и ITER, $A \equiv {{R}_{0}}{\text{/}}b \approx 3$. В стандартных моделях равновесия плазмы
(46)
$\Delta {\kern 1pt} '(a) = - \frac{a}{{{{R}_{{\text{c}}}}}}[{{\beta }_{p}} + {{l}_{i}}{\text{/}}2],$
где ${{\beta }_{p}} = 2{{\mu }_{0}}(p - \bar {p}){\text{/}}B_{p}^{2}$ – полоидальная бета, ${{l}_{i}} = \bar {B}_{p}^{2}{\text{/}}B_{p}^{2}$ – внутренняя индуктивность плазмы на единицу длины (величина порядка единицы), а горизонтальная черта означает усреднение по поперечному сечению ${{S}_{{pl}}}$. При численных расчетах с $A \approx 3$ тороидальные поправки можно заметить на уровне 0.1, но они будут существенными в компактных системах.

В любом случае проделанные оценки показывают, что в формуле (40) константы $(C_{J}^{a},С_{p}^{a})$ практически совпадают с $({{С}_{J}},{{С}_{p}})$, вычисленными с точным учетом тороидальности. Тогда в (40) остается оценить лишь последний интеграл с $\varepsilon + {{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})$, равный нулю при ${{p}_{ \bot }} = {{p}_{{||}}}$.

Покажем, что при умеренных и тем более больших значениях A им можно пренебречь и при  ${{p}_{{||}}} \ne {{p}_{ \bot }}$. Начнем с того, что все слагаемые с  ${{p}_{ \bot }}$ в $\varepsilon = {{\varepsilon }_{1}} + {{\varepsilon }_{2}}$ содержат малые параметры $(B_{{tg}}^{2} - B_{t}^{2}){\text{/}}{{{\mathbf{B}}}^{2}}$, $B_{p}^{2}{\text{/}}{{{\mathbf{B}}}^{2}}$ и $1 - d{{h}_{k}}{\text{/}}dV$. Поэтому для обычных токамаков этой частью ε (назовем ее ${{\varepsilon }_{ \bot }}$) можно пренебречь по сравнению с явным интегралом от ${{p}_{ \bot }}$ в (40).

Ситуация с ${{\varepsilon }_{{||}}} = \varepsilon - {{\varepsilon }_{ \bot }}$ несколько иная, поскольку интеграл от ${{\varepsilon }_{{||}}} + {{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})$ приходится сравнивать с первыми членами в (40), содержащими ${{J}_{{pl}}}$ и поперечное давление${{p}_{ \bot }}$. Проблема возникает только при ${{p}_{{||}}} \gg {{p}_{ \bot }}$ или ${{p}_{ \bot }} \to 0$, когда основное слагаемое с ${{p}_{ \bot }}$ становится малым, и ее проще всего проиллюстрировать, обратившись к цилиндрическому пределу для плазмы с круглым сечением.

В этом случае $\Delta = 0$, а ${{p}_{{||}}}$, ${{p}_{ \bot }}$ и ${{{\mathbf{B}}}^{2}}$ зависят только от полярного радиуса ρ. Тогда продольная проекция уравнения

(47)
$\nabla {{p}_{ \bot }} = j \times B - \frac{1}{{{{\mu }_{0}}}}[{{\sigma }_{{||}}}(B \cdot \nabla )B + B(B \cdot \nabla {{\sigma }_{{||}}})],$
эквивалентного (8), удовлетворяется тождественно, а поперечная сводится к
(48)
${{\mu }_{0}}\frac{{d{{p}_{ \bot }}}}{{d\rho }} = - \frac{d}{{d\rho }}\frac{{{{{\mathbf{B}}}^{2}}}}{2} - \sigma \frac{{B_{\theta }^{2}}}{\rho },$
где ${{B}_{\theta }}$ – полоидальная компонента магнитного поля в цилиндре. Ясно, что отличие $\sigma $ от единицы практически не повлияет на $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$, вычисляемый из (48) стандартным образом. Однако замена $\sigma \to 1$ полностью уничтожает зависимость $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ от ${{p}_{{||}}}$ в (48).

Если же стремиться к большей точности и сохранить ${{\sigma }_{{||}}}$ в $\sigma \equiv 1 - {{\sigma }_{{||}}}$, то и в

(49)
$B_{t}^{2} - B_{0}^{2} = 2{{B}_{0}}({{B}_{t}} - {{B}_{0}}) + {{({{B}_{t}} - {{B}_{0}})}^{2}}$
следует оставить последнее слагаемое. Тогда после интегрирования (48) с естественными граничными условиями ${{p}_{ \bot }}(b) = 0$, ${{B}_{t}}(b) = {{B}_{0}}$ и ${{B}_{\theta }}(b) = {{B}_{J}}$ получится
(50)
$2\frac{{\Delta {{\Phi }_{{pl}}}}}{{{{\Phi }_{0}}}} = \frac{{B_{J}^{2}}}{{B_{0}^{2}}} - {{\beta }_{ \bot }} - \frac{{\overline {{{\sigma }_{{||}}}B_{\theta }^{2}} }}{{B_{0}^{2}}} - \frac{{\overline {{{{({{B}_{t}} - {{B}_{0}})}}^{2}}} }}{{B_{0}^{2}}},$
где ${{\beta }_{ \bot }} \equiv 2{{\mu }_{0}}{{\bar {p}}_{ \bot }}{\text{/}}B_{0}^{2}$. Последней малой поправкой всегда пренебрегают еще на стадии вычисления $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$, как это делалось при переходе от (18) к (19). В (50) она дает вклад порядка ${{(\Delta {{\Phi }_{{pl}}}{\text{/}}{{\Phi }_{0}})}^{2}}$, который можно не учитывать даже при $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}{\text{/}}{{\Phi }_{0}} = 0.01$, что соответствует ${{\beta }_{ \bot }} = 0.02$. В этой модели ${{B}_{J}}{\text{/}}{{B}_{0}} = $ $ = b{\text{/}}(q{{R}_{0}})$, где q – запас устойчивости, поэтому $B_{J}^{2}{\text{/}}B_{0}^{2} = 1{\text{/}}(9{{q}^{2}})$ при ${{R}_{0}} = 3b$. Слагаемое с ${{\sigma }_{{||}}}$ в (50) заведомо меньше, чем $0.5({{\beta }_{{||}}} - {{\beta }_{ \bot }})B_{J}^{2}{\text{/}}B_{0}^{2}$, поэтому в нашем примере $\overline {{{\sigma }_{{||}}}B_{\theta }^{2}} {\text{/}}B_{0}^{2} < ({{\beta }_{{||}}} - {{\beta }_{ \bot }}){\text{/}}72$ при $q > 2$.

Таким образом, сохраняя последние два слагаемых в (50), вместо привычного (2) с поперечным давлением получим

(51)
$2\frac{{\Delta {{\Phi }_{{pl}}}}}{{{{\Phi }_{0}}}} = \frac{{B_{J}^{2}}}{{B_{0}^{2}}} - {{С}_{{p0}}}({{\beta }_{ \bot }} + \alpha {{\beta }_{{||}}}),$
где ${{С}_{{p0}}}$ – цилиндрический аналог ${{С}_{p}}$, а α – малая величина порядка $B_{J}^{2}{\text{/}}B_{0}^{2}$. Кроме того, $D({{p}_{{||}}}) \ne 0$ даже в цилиндре, если плазма не круглая.

Чтобы оценить ${{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})$ с учетом тороидальности, воспользуемся приведенными в [60, 65] частными решениями продольной компоненты уравнения (8)

(52)
${{p}_{ \bot }} = {{p}_{{ \bot 0}}}(V) + {{p}_{{ \bot 1}}}(V)\frac{{{{B}_{m}} - B}}{B}$
и
(53)
${{p}_{{||}}} = {{p}_{{||0}}}(V) + ({{p}_{{||0}}} - {{p}_{{ \bot 0}}})\frac{{B - {{B}_{m}}}}{{{{B}_{m}}}} + \frac{{{{p}_{{ \bot 1}}}}}{2}\frac{{{{{(B - {{B}_{m}})}}^{2}}}}{{B{{B}_{m}}}},$
где ${{p}_{{ \bot 0}}}$, ${{p}_{{ \bot 1}}}$ и ${{p}_{{||0}}}$ – функции магнитной поверхности, а ${{B}_{m}} = {{B}_{m}}(V)$ – значение магнитного поля в точке, где ${{p}_{ \bot }} = {{p}_{{ \bot 0}}}$ и ${{p}_{{||}}} = {{p}_{{||0}}}$. При этом угловая зависимость ${{p}_{{||}}}$ содержится в $B - {{B}_{m}}$. Выражения (52) и (53) можно рассматривать в качестве первых членов разложения ${{p}_{ \bot }}$ и ${{p}_{{||}}}$ по функциям ${{({{B}_{m}}{\text{/}}B - 1)}^{n}}$.

Подстановка (53) в (28) дает

(54)
$\begin{gathered} D({{p}_{{||}}}) = ({{p}_{{||0}}} - {{p}_{{ \bot 0}}})D(B{\text{/}}{{B}_{m}}) + \\ \, + ({{p}_{{ \bot 1}}}{\text{/}}2)[D(B{\text{/}}{{B}_{m}}) + D({{B}_{m}}{\text{/}}B)]. \\ \end{gathered} $

В токамаках наибольшая неоднородность магнитного поля связана с тороидальностью. Для оценок будем считать ${{B}_{m}}{\text{/}}B \approx r{\text{/}}{{r}_{m}}$, при этом выберем ${{r}_{m}} = {{R}_{c}}$. В таком приближении частную производную по V при постоянном B из определения $D({{p}_{{||}}})$ следует вычислять при постоянном r. Тогда в (54) достаточно найти лишь

(55)
$D(({{r}_{m}} - r{\text{)/}}r) = \left\langle {\frac{\partial }{{\partial V}}\left[ {\frac{x}{r} - \left\langle {\frac{x}{r}} \right\rangle } \right]} \right\rangle $
и
(56)
$D({{({{r}_{m}} - r)}^{2}}{\text{/}}(r{{r}_{m}})) = \left\langle {\frac{\partial }{{\partial V}}\left[ {\frac{{{{x}^{2}}}}{{r{{R}_{c}}}} - \left\langle {\frac{{{{x}^{2}}}}{{r{{R}_{c}}}}} \right\rangle } \right]} \right\rangle ,$
поскольку
(57)
$\frac{{{{r}_{m}}}}{r} = 1 + \frac{x}{r},$
(58)
$\frac{{{{r}_{m}}}}{r} + \frac{r}{{{{r}_{m}}}} = 2 + \frac{{{{x}^{2}}}}{{r{{R}_{c}}}},$
где $x = {{R}_{c}} - r$. Отсюда сразу следует, что $VD(({{r}_{m}} - r{\text{)/}}r) \leqslant O(a{\text{/}}{{R}_{c}})$ и $VD({{({{r}_{m}} - r)}^{2}}{\text{/}}(r{{r}_{m}})) \leqslant $ $ \leqslant O({{a}^{2}}{\text{/}}R_{c}^{2})$.

Уточним эти оценки для плазмы, магнитные поверхности которой предполагаются смещенными эллипсами с горизонтальной полуосью a и вытянутостью $K = K(a)$:

(59)
$r = {{R}_{c}} - a\cos {{\theta }},$
(60)
$z = Ka\sin {{\theta }},$
где θ – аналог полоидального угла. Этот случай был подробно рассмотрен в [66], см. там (3.24) и далее. Здесь мы воспользуемся равенствами (3.34) и (3.35) из [66], согласно которым
(61)
$\begin{gathered} \left\langle {\frac{x}{r}} \right\rangle = \frac{{2\pi Ka}}{{V{\kern 1pt} '(a)}} \times \\ \, \times \int\limits_0^{2\pi } {a\cos \theta (1 - \Delta {\kern 1pt} '\cos \theta + d{{{\sin }}^{2}}\theta )} d\theta \approx - \frac{{a\Delta {\kern 1pt} '}}{{2{{R}_{c}}}} \\ \end{gathered} $
и
(62)
$\begin{gathered} \left\langle {\frac{{{{x}^{2}}}}{{r{{R}_{c}}}}} \right\rangle = \frac{{2\pi Ka}}{{{{R}_{c}}V{\kern 1pt} '(a)}} \times \\ \, \times \int\limits_0^{2\pi } {{{a}^{2}}{{{\cos }}^{2}}\theta (1 - \Delta {\kern 1pt} '\cos \theta + d{{{\sin }}^{2}}\theta )} d\theta \approx \frac{{{{a}^{2}}}}{{2R_{c}^{2}}}, \\ \end{gathered} $
где $V{\kern 1pt} '(a) = 4{{\pi }^{2}}Ka{{R}_{c}}(1 + a\Delta {\kern 1pt} '{\text{/}}2{{R}_{c}} + d)$, $d \equiv aK{\kern 1pt} '{\text{/(}}2K)$ предполагается малой, а при вычислении мы сохранили слагаемые вплоть до квадратичных по $a{\text{/}}{{R}_{c}}$ и $\Delta {\kern 1pt} '$.

Далее, по тем же формулам получим

(63)
$\left\langle {\frac{\partial }{{\partial V}}\frac{x}{r}} \right\rangle \approx \frac{1}{{V{\kern 1pt} '}}\left\langle {\frac{{\Delta {\kern 1pt} '}}{r}} \right\rangle \approx \frac{{\Delta {\kern 1pt} '}}{{V{\kern 1pt} '{{R}_{c}}}}$
и

(64)
$\begin{gathered} \left\langle {\frac{\partial }{{\partial V}}\frac{{{{x}^{2}}}}{{r{{{\text{R}}}_{{\text{c}}}}}}} \right\rangle \approx \frac{{\Delta {\kern 1pt} '}}{{V{\kern 1pt} '{{R}_{c}}}}\left\langle {\frac{{2x}}{r} - \frac{{{{x}^{2}}}}{{r{{R}_{c}}}}} \right\rangle = \\ \, = - \frac{{\Delta {\kern 1pt} '}}{{V{\kern 1pt} '{{R}_{c}}}}\left( {\frac{{a\Delta {\kern 1pt} '}}{{{{R}_{c}}}} + \frac{{{{a}^{2}}}}{{2R_{c}^{2}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Подстановка этих оценок в (55) и (56) дает

(65)
$D(x{\text{/}}r) \approx \frac{{\Delta {\kern 1pt} '\; - a\Delta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '}}{{V{\kern 1pt} '{{R}_{c}}}}$
и
(66)
$D({{x}^{2}}{\text{/}}(r{{R}_{c}})) \approx - \frac{{a{\text{/}}{{R}_{c}}}}{{V{\kern 1pt} '{{R}_{c}}}},$
откуда следует, что

(67)
$VD({{p}_{{||}}}) \approx ({{p}_{{||0}}} - {{p}_{{ \bot 0}}})\frac{{a(\Delta {\kern 1pt} '\; - a\Delta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} ')}}{{{{R}_{c}}}} + \frac{{{{a}^{2}}{{p}_{{ \bot 1}}}}}{{R_{c}^{2}}}.$

Поэтому

(68)
$\begin{gathered} {{h}_{k}}D({{p}_{{||}}}) \leqslant \left\langle {{{p}_{{||}}} - {{p}_{ \bot }}} \right\rangle [O(a\Delta {\kern 1pt} '{\text{/}}{{R}_{c}}) + \\ + \;O({{a}^{2}}\Delta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\text{/}}{{R}_{c}}) + O({{a}^{2}}{\text{/}}R_{c}^{2})]. \\ \end{gathered} $

Следовательно интеграл от ${{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})$ в (40) вносит в $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}{\text{/}}{{\Phi }_{0}}$ вклад порядка $0.1({{\beta }_{{||}}} - {{\beta }_{ \bot }})$ при ${{R}_{0}} = 3b$. В итоге поправкой с ${{h}_{k}}D({{p}_{{||}}})$ можно пренебречь по сравнению с основным слагаемым с ${{p}_{ \bot }}$ для не слишком компактных токамаков.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для интерпретации данных диамагнитных измерений в обычных токамаках более точной формулой, чем (4) или более простые частные следствия (2) или (3), должна быть

(69)
${{I}_{g}}\Delta {{\Phi }_{{pl}}} = {{C}_{J}}J_{{pl}}^{2} - {{C}_{p}}\int\limits_{pl} {{{p}_{ \bot }}} d\tau + \delta ,$
где ${{C}_{J}}$ – коэффициент, зависящий от решения уравнения равновесия, как это показано в разде-ле 3, величина ${{C}_{p}} \approx 1$, а δ – малая поправка, оценка которой проведена в разделе 4. Точные значения ${{C}_{J}}$ и ${{C}_{p}}$ даются формулами (36) и (41), в которых функцию ${{h}_{k}}$ следует вычислять, заменив σ в (23) на единицу. Иначе говоря, для анизотропной плазмы достаточно вычислить единственный коэффициент ${{C}_{J}}$, причем в простейшем случае с ${{p}_{{||}}} = {{p}_{ \bot }}$, а ${{C}_{p}}$ заменить на единицу. При этом вычисления по формуле (69) оказываются много проще, чем громоздкие стандартные расчеты равновесия для каждого отдельного случая (как, например, в [31]).

Можно сказать, что анизотропия тороидальной плазмы произвольной формы учитывается заменой $p \to {{p}_{ \bot }}$ в (4). Этот результат согласуется с ожиданиями, основанными на часто применяемых “цилиндрических” формулах (2) и (3), хотя их следует считать приближенным. Они действительно дают связь $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ с ${{p}_{ \bot }}$, но не учитывают появляющуюся в более высоком порядке разложения зависимость $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ от ${{p}_{{||}}}$, которую мы символически включили в (69) в δ.

Отсутствие ${{p}_{{||}}}$ в (69) указывает на более сильную зависимость $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ от ${{p}_{ \bot }}$, что иллюстрируется простым, но более точным чем (2) равенством (50) в цилиндрическом пределе, в котором ${{\beta }_{{||}}}$ входит с малым параметром $B_{\theta }^{2}{\text{/}}B_{0}^{2}$. В (69) к этому добавляются поправки, связанные с тороидальностью. Проведенные оценки слагаемых с ${{p}_{{||}}}$ показывают, что они могут повлиять на $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ при ${{p}_{{||}}} \gg {{p}_{ \bot }}$, особенно в компактных токамаках, как, например, NSTX [67], MAST [68] или обсуждавшиеся в [49, 69–71].

В обычных токамаках конечное приращение ${{p}_{{||}}}$ при постоянном ${{p}_{ \bot }}$ может отразиться на $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ на уровне 0.1 по сравнению с вкладом от ${{p}_{ \bot }}$ при $A \geqslant 3$, но это уже будет на пределе точности диамагнитных измерений.

Величина $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ является частью полного сигнала ${{\Phi }_{d}}$ через диамагнитную петлю. Будучи главной целью магнитных измерений, она задает необходимую точность определения других вкладов в ${{\Phi }_{d}}$. Практические аспекты выделения $\Delta {{\Phi }_{{pl}}}$ из ${{\Phi }_{d}}$ для токамака ИТЭР рассмотрены в [18]. Одной из существенных проблем при быстрых переходных процессах является учет влияния токов, наводимых в стенке вакуумной камеры на ${{\Phi }_{d}}$ [1–3, 5–16, 18–20, 22, 24–28, 72]. Строгий подход к данной задаче обсуждался в [50, 73], а здесь мы этих вопросов не касаемся. Для полноты отметим, что вся ранее развитая техника и предложенные теоретические алгоритмы компенсации применимы при любом соотношении ${{p}_{{||}}}$ и ${{p}_{ \bot }}$.

Авторы благодарны экспертам группы ITPA по МГД-устойчивости плазмы за многочисленные полезные обсуждения, своим российским коллегам Ю.В. Грибову и С.В. Коновалову за постоянную поддержку.

Список литературы

  1. Strait E.J. // Rev. Sci. Instruments. 2006. V. 77. P. 023502.

  2. Strait E.J., Fredrickson E.D., Moret J.-M., Takechi M. // Fusion Sci. Technol. 2008. V. 53. P. 304.

  3. Tonetti G., Christiansen J.P., de Kock L. // Rev. Sci. Instruments. 1986. V. 57. P. 2087.

  4. Besshou S., Pustovitov V.D., Fujita N., Kondo K., Mizuuchi T., Nagasaki K., Nakasuga M., Obiki T., Okada H., Sano F., Zushi H. // Phys. Plasmas. 1998. V. 5. P. 481.

  5. Saha S.K., Kumar R., Hui A.K. // Rev. Sci. Instruments. 2001. V. 72. P. 4289.

  6. Manini A., Moret J.-M., Alberti S., Goodman T.P. and Henderson M.A. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2002. V. 44. P. 139.

  7. Joffrin E., Defrasne P. // Rev. Sci. Instruments. 2002. V. 73. P. 2266.

  8. Moret J.-M., Buhlmann F., Tonetti G. // Rev. Sci. Instruments. 2003. V. 74. P. 4634.

  9. Yamaguchi T., Watanabe K.Y., Sakakibara S., Narushima Y., Narihara K., Tokuzawa T., Tanaka K., Yama-da I., Osakabe M., Yamada H., Kawahata K., Yama-zaki K., LHD Experimental Group // Nuclear Fusion. 2005. V. 45. P. L33.

  10. Shen B., Sun Y.W., Wan B.N., Qian J.P. // Rev. Sci. Instruments. 2007. V. 78. P. 093501.

  11. Trembach D., Xiao C., Dreval M., Hirose A. // Rev. Sci. Instruments. 2009. V. 80. P. 053502.

  12. Kumar S., Jha R., Lal P., Hansaliya Ch., Gopalkrish-na M.V., Kulkarni S., Mishra K. // Rev. Sci. Instruments. 2010. V. 81. P. 123505.

  13. Bak J.G., Lee S.G., Kim H.S. // Rev. Sci. Instruments. 2011. V. 82. P. 063504.

  14. Sevillano M.G., Garrido I., Garrido A.J., Romero J., Paley J., Moret J.-M., Coda S., Felici F., Curchod L., the TCV team // Proc. 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC). Orlando, FL, USA, December 12–15, 2011. P. 7536.

  15. Ji X.Q., Yang Q.W., Xu Y., Sun T.F., Yuan B.S., Feng B.B., Liu Y., Cui Z.Y., Lu J. // Rev. Sci. Instruments. 2013. V. 84. P. 083507.

  16. Schmitt J.C., Talmadge J.N., Anderson D.T., Hanson J.D. // Phys. Plasmas. 2014. V. 21. P. 092518.

  17. Han H.S., Hahn S.H., Bak J.G., Hyatt A., Johnson R., Woo M.H., Kim J.S., Bae Y.S., KSTAR team // Fusion Eng. Des. 2015. V. 95. P. 44.

  18. Fresa R., Albanese R., Arshad S., Coccorese V., de Magistris M., Minucci S., Pironti A., Quercia A., Rubinacci G., Vayakis G., Villone F. // Fusion Eng. Des. 2015. V. 100. P. 133.

  19. Endler M., Brucker B., Bykov V., Cardella A., Carls A., Dobmeier F., Dudek A., Fellinger J., Geiger J., Grosser K., Grulke O., Hartmann D., Hathiramani D., Höchel K., Köppen M., Laube R., Neuner U., Peng X., Rahbarnia K., Rummel K., Sieber T., Thiel S., Vorköper A., Werner A., Windisch T., Ye M.Y. // Fusion Eng. Des. 2015. V. 100. P. 468.

  20. Gerasimov S.N., Abreu P., Baruzzo M., Drozdov V., Dvornova A., Havlicek J., Hender T.C., Hronova O., Kruezi U., Li X., Markovič T., Pánek R., Rubinacci G., Tsalas M., Ventre S., Villone F., Zakharov L.E., JET Contributors // Nuclear Fusion. 2015. V. 55. P. 113006.

  21. Zhu L.Z., Chen Z.P., Li F.M., Liu H., Chen Z.Y., Zhuang G. // Rev. Sci. Instruments. 2016. V. 87. P. 11D420.

  22. Giannone L., Geiger B., Bilato R., Maraschek M., Odstrcily T., Fischer R., McCarthy P.J., Fuchs J.C., Mertens V., Schuhbeck K.H., ASDEX Upgrade Team // Rev. Sci. Instruments. 2016. V. 87. P. 053509.

  23. Huang J., Liang Y., Qian J.P., Xu L.Q., He K.Y., Liu Y.K. and the EAST team // Plasma Phys. Control. Fusion. 2017. V. 59. P. 065010.

  24. Giannone L., Fischer R., Fuchs J.C., Geiger B., Maraschek M., Rittich D., Sieglin B., Bock A., Hobirk J., Kallenbach A., Mertens V., Schuhbeck K.H., McCar-thy P.J. // Rev. Sci. Instruments. 2018. V. 89. P. 106101.

  25. Rahbarnia K., Thomsen H., Neuner U., Schilling J., Geiger J., Fuchert G., Andreeva T., Endler M., Hathiramani D., Bluhm T., Zilker M., Carvalho B.B., Werner A., Wendelstein 7-X Team // Nuclear Fusion. 2018. V. 58. P. 096010.

  26. Moreau P., Le-Luyer A., Spuig P., Malard P., Saint-Laurent F., Artaud J.F., Morales J., Faugeras B., Heumann H., Cantone B., Moreau M., Brun C., Nouailletas R., Nardon E., Santraine B., Berne A., Kumari P., Belsa-re S., WEST Team // Rev. Sci. Instruments. 2018. V. 89. P. 10J109.

  27. Dubrov M.L., Pustovitov V.D. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2019. V. 61. P. 065018.

  28. Grebenshchikov S.E., Kharchev N.K., Vasilkov D.G. // Plasma Phys. Rep. 2019. V. 45. P. 1059.

  29. Пашнев В.К., Сороковой Е.Л., Петрушеня А.А., Ожерельев Ф.И. // ЖТФ. 2019. Т. 89. С. 55. [V.K. Pashnev, E.L. Sorokovoy, A.A. Petrushenya, and F.I. Ozherel’ev, Tech. Phys. 64, 47 (2019).]

  30. Пашнев В.К., Сороковой Е.Л., Петрушеня А.А. // Физика плазмы. 2020. Т. 46. С. 963. [V.K. Pashnev, E.L. Sorokovoy, and A.A. Petrushenya, Plasma Phys. Rep. 46, 1045 (2020).]

  31. Giannone L., Fischer R., Kappatou A., Tardini G., Weiland M., Angioni C., Fable E., Griener M., McDermott R., Sieglin B., van Vuuren A.J., Bilato R., Dunne M., Gude A., Kallenbach A., Kurz J.M., Maraschek M., Rittich D.M., Ryter F., Schneider P., Schuhbeck K.H., Stroth U., H. Zohm, ASDEX Upgrade Team // Nuclear Fusion. 2021. V. 61. P. 066021.

  32. Vlasenkov V.S., Kulygin V.M., Leonov V.M., Merezh-kin V.G., Mukhovatov V.S., Semashko N.N., Sinitsyna L.D., Panasenkov A.A., Tilinin G.N. // Plasma Phys. Control. Nuclear Fusion Res. (Proc. 6th Int. Conf., Berchtesgaden, 1976). Vienna: IAEA, 1977. V. 1. P. 85.

  33. Andryukhina E.D., Danlikin I.S., Dyabilin K.S., Fedyanin O.I. // Proc. 12th Eur. Conf. Control. Fusion and Plasma Phys. (Budapest, 1985). ECA. V. 9F. Pt I. P. 481.

  34. Yamada H., Ida K., Iguchi H., Morita S., Kaneko O., Arimoto H., Hosokawa M., Idei H., Kubo S., Matsuoka K., Nishimura K., Okamura S., Takeiri Y., Takita Y., Takahashi C., Hanatani K., Howe H.C., Hirshman S.P., Lee D.K. // Nuclear Fusion. 1992. V. 32. P. 25.

  35. Zwingmann W., Eriksson L.G., Stubberfield P. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2001. V. 43. P. 1441.

  36. Fasoli A., Gormenzano C., Berk H.L., Breizman B., Bri-guglio S., Darrow D.S., Gorelenkov N., Heidbrink W.W., Jaun A., Konovalov S.V., Nazikian R., Noterdaeme J.-M., Sharapov S., Shinohara K., Testa D., Tobita K., Todo Y., Vlad G. and Zonca F. // Progress in the ITER Physics Basis, Chapter 5 // Nuclear Fusion. 2007. V. 47. P. S264.

  37. Watanabe K.Y., Suzuki Y., Sakakibara S., Yamaguchi T., Narushima Y., Nakamura Y., Ida K., Nakajima N., Yama-da H., and LHD Experiment Group // Fusion Sci. Technol. 2010. V. 58. P. 160.

  38. Asahi Y., Suzuki Y., Watanabe K.Y., Cooper W.A. // Phys. Plasmas. 2013. V. 20. P. 022503.

  39. Qu Z.S., Fitzgerald M., Hole M.J. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2014. V. 56. P. 075007.

  40. Layden B., Qu Z.S., Fitzgerald M. and Hole M.J. // N-uclear Fusion. 2016. V. 56. P. 112017.

  41. Paz-Soldan C., Eidietis N.W., Liu Y.Q., Shiraki D., Boozer A.H., Hollmann E.M., Kim C.C., Lvovskiy A. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2019. V. 61. P. 054001.

  42. Голдстон Р.Дж. // Основы физики плазмы. Т. 2 / Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоиздат, 1984. С. 583. [R.J. Goldston, in Handbook of Plasma Physics, Ed. by A.A. Galeev and R.N. Sudan (E-lsevier, Amsterdam, 1984), Vol. 2, p. 683.]

  43. Lao L.L., St. John H.E., Stambaugh R.D., Pfeiffer W. // Nuclear Fusion. 1985. V. 25. P. 1421.

  44. Wesson J. Tokamaks, 3rd ed. Oxford: Clarendon Press, 2004.

  45. Hutchinson I.H. Principles of Plasma Diagnostics. Cambridge Univ. Press, 2005. P. 22.

  46. Брагинский С.И., Шафранов В.Д. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 2. С. 26. [S.I. Bra-ginskii and V.D. Shafranov. Plasma Physics and Problem of Controlled Thermonuclear Reactions / Ed. M.A. Leon-tovich. New York: Pergamon, 1959. V. 2. P. 39.]

  47. Mukhovatov V.S., Shafranov V.D. // Nuclear Fusion. 1971. V. 11. P. 605.

  48. Greene J.M., Johnson J.L., Weimer K.E. // Phys. Fluids. 1971. V. 14. P. 671.

  49. Bongard M.W., Barr J.L., Fonck R.J., Reusch J.A., Thome K.E. // Phys. Plasmas. 2016. V. 23. P. 072508.

  50. Pustovitov V.D. // Fusion Eng. Des. 2017. V. 117. P. 1.

  51. Kruskal M.D., Oberman C.R. // Phys. Fluids. 1958. V. 1. P. 275.

  52. Grad H. // Phys. Fluids. 1967. V. 10. P. 137.

  53. Dobrott D. R., Johnson J.L. // Plasma Phys. 1969. V. 11. P. 211.

  54. Spies G.O., Nelson D.B. // Phys. Fluids. 1974. V. 17. P. 1879.

  55. Захаров Л.Е., Шафранов В.Д. // Вопросы теории плазмы / Под ред. Леонтовича М.А. и Кадомцева Б.Б. М.: Энергоиздат, 1982. Вып. 11. С. 118.

  56. Iacono R., Bondeson A., Troyon F., Gruber R. // Phys. Fluids B. 1990. V. 2. P. 1794.

  57. Takeda T., Tokuda S. // J. Comput. Phys. 1991. V. 93. P. 1.

  58. Cooper W.A., Graves J.P., Hirshman S.P., Yamaguchi T., Narushima Y., Okamura S., Sakakibara S., Suzuki C., Watanabe K.Y., Yamada H., Yamazaki K. // Nuclear Fusion. 2006. V. 46. P. 683.

  59. Pustovitov V.D. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2010. V. 52. P. 065001.

  60. Лепихин Н.Д., Пустовитов В.Д. // Физика плазмы. 2013. Т. 39. С. 683. [N.D. Lepikhin and V.D. Pustovitov, Plasma Phys. Rep. 39, 605 (2013).]

  61. Hodgson J.D.B., Neukirch T. // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 2015, https://doi.org/10.1080/03091929.2015.1081188

  62. Souza L.C., Viana R.L. // Phys. Plasmas. 2019. V. 26. P. 042502.

  63. Пустовитов В.Д. // Физика плазмы. 1984. Т. 10. С. 1148. [V.D. Pustovitov, Sov. J. Plasma Physics 10, 660 (1984).]

  64. Pustovitov V.D. // J. Plasma Fusion Res. (formerly Kakuyugo Kenkyu). 1993. V. 69. P. 34.

  65. Pustovitov V.D. // AIP Conf. Proc. 2012. V. 1478. P. 50.

  66. Pustovitov V.D. // Reviews of Plasma Physics. V. 21 / Ed. by B.B. Kadomtsev and V.D. Shafranov. New York: Consultants Bureau, 2000. P. 1.

  67. Kaye S.M., Abrams T., Ahn J.-W., Allain J.P., Andre R., Andruczyk D., Barchfeld R., Battaglia D., Bhattacha-rjee A., Bedoya F., Bell R.E., Belova E., Berkery J., Ber-ry L., Bertelli N., et al. // Nuclear Fusion. 2015. V. 55. P. 104002.

  68. Kirk A., Adamek J., Akers R.J., Allan S., Appel L., Arese Lu-cini F., Barnes M., Barrett T., Ben Ayed N., Boeglin W., Bradley J., Browning P.K., Brunner J., Cahyna P., Cardnell S., et al. // Nuclear Fusion. 2017. V. 57. P. 102007.

  69. Кутеев Б.В., Гончаров П.Р., Сергеев В.Ю., Хрипу-нов В.И. // Физика плазмы. 2010. Т. 36. С. 307. [B.V. Kuteev, P.R. Goncharov, V.Yu. Sergeev, and V.I. Khripunov, Plasma Phys. Rep. 36, 281 (2010).]

  70. Сергеев В.Ю., Кутеев Б.В., Быков А.С., Петров В.С., Голиков А.А., Голубева А.В., Гончаров П.Р., Грязне-вич М.П., Кирнев Г.С., Клищенко А.В., Лукьянов В.В., Спицин А.В., Сычугов Д.Ю., Шпанский Ю.С. // -Физика плазмы. 2012. Т. 38. С. 571. [V.Yu. Sergeev, B.V. Kuteev, A.S. Bykov, V.S. Petrov, A.A. Golikov, A.V. Golubeva, P.R. Goncharov, M.P. Gryaznevich, G.S. Kirnev, A.V. Klishchenko, V.V. Luk’yanov, A.V. Spitsyn, D.Yu. Sychugov, and Yu.S. Shpansky, Plasma Phys. Rep. 38, 521 (2012).]

  71. Sykes A., Costley A.E., Windsor C.G., Asunta O., Brittles G., Buxton P., Chuyanov V., Connor J.W., Gryaznevich M.P., Huang B., Hugill J., Kukushkin A., Kingham D., Lang-try A.V., McNamara S., Morgan J.G., Noonan P., Ross J.S.H., Shevchenko V., Slade R., Smith G. // N-uclear Fusion. 2018. V. 58. P. 016039.

  72. Besshou S., Aizawa K., Tomiyama K., Kondo K., Mizuuchi T., Nagasaki K., Obiki T., Okada H., Sano F. // Rev. Sci. Instruments. 2001. V. 72. P. 3859.

  73. Пустовитов В.Д. // Физика плазмы. 2020. Т. 46. С. 675. [V.D. Pustovitov, Plasma Phys. Rep. 46, 747 (2020).]

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска содержание выпуска

Физика плазмы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал