1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Геомагнетизм и аэрономия
  4. T. 63, № 1, 2023

Геомагнетизм и аэрономия, 2023, T. 63, № 1, стр. 28-30

Гидродинамическая модель замагниченного струйного течения в магнитосфере

О. Г. Онищенко 1, 2, *, Ф. З. Фейгин 1, **

1 Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН (ИФЗ РАН)
Москва, Россия

2 Институт космических исследований РАН (ИКИ РАН)
Москва, Россия

* E-mail: onish@ifz.ru
** E-mail: feygin@ifz.ru

Поступила в редакцию 01.06.2022
После доработки 06.09.2022
Принята к публикации 22.09.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Представлена новая гидродинамическая модель квазистационарного джета. В приближении идеальной гидродинамики несжимаемой жидкости найдено аналитическое решение, соответствующее ограниченному в пространстве джету, в условиях компенсации нелинейных эффектов скорости и магнитного поля в уравнении движения. Для граничных условий, типичных для джетов в астрофизике и в экспериментах по лабораторному моделированию, создана аксиально-симметричная малопараметрическая модель стационарного джета, позволяющая описывать структуру поля скорости и магнитного поля.

1. ВВЕДЕНИЕ

Исследование джетов в магнитоактивной плазме является одной из ключевых проблем в физике плазмы [Chandrasekhar, 1956; Bellan, 2018; Bogoyavlenskij, 2000; Onishchenko et al., 2018] при интерпретации джетов из аккреционных дисков в окрестности черных дыр [Lovelace et al., 1986; Ferrari, 1998] и торнадо в солнечной атмосфере [Fedun et al., 2011; Wedemeyer-Böhm, 2012]. Наряду с астрофизическими джетами в литературе обсуждаются и магнитосферные джеты (см., например, [Stepanova and Antonova, 2015]). Несмотря на актуальность изучения джетов, теоретические исследования еще далеки от той роли, которую может играть наука для прогнозирования динамики таких структур. Внутреннее устройство джета, его интенсивность и масштаб в значительной степени определяют устойчивость нелинейного образования и характер его взаимодействия с другими джетами и потоками. В этой связи отыскание новых точных решений уравнений гидродинамики, описывающих вихревые течения жидкости, является актуальной задачей. Представляется, что построение новой модели джетов, соответствующих точному решению уравнений магнитной гидродинамики, открывает наиболее простой и корректный путь к получению ряда теоретически и практически важных результатов.

Динамику джетов можно условно разделить на три стадии: генерацию, квазистационарное состояние и затухание. Генерацию джетов часто связывают с эффектом конвективной неустойчивости (см., например, [Bogoyavlenskij, 2000; Bellan, 2018; Онищенко и др., 2020]), а затухание может быть обусловлено диссипативными процессами, такими как вязкость и теплопроводность. Обычно время существования джетов на второй, квазистационарной стадии развития часто превышает времена существования джетов на первой и третьей стадиях развития. При исследовании джетов ограничимся рядом приближений, упрощающих аналитическое исследование: а) ограничимся изучением нерелятивистских джетов; б) плазму считаем идеально проводящей, в которой можно пренебречь электрическим полем, в) полагаем плазму несжимаемой; г) пренебрегаем эффектами вязкости и теплопроводности, основанной на точном решении уравнений магнитной гидродинамики.

Гидродинамические модели стационарных джетов в нейтральной атмосфере изучались ранее, (см., например, [Онищенко и др., 2020; Onishchenko еt al., 2015, 2019]).

Целью данной работы является развитие стационарных моделей джетов, ограниченных в пространстве. Модель, исследованная в работе [Onishchenko et al., 2018], обладала рядом недостатков, среди которых были неограниченность джетов по оси симметрии и связанный с этим неограниченный рост вертикальной скорости джета. Новая модель джетов позволяет учесть эти недостатки предыдущих моделей.

В разделе 2 приводятся исходные уравнения магнитной гидродинамики и решение Chandrasekhar [1956]. В разделе 3 изучается новая модель джета, а в разделе 4 суммируются результаты.

2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЕШЕНИЕ CHANDRASEKHAR (Chandrasekhar [1956])

В качестве исходных магнитогидродинамических уравнений несжимаемой, невязкой плазмы в приближении идеальной проводимости используем уравнение сохранения импульса

(1)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{\mathbf{v}} + ({\mathbf{v}}\nabla ){\mathbf{v}} + \frac{1}{{\rho {{\mu }_{0}}}}{\mathbf{B}} \times (\nabla \times {\mathbf{B}}) = - \frac{1}{\rho }\nabla p,$
условие идеальной проводимости
(2)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{\mathbf{B}} = \nabla \times ({\mathbf{v}} \times {\mathbf{B}}),$
условия несжимаемости плазмы и магнитного поля
(3)
$\nabla {\mathbf{v}} = 0,$
и
(4)
$\nabla {\mathbf{B}} = 0,$
и закон Ампера
(5)
$\nabla \times {\mathbf{B}} = \mu {}_{0}{\mathbf{J}}.$
Здесь ${\mathbf{v}}$ – скорость плазмы; ${\mathbf{B}}$ – магнитное поле; $\rho $ – массовая плотность; $p$ – давление; ${{\mu }_{0}}$ – магнитная проницаемость вакуума; $t$ – время. Используя известное тождество $({\mathbf{v}}\nabla ){\mathbf{v}} = (\nabla \times {\mathbf{v}}) \times {\mathbf{v}}$ + $ + \,\,\nabla ({{{{{\mathbf{v}}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\mathbf{v}}}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}),$ уравнение (1) можно привести к следующему виду
(6)
$\frac{\partial }{{\partial t}}{\mathbf{v}} - {\mathbf{v}} \times (\nabla \times {\mathbf{v}}) + \frac{1}{{\rho {{\mu }_{0}}}}{\mathbf{B}} \times (\nabla \times {\mathbf{B}}) = - \nabla \left( {\frac{p}{\rho } + \frac{{{{{\mathbf{v}}}^{2}}}}{2}} \right).$
Chandrasekhar [1956] показал, что следующее из уравнения (6) решение
(7)
${\mathbf{v}} = \pm \frac{{\mathbf{B}}}{{{{{(\rho {{\mu }_{0}})}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}$
и
(8)
$p = - \rho \frac{{{{v}^{2}}}}{2} = - \frac{{{{B}^{2}}}}{{2{{\mu }_{0}}}}$
является устойчивым относительно слабых возмущений. Из уравнений (7) и (8) следует, что в джете плотность кинетической энергии равна плотности энергии магнитного поля. Недостатком этого решения является отсутствие информации о структуре магнитного поля, скорости и неограниченности джета в пространстве.

3. МОДЕЛЬ ДЖЕТА

Рассматривая аксиально-симметричную модель джета, введем цилиндрическую систему координат $(r,\phi ,z)$ с аксиальной осью z в направлении распространения джета, и полагаем, что ${\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial \phi }}} \right. \kern-0em} {\partial \phi }} = 0.$ В аксиально-симметричной модели джета магнитное поле и скорость плазмы в отсутствие тороидальных компонент могут быть представлены в следующем виде: ${\mathbf{v}} = {{{\mathbf{v}}}_{p}}$ и ${\mathbf{B}} = {{{\mathbf{B}}}_{p}},$ где ${{{\mathbf{v}}}_{p}} = ({{v}_{r}},0,{{v}_{z}})$ и ${{{\mathbf{B}}}_{p}} = ({{B}_{r}},0,{{B}_{z}})$ ‒ полоидальные компоненты. Наиболее общие выражения для полоидальных компонент скорости в несжимаемой плазме и магнитного поля могут быть представлены в следующем виде: ${{{\mathbf{v}}}_{p}} = \nabla \times (\psi \nabla {{A}_{\phi }})$ и ${{{\mathbf{B}}}_{p}} = \nabla \times {\mathbf{A}},$ где $\psi $ – функция тока и тородальная компонента векторного потенциала ${\mathbf{A}},$ ${\mathbf{A}} = (0,{{A}_{\phi }},0).$ В рассматриваемой модели стационарного джета полоидальные компоненты скорости и магнитного поля характеризуются двумя скалярными функциями $\psi $ и ${{A}_{\phi }},$ зависящими только от двух пространственных координат $r$ и $z.$ Компоненты скорости связаны с функцией тока следующими соотношениями:

(9)
${{v}_{r}} = - \frac{1}{r}\frac{{\partial \psi }}{{\partial z}}\,\,\,\,{\text{и}}\,\,\,\,{{v}_{z}} = \frac{1}{r}\frac{{\partial \psi }}{{\partial r}},$
а компоненты магнитного поля связаны с ${{A}_{\phi }}$ соотношениями
(10)
${{B}_{r}} = - \frac{\partial }{{\partial z}}{{A}_{\phi }},\,\,\,\,{{B}_{z}} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}(r{{A}_{\phi }}).$
При выборе функций $\psi (r,\,z)$ и $A{}_{\phi }(r,z)$ будем исходить из следующих граничных условий для поля скорости и магнитного поля:

– в центре вихря, при $r = 0,$ ${{v}_{r}} = {{B}_{r}}$ = $ = {{v}_{z}} = {{B}_{z}} = 0;$

– на периферии вихря, при $r \to \infty {\text{ }}(r \gg {{r}_{0}}),$ ${{v}_{r}} = {{v}_{z}} = {{B}_{r}} = {{B}_{z}} = 0;$

– у основания вихря, при $z = 0$ и $r \ne 0,$ все компоненты скорости и магнитного поля – конечные величины.

Учитывая такие граничные условия, в качестве $\psi $ и ${{A}_{\phi }}$ используем следующие выражения:

(11)
$\frac{\psi }{{{{v}_{0}}}} = {{r}^{2}}\left( {1 - \frac{z}{L}} \right)\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}} \right)$
и
(12)
$\frac{{{{A}_{\phi }}}}{{{{B}_{0}}}} = \mp r\left( {1 - \frac{z}{L}} \right)\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}} \right).$
Здесь ${{v}_{0}}$ и $B{}_{0}$ – характерные величины полоидальной скорости и полоидального магнитного поля, а ${{r}_{0}}$ и $L$ – характерные масштабы в радиальном и аксиальном направлении. Воспользовавшись формулами (9)–(12), получаем
(13)
$\frac{{{{v}_{r}}}}{{{{v}_{0}}}} = \frac{{{{B}_{r}}}}{{{{B}_{0}}}} = \frac{r}{L}\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}} \right)$
и
(14)
$\frac{{{{v}_{z}}}}{{{{v}_{0}}}} = \pm \frac{{{{B}_{z}}}}{{{{B}_{0}}}} = 2\frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}\left( {1 - \frac{z}{L}} \right)\left( {1 - \frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}} \right)\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}} \right).$
Из уравнения (13) видно, что радиальная скорость положительна во всей области, что соответствует расходящемуся от аксиальной оси потоку плазмы в отличие от модели джета, представленного в работе [Onishchenko et al., 2018], где поток плазмы во внутренней области направлен к центру симметрии. Подставив в уравнения (13) и (14) в качестве характерной скорости ${{v}_{0}} = {{{{B}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{B}_{0}}} {{{{(\rho {{\mu }_{0}})}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{(\rho {{\mu }_{0}})}}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}},$ получим выражения (7) и (8) с полоидальными выражениями скорости и магнитного поля.

Выведенные в этой работе уравнения (13) и (14) позволяют исследовать структуру джета. Аксиально-симметричная структура с полоидальным магнитным полем соответствует z-пинчу и обладает отличной от нуля тороидальной плотностью электрического тока

(15)
${{j}_{\phi }} = \pm 4\frac{{{{B}_{0}}}}{{{{\mu }_{0}}{{r}_{0}}}}\frac{r}{{{{r}_{0}}}}\left( {1 - \frac{z}{L}} \right)\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{r_{0}^{2}}}} \right).$
Из уравнений (13), (14) и (15) видно, что радиальные и аксиальные компоненты скорости и магнитного поля, а также плотность электрического тока обращаются в нуль в центре вихря, при $r = 0.$ С удалением от оси радиальные компоненты скорости и магнитного поля (по абсолютной величине) растут, достигая максимального значения при $r \approx 0.7{{r}_{0}},$ и, затем, с удалением от оси симметрии, экспоненциально убывают. На вершине джета, при $z = L,$ аксиальные компоненты скорости и магнитного поля, а также тороидальный ток обращаются в нуль. На большом удалении от оси симметрии, при $r \gg {{r}_{0}},$ все компоненты экспоненциально убывают.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследована новая аксиально-симметричная модель стационарного джета, ограниченного в аксиальном направлении. Новое решение позволяет изучать структуру скорости, магнитного поля и тороидального электрического тока в нерелятивистском джете. Новая малопараметрическая модель со свободными параметрами: характерный радиус ${{r}_{0}}$ и характерный аксиальный масштаб $L,$ а также характерное магнитное поле или характерная скорость джета, позволяют исследовать структуру внутри и снаружи джета. Модель получена в пренебрежении тороидальными компонентами скорости и магнитного поля, что соответствует z-пинчу в физике плазмы.

Список литературы

  1. – Онищенко О.Г., Похотелов О.А., Астафьева Н.М., Хортон В., Федун В.Н. Структура и динамика концентрированных мезомасштабных вихрей в атмосферах планет // УФН. Т. 190. № 7. С. 732‒748. 2020. https://doi.org/10.3367/UFNr.2019.07.038611

  2. – Bellan P.M. Experiments and models of MHD jets and their relevance to astrophysics and solar physics // Phys. Plasmas. V. 25. P. 055601. 2018. https://doi.org/10.1063/1.5009571

  3. – Bogoyavlenskij O.I. MHD model of astrophysical jets // Phys. Lett. A. V. 276. P. 257–266. 2000.

  4. – Chandrasekhar S. Axisymmetric magnetic fields and fluid motions // Astrophys. J. V. 124. P. 232. 1956.

  5. – Fedun V., Shelyag S., Erdélyi R. Numerical modeling of footpoint-driven magneto-acoustic wave propagation // Astrophys. J. Lett. V. 740. L46. 2011.

  6. – Ferrari A. Modeling extragalactic jets // Ann. Rev. Astron. Astrophys. V. 36. P. 539–598. 1998.

  7. – Lovelace R.V.E., Mehanian C., Mobarry C.M., Sulkanen M.E. Theory of axisymmetric magnetohydrodynamic flows: discs // Astroph. J. Suppl. Ser. V. 62. P. 1–37. 1986.

  8. – Onishchenko O.G., Pokhotelov O.A, Horton W., Fedun V. Large-Scale Alfven vortices // Phys. Plasmas. V. 22. P. 122901-1–122901-5. 2015. https://doi.org/10.1063/1.4936978

  9. – Onishchenko O.G., Fedun V., Smolyakov A., Horton W., Pokhotelov O.A., Verth G. Tornado model for a magnetised plasma // Phys. Plasmas. V. 25. P. 054503. 2018. https://doi.org/10.1063/1.5023167

  10. – Stepanova M., Antonova E.E. Role of turbulent transport in the evolution of the κ distribution functions in the plasma sheet // J. Geophys. Res. – Space V. 120. P. 3702–3714. 2015. https://doi.org/10.1002/2014JA020684

  11. – Wedemeyer–Böhm S., Scullion, E., Steiner O., Rouppe V., de La Cruz Rodriguez J., Fedun V., Erdély R. Magnetic tornadoes as energy channels into the solar corona // Nature. V. 486. P. 505‒508. 2012.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Геомагнетизм и аэрономия

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал