Физика Земли, 2023, № 5, стр. 96-100

ВВЕДЕНИЕ

Применение интеграла Фока (ИФ) как удобного инструмента для аналитического расчета электромагнитного поля магнитного диполя вблизи границы однородного проводящего полупространства было впервые предложено В.А. Фоком в работе [Fock, 1933], где и было получено его аналитическое выражение¹¹, имеющее следующий вид:

где: $r \geqslant 0$ – расстояние вдоль границы полупространств между источником и точкой наблюдения; ${{J}_{\nu }}(\xi )$, $H_{\nu }^{{(1)}}(\xi )$ – функции Бесселя и Ханкеля первого рода порядка $\nu $ от комплексного аргумента $\xi $ ($\operatorname{Re} \,\xi \geqslant \,\operatorname{Im} \xi \geqslant \,0$); ${{I}_{\nu }}(\zeta )\;$, ${{K}_{\nu }}(\zeta )$ – модифицированные функции Бесселя первого и третьего рода от комплексного аргумента $\zeta = - i\xi $; ${{\eta }_{0}} = \sqrt {{{\lambda }^{2}} - k_{0}^{2}} ,$ ${{\eta }_{1}} = \sqrt {{{\lambda }^{2}} - k_{1}^{2}} ,$ $\operatorname{Re} {{\eta }_{{0,\,1}}} \geqslant 0;$ ${{k}_{0}} = \sqrt {i\omega {{\mu }_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\sigma } }}_{0}}} $ и ${{k}_{1}} = \sqrt {i\omega {{\mu }_{0}}{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\sigma } }}_{1}}} $ ($0 < \,\,\operatorname{Im} \,\,{{k}_{{0,\,1}}} < \operatorname{Re} \,\,{{k}_{{0,\,1}}}$) – комплексные волновые числа двух полупространств, которые условимся называть, соответственно, верхним (индекс “0”) и нижним (индекс “1”); ${{\mu }_{0}}$ – магнитная постоянная; ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\sigma } }_{0}} = {{\sigma }_{0}} - i\omega {{\varepsilon }_{0}}$, ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\sigma } }_{{\,1}}} = {{\sigma }_{1}} - i\omega {{\varepsilon }_{1}}$ – в общем, комплексные, а ${{\sigma }_{0}}$, ${{\sigma }_{1}}$– реальные удельные электропроводности²²; ${{\varepsilon }_{0}}$, ${{\varepsilon }_{1}}$ – диэлектрические проницаемости, соответственно, верхнего и нижнего полупространств. Произвольная скалярная составляющая $V$ электромагнитного поля в двух полупространствах при гармоническом режиме возбуждения с круговой частотой колебаний ω и зависимостью от времени $t$ по закону $\exp ( - i{{\omega }}{\kern 1pt} t)$ в точках отсутствия сторонних токов удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца: где $\Delta $ – оператор Лапласа.

С помощью интеграла (1) для вышеописанной геоэлектрической модели (контакт двух полупространств) были получены по методу Фока [Fock, 1933; Бурсиан, 1972] аналитические выражения для некоторых компонент поля вертикального и горизонтального магнитных диполей, детально описанные в работах ленинградской школы геофизиков [Вешев и др., 1971; Бурсиан, 1972]. Получение аналогичных результатов для всех компонент векторов электромагнитного поля магнитных и электрических диполей в той же модели требовало введения дополнительно к ИФ несколько иного, родственного ему, интеграла, имеющего следующий вид:

(его, для краткости, условимся далее называть ИФ1), для которого в существующей литературе по данной тематике отсутствуют как аналитическое представление, так и способы его определения.

К настоящему времени разработан целый ряд алгоритмов быстрого преобразования Ханкеля для расчетов полей дипольных источников (электрических и магнитных) как на поверхности, так и в любой точке слоистого полупространства с плоскопараллельными границами раздела. Тем не менее, интерес к модели проводящего полупространства сохраняется. С точки зрения математического моделирования эту область весьма часто можно рассматривать как проводящее “квазиоднородное” полупространство, содержащее разного рода неоднородности, выявление, локализация и учет которых являются целью исследований. Но поскольку получение аналитических выражений для компонент электромагнитных полей по методу Фока удобней было бы выполнять при наличии аналитического представления ИФ1, т.е. (2), то определение последнего представляет собой вполне актуальную самостоятельную задачу, решению которой и посвящена настоящая работа.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ.

В качестве, одного из возможных путей к решению поставленной задачи, то есть получению аналитического выражения функции ${{F}_{1}}(r,\;\nu )$, ниже рассматривается подход, который заключается в выводе и затем решении неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с соответствующим граничным условием, которому должна удовлетворять правая часть интегрального выражения (2).

Для реализации предлагаемого подхода выпишем известное линейное дифференциальное соотношение [Бейтмен, Эрдейи, 1974]:

в котором далее положим $\nu = 1$ и $z = \lambda r$, где $\lambda $ будем считать константой, после чего данное соотношение запишется в следующем виде:

Умножив обе стороны последнего выражения на сомножители при функции Бесселя в подынтегральном выражении правой части соотношения (2) и проинтегрировав результат по параметру $\lambda $ от 0 до $\infty $, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка с переменным коэффициентом и граничное условие для функции ${{F}_{1}}(r,\;\nu )$:

где ${{F}_{0}}(r,\;\nu )$– известная функция, представляющая правую часть выражения (1), то есть ИФ $\nu {\text{ - го}}$ порядка. Граничное условие для данного дифференциального уравнения следует из очевидного равенства нулю интеграла (2) ввиду равенства нулю ${{J}_{1}}(\lambda r)$ при $r = 0$.

Получение решения задачи (3) в аналитическом виде и даст нам аналитическое представление ИФ2.

Стандартное решение уравнений типа (3) по методу вариации постоянных (см., например, [Эльсгольц, 2008]) в данном случае может быть представлено в следующем виде:

где первое слагаемое в правой части данного выражения – частное решение неоднородного уравнения (3), имеющее вид: а второе слагаемое – общее решение однородного уравнения, то есть уравнения вида (3), в котором правая часть тождественна нулю; ${{c}_{\nu }}$ – некоторая константа, от выбора которой зависит выполнение граничного условия задачи (3). Как видно из правой части (4), общее решение однородного уравнения в точке $r = 0$ обращается в бесконечность, в то время как полное решение данной задачи согласно граничному условию в данной точке должно быть равно нулю. Отсюда следует, что граничное условие может быть удовлетворено в том случае, если для ее частного решения $F_{1}^{p}(r;\,\nu )$ в окрестности точки $r = 0$ может быть получено представление в виде суммы некоторой функции, гладко стремящейся к 0 при $r \to 0$, и члена ${{{{C}_{\nu }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{\nu }}} r}} \right. \kern-0em} r}$, где ${{C}_{\nu }}$ – определенная константа. Тогда, подобрав для общего решения в правой части выражения (4) значение констант ${{c}_{\nu }} = - {{C}_{\nu }}$, из нее можно исключить член, содержащий множитель ${{r}^{{ - 1}}}$, и получить, таким образом, выражение ${{F}_{1}}(r,\;\nu )$, удовлетворяющее граничному условию задачи (3).

Неопределенный интеграл в правой части выражения (5), как выясняется, является табличным, поскольку для любых двух констант $a$, $b$ и цилиндрических функций ${{\mathcal{B}}_{\nu }}(ax)$ и ${{\mathcal{Z}}_{\nu }}(bx)$ 1–3-го рода, порядка$\nu $ известны соотношения следующего вида [Бейтмен, Эрдейи, 1974]:

в которых применительно к нашему случаю следует полагать: ${{\mathcal{B}}_{\nu }}$ – функция Бесселя и ${{\mathcal{Z}}_{\nu }}$ – функция Ханкеля первого рода, вещественного порядка $\nu $, $x = r$. Таким образом, в соответствии с соотношением (6) из выражения (5) получаем следующее представление частного решения уравнения (3):

Комплексные константы ${{k}_{0}},\;{{k}_{1}}$ согласно их определению, данному к выражению (1), обеспечивают выполнение следующих условий для констант a и $b$:

которые вытекают из их определения, приведенного в подстроке к выражению (7).

Очевидно, что соотношение (7) предполагает тождественность первого (верхнего) и второго (нижнего) выражений в его правой части. В этом также легко убедиться, вычтя второе выражение из первого, поскольку, используя далее рекуррентную формулу, связывающую между собой функции Бесселя, равно, как и функции Ханкеля, порядков $\nu - 1,\;\nu $ и $\nu + 1$, получим 0 в правой части (7), как и в левой.

Нетрудно также видеть, что оба выражения (7) представляют собой гладкие функции переменной $r > 0$, которые, благодаря неравенствам (8), ограничены по модулю и стремятся к 0 при $r \to \infty $, ввиду асимптотик функций Бесселя и Ханкеля для больших значений модуля аргумента.

В связи с полученным выше полным решением уравнения (3) в виде (4) и частным решением в виде (7) остается один вопрос: может ли быть удовлетворено граничное условие задачи (3), что проверим на интересующем нас множестве индексов $\nu = n,$ $n + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$;

$n = 0,\;1,\;2,...$ Как нетрудно проверить, для отрицательных значений $(\nu = - 1,{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2})$ данное решение не удовлетворяет граничному условию (3). При $\nu = 0$ оба выражения правой части (7) можно объединить следующим общим соотношением для окрестности точки $r = 0$:

при котором и, как следствие, так что для полного решения задачи (3) выполняется предельный переход

Для функций $F_{1}^{p}(r,\,\nu )$ при $\nu = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},1,{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и малых $r$получаются представления:

из которых, соответственно, очевидны следующие выражения для ${{c}_{\nu }}$:

Вообще, используя выражения для функций Бесселя и Ханкеля целого и полуцелого порядков, можно показать, что при целых $n$ и полуцелых $\nu = n + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$$\;(n \geqslant 2)$ индексах для правой части соотношения (7) имеют место, соответственно, выражения:

причем первый член в правых частях выражений (11) можно получить, используя только нулевые приближения функций Бесселя и Ханкеля первого рода [Справочник, 1979] из которых затем определить параметр ${{c}_{\nu }}$ как коэффициент при ${{r}^{{ - 1}}}$, взятый с обратным знаком. Таким образом, получаем следующую общую формулу: которая, как следует из выражений (9)–(11), обеспечивает выполнение граничного условия задачи (3) при представлении ее решения в виде (4) с учетом условия, наложенного на параметр $\nu $, в выражениях (2) и (12).

Учитывая тождественность верхнего и нижнего выражений в правой части соотношения (7), взяв их сумму и используя известное выражение для первой производной функций Бесселя и Ханкеля порядка $\nu $через те же функции порядков $\nu - 1$ и $\nu + 1$, получим следующее выражение для частного решения:

Подставляя выражение (13) в (4) и принимая во внимание определение параметров $a$ и $b$, данное в подстроке к (7), получим окончательное аналитическое представление ИФ1, которое приведем ниже как в обычных функциях Бесселя и Ханкеля первого рода, так и в модифицированных функциях Бесселя первого и третьего рода:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученный результат, то есть выражение (14) вместе с (1), представляют собой основу для получения по методу Фока аналитических выражений для расчетов электромагнитных полей электрических и магнитных диполей на границе раздела двух полупространств. Вывод этих выражений сам по себе представляет отдельную задачу, решение которой вместе с практической реализацией его результатов требуют отдельного рассмотрения в последующих публикациях.

Выражение (14), равно как и метод его получения, может представлять интерес при решении различных прикладных задач вычислительной геофизики. В частности, выражения (1) и (14) могут быть использованы для разработки новых или оценки точности и надежности известных численных алгоритмов быстрого преобразования Ханкеля 0-го и 1-го порядков применительно к моделированию электромагнитных полей дипольных источников в слоистых средах.