Известия РАН. Энергетика, 2021, № 2, стр. 75-81

Процесс несимметричного прогрева однородного плоского тела при граничных условиях третьего рода весьма часто встречается в инженерной практике [1]. В связи с этим исследованию данного теплового явления посвящено значительное количество теоретических работ, например [2–4]. Так, в частности, в монографии сравнительно ограниченного объема [3] приведено аналитическое решение в безразмерной форме задачи нестационарного несимметричного переноса тепла в однослойной пластине при линейных граничных условиях третьего рода [3]

Здесь первое слагаемое в правой части соответствует стационарному температурному полю тела, т.е., когда ${\text{Fo}} \to \infty $, а ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$ – безразмерные числа подобия (числа Био) на внешних поверхностях изделия ($X = 0$ и $X = 1$), коэффициенты ряда ${{A}_{n}}$ рассчитываются по соотношению

а собственные числа ${{\mu }_{n}}$ являются корнями характеристического уравнения в котором ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$ присутствуют на совершенно равноправных условиях.

Очевидно, что в случае, когда ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 0$ (односторонний подвод тепла к пластине), задача становится симметричной и зависимости (1)–(3) принимают существенно более простой вид. В такой постановке она детально исследована в классической литературе по теплопроводности академиком А.В. Лыковым [5]. Однако необходимо отметить, что, если число ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} \ne 0$, то аналитический расчет несимметричного температурного поля по (1) сопряжен с определенными трудностями. При этом основная сложность определения искомого температурного поля связана с вычислениями собственных значений ${{\mu }_{n}}$ согласно зависимости (3). Громоздкость и трудоемкость расчетов особенно возрастает при исследовании начальной стадии переноса тепла в теле, т.е. когда ${\text{Fo}}$ является малой величиной и, следовательно, приходится учитывать большое число первых слагаемых ряда (1).

Автор монографии [3] выполнил весьма полезную работу по составлению большого количества таблиц первых шести корней ${{\mu }_{n}}$ и коэффициентов ${{A}_{n}}$ для многочисленных комбинаций между величинами ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$. При этом числовые расчеты проведены с очень высокой точностью (пять значащих цифр после запятой). Необходимо подчеркнуть, что автор данной книги проявил высокую добросовестность и ответственность и полученные им результаты следует признать в качестве эталонных.

Аналогичные таблицы расчета для первых шести собственных чисел ${{\mu }_{n}}$ с тремя значащими цифрами после запятой, но несколько позднее, были опубликованы авторами работы [4]. Здесь же, в несколько более расширенном варианте, чем в [5], приведены табличные значения ${{\mu }_{n}}$ в частном случае уравнения (3), когда (${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 0$). Однако, несмотря на то, что, как уже указано, имеются широко известные материалы по характеристическому уравнению (3), по-видимому, целесообразно дополнительно к названным вспомогательным таблицам разработать аналитические методы определения корней ${{\mu }_{n}}$ при любых возможных комбинациях между числами подобия ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$. Это направление исследования является особенно актуальным в связи с тем, что теплофизических задач, опирающихся на уравнение (3) и ему подобных, в инженерной практике встречается очень много.

Очевидно, что предложить единый аналитический подход расчета чисел ${{\mu }_{n}}$, удовлетворяющих зависимости (3), сравнительно сложно. Поэтому, по нашему мнению, эффективнее будет поэтапный подход. На первой стадии, наверное, целесообразнее установить возможные границы для искомых чисел ${{\mu }_{n}}$. В частности, это удается относительно просто указать, если принять, что числитель в правой части (3) равен нулю, т.е.

В этом случае, очевидно, имеем

где $n$ = 1, 2, 3,…

Условие (5) соблюдается, если имеет место равенство

Следовательно, когда

то

Если же

то тогда

Проиллюстрируем сказанное на конкретном числовом примере. Допустим ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$, а ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$, т.е. ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}{\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$. Это произведение меньше, чем $\frac{{{{\pi }^{2}}}}{4} = 2.4674$. Следовательно, первое собственное число ${{\mu }_{1}}$ для данной комбинации между ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$ находится в интервале $0 < {{\mu }_{1}} < \frac{\pi }{2}$. Для следующих чисел ${{\mu }_{n}}$ более высокого порядка $n$ будут иметь место соотношения

и т.д.

Если же рассмотреть вариант ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$, а ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 3$, т.е. ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}{\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 3$, то тогда $\frac{\pi }{2} < {{\mu }_{1}} < \pi $, а для последующих значений $n$($n$ = 1, 2, 3,…) останутся справедливыми предыдущие неравенства.

Таким образом, достаточно просто удается установить первоначальную “вилку”, в которой располагается искомый корень ${{\mu }_{n}}$.

Следующий шаг по уменьшению интервала, в котором предположительно должно находиться истинное значение ${{\mu }_{n}}$ заключается в использовании решения для частного случая общего уравнения (3). Для этого нужно принять ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 0$, т.е. предположить, что происходит односторонний подвод (отвод) тепла к исследуемому телу, и задача вырождается в симметричную, для которой выражение (3) существенно упрощается и принимает вид [4, 5]

первые числа корней которого хорошо изучены и рассмотрены во многих классических работах по аналитической теории теплопроводности.

Нетрудно показать, что собственные значения ${{\mu }_{n}}$ уравнения (11) могут служить нижней оценкой для корней ${{\mu }_{n}}$ выражения (3) при ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} > 0$. Например, для рассмотренного ранее варианта ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$ зона, где располагается фактически ${{\mu }_{1}}$ существенно сузится, а именно будет [4, 5] $1.0769 < {{\mu }_{1}} < \frac{\pi }{2}$. Подобное сужение “вилки” будет распространяться и на последующие числа ${{\mu }_{n}}$, а конкретно получим

и т.п.

В результате удается достигнуть с помощью наиболее простых математических операций наименьший интервал для характеристического числа ${{\mu }_{n}}$. Так, в частности, для ${{\mu }_{1}}$ может быть применен следующий подход. Вводим некоторое условное число Био

Естественно, если ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = {\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$, то

По величине $\frac{{{\text{Bi*}}}}{{\text{2}}}$ на основе несложного уравнения

определяем ${{\beta }_{1}}$, а далее

Допустим, что ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = {\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$, и значит ${\text{Bi*}} = 2$. Тогда, исходя из зависимости (14), имеем ${{\beta }_{1}} = 0.8603$ и далее получим ${{\mu }_{1}} = 2{{\beta }_{1}} = 2 \times 0.8603 = 1.7206$, что строго соответствует табличному значению [4]. Итак, в тех вариантах, в которых ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = {\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$ вместо уравнения (3) может быть использовано существенно более простое (11) или (14). Если же ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} \ne {\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$, то в первом приближении также можно воспользоваться предложенным способом. В качестве примера вернемся к рассмотренному выше варианту ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$, а ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$. Тогда получим ${\text{Bi*}} = \sqrt {{\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}{\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}} = \sqrt {1 \times 2} = 1.4142$, т.е. $\frac{{{\text{Bi*}}}}{2} = 0.7071$, следовательно на основе (14) будет ${{\beta }_{1}} = 0.7535$. Окончательно имеем ${{\mu }_{1}} = 2{{\beta }_{1}} = 2 \times 0.7535 = 1.5070$. Данное рассчитанное число и является оценкой ${{\mu }_{1}}$ снизу для принятого варианта ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$. Таким образом, новые границы для ${{\mu }_{1}}$ при заданных величинах ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$ оказываются $1.5070 < {{\mu }_{1}} < \frac{\pi }{2}$ очень близкими.

Нужно отметить, что этот способ дает возможность получить нижнюю оценку первого собственного числа уравнения (3). Располагая близкими граничными величинами для фактических чисел ${{\mu }_{n}}$, удается с помощью несложной итерационной процедуры получить близкие к истинным значения ${{\mu }_{n}}$. Для этого нужно использовать следующую схему вычислений

Покажем ее применение на том же варианте ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$, ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$.

Как следует из справочника [6] ${{\mu }_{{1\max }}} = {\text{arctg}}\,{\text{16}}{\text{.6796}} = {\text{1}}{\text{.5109}}$, т.е. получили окончательные пределы для ${{\mu }_{1}}$

Эталонное значение ${{\mu }_{1}}$ для принятых ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$ согласно [4] равняется

Формула вида (16) может быть использована также наоборот для расчета ${{\mu }_{{\min }}}$ по известной величине ${{\mu }_{{\max }}}$. Для упрощения перехода по (16) от ${{\mu }_{{\min }}}$ к ${{\mu }_{{\max }}}$ (или наоборот) целесообразно использовать приведенную в работе табл. 1 для функции ${\text{arctg}}\,x$.

В заключение остановимся на аналитической методике определения первого собственного значения ${{\mu }_{1}}$ уравнения (3), являющегося наиболее важным при расчете нестационарного температурного поля на регулярной стадии процесса. Предлагаемый способ основан на представлении функции ${\text{ctg}}\,\mu $ в форме усеченного степенного ряда [6]

Данная аппроксимация вполне приемлема при ограничении $\mu < \frac{\pi }{2}$. Подставляя (17) в зависимость (3), получим биквадратное алгебраическое уравнение

Отсюда следует [6]

Используя (19), находим ${{\mu }_{1}}$ для случая ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}} = 1$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}} = 2$.

Таким образом, аналитическое решение (19) дает несколько завышенное значение ${{\mu }_{1}}$. При умеренных величинах ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{0}}}}$ и ${\text{B}}{{{\text{i}}}_{{\text{1}}}}$ расхождение между рассчитанным корнем ${{\mu }_{1}}$ по (19) и действительным сокращается. Очевидно, что формула (19) применима для плоских тел сравнительно умеренной термической массивности. Рекомендуемый метод может быть усилен за счет учета в разложении (17) следующих слагаемых более высоких степеней. Естественно, это потребует решения алгебраического уравнения третьей или даже четвертой степени. На основе значения ${{\mu }_{1}}$, полученного по зависимости (19), легко определить противоположную оценку по выражению аналогичному (16).

Нужно также еще отметить, что изложенные в статье рекомендации применимы не только для плоских систем, но и для криволинейных, например, для цилиндрических и сферических, имеющих сравнительно небольшую кривизну. Кроме этого, является также важным то обстоятельство, что рекомендуемые подходы могут быть полезны при анализе характеристических уравнений еще более сложных, чем зависимость (3). Так, в частности, представляет большой технический интерес неустановившийся процесс распространения энергии в однородной конструкции, имеющей внешнюю оболочку из материала с другими теплофизическими свойствами.