Геомагнетизм и аэрономия, 2019, T. 59, № 1, стр. 30-38

1. ВВЕДЕНИЕ

Во время магнитной бури плазма инжектируется на ночной стороне около геостационарной орбиты. Взаимодействуя с электрическим полем конвекции, эти частицы дрейфуют внутрь магнитосферы, захватываются геомагнитным полем и формируют кольцевой ток во время бури. Земной кольцевой ток – это электрический ток, текущий к западу вокруг Земли, который обычно обнаруживается на расстояниях между ~2 и 9R_E (R_E – средний радиус Земли). Его область, рост и спад связаны с геомагнитными бурями [Daglis et al., 1999]. Захваченные энергичные (~десятков кэВ) положительные ионы (${{{\text{H}}}^{ + }},$ ${\text{H}}{{{\text{e}}}^{ + }}$ и ${{{\text{O}}}^{ + }}$) подвергаются азимутальному дрейфу и составляют кольцевой ток бури. Три главных процесса считаются ответственными за спад кольцевого тока: кулоновские столкновения и обмен зарядами вместе с питч-угловой диффузией, управляемой электромагнитными ионно-циклотронными волнами [Kennel and Petschek, 1966; Cornwall et al., 1970; Sakaguchi et al., 2008; Xiao et al., 2011, 2012]. Время потерь, связанное с обменом зарядами и кулоновскими столкновениями, изменяется от ~1 до ~100 суток для энергий ионов выше десятков кэВ [Fok et al., 1991]. Характерные времена, связанные с питч-угловым рассеянием электромагнитными ионно-циклотронными волнами, являются более короткими ~1 ч [Lyons and Thorne, 1972; Lyons and Williams, 1984].

В квазилинейной кинетической теории гирорезонансные взаимодействия между электромагнитными волнами и энергичными частицами ведут к нарушению первого адиабатического инварианта и к диффузии по питч-углу и энергии. В общем, питч-угловая диффузия продвигает, например, протоны к конусу потерь и высыпанию [Gendrin, 1981], тогда как диффузия по энергии приводит к ускорению частиц и ужесточению энергетического спектра [Thorne and Horne, 1996]. Количественное описание таких процессов требует, например, решения двумерного баунс-усредненного уравнения диффузии Фоккера-Планка, описывающего локальное ускорение и процессы потерь в пространстве скоростей. Такое уравнение для описания эволюции плотности фазового пространства [Kozyra et al., 1994; Albert, 2004; Xiao et al., 2012] использовалось, чтобы исследовать поток протонов. Динамику ионов кольцевого тока, включающую питч-угловое рассеяние электромагнитными ионно-циклотронными волнами, рассматривалось также в работах [Jordanova et al., 2001; Khazanov et al., 2002, 2003; Khazanov, 2011]. Однако, одновременное рассмотрение радиальной диффузии протонов и соответствующего питч-углового рассеяния протонов кольцевого тока электромагнитными ионно-циклотронными волнами не проводилось, кроме, вероятно, [Smolin, 2012].

Целью работы является исследование динамики протонов кольцевого тока в течение главной фазы магнитной бури. Для исследования использовалась двумерная феноменологическая модель кольцевого тока PheMRC 2-D (Phenomenological Model of the Ring Current 2-D).

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Предлагаемая двумерная феноменологическая модель кольцевого тока PheMRC 2-D на основе двумерного уравнения Фоккера–Планка общего вида для плотности фазового пространства, описывающая радиальную и питч-угловую диффузии, потери при обмене зарядами и вследствие взаимодействий “волна–частица”, может быть выражена при помощи следующего уравнения [Смолин, 1996, 2012; Smolin, 2010, 2012, 2014, 2015]

Здесь, f – плотность фазового пространства (или функция распределения); t – время; L – параметр Мак-Илвейна; α – локальный питч-угол; ${{D}_{{LL}}}$ – коэффициент радиальной диффузии; ${{D}_{{\alpha \alpha }}}$ – коэффициент питч-угловой диффузии; ${{d\alpha } \mathord{\left/ {\vphantom {{d\alpha } {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ – питч-угловая скорость; λ – скорость потерь при нейтрализации протонов обменом зарядами; ${{T}_{{wp}}}$ – время жизни вследствие взаимодействий волна–частица; ${{S}_{ \bot }}$ – перпендикулярный коэффициент функции источника частиц (α = 90°).

Предлагаемое уравнение (1) описывает радиальную диффузию в “обычном” пространстве с учетом потерь при обмене зарядами и питч-угловую диффузию в пространстве скоростей с потерями вследствие взаимодействия “волна–частица”. Поэтому необходим соответствующий коэффициент диффузии в пространстве скоростей, а именно коэффициент питч-угловой диффузии. Функция потерь обусловлена попаданием заряженных частиц в так называемый “конус потерь” в результате взаимодействий “волна–частица”. Функция источника частиц может быть связана, например, с заряженными частицами, которые движутся из хвоста магнитосферы к Земле под влиянием магнитосферной конвекции.

Радиальный перенос управляется флуктуациями геомагнитного и электрического полей. Поэтому коэффициент радиальной диффузии был взят согласно [Башкиров и Ковтюх, 1995] следующим:

где размерность магнитного момента $\left[ M \right]$ = МэВ/Гс, а $\left[ {{{D}_{{LL}}}} \right]$ = 1/сут.

Первое слагаемое относится к флуктуациям магнитного поля [Schulz and Lanzerotti, 1974], а второе – к флуктуациям электрического поля [Cornwall, 1972]. Такой коэффициент радиальной диффузии рекомендуется в работе [Башкиров и Ковтюх, 1995], потому что в пределах достигнутой точности измерений питч-угловых распределений протонов и с учетом допустимого разброса параметров эмпирических моделей водородной геокороны и плазмосферы достигается наилучшее согласие теории с экспериментом (не хуже 20%) для используемых в (2) коэффициентов магнитной ($5 \times {{10}^{{ - 9}}}$ 1/сут) и электрической ($5 \times {{10}^{{ - 6}}}$ 1/сут) диффузий.

Коэффициент питч-угловой диффузии предлагается определять следующими формулами [Смолин, 2012; Smolin, 2012, 2014, 2015]

а ${{S}_{ \bot }}$ – следующим образом:

В формулах (3) и (4) ${{\gamma }_{{ \bot 0}}}$ – это хорошо известный (когда $f$ ~ ${{\sin }^{\gamma }}\alpha $) показатель питч-углового распределения заряженных частиц (или индекс анизотропии питч-углового распределения), но взятый для питч-угла 90° в начальный момент времени. Если же в начальный момент хотя бы приближенно для всего диапазона питч-углов γ = = const, то берем ${{\gamma }_{{ \bot 0}}} = \gamma .$ Из формул (3) и (4) также видно, что начальный перпендикулярный показатель питч-углового распределения частиц должен быть больше нуля (${{\gamma }_{{ \bot 0}}}$ > 0), чтобы не было деления на нуль и чтобы коэффициент питч-угловой диффузии был больше нуля. Другим необходимым условием для модели является следующее – дифференциальный поток частиц вдоль магнитных силовых линий должен быть много меньше дифференциального потока частиц перпендикулярного к магнитным силовым линиям (${{j}_{{||}}}$ $ \ll $ ${{j}_{ \bot }}$), т.е. в этой модели пренебрегаем продольными токами. Такое условие возможно, так как часто подтверждается экспериментально. С другой стороны в этом случае можно использовать нулевые граничные условия для α = 0° и α = 180°.

Время жизни вследствие взаимодействий “волна–частица” (кратко будем называть эту величину – время взаимодействия “волна–частица”) в зависимости от индекса геомагнитной активности $Kp \leqslant 6$ будем определять согласно работе [Miyoshi et al., 2006]

где ${{T}_{{wp0}}}$ – время взаимодействия волна–частица при $Kp$ = 0, а величина ${{T}_{{wp}}}$ для $Kp = 6$ используется и для более высоких Kp.

Так как ${{T}_{{wp0}}}$ не было определено в [Miyoshi et al., 2006], предлагается следующая формула для вычисления [Смолин, 2012; Smolin, 2012, 2014, 2015]

где ${{k}_{T}}$ – безразмерный параметр; ${{T}_{{\min }}}$ – минимальное время жизни заряженной частицы [Пудовкин и др., 1975]; ${{T}_{B}}$ – четверть баунс-периода [Пудовкин и др., 1975]; ${{\alpha }_{c}}$ – питч-угол конуса потерь [Summers and Thorne, 2003]; ${{R}_{{\text{E}}}}$ – средний радиус Земли; E – энергия частицы, а m – ее масса.

Несмотря на то, что время жизни вследствие взаимодействий “волна–частица” точно неизвестно, формулы (5), (6) позволяют оценивать это время в зависимости от параметра ${{k}_{T}}$ и от энергии заряженной частицы, ее массы, параметра Мак-Илвейна, $Kp$-индекса. Позволяя таким образом моделировать влияние времени жизни вследствие взаимодействий “волна – частица” на процесс питч-угловой диффузии в магнитосфере Земли.

Для определения скорости изменения питч-угла со временем предлагается следующая формула [Смолин, 2012; Smolin, 2012, 2014, 2015]:

При проведении численных расчетов будем полагать в формуле (7), что ${{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt \approx \left\langle {{{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}} \right\rangle }}} \right. \kern-0em} {dt \approx \left\langle {{{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}} \right\rangle }}.$ Тогда баунс-усредненная радиальная дрейфовая скорость движения заряженных частиц в магнитосфере Земли будет определена, например, так [Смолин, 1993, 1996]:

где $\phi $ – азимутальный угол (местное время LT = 0 ч в полночь) или геомагнитная восточная долгота в плоскости магнитного экватора; $\Omega $ – угловая скорость вращения Земли; ${{\varphi }_{0}} = 92$ кВ, а зависимость ${{\varphi }_{2}},$ измеренная в кВ, от геомагнитной активности, т.е. от $Kp$-индекса, определяется по формуле [Nishida, 1978]

Скорость потерь при перезарядке дается формулой

здесь ${{N}_{H}}$ – концентрация нейтрального водорода [Smith and Bewtra, 1978]; $\text{v}$ – скорость протона; $Q$ – эффективное сечение перезарядки, которое аппроксимируется выражением где ${{E}_{0}}$ = 1.76 кэВ, а размерность $\left[ Q \right]$ = см².

Сравнение (11) с экспериментальными величинами, как это представлено в работе [Smith and Bewtra, 1978], показывает превосходное согласие для энергий ниже 300 кэВ. Для больших энергий спад эффективного сечения уменьшается быстрее, чем предсказано (11).

Предлагаемое уравнение (1) совместно с (2)–(11) для описания радиальной и питч-угловой диффузии в магнитосфере отличается от других математических моделей питч-угловой диффузии, например, следующим: 1) конкретным аналитическим приближенным определением коэффициента питч-угловой диффузии ${{D}_{{\alpha \alpha }}}\left( \alpha \right)$ (3), 2) конкретным аналитическим определением функции источника заряженных частиц $S\left( \alpha \right)$ (4), (1), 3) определением скорости изменения питч-угла со временем (7), 4) вычислением времени жизни вследствие взаимодействий волна–частица ${{T}_{{wp}}}$ (5), (6). Поэтому уравнение (1) содержит некоторые математические модели “чистой” питч-угловой диффузии как частные случаи, например [Kennel and Petschek, 1966; Лайонс и Уильямс, 1987; Смолин, 1996, 2012; Smolin, 2015].

Более того, входящая в (1)–(11) математическая модель питч-угловой диффузии заряженных частиц в магнитосфере Земли учитывает три физических механизма [Sibeck et al., 1987]. Во-первых, взаимодействия “волна–частица” учитываются за счет влияния времени ${{T}_{{wp}}}$ (5), (6). Причем, воздействие как бы “интегральное или усредненное” из-за того, что в приближенных формулах (5), (6) предполагается учет взаимодействий частиц со всем спектром волн в магнитосфере Земли, а не с одним каким-то конкретным видом (как это обычно принято). Отсюда следует, что к коэффициенту питч-угловой диффузии ${{D}_{{\alpha \alpha }}}\left( \alpha \right)$ (3) и к функции источника частиц $S\left( \alpha \right)$ (1), (4) надо относиться как к приближенным “интегральным или усредненным”. Во-вторых, учитывается физический механизм инжекции и дрейфа частиц наличием в уравнении (1) скорости радиального дрейфа ${{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}$ (7), (8). И, в-третьих, принимая во внимание зависимость потенциала электрического поля от индекса геомагнитной активности $Kp$ (9), мы учитываем влияние расщепления дрейфовых оболочек электрического поля на распределение заряженных частиц по питч-углам.

Уравнение (1) совместно с (2)–(11) представляет собой нестационарное двумерное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, решение которого следует искать в виде функции от L, α и t. Используем его для определения эволюции питч-углового распределения протонов кольцевого тока Земли в зависимости от параметра Мак-Илвейна L во время конкретной магнитной бури.

3. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

Начальные и граничные условия будут представлены для следующих областей параметра Мак-Илвейна $L$ и питч-угла α: 2.26 ≤ L ≤ 6.6, 0° ≤ ≤ α ≤ 180°. В дальнейшем также будет использоваться взаимосвязь между дифференциальным потоком частиц j и плотностью фазового пространства f: $j = 2mEf.$

Моделирование начинается с условий магнитоспокойного времени [Sheldon and Hamilton, 1993; Sheldon, 1994]. Данные, представленные Шелдоном и Гамильтоном [Sheldon and Hamilton, 1993] за самые спокойные дни 1985–1987 гг. и определенные прибором AMPTE/CCE/CHEM на околоэкваториальной орбите на L = 2–9, используются как начальное распределение потоков протонов до начала бури. Полагаем, что эта группа данных предлагает средние дифференциальные потоки протонов в области энергий 1–300 кэВ приблизительно при питч-угле α = 90°, т.е. ${{j}_{{ \bot 0}}}(2.26 \leqslant L < 6.6,E)$ при t = 0.

Другим важным граничным условием в начальный момент времени является задание энергетического спектра протонов на внешней границе (L = 6.6). Он был аппроксимирован соотношением:

где $k = 8.2 \times {{10}^{5}}$ (см² с ср кэВ)^–1, а ${{E}_{b}} = 2.5$ кэВ.

Такое представление спектра согласно [Горяинов и др., 1987] хорошо описывает имеющиеся экспериментальные данные по протонам в широком диапазоне энергий от 1 кэВ до 10 МэВ, включая как спектр частиц ионосферы (в области малых энергий), так и спектр частиц солнечного происхождения (область энергий больше десятков кэВ).

Для двух оставшихся граничных условий (α = 0°, α = 180°) будем полагать, что на этих границах дифференциальный поток протонов всегда равен нулю.

Чтобы получить зависимости от питч-угла для начальной функции распределения (2.26 < L < 6.6, 0° < α < 180°) и функций распределения на границах в начальный момент времени, предположим, что (12) и данные [Sheldon and Hamilton, 1993; Fok et al., 1996] приблизительно соответствуют распределениям при питч-угле 90°, т.е. ${{j}_{{ \bot 0}}}.$ Тогда для указанных функций распределения предлагается использовать следующую общую зависимость

принимая $\gamma $ = const = ${{\gamma }_{{ \bot 0}}}.$

В работах [Fok et al., 1995; 1996] питч-угловое распределение ионов кольцевого тока в магнитоспокойные периоды оценивается поперечными сечениями при обмене зарядами, полагая, что питч-угловое распределение формируется главным образом потерей при обмене зарядами. Поэтому начальная величина показателя питч-углового распределения протонов ${{\gamma }_{{ \bot 0}}}$ (в начальный момент времени при питч-угле α = 90°) на основании результатов предыдущих моделирований для поздней фазы восстановления магнитной бури [Fok et al., 1995; 1996] дается следующим образом:

где размерность [$Q$] (формула (11)) – в единицах 10^–19 м², а [E] – в кэВ. Безразмерный коэффициент ${{k}_{\gamma }}$ отсутствует в [Fok et al., 1995, 1996], но здесь он вводится в (14) для более лучшего согласия при сравнении с конкретными экспериментальными данными.

Формулы (13) и (14) указывают на необходимость дальнейшего развития и уточнения, например, эмпирических (полуэмпирических) моделей для определения дифференциальных потоков заряженных частиц при питч-угле α = 90°${{j}_{ \bot }}$ и показателя (индекса анизотропии) питч-углового распределения заряженных частиц при питч-угле α = 90°${{\gamma }_{ \bot }}$ в разных геофизических условиях, особенно для магнитоспокойных условий.

На ночной стороне (MLT = 23:00, E = 90 кэВ) для L = 2.26 и L = 6.6 были использованы переменные граничные условия. Здесь два варианта: приближенные аналитические решения или в идеале условия, полученные численным решением нестационарного одномерного уравнения “чистой” питч-угловой диффузии [Смолин, 2012; Smolin, 2015].

Таким образом, нестационарное двумерное дифференциальное уравнение в частных производных (1) совместно с (2)–(14) решается численно, используя проекционный метод конечных элементов, с начальными и переменными граничными условиями.

4. РАСЧЕТЫ И ИХ РЕЗУЛЬТАТЫ

Далее исследуется динамика протонов кольцевого тока во время магнитной бури. Для примера взята магнитная буря 21–22 октября 1999 г., рассмотренная в работе [Ebihara et al., 2008], представлена на рис. 1 как зависимость трехчасового $Kp$-индекса от текущего времени моделирования (бегущего времени) RT (Run Time) магнитной бури. Часы отсчитывались от 06:13 UT 21 октября 1999 г., что соответствует 00:00 RT (магнитоспокойные условия). При проведении расчетов взят промежуток времени 20:30 RT = 02:43 UT 22 октября 1999 г. (главная фаза магнитной бури). Из рисунка 1 видно, что в начальный момент времени (00:00 RT) $Kp$ = 2, а затем возрос до Кр = 7. Все модельные расчеты будем выполнять для ночной стороны магнитосферы Земли (23:00 MLT) для протонов с энергией E = 90 кэВ. Чтобы определить коэффициент ${{k}_{\gamma }}$ в выражении (14), воспользуемся экспериментальными данными, представленными кружочками на рис. 2. Это питч-угловое распределение протонов, измеренное на КА Polar/MICS для E = 80–100 кэВ, $L$ = 5, MLT = 22.9–23.2 в 00:00 RT = 06:13 UT 21 октября 1999 г. (перед началом магнитной бури) [Ebihara et al., 2008]. Необходимо иметь хотя бы одно такое полное питч-угловое распределение для дальнейших расчетов, поэтому оно добавлено к данным [Sheldon and Hamilton, 1993].

Сначала по этим экспериментальным данным находим “экспериментальный” показатель питч-углового распределения протонов ${{\gamma }_{{ \bot 0}}}.$ Например, при проведении практических расчетов для определения ${{\gamma }_{ \bot }}$ хорошим приближением является следующая общая формула [Смолин, 1996]

А затем, используя (15) и сравнивая полученное ${{\gamma }_{{ \bot 0}}}$ = 0.75 с (14) (L = 5, E = 90 кэВ), определяем коэффициент ${{k}_{\gamma }}$ = 2.444. Полученный таким образом коэффициент ${{k}_{\gamma }}$ используется далее для всех функций распределения (13) в начальный момент времени. Но точно находить в любой момент времени перпендикулярный (α = 90°) показатель питч-углового распределения заряженных частиц следует по формуле [Смолин, 1996]

Это может быть выполнено, если с хорошей точностью определять по экспериментальным данным вторую производную ${{\left( {\frac{{{{d}^{2}}j}}{{d{{\alpha }^{2}}}}} \right)}_{ \bot }}.$

Параметр ${{k}_{T}}$ в выражении (6) найдем методом подбора этой величины, решая неоднократно нестационарное одномерное уравнение “чистой” питч-угловой диффузии. Для этого начальное питч-угловое распределение протонов (кружочки на рис. 2, 00:00 RT) аппроксимируем приближенной зависимостью (13), (17) (штриховая линия на рис. 2, L = 5, MLT = 23:00, E = 90 кэВ)

с размерностью $\left[ {{{j}_{0}}\left( \alpha \right)} \right]$ = (см² с ср кэВ)^–1.

На этом же рисунке квадратиками представлено экспериментальное питч-угловое распределение протонов в 18:02 RT = 00:15 UT 22 октября 1999 г. (главная фаза магнитной бури) [Ebihara et al., 2008]. Это питч-угловое распределение сравнивается с модельным распределением (L = 5, MLT = = 23:00, E = 90 кэВ) для момента времени 18:00 RT = = 00:13 UT 22 октября 1999 г. В итоге, хорошее согласие получено для ${{k}_{T}}$ = 353 (сплошная линия на рис. 2). Именно эта величина ${{k}_{T}}$ будет использована для всех дальнейших расчетов при определении ${{T}_{{wp}}},$ ${{D}_{{\alpha \alpha }}}$ и ${{S}_{ \bot }}.$

На рисунке 2 модельные питч-угловые распределения сравниваются с распределениями, полученными по данным наблюдений на КА Polar/MICS для E = 80–100 кэВ, L = 5, MLT = 22.9–23.2. Линии (кружочки и квадратики) указывают экспериментальные дифференциальные потоки в 00:00 RT = 06:13 UT 21октября 1999 г. (перед началом бури) и в 18:02 RT = 00:15 UT 22 октября 1999 г. (главная фаза бури), соответственно. Штриховая и сплошная линии показывают модельные дифференциальные потоки (L = 5, MLT = 23:00, E = 90 кэВ, k_T = 353) для 00:00 RT и 18:00 RT = 00:13 UT 22 октября 1999 г., соответственно. Перед началом бури питч-угловое распределение блино-подобное, тогда как в главную фазу бури оно становится бабочко-подобным. Та же самая тенденция отмечена в работе [Ebihara et al., 2008], а также подтверждается на рис. 3 и 4.

Рисунок 3 показывает модельную эволюцию питч-угловых распределений протонов для E = = 90 кэВ, MLT = 23:00, L = 2.26–6.6, ${{k}_{T}}$ = 353 в моменты времени 00:00 RT = 06:13 UT 21 октября 1999 г. (перед началом бури), 04:00 RT and 08:00 RT. На рисунке 4 представлена модельная эволюция питч-угловых распределений протонов в другие моменты времени: 12:00 RT, 15:00 RT and 18:00 RT = = 00:13 UT 22 октября 1999 г. (главная фаза бури).

Таким образом, в предложенной модели PheMRC 2-D (1)–(16) на количественном уровне (рис. 2–4) представлена эволюция кольцевого тока (питч-угловых распределений) протонов во время магнитной бури, которая связана с одновременным влиянием нескольких физических механизмов: радиальной диффузии, питч-угловой диффузии, обмена зарядами, взаимодействий волна–частица, расщепления дрейфовых оболочек электрического поля, инжекции и дрейфа частиц.

5. СРАВНЕНИЕ С ДРУГОЙ МОДЕЛЬЮ КОЛЬЦЕВОГО ТОКА

Двумерную модель PheMRC 2-D (Phenomenological Model of the Ring Current 2-D) можно сравнить с другой моделью кольцевого тока ECRCM (Extended Comprehensive Ring Current Model) [Ebihara et al., 2008; Fok et al., 2001], которая для расчетов использует те же самые экспериментальные данные (рис. 3 из работы [Ebihara et al., 2008] и рис. 2). Моделирование кольцевого тока в работе [Ebihara et al., 2008] проведено с самосогласованными магнитным и электрическим полями. Когда протоны с энергией < 80 кэВ инжектируются во внутреннюю магнитосферу, поток протонов с энергией > 90 кэВ адиабатически уменьшается для питч-углов около 90°. Возможно, что это происходит вследствие адиабатического замедления (торможения) экваториально отражающихся протонов, т.е. за счет сохранения первого адиабатического инварианта при ослабленном магнитном поле. А для питч-углов около 0° и 180° поток увеличивается вследствие адиабатического ускорения протонов вдоль магнитного поля, чтобы сохранить второй адиабатический инвариант при укороченных (подобных хвосту) силовых линиях магнитного поля [Ebihara et al., 2008]. Поэтому результирующее питч-угловое распределение бабочко-подобное. Эта тенденция хорошо согласуется с наблюдениями спутника Polar для наиболее интенсивного события экваториального магнитного ослабления (Equatorially Magnetic Depression Event) EMDE. Но расчеты, представленные в работе [Ebihara et al., 2008] показали, что уменьшение в модельном потоке высокоэнергичных протонов много больше по величине и шире по питч-углу, чем в наблюдавшемся кольцевом токе и в предложенной модели PheMRC 2-D (1)–(16).

Наиболее вероятная причина рассогласования между моделированием [Ebihara et al., 2008] и экспериментальными данными – это процесс питч-углового рассеяния, который не рассматривается в [Ebihara et al., 2008], но имеет место в реальной магнитосфере, чтобы сглаживать питч-угловое распределение протонов с энергиями > 90 кэВ. Таким образом, сравнение результатов моделирования (рис. 2 и рис. 8 из работы [Ebihara et al., 2008]) показывает, что предложенная модель PheMRC 2-D (1)–(16) точнее модели ECRCM [Ebihara et al., 2008] описывает экспериментальные данные. Каждая из двух моделей имеет свои достоинства и ограничения. В кратком изложении первая модель PheMRC 2-D учитывает процесс питч-углового рассеяния протонов, но в стационарном дипольном магнитном поле. Вторая модель ECRCM [Ebihara et al., 2008] рассчитывает самосогласованные магнитное и электрическое поля, но не включает процесс питч-углового рассеяния. Поэтому в дальнейшем эти две модели можно объединить, вычисляя, например, скорость ${{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt \approx \left\langle {{{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}} \right\rangle }}} \right. \kern-0em} {dt \approx \left\langle {{{dL} \mathord{\left/ {\vphantom {{dL} {dt}}} \right. \kern-0em} {dt}}} \right\rangle }}$ в (7), (1) через самосогласованные магнитное и электрическое поля кольцевого тока. При этом достоинства исходных моделей, разные физические механизмы, использованные в данных моделях, соединяются и можно ожидать более точного описания экспериментальных данных.

6. ВЫВОДЫ

1. Исследовано развитие динамики протонов кольцевого тока (E = 90 кэВ) во внутренней магнитосфере Земли (L = 2.26–6.6, MLT = 23:00) с переменными граничными условиями во время магнитной бури 21–22 октября 1999 г., используя предлагаемую двумерную феноменологическую модель кольцевого тока PheMRC 2-D (Phenomenological Model of the Ring Current 2-D) (1)–(16).

2. Модель PheMRC 2-D учитывает радиальную и питч-угловую диффузии, а выражения потерь описываются вследствие обмена зарядами и взаимодействий “волна–частица”.

3. Проведено сравнение модельных потоков протонов с измерениями на спутнике Polar/MICS во время магнитной бури 21–22 октября 1999 г. Получено хорошее согласие модельных потоков с экспериментальными данными.

4. Подтверждена тенденция, установленная экспериментально – перед началом магнитной бури питч-угловое распределение блино-подобное, а в главную фазу бури распределение становится бабочко-подобным.

5. Сравнение результатов моделирования двух разных моделей кольцевого тока Земли показало, что предложенная модель PheMRC 2-D (1)–(16) точнее модели ECRCM [Ebihara et al., 2008] описывает экспериментальные данные. Но в дальнейшем целесообразно эти две модели объединить для соединения достоинств исходных моделей и разных физических механизмов, использованных в них.

Формулы (13) и (14) указывают на необходимость дальнейшего развития и уточнения, например, эмпирических (полуэмпирических) моделей определения дифференциальных потоков заряженных частиц при питч-угле α = 90°${{j}_{ \bot }}$ и показателя (индекса анизотропии) питч-углового распределения заряженных частиц при питч-угле α = 90°${{\gamma }_{ \bot }}$ в разных геофизических условиях, особенно для магнитоспокойных условий.

Используя соответствующие экспериментальные данные, предложенная модель PheMRC 2-D может быть использована для моделирования динамики заряженных частиц в магнитосферах Юпитера и Сатурна.