Физика плазмы, 2021, T. 47, № 4, стр. 299-306

1.1. Описание диагностики

Одна из диагностик, планируемых в токамаке ИТЭР для измерения средней электронной плотности – рефрактометр, в котором для зондирования плазмы используется микроволновое излучение на необыкновенной волне с несущей частотой в диапазоне 40–90 ГГц – между нижней и верхней частотами отсечки и ниже циклотронных частот в ИТЭР [1]. Измерения набега фазы с помощью рефрактометра будут использоваться для определения времени задержки сигнала, и, соответственно, для определения среднехордовой электронной плотности плазмы, путем проведения одновременных измерений на разных несущих частотах. Изменение фазы волны, прошедшей через плазму, определяется изменением оптического пути зондирующей волны, т.е. в конечном счете, показателем преломления плазмы.

Обычно при расчетах показателя преломления плазмы в токамаках полагают, что частота столкновений частиц в плазме много меньше зондирующей частоты и температурой электронов можно пренебречь (модель холодной и бесстолкновительной плазмы [2]). В этой модели поглощение волны в плазме и температурные эффекты отсутствуют. При расчетах коэффициента преломления плазмы в современных крупных установках, где температура электронов достигает 10 кэВ и выше, в частности, для расчетов положения отражающего слоя в рефлектометрии плазмы применяется также так называемая модифицированная модель холодной плазмы Маззукато [3], в которой высокотемпературные эффекты учитываются путем введения “эффективной массы” электронов, а поглощение в плазме также отсутствует. В работе [3] было показано, что модифицированная модель холодной плазмы позволяет адекватно рассчитывать показатель преломления плазмы при электронных температурах до 15 кэВ. Однако электронная температура в плазме ИТЭР будет достигать 20 кэВ и выше, что делает необходимым исследование систематической погрешности, вносимой при использовании модифицированной модели холодной плазмы при расчетах показателя преломления плазмы и определении средней плотности плазмы в рефрактометрии плазмы. В работе проведено сравнение результатов расчетов коэффициента преломления плазмы в модели холодной плазмы, в модифицированной модели холодной плазмы и для релятивистской плазмы (с использованием уравнения Шкаровского из [4]). Результаты расчетов применены для оценки погрешности, вносимой в интерпретацию измеренного времени задержки сигнала в ИТЭР рефрактометром при не учете высокотемпературных эффектов. Оценки проведены для сценария плазмы ИТЭР с током 15 МА.

1.2. Новизна работы

В рамках данной работы исследовалось влияние высокотемпературных эффектов на интерпретацию измеренных времен задержки в рефрактометрии плазмы ИТЭР. Как известно, в рефрактометрии зондирование плазмы проводится в области прозрачности плазмы, “на просвет” и выполняются интегральные по хорде зондирования измерения времени задержки. В предыдущих работах на смежную тему [5, 6] рассматривались или влияние на определение профиля электронной концентрации в рефлектометрии (локальные измерения на отражение), или поправки к диэлектрическому тензору плазмы (в области электронно-циклотронных частот), и не рассматривались интегральные диагностики, такие как рефрактометрия, которая в данном случае использует диапазон частот в окне прозрачности плазмы на Х-волне, выше нижней частоты отсечки на Х-волне и ниже частот электронно-циклотронного резонанса.

2.1. Принцип работы рефрактометра

Рефрактометрия основана на измерении времени задержки микроволнового сигнала, прошедшего через плазму. Время задержки сигнала в плазме позволяет получить информацию о форме профиля плотности плазмы и определить среднюю плотность плазмы.

Существуют два возможных режима распространения электромагнитной волны в намагниченной плазме поперек магнитного поля: обыкновенная волна (электрическое поле излучения параллельно магнитному полю в плазме) и необыкновенная волна (электрическое поле излучения перпендикулярно магнитному полю в плазме). Диэлектрическая проницаемость обыкновенной волны не зависит от магнитного поля, и проникновение излучения вглубь плазмы возможно, только если частота зондирующего излучения выше плазменной частоты (она же частота отсечки)

где ${{n}_{e}}$ – электронная плотность плазмы, e, ${{m}_{e}}$ – заряд и масса электрона соответственно, ${{\varepsilon }_{0}}$ – диэлектрическая константа. В случае необыкновенной волны частот отсечки две, и они зависят как от плотности плазмы, так и от магнитного поля в плазме. Частоты отсечки для необыкновенной волны выражаются в виде где ${{f}_{{xu}}}$ и ${{f}_{{xl}}}$ – верхняя и нижняя частоты отсечки необыкновенной волны соответственно, ${{f}_{c}}$ – электронная циклотронная частота [2].

В пределе высоких зондирующих частот ($f \gg {{f}_{p}}$ для обыкновенной волны и $f \gg {{f}_{p}},{{f}_{c}}$ для необыкновенной волны) время задержки сигнала прямо пропорционально средней плотности плазмы вдоль хорды зондирования:

где $\Phi \left( \omega \right)$ – фаза зондирующего сигнала, $\omega = 2\pi f$, $l = 2a$ для однопроходного зондирования в экваториальной плоскости, a – радиус плазмы, k – константа пропорциональности. В этом случае среднехордовая плотность плазмы может быть найдена из измерений времени задержки сигнала на одной зондирующей частоте. Однако в условиях ИТЭР, при зондировании в окне прозрачности плазмы на необыкновенной волне, условие $f \gg {{f}_{p}},~{{f}_{с}}$ не выполняется, что приводит к необходимости измерения времени задержки одновременно на нескольких частотах ${{f}_{i}}$ в окне прозрачности плазмы ИТЭР. Анализ полученного набора измеренных времен задержек ${{\tau }_{i}}\left( {{{f}_{i}}} \right)$ позволяет в этом случае определить среднюю плотность плазмы при условии выбора модели распределения электронной плотности плазмы, например, квазипараболическая модель в пространственных координатах или аппроксимация профиля плотности в координатах потока магнитного поля [7].

В принципе, в рефрактометрии возможно использование как обыкновенной, так и необыкновенной волны для зондирования плазмы при наличии окна прозрачности плазмы вдоль хорды зондирования. В условиях ИТЭР доступные частоты в режиме необыкновенной волны находятся, как уже отмечалось, между частотами отсечки для необыкновенной волны и ниже циклотронной частоты поглощения. Окно прозрачности зависит от плотности плазмы и магнитного поля и для рассматриваемого сценария ИТЭР (15 МА, Н-режим) находится в диапазоне 50–100 ГГц (рис. 1). Измерения в режиме обыкновенной волны возможны только в терагерцовом диапазоне из-за сильного поглощения зондирующего излучения [8].

2.2. Описание диагностики в ИТЭР

Для определения среднехордовой плотности плазмы в рефрактометрии используется измерение времени задержки микроволнового сигнала, прошедшего через плазму. Для измерения времени задержки используется зондирующий сигнал с амплитудной модуляцией (АМ) с частотой ${{f}_{{mod}}}\sim 30~$ МГц, после чего измеряется сдвиг фазы между опорным и зондирующим сигналами на частоте амплитудной модуляции. Это позволяет сделать измерения фазы однозначными, поскольку частота АМ выбрана таким образом, чтобы изменение фазы зондирующего сигнала в плазме было в пределах 2π. В условиях ИТЭР (сильное ослабление сигнала в длинных волноводных линиях и в плазме), подобный метод определения времени задержки (через измерения фазы на частоте АМ) является более предпочтительным, чем прямое измерение времени задержки микроволнового импульса в плазме (импульсный рефрактометр), поскольку позволяет значительно увеличить соотношение сигнал/шум за счет применения узкополосного фильтра на частоте модуляции. С этой же целью, предполагается применение гетеродинных приемников излучения.

Для зондирования плазмы используются микроволновые генераторы с частотами в диапазонах U (40–60 ГГц) и E (60–90 ГГц). Зондирующий сигнал модулируется по амплитуде, объединяется в один волноводный тракт и излучается передающей антенной на стороне слабого магнитного поля (от внешней стенки токамака). После приема со стороны сильного магнитного поля сигнал разделяется на одномодовые волноводы и фильтруется на промежуточной частоте ~0.8 ГГц. В ходе дальнейшей программной обработки сигналов, определяется разность фаз между опорным и зондирующим сигналами на частоте АМ.

Как было указано выше, в условиях ИТЭР рефрактометр работает на частотах, сравнимых с частотами отсечки, при которых отношение времени задержки сигнала и среднехордовой плотности плазмы зависит от формы профиля плотности плазмы. В этом случае используется зависимость времени задержки ${{\tau }_{i}}$ от частоты зондирования ${{f}_{i}}$ и от формы профиля плотности. Алгоритм основан на предположении о квазипараболической форме профиля плотности плазмы: $n\left( {r,{{N}_{0}},\alpha } \right) = {{N}_{0}}{{(1 - {{\left( {r{\text{/}}a} \right)}^{2}})}^{\alpha }}$ и минимизации функционала $\Phi = \left| {{{\tau }_{1}}--{{\tau }_{{1c}}}} \right| + \ldots + \left| {{{\tau }_{k}}--{{\tau }_{{kc}}}} \right|~$, где ${{\tau }_{{ic}}} = $ $ = {{\tau }_{{ic}}}\left( {{{N}_{0}},\alpha } \right)$ – время задержки, рассчитанное для сигнала с частотой ${{f}_{i}}$, зондирующего плазму, распределение электронной плотности в которой описывается параметрами ${{N}_{0}}$, α [7]. Пример зависимости времени задержки зондирующего сигнала от частоты зондирования для различных значений параметра α и фиксированного параметра ${{N}_{0}} = {{10}^{{20}}}$ м^–3 показан на рис. 2. Поэтому анализ высокотемпературных эффектов на измерения в рефрактометрии необходимо проводить для всего частотного диапазона рефрактометра 40–90 ГГц (зависит от рассматриваемого сценария плазмы ИТЭР). Исследование проводилось на предмет влияния высокотемпературных эффектов на интерпретацию измеренных времен задержки сигналов, что является первым этапом в описанном выше алгоритме по определению плотности плазмы в рефрактометрии.

2.3. Описание моделей плазмы для расчета показателя преломления плазмы

Рассмотрим далее практически интересный для рефрактометрии случай распространения волн поперек магнитного поля в области прозрачности плазмы, т.е. когда поглощением волны в плазме можно пренебречь.

Модель холодной плазмы, используемая в случаях, когда тепловым движением электронов можно пренебречь, не содержит в себе температуры плазмы. Показатель преломления для необыкновенной моды излучения в этом случае ${{n}_{{cold}}} = $ $ = \sqrt {(\varepsilon _{{11}}^{2} + \varepsilon _{{12}}^{2}){\text{/}}{{\varepsilon }_{{11}}}} $, где ${{\varepsilon }_{{11,12}}}$ – элементы диэлектрического тензора плазмы: ${{\varepsilon }_{{11}}} = 1--\omega _{p}^{2}{\text{/}}({{\omega }^{2}} - \omega _{c}^{2})$, ${{\varepsilon }_{{12}}} = i\omega _{p}^{2}{{\omega }_{c}}{\text{/}}[\omega \left( {{{\omega }^{2}}--\omega _{c}^{2}} \right)]$, ${{\omega }_{p}} = \sqrt {{{N}_{e}}{{e}^{2}}{\text{/}}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} $ – плазменная частота для плазмы с электронной плотностью ${{N}_{e}}$, ${{\omega }_{c}} = eB{\text{/}}{{m}_{e}}$ – циклотронная частота электронов в поле B [9].

В модифицированной модели холодной плазмы Маззукато используются те же формулы, что и в модели холодной плазмы, однако вместо m_e вводится эффективная масса ${{m}_{{mazz}}}$ электрона ${{m}_{{mazz}}} = $ $ = {{m}_{e}}{{\left( {1 + 5{\text{/}}\mu } \right)}^{{0.5}}}$, $\mu = {{m}_{e}}{{с}^{2}}{\text{/}}Te \gg 1$, что с некоторой точностью позволяет учитывать высокотемпературные эффекты [3]. Графики зависимостей показателя преломления от отношения частот $\omega _{p}^{2}{\text{/}}{{\omega }^{2}}$ при различных отношениях ${{\omega }_{c}}{\text{/}}\omega $ представлены на рис. 3 и 4; первый график соответствует условиям анализа, проведенного Маззукато (Т_е = = 15 кэВ), второй же приближен к условиям токамака ИТЭР (Т_е = 21.7 кэВ). Здесь и далее электронная температура указывается в энергетических единицах.

Описывая модифицированную модель, Маззукато проводит исследование модели для электронных температур ${{T}_{e}} \leqslant 15~$ кэВ, в то время как температура в токамаке ИТЭР будет превышать 20 кэВ. Таким образом, необходимо провести исследования модели при более высоких температурах, проводя сравнения с более точной моделью. В данной работе в качестве такой модели выступает слаборелятивистская модель из работы [4] для случая ${{T}_{e}} \ll {{m}_{e}}{{c}^{2}}$, $\lambda < 1$, где $\lambda = {{\left( {{{k}_{ \bot }}{{v}_{t}}{\text{/}}{{\omega }_{c}}} \right)}^{2}}$. Предполагая распространение зондирующего излучения перпендикулярным магнитным линиям, можем представить λ в виде

Элементы диэлектрического тензора в этом случае имеют вид [4, формулы 47 и 49]

где $Z\left( \xi \right) = {{\pi }^{{0.5}}}\mathop \smallint \nolimits_{ - \infty }^\infty \frac{{{{e}^{{ - {{t}^{2}}}}}}}{{t - \xi }}dt$ – плазменная дисперсионная функция. Выражения для $\mathcal{F}$ получены в предположении распространения зондирующего излучения перпендикулярно магнитному полю [10].

Система координат ориентирована таким образом, что ось z направлена вдоль магнитного поля, волновой вектор k лежит в плоскости x–z.

В рамках данного исследования не учитывались недиагональные компоненты диэлектрического тензора ${{\varepsilon }_{{13}}},~{{\varepsilon }_{{23}}}$ [4, формулы 50, 51], поскольку продольная компонента магнитного поля (вдоль линии зондирования) мала по сравнению с поперечной компонентой. Для проверки этого утверждения был использован сценарий разряда ИТЭР в случае полного магнитного поля $B = 5.3~\;{\text{Т}}$ и, с учетом геометрии расположения элементов диагностики, модуль продольного поля не превысил 0.1 Т. Таким образом, полагая $n\sim 1$, получим соотношение элементов диэлектрического тензора

(в силу определения ${{k}_{{ \bot ,~\parallel }}}$). Следовательно,

При непосредственных измерениях плотности плазмы методами рефрактометрии в рамках И-ТЭР может понадобиться учесть указанные выше элементы диэлектрического тензора. Однако целью данной работы является исследование величины погрешности, вносимой отсутствием учета высокотемпературных эффектов, и этот вопрос выходит за рамки данной работы.