1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Физика плазмы
  4. T. 49, № 1, 2023

Физика плазмы, 2023, T. 49, № 1, стр. 25-32

Термодинамическая устойчивость многокомпонентной неидеальной плазмы

А. В. Филиппов a, b, *

a Объединенный институт высоких температур РАН
Москва, Россия

b ГНЦ РФ “ Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований”
Москва, Россия

* E-mail: fav@triniti.ru

Поступила в редакцию 01.08.2022
После доработки 17.10.2022
Принята к публикации 20.10.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе интегральных уравнений Орнштейна–Цернике для многокомпонентной жидкости проведено исследование термодинамической устойчивости многокомпонентной плазмы. В условиях применимости дебаевского приближения для прямых корреляционных функций для всех компонент плазмы, кроме самой неидеальной подсистемы, для плазмы с любым числом компонент выполнен переход к однокомпонентному уравнению Орнштейна–Цернике для самой неидеальной подсистемы. Показано, что все парные корреляционные функции, структурные факторы заряд-заряд и частица-частица остаются положительными при всех значениях аргумента во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности самой неидеальной подсистемы. Исследованы условия нарушения термодинамической устойчивости трехкомпонентной пылевой плазмы при разных знаках заряда пылевых частиц и разных их концентрациях.

Ключевые слова: многокомпонентная плазма, интегральные уравнения жидкости, пылевая плазма, термодинамическая устойчивость, дебаевский потенциал, уравнение Орнштейна–Цернике

ВВЕДЕНИЕ

Плазма с частицами конденсированной дисперсной фазы (КДФ) или пылевая плазма широко распространена в природе и технике, поэтому ее исследование представляет значительный интерес как для развития фундаментальной науки [1–6], так и для ряда приложений, например, для индустрии производства наночастиц [7]. Теоретическое исследование взаимодействия заряженных макрочастиц в такой плазме (электролите) все еще остается одним из самых важных вопросов [8–14]. При моделировании свойств пылевой плазмы, например, методом молекулярной и броуновской динамики, сегодня широко используется потенциал Юкавы или Дебая в качестве парного потенциала взаимодействия (см., например, [15–22]) или с добавочным к нему потенциалом, который на больших расстояниях спадает обратно пропорционально квадрату расстояния (см. [23]). Дебаевский вид потенциала взаимодействия заряженных пылевых частиц имеет место только в случае применимости теории Дебая–Гюккеля [24] и его использование для изучения пылевой плазмы при высоких значениях параметра неидеальности (по взаимодействию в пылевой подсистеме) вызывает вопросы. Также приближение Дебая–Гюккеля приводит к отрицательным значениям парной корреляционной функции на малых расстояниях, которая по определению как вероятность должна быть сугубо неотрицательной величиной.

В работах [25, 26], в отличие от вышеупомянутых работ, взаимодействие заряженных частиц плазмы описывалось кулоновским потенциалом, а для описания свойств пылевой плазмы использовалось многокомпонентное уравнение Орнштейна–Цернике [27, 28]. Уравнение Орнштейна–Цернике (ОЦ) в гиперцепном приближении (ГЦП) очень хорошо описывает термодинамические свойства пылевой плазмы вплоть до высоких значений параметра неидеальности порядка 100 [29, 30], поэтому для замыкания уравнений ОЦ в работах [25, 26] использовалось гиперцепное приближение.

В [25, 26] уравнения Орнштейна–Цернике в гиперцепном приближении решались для трехкомпонентной кулоновской плазмы в случае, когда средние энергии взаимодействия электрон-пылевая частица, ион-пылевая частица, электрон-электрон, электрон-ион и ион-ион много меньше их тепловой энергии. Было показано, как формируется эффективный потенциал взаимодействия пылевых частиц друг с другом и были определены условия, когда статическая диэлектрическая функция пылевой плазмы принимает отрицательные значения в длинноволновой области и детально изучена термодинамическая устойчивость пылевой плазмы.

В [25, 26] было установлено, что при значениях параметра неидеальности пылевой подсистемы, меньших единицы: Γ00 < 1, потенциал взаимодействия заряженных частиц плазмы друг с другом достаточно хорошо описывается дебаевским потенциалом с полной постоянной экранирования. Здесь ${{\Gamma }_{{00}}} = {{e}^{2}}z_{0}^{2}\beta {\text{/}}a$, e – элементарный заряд, z0 – заряд пылевых частиц в элементарных зарядах, β – обратная температура: β = T–1, T – температура пылевых частиц в энергетических единицах, a – среднее расстояние между пылевыми частицами: a = n0–1/3, n0 – концентрация пылевых частиц. При Γ00 > 1 статическая диэлектрическая функция в области малых значений волнового вектора становилась отрицательной и с ростом параметра неидеальности Γ00 эта область расширялась. Это приводило к появлению области расстояний, где наблюдается притяжение одноименно заряженных частиц и отталкивание разноименно заряженных. При этом как суммарное давление, так и изотермическая сжимаемость во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности Γ00 < 250 были положительными, но изотермическая сжимаемость только неидеальной подсистемы становилась отрицательной при превышении параметром неидеальности критического значения, зависящего от значения структурного параметра, как в пылевой плазме с отрицательными, так и с положительными зарядами (в термической пылевой плазме). Было показано, что знак производной химического потенциала по полному числу пылевых частиц, положительность которого является третьим условием термодинамической устойчивости растворов, в дебаевском приближении совпадает со знаком изотермической сжимаемости пылевой подсистемы. Было установлено, что изотермическая сжимаемость пылевой подсистемы по данным расчетов на основе интегральных уравнений жидкости ОЦ в ГЦП становится отрицательной при Γ00 > 2. Потому был сделан вывод, что равновесная пылевая плазма при Γ00 > 2 становится термодинамически неустойчивой. Данный вывод оказался достаточно неожиданным, и настоящая работа посвящена более подробному исследованию этого вопроса.

УРАВНЕНИЕ ОРНШТЕЙНА–ЦЕРНИКЕ ДЛЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ

Мы рассматриваем многокомпонентную плазму, взаимодействие между заряженными частицами в которой описывается кулоновским потенциалом

(1)
${{V}_{{\nu \mu }}}\left( {\left| {{{{\mathbf{r}}}_{\nu }} - {{{\mathbf{r}}}_{\mu }}} \right|} \right) = {\text{ }}\frac{{{{e}^{2}}{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}}}{{\left| {{{{\mathbf{r}}}_{\nu }} - {{{\mathbf{r}}}_{\mu }}} \right|}},$
где греческие индексы ν и μ пробегают значения от 0 до q, где (q + 1) – полное число компонент плазмы, zν – зарядовое число частиц сорта ν, rν и rμ – радиус-векторы положений частиц сорта ν и μ соответственно. Индексом 0 обозначается самая неидеальная компонента. В случае трехкомпонентной пылевой плазмы самой неидеальной компонентой является пылевая подсистема, поэтому индекс 0 используется для пылевых частиц, 1 – для электронов и 2 – для ионов, z1 = –1. Для устранения проблем с электрон-ионным взаимодействием и взаимодействием пылевых частиц с заряженными частицами плазмы противоположного знака, для учета квантовых эффектов для электрон-электронного взаимодействия можно ввести эффективные потенциалы [31–36] (см. также [37, 38] и цитированную там литературу) и явно учесть конечный размер пылевых частиц [39–41]. При рассматриваемых в настоящей работе плотностях заряженных частиц плазма далека от вырождения и взаимодействие на малых расстояниях вносит пренебрежимо малый вклад, поэтому вид потенциала на этих расстояниях не имеет существенного значения. В настоящей работе для определенности для e–e, i–i и e–i взаимодействия мы используем потенциал Кельбга [32, 33] (r = |rν – rμ|):
(2)
$\begin{gathered} {{V}_{{\nu \mu }}}\left( r \right) = \frac{{{{e}^{2}}{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}}}{r} \times \\ \, \times \left[ {1 - \exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{\lambda _{{\nu \mu }}^{2}}}} \right) + \sqrt \pi \frac{r}{{{{\lambda }_{{\nu \mu }}}}}{\text{erfc}}\left( {\frac{r}{{{{\lambda }_{{\nu \mu }}}}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где λνμ – длина волны де Бройля, ${{\lambda }_{{\nu \mu }}} = $ $ = \sqrt {{{{{\hbar }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\hbar }^{2}}} {2{{m}_{{\nu \mu }}}{{T}_{{\nu \mu }}}}}} \right. \kern-0em} {2{{m}_{{\nu \mu }}}{{T}_{{\nu \mu }}}}}} $, mνμ – приведенная масса: ${{m}_{{\nu \mu }}} = $ $ = {{m}_{\nu }}{{m}_{\mu }}{\text{/}}\left( {{{m}_{\nu }} + {{m}_{\mu }}} \right)$, erfc(x) – дополнительный интеграл ошибок: erfc(x) = 1 – erf(x), Tνμ – массовзвешенная температура: ${{T}_{{\nu \mu }}} = \left( {{{m}_{\nu }}{{T}_{\nu }} + {{m}_{\mu }}{{T}_{\mu }}} \right){\text{/}}$ ${\text{/}}\left( {{{m}_{\nu }} + {{m}_{\mu }}} \right)$. (Отметим, что наибольшими длинами волн де Бройля являются λee и λei, которые при  комнатной температуре примерно равны 1.7 × 10–7 см, что на несколько порядков меньше всех средних межчастичных расстояний, включая электронные и ионные.)

Система уравнений ОЦ для однородной многокомпонентной жидкости имеет вид [27]

(3)
${{h}_{{\nu \mu }}}\left( r \right) = {{C}_{{\nu \mu }}}\left( r \right) + \sum\limits_\lambda {{{n}_{\lambda }}} \int {{{C}_{{\nu \lambda }}}} \left( {\left| {{\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}{\kern 1pt} '} \right|} \right){{h}_{{\lambda \mu }}}\left( {r{\kern 1pt} '} \right)d{\mathbf{r}}{\kern 1pt} ',$
где ν, μ = 0, 1, …, q, hνμ = gνμ – 1 – парциальная парная корреляционная функция и Cνμ – прямая корреляционная функция, nλ – усредненная концентрация частиц сорта λ: ${{n}_{\lambda }} = {{N}_{\lambda }}{\text{/}}V$, Nλ – полное число частиц сорта λ в системе с объемом V. Концентрации заряженных частиц плазмы связаны условием полной квазинейтральности

(4)
$\sum\limits_{\lambda = 0}^q {{{z}_{\lambda }}} {{n}_{\lambda }} = 0.$

С учетом симметрии корреляционных функций: hνμ = hμν, Cνμ = Cμν, система уравнений (3) в общем случае определяет q(q + 1)/2 корреляционных функций (в пылевой трехкомпонентной плазме шесть функций). После трехмерного интегрального преобразования Фурье, система интегральных уравнений (3) переходит в систему алгебраических уравнений

(5)
$\begin{gathered} {{h}_{{\nu \mu }}}\left( k \right) = {{C}_{{\nu \mu }}}\left( k \right) + \sum\limits_{\lambda = 0}^q {{{n}_{\lambda }}} {{C}_{{\nu \lambda }}}\left( k \right){{h}_{{\lambda \mu }}}\left( k \right), \\ \nu ,\mu = 0,1, \ldots ,q. \\ \end{gathered} $

Здесь и ниже Фурье-образы функций обозначаются той же буквой и их смысл определяется аргументом. Для замыкания уравнений ОЦ (3) в настоящей работе используется гиперцепное приближение

(6)
${{C}_{{\nu \mu }}}\left( {\mathbf{r}} \right) = \exp \left[ { - \beta {{V}_{{\nu \mu }}}\left( {\mathbf{r}} \right) + {{\gamma }_{{\nu \mu }}}\left( {\mathbf{r}} \right)} \right] - {{\gamma }_{{\nu \mu }}}\left( {\mathbf{r}} \right) - 1,$
где γνμ = hνμ – Cνμ.

Выпишем все уравнения системы (5) с индексом μ = 0 (аргумент k для сокращения записи опускаем)

(7)
$\begin{gathered} {{h}_{{00}}} = {{C}_{{00}}} + {{n}_{0}}{{C}_{{00}}}{{h}_{{00}}} + {{n}_{1}}{{C}_{{10}}}{{h}_{{01}}} + ... + {{n}_{q}}{{C}_{{q0}}}{{h}_{{0q}}}, \\ {{h}_{{10}}} = {{C}_{{10}}} + {{n}_{0}}{{C}_{{10}}}{{h}_{{00}}} + {{n}_{1}}{{C}_{{11}}}{{h}_{{10}}} + ... + {{n}_{q}}{{C}_{{1q}}}{{h}_{{q0}}}, \\ ... \\ {{h}_{{q0}}} = {{C}_{{q0}}} + {{n}_{0}}{{C}_{{q0}}}{{h}_{{00}}} + {{n}_{1}}{{C}_{{q1}}}{{h}_{{10}}} + ... + {{n}_{q}}{{C}_{{qq}}}{{h}_{{q0}}}. \\ \end{gathered} $

Из этих уравнений для нахождения связи функций h0λ (λ = 1, 2, …, q) с функцией h00 получаем систему уравнений

(8)
${\mathbf{A}}{{{\mathbf{H}}}_{0}} = \left( {1 + {{n}_{0}}{{h}_{{00}}}} \right){{{\mathbf{C}}}_{0}},$
где A – матрица размерности q × q с элементами aij(k) = δij – niCij(k), H0 – столбец неизвестных ${{{\mathbf{H}}}_{0}} = {{({{h}_{{10}}}{\text{,}}{{h}_{{20}}},...,{{h}_{{q0}}})}^{{\text{T}}}}$, верхний индекс “T” означает операцию транспонирования, ${{{\mathbf{C}}}_{0}} = $ $ = {{\left( {{{C}_{{10}}},{{C}_{{20}}},...,{{C}_{{q0}}}} \right)}^{{\text{T}}}}$.

Из системы (8) видно, что ее решение можно представить в виде

(9)
${{h}_{{0\nu }}}\left( k \right) = {\text{ }}\left[ {1 + {{n}_{0}}{{h}_{{00}}}\left( k \right)} \right]{\text{ }}{{F}_{\nu }}\left( k \right),$
где величины Fν являются решением системы
(10)
${\mathbf{AF}} = {{{\mathbf{C}}}_{0}}$
и их можно найти численными методами при известных C10, C20, …, Cq0 или, в случае в рассматриваемой в настоящей работе трехкомпонентной плазмы (q = 2), аналитически методом Крамерса (см. [25, 26, 39, 42]).

Теперь, подставив решение (9) в уравнение для h00 в системе (5), находим (см. [25, 26])

(11)
${{h}_{{00}}}\left( k \right) = {{C}_{{eff}}}\left( k \right) + {{n}_{0}}{{C}_{{eff}}}\left( k \right){{h}_{{00}}}\left( k \right),$
где введена эффективная прямая корреляционная функция

(12)
${{C}_{{eff}}}\left( k \right) = {{C}_{{00}}}\left( k \right) + \sum\limits_{\nu = 1}^q {{{n}_{\nu }}} {{C}_{{0\nu }}}\left( k \right){{F}_{\nu }}\left( k \right).$

Уравнение (11) имеет вид уравнения Орнштейна–Цернике для однокомпонентной жидкости.

В работах [25, 26] были рассмотрены условия, когда неидеальность имела место только в пылевой подсистеме и для всех пар взаимодействующих частиц, кроме пары пылевая частица-пылевая частица, для прямых корреляционных функций использовалось дебаевское приближение. При этом были рассмотрены только два набора параметров пылевой плазмы. В настоящей работе исследования проведены для более широкого набора параметров плазмы.

Гиперцепное приближение (6) для замыкания нового уравнения Орнштейна–Цернике (11) преобразуем к виду

(13)
$\begin{gathered} {{h}_{{00}}}({\mathbf{r}}) = \exp \left[ { - \beta {{V}_{{00}}}({\mathbf{r}}) + {{h}_{{00}}}({\mathbf{r}}) - {{C}_{{00}}}({\mathbf{r}})} \right] - 1 \equiv \\ \, \equiv \exp \left[ { - \beta {{V}_{{eff}}}({\mathbf{r}}) + {{h}_{{00}}}({\mathbf{r}}) - {{C}_{{eff}}}({\mathbf{r}})} \right] - 1, \\ \end{gathered} $
где Veff  – фурье-образ эффективного потенциала

(14)
$\begin{gathered} {{V}_{{eff}}}\left( k \right) = {{V}_{{00}}}\left( k \right) - \frac{{{{C}_{a}}\left( k \right)}}{\beta }, \\ {{C}_{a}}\left( k \right) = \sum\limits_{\nu = 1}^q {{{n}_{\nu }}} {{C}_{{0\nu }}}\left( k \right){{F}_{\nu }}\left( k \right). \\ \end{gathered} $

Соответственно сам эффективный потенциал определяется выражением

(15)
$\begin{gathered} {{V}_{{eff}}}\left( r \right) = {{V}_{{00}}}\left( r \right) - \frac{{{{C}_{a}}\left( r \right)}}{\beta }, \\ {{C}_{a}}\left( r \right) = \frac{1}{{2{{\pi }^{2}}r}}\int\limits_0^\infty {{{C}_{a}}} \left( k \right)k\sin \left( {kr} \right){\text{d}}k. \\ \end{gathered} $

Как отмечалось в работах [25, 26], эффективный потенциал Veff вводится только для расщепления системы уравнений Орнштейна–Цернике и выделения из нее одного уравнения для h00, которое может быть решено стандартными численными методами, если известны прямые корреляционные функции Cνμ для ν = 0, 1, …, q и μ = 1, 2, …, q. Парный потенциал взаимодействия заряженных частиц в плазме при этом остается кулоновским.

Метод решения уравнений ОЦ в ГПЦ для многокомпонентной плазмы при идеальности всех подсистем, кроме пылевой, подробно описан в работе [26]. В качестве начальных решений используются прямые корреляционные функции в дебаевском приближении [27]

(16)
$\begin{gathered} C_{{\nu \mu }}^{D}\left( r \right) = - \beta {{V}_{{\nu \mu }}}\left( r \right) \equiv - \frac{{{{e}^{2}}{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}\beta }}{r}, \\ C_{{\nu \mu }}^{D}\left( k \right) = - \frac{{4\pi {{e}^{2}}{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}\beta }}{{{{k}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

При этом для всех ν и μ парная корреляционная функция имеет вид

(17)
$h_{{\nu \mu }}^{D}\left( k \right) = - \frac{{4\pi {{e}^{2}}\beta {{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}}}{{{{k}^{2}} + k_{D}^{2}}},$
где kD – полная постоянная экранирования:

(18)
$k_{D}^{2} = 4\pi \beta {{e}^{2}}\sum\limits_\nu {z_{\nu }^{2}{{n}_{\nu }}} .$

Отметим, что условие полного экранирования [43] подразумевает, что равенство (16) будет выполняться на больших расстояниях при $r \to \infty $. Из условия полного экранирования следует равенство [43]

(19)
$\sum\limits_{\nu = 0}^q {{{z}_{\nu }}{{n}_{\nu }}} \int {\sum\limits_{\mu = 0}^q {{{z}_{\mu }}{{n}_{\mu }}{{g}_{{\nu \mu }}}\left( r \right)} } d{\mathbf{r}} = - \sum\limits_{\nu = 0}^q {z_{\nu }^{2}{{n}_{\nu }}} .$

Вследствие дальнедействующего характера кулоновского взаимодействия из условия полного экранирования можно получить также второе равенство [43]

(20)
$4\pi {{e}^{2}}\int {\sum\limits_{\nu = 0}^q {\sum\limits_{\mu = 0}^q {{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}{{n}_{\nu }}{{n}_{\mu }}{{g}_{{\nu \mu }}}(r)} } } {{r}^{2}}d{\mathbf{r}} = - 6T.$

Используя условие квазинейтральности (4), равенства (19) и (20) можно привести к виду

(21)
$\begin{gathered} \sum\limits_{\mu = 0}^q {{{z}_{\mu }}{{n}_{\mu }}} \int {{{h}_{{\nu \mu }}}\left( r \right)} {{r}^{2}}dr = - \frac{{{{z}_{\nu }}}}{{4\pi }},\quad \nu = 0,\;1,\;...,\;q; \\ \sum\limits_{\nu = 0}^q {\sum\limits_{\mu = 0}^q {{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}{{n}_{\nu }}{{n}_{\mu }}} } \int {{{h}_{{\nu \mu }}}(r)} {{r}^{4}}dr = - \frac{{3T}}{{8{{\pi }^{2}}{{e}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Эти равенства будут использованы ниже для проверки физичности результатов численного решения уравнения ОЦ в ГЦП.

В работах [25, 26] было показано, что в случае трехкомпонентной пылевой плазмы эффективный потенциал определяется выражением

(22)
${{V}_{{eff}}}\left( r \right) = {{V}_{{00}}}\left( r \right) - \frac{1}{{2{{\pi }^{2}}\beta r}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{{n}_{1}}C_{{01}}^{2}\left( {1 - {{n}_{2}}{{C}_{{22}}}} \right) + {{n}_{2}}C_{{02}}^{2}\left( {1 - {{n}_{1}}{{C}_{{11}}}} \right) + 2{{n}_{1}}{{n}_{2}}{{C}_{{01}}}{{C}_{{02}}}{{C}_{{12}}}}}{{\left( {1 - {{n}_{1}}{{C}_{{11}}}} \right)\left( {1 - {{n}_{2}}{{C}_{{22}}}} \right) - {{n}_{1}}{{n}_{2}}C_{{12}}^{2}}}} k\sin \left( {kr} \right)dk.$

При применимости дебаевского приближения (16) для прямых корреляционных функций для электронов и ионов, эффективный потенциал (22) принимает вид

(23)
${{V}_{{eff}}}\left( r \right) = \frac{{{{e}^{2}}z_{0}^{2}}}{r}{{e}^{{ - {{k}_{{ei}}}r}}},$
где kei – электрон-ионная постоянная экранирования:

(24)
$k_{{ei}}^{2} = 4\pi \beta {{e}^{2}}\left( {{{n}_{1}} + z_{2}^{2}{{n}_{2}}} \right).$

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ

В работе [26] было показано, что первые два условия термодинамической устойчивости (ТДУ), а именно положительность изохорической теплоемкости и положительность изотермической сжимаемости, в пылевой плазме выполнены. Третье условие термодинамической устойчивости имеет вид [44]

(25)
${{\mu }_{{00}}} > 0,\quad {{\mu }_{{11}}} > 0,\quad {{\mu }_{{00}}}{{\mu }_{{11}}} - {{\mu }_{{01}}}{{\mu }_{{10}}} > 0,$
где μν – химический потенциал ν-компоненты плазмы, μνλ – производные химического потенциала ν-компоненты плазмы по полному числу частиц λ-компоненты:

(26)
${{\mu }_{{\nu \lambda }}} = {{\mu }_{{\lambda \nu }}} = {{\left( {\frac{{\partial {{\mu }_{\nu }}}}{{\partial {{N}_{\lambda }}}}} \right)}_{{P,T,{{N}_{{\tau ,\tau \ne \lambda }}}}}}.$

Определение химических потенциалов компонент пылевой плазмы в численных расчетах встречается с определенными трудностями. В работах [45, 46] было показано, что третье условие ТДУ (25) можно свести к требованию устойчивости неидеальной подсистемы без учета идеальных подсистем, для которой должна быть положительной изотермическая сжимаемость:

(27)
${{K}_{{T,00}}} = - \frac{1}{V}{{\left[ {{{{\left( {\frac{{\partial {{P}_{{00}}}}}{{\partial V}}} \right)}}_{T}}} \right]}^{{ - 1}}}.$

Здесь в качестве давления пылевой подсистемы использовано P00 как в однокомпонентном приближении. Именно условие положительности KT,00 используется для определения термодинамической устойчивости в однокомпонентном приближении. В качестве третьего условия в работах [25, 26] использовалось условие положительности изотермической сжимаемости только пылевой подсистемы. Это же условие будет использовано в настоящей работе.

Давление многокомпонентной плазмы определяется выражением [27]

(28)
$P = \frac{n}{\beta } - \frac{1}{6}\sum\limits_\nu {\sum\limits_\mu {{{n}_{\nu }}} } {{n}_{\mu }}\int {{\mathbf{r}}\frac{{\partial {{V}_{{\nu \mu }}}\left( r \right)}}{{\partial {\mathbf{r}}}}} {{g}_{{\nu \mu }}}\left( r \right)d{\mathbf{r}}.$

Отсюда, для кулоновского потенциала взаимодействия (1), с учетом условия полной квазинейтральности (4), находим

(29)
$\begin{gathered} P = \frac{n}{\beta } + \frac{{2\pi {{e}^{2}}}}{3}\sum\limits_\nu {\sum\limits_\mu {{{n}_{\nu }}} } {{n}_{\mu }}{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}\int\limits_0^\infty {{{h}_{{\nu \mu }}}} \left( r \right)rdr \equiv \\ \, \equiv \frac{n}{\beta } + \frac{1}{3}\Delta U. \\ \end{gathered} $

Здесь ΔU – внутренняя энергия плазмы, обусловленная взаимодействием частиц. В качестве парциального давления пылевой компоненты P00 в работах [25, 26] использовалась величина

(30)
${{P}_{{00}}} = \frac{{{{n}_{0}}}}{\beta } + \frac{{2\pi {{e}^{2}}}}{3}n_{0}^{2}z_{0}^{2}\int\limits_0^\infty {{{h}_{{00}}}} \left( r \right)rdr.$

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

На рис. 1 приведены зависимости изотермической сжимаемости пылевой компоненты KT,00 от параметра неидеальности Γ00 при T = 300 К, z0 < 0 и различных значениях концентрации пылевых частиц и ионов. В расчетах параметр неидеальности варьировался путем изменения заряда пылевых частиц, при этом концентрация электронов определялась из условия квазинейтральности плазмы (4). Видно, что с ростом параметра неидеальности изотермическая сжимаемость пылевой компоненты монотонно уменьшается и становится отрицательной при превышении критического значения параметра неидеальности, которое обозначим как Γcr. Следовательно, пылевая плазма становится термодинамически неустойчивой при Γ00 > Γcr.

Рис. 1.

Зависимости изотермической сжимаемости пылевой компоненты KT,00 от параметра неидеальности Γ = Γ00 при T = 300 К, z0 < 0: кривая 1 – n0 = = 105 см–3, n2 = 108 см–3, 2 – n0 = 104 см–3, n2 = 108 см–3; 3 – n0 = 103 см–3, n2 = 108 см–3; 4 – n0 = 105 см–3, n2 = 109 см–3; 5 – n0 = 105 см–3, n2 = 2 × × 109 см–3.

Из рис. 1 видно, что при постоянной концентрации ионов по мере роста концентрации пылевых частиц левая граница области термодинамической неустойчивости пылевой плазмы монотонно сдвигается влево в сторону меньших значений параметра неидеальности. А увеличение концентрации ионов при постоянной концентрации пылевых частиц сдвигает левую границу вправо в сторону больших значений параметра неидеальности.

Аналогичная картина имеет место и в термической пылевой плазме с положительно заряженными пылевыми частицами, в которой смена знака изотермической сжимаемости пылевой компоненты при T = 2000 K, n2 = 1010 см–3 происходит при Γ = 2.2 для n0 = 107 см–3, Γ = 3.2 для n0 = = 106 см–3 и Γ = 6.3 для n0 = 105 см–3. Как показали расчеты при изменении концентрации пылевых частиц от 103 до 5 × 107 см–3, концентрации положительных ионов от 108 до 4 × 1010 см–3, температурах 300 (z0 < 0), 1700 и 2000 К (z0 > 0), при этом параметр $\kappa = {{k}_{{ei}}}a$ менялся в диапазоне от 2.2 до 25.5, критическое значение параметра неидеальности, выше которого пылевая компонента становится термодинамически неустойчивой, очень хорошо описывается зависимостью (см. рис. 2)

(31)
${{\Gamma }_{{cr}}} \approx 1.2 + 0.39\kappa + 0.0127{{\kappa }^{2}}.$
Рис. 2.

Зависимость критического значения параметра неидеальности Γcr, при превышении которого KT,00 меняет знак, от произведения электрон-ионной постоянной экранирования на среднее расстояние между пылевыми частицами: • – по данным численного решения уравнения ОЦ в ГЦП, сплошная линия – аппроксимация (31).

Стабилизация пылевой подсистемы возможна, например, при следующем наиболее вероятном сценарии развития термодинамической неустойчивости пылевой компоненты, когда происходит ее стратификация с формированием двух областей с разными плотностями, в одной из которых пылевые частицы, при учете их конечного размера, будут плотно упакованы, а в другой концентрация пылевых частиц в процессе разделения будет снижаться, пока параметр неидеальности не упадет до значения, ниже которого пылевая плазма станет термодинамически устойчивой. Такая картина подобна фазовому разделению натрий-аммиачных растворов при увеличении концентрации раствора, что приводит к резкому падению действительной части диэлектрической проницаемости к большим (по модулю) и отрицательным значениям [47]. Это падение можно интерпретировать как переход метал-неметалл, связанный с очень быстрым уменьшением массы отрицательно заряженных носителей с ростом концентрации раствора.

В экспериментах в земных условиях при развитии термодинамической неустойчивости пылевая плазма может вернуться в область термодинамической устойчивости вследствие ухода части пылевых частиц из области разряда под действием силы тяжести. При этом вырастет параметр a, и, соответственно, вырастет значение произведения keia, которому уже соответствует большее значение критического параметра неидеальности.

Вообще говоря, в земных условиях пылевая плазма является сильно анизотропной из-за действия силы тяжести и использование интегральных уравнений для однородной жидкости для ее описания нужно дополнительно обосновывать. Но теория интегральных уравнений может быть использована для описания поведения микрочастиц в электролитах и в термической плазме, где система близка к термодинамически равновесному состоянию и роль силы тяжести существенно ослаблена.

ФИЗИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ

Хорошо известно, что в дебаевском приближении парная корреляционная функция для частиц с зарядом одного знака на малых расстояниях становится отрицательной (см. (17) и рис. 3). В то же время, найденные путем численного решения уравнения ОЦ в ГЦП функции g00 (см. рис. 3), g10, g11 и g22 оказались положительными во всем исследованном диапазоне расстояний.

Рис. 3.

Парная корреляционная функция пылевая частица-пылевая частица при n2 = 2 × 109 см–3, n0 = = 105 см–3, z0 < 0, T = 300 К как функция приведенного расстояния для различных значений параметра неидеальности Γ00: 1 – 10–3, 2 – 10–2, 3 – 10–1, 4 – 1, 5 – 10, 6 – 100; сплошные линии – численное решение уравнения ОЦ в ГЦП, штриховые – дебаевское приближение.

Для многокомпонентной плазмы есть еще величины, которые должны быть неотрицательными – это структурные факторы частица-частица и заряд-заряд [27]:

(32)
$\begin{gathered} {{S}_{{NN}}}(k) = \sum\limits_\nu {\sum\limits_\mu {{{S}_{{\nu \mu }}}(k),} } \\ {{S}_{{ZZ}}}(k) = \sum\limits_\nu {\sum\limits_\mu {{{z}_{\nu }}} } {{z}_{\mu }}{{S}_{{\nu \mu }}}(k), \\ \end{gathered} $
где парциальные структурные факторы определены выражением
(33)
${{S}_{{\nu \mu }}}(k) = \frac{{{{n}_{\nu }}}}{n}\left[ {{{\delta }_{{\nu \mu }}} + {{n}_{\mu }}{{h}_{{\nu \mu }}}(k)} \right],$
δνμ – символ Кронекера.

На рис. 4 приведены зависимости структурных факторов частица-частица SNN и заряд-заряд SZZ от волнового числа при n2 = 2 × 109 см–3, n0 = = 105 см–3, z0 < 0, T = 300 К и различных значениях параметра неидеальности Γ00. Оказалось, что структурный фактор частица-частица практически не отличается от единицы. Значения структурного параметра заряд-заряд также оказались положительными во всем исследованном диапазоне изменения волнового числа, причем с ростом параметра неидеальности значения SZZ тоже росли.

Рис. 4.

Структурные факторы частица-частица SNN (кривая 1) и заряд-заряд SZZ (кривые 2–5) как функции приведенного волнового числа при n2 = 2 × × 109 см–3, n0 = 105 см–3, z0 < 0, T = 300 К и различных значениях параметра неидеальности Γ00: 2 – 10–3, 3 – 1, 4 – 10, 5 – 100.

Проверка выполнения равенств (21) показала, что они выполнены с высокой относительной точностью, которая превышала 0.01% (см. табл. 1). Поэтому мы можем сделать вывод, что численное решение уравнения ОЦ в ГЦП дает корреляционные функции и структурные факторы, которые не нарушают существующие физические ограничения на них.

Таблица 1.

Зависимости величин ${{I}_{\nu }} = 4\pi \sum\nolimits_\mu {{{z}_{\mu }}{{n}_{\mu }}\int {{{h}_{{\nu \mu }}}\left( r \right)} {{r}^{2}}dr} $, ν = 0, 1, 2 и ${{I}_{s}} = \sum\nolimits_\nu {\sum\nolimits_\mu {{{z}_{\nu }}{{z}_{\mu }}{{n}_{\nu }}{{n}_{\mu }}\int {{{h}_{{\nu \mu }}}(r)} {{r}^{4}}dr} } $ от параметра неидеальности при n2 = 2×109 см−3, n0 = 105 см–3, T = 300 К

Γ00 z0 I0 I1 I2 Is ${{3T} \mathord{\left/ {\vphantom {{3T} {8{{\pi }^{2}}{{e}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {8{{\pi }^{2}}{{e}^{2}}}}$
10−3 −1.9667 1.9668 1.0001 –1.0001 –6822.3 6821.4
10−2 –6.2193 6.2197 1.0001 –1.0001 –6822.3 6821.4
10−1 –19.667 19.668 1.0001 –1.0001 –6822.3 6821.4
1 –62.193 62.197 1.0001 –1.0001 –6822.3 6821.4
10 –196.67 196.68 1.0001 –1.0001 –6822.3 6821.4
100 –621.93 621.97 1.0001 –1.0001 –6822.3 6821.4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование термодинамической устойчивости многокомпонентной плазмы на основе интегральных уравнений Орнштейна–Цернике для многокомпонентной жидкости. Выполнен переход к однокомпонентному уравнению Орнштейна–Цернике для самой неидеальной подсистемы для плазмы с любым числом компонент в условиях применимости дебаевского приближения для прямых корреляционных функций для всех компонент плазмы, кроме самой неидеальной подсистемы. Показано, что все парные корреляционные функции, структурные факторы заряд-заряд и частица-частица остаются положительными при всех значения аргумента во всем исследованном диапазоне параметра неидеальности самой неидеальной подсистемы. Исследованы условия нарушения термодинамической устойчивости трехкомпонентной пылевой плазмы при разных знаках заряда пылевых частиц и разных их концентрациях. Показано, что стабилизация термодинамической неустойчивости многокомпонентной плазмы может происходит путем уменьшения числа пылевых частиц и перехода за счет этого в область параметров неидеальности, где плазма является термодинамически устойчивой.

Настоящая работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 22-22-01000).

Список литературы

  1. Цытович В.Н. // УФН. 1997. Т. 167. С. 57.

  2. Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А., Молотков В.И., Петров О.Ф. // УФН. 2004. Т. 174. С. 495.

  3. Fortov V.E., Ivlev A.V., Khrapak S.A., Khrapak A.G., Morfill G.E. // Phys. Rep. 2005. V. 421. P. 1.

  4. Mann I., Meyer-Vernet N., Czechowski A. // Phys. Rep. 2014. V. 536. P. 1.

  5. Ivlev A.V., Khrapak S.A., Molotkov V.I., Khrapak A.G. Introduction to the Physics of Dust and Complex Plasma. M.: Intellect Publishing House, 2017.

  6. Shukla P.K., Mamun A.A. Introduction to dusty plasma physics. CRC Press, 2015.

  7. Greiner F., Melzer A., Tadsen B., Groth S., Killer C., Kirchschlager F., Wieben F., Pilch I., Kruger H., Block D., Piel A., Wolf S. // Eur. Phys. J. D. 2018. V. 72. P. 81.https://doi.org/10.1140/epjd/e2017-80400-7

  8. Ivlev A., Lowen H., Morfill G., Royall C.P. Complex plasmas and colloidal dispersions: particle-resolved studies of classical liquids and solids. Series in Soft Condensed Matter, vol. 5. Singapore: World Scientific, 2012.

  9. Филиппов А.В., Старостин А.Н., Паль А.Ф. // ЖЭТФ. 2015. Т. 148. С. 1039.

  10. Babick F. // Suspensions of Colloidal Particles and Aggregates / Eds. J. Manuel, V. Millan. V. 20 of the series Particle Technology Serie. Cham: Springer International Publishing, 2016. P. 75.

  11. Ohshima H. // Encyclopedia of Biocolloid and Biointerface Science. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc., 2016.https://doi.org/10.1002/9781119075691.ch34

  12. Филиппов А.В., Дербенев И.Н. // ЖЭТФ. 2016. Т. 150. С. 1262.

  13. Derbenev I.N., Filippov A.V., Stace A.J., Besley E. // J. Chem. Phys. 2016. V. 145. P. 084103.https://doi.org/10.1063/1.4961091

  14. Chen C., Huang W. // Environ. Sci. Technol. 2017. V. 51. P. 2077.https://doi.org/10.1021/acs.est.6b04575

  15. Fortov V.E., Morfill G.E. Complex and Dusty Plasmas. London: Taylor Francis, 2009.

  16. Ваулина О.С., Петров О.Ф., Фортов В.Е., Храпак А.Г., Храпак С.А. Пылевая плазма. Эксперимент и теория. М.: Физматлит, 2009. 316 с.

  17. Hamaguchi S., Farouki R.T. // J. Chem. Phys. 1994. V. 101. P. 9876.

  18. Farouki W.T., Hamaguchi S. // J. Chem. Phys. 1994. V. 101. P. 9885

  19. Hamaguchi S., Farouki R.T., Dubin D.H.E. // Phys. Rev. E. 1997. V. 56. P. 4671.

  20. Totsuji H. // Phys. Plasmas. 2008. V. 15. P. 072111.

  21. Totsuji H. // Microgravity Sci. Technol. 2011. V. 23. P. 159.

  22. Khrapak S.A., Khrapak A.G., Ivlev A.V., Morfill G.E. // Phys. Rev. E. 2014. V. 89. P. 023102.

  23. Khrapak S.A., Morfill G.E., Ivlev A.V., Thomas H.M., Beysens D.A., Zappoli B., Fortov V.E., Lipaev A.M., Molotkov V.I. // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96. P. 015001.

  24. Debye P., Huckel E. // Phys. Zeitschr. 1923. V. 24. S. 185.

  25. Филиппов А.В., Решетняк В.В., Старостин А.Н., Ткаченко И.М., Фортов В.Е. // Письма в ЖЭТФ. 2019. Т. 110. С. 651.https://doi.org/10.1134/S0370274X19220041

  26. Filippov A.V., Fortov V.E., Reshetniak V.V., Staros-tin A.N., Tkachenko I.M. // AIP Advances. 2020. V. 10. P. 045232.https://doi.org/10.1063/1.5144901

  27. Hansen J.-P., McDonald I.R. Theory of Simple Liquids. London: Elsevier, 2006.

  28. Саркисов Г.Н. // УФН. 1999. Т. 169. С. 625.

  29. Решетняк В.В., Старостин А.Н., Филиппов А.В. // ЖЭТФ. 2018. V. 154. С. 1258.

  30. Решетняк В.В., Филиппов А.В. // ЖЭТФ. 2019. V. 156. С. 545.

  31. Зеленер Б.В., Норман Г.Э., Филинов В.С. Теория возмущений и псевдопотенциалов в статистической термодинамике. М.: Наука, 1981.

  32. Kelbg G. // Ann. Phys. V. 1964. V. 12. P. 219.

  33. Kelbg G. // Ann. Phys. 1964. V. 12. P. 354.

  34. Климонтович Ю.Л., Крэфт В.Д. // ТВТ. 1974. V. 12. P. 239.

  35. Deutsch C. // Phys. Lett. 1977. V. 60A. P. 317.

  36. Deutsh C., Gombert M.M., Minoo H. // Phys. Lett. 1978. V. 66A. P. 381; 1979. V. 72A. P. 481.

  37. Schwarz V., Bornath T., Kraeft W.D., Glenzer S.H., Holl A., Redmer R. // Contrib. Plasma Phys. 2007. V. 47. P. 324.

  38. Wunsch K., Hilse P., Schlanges M., Gericke D.O. // Phys. Rev. E. 2008. V. 77. P. 05640.

  39. Fushiki M. // J. Chem. Phys. 1988. V. 89. P. 7445.https://doi.org/10.1063/1.455275

  40. Davletov A.E., Yerimbetova L.T., Arkhipov Yu.V., Mukhametkarimov Ye.S., Kissan A., Tkachenko I.M. // J. Plasma Phys. 2018. V. 84. P. 905840410.

  41. Yerimbetova L.T., Davletov A.E., Arkhipov Y.V., Tka-chenko I.M. // Contrib. Plasma Phys. 2019. V. 59. P. e201800160.https://doi.org/10.1002/ctpp.201800160

  42. Beresford-Smith B., Chan D.Y., Mitchell D.J. // J. Colloid Interface Sci. 1985. V. 105. P. 216.

  43. Stillinger F.H., Lovett B. // J. Chem. Phys. 1968. V. 49. P. 1991.

  44. Prigogine I., Defay R. Chemical Thermodynamics. London, Ney York, Toronto: Longmans Green and Co., 1954.

  45. Норман Г.Э., Старостин А.Н. // ТВТ. 1968. Т. 6. С. 410.

  46. Норман Г.Э., Старостин А.Н. // ТВТ. 1970. V. 8. P. 413.

  47. Mahaffey D.W., Jerde D.A. // Rev. Mod. Phys. 1968. V. 40. P. 710.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Физика плазмы

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал