Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 10, стр. 1302-1305

ВВЕДЕНИЕ

При изменении внешних условий состояние многих систем часто становится неоптимальным и может сохраняться лишь как метастабильное при наличии барьера для перехода в более предпочтительное состояние [1, 2]. Все же из-за флуктуаций исходное состояние распадается и имеет конечное время жизни. В достаточно совершенных протяженных системах распад осуществляется посредством спонтанного рождения локальных зародышей или, иначе, доменов нового состояния, их разрастания и слияния, как это описывается статистической теорией Колмогорова–Мела–Джонсона [3, 4]. Похожая ситуация имеет место и при наличии дефектов, служащих активными центрами зарождения доменов [5].

В ограниченных системах определяющий вклад в кинетику переключения состояния может давать зарождение домена на границах материала с последующим распространением его на весь образец. Такую ситуацию описывает хорошо развитая теория движения фронтов состояний [6, 7], описывающая широкий круг явлений от распространения пламени или генетических мутаций до движения цивилизационных границ и т. п. В более общей ситуации имеет место конкуренция между вкладами гетерогенного и гомогенного зарождения доменов. Например, взаимодействию между фронтом состояния, возникающего или искусственно создаваемого на границе системы с флуктуационными доменами нового состояния в объеме, уделяется большое внимание при изучении распространения сигналов в линиях передач [8]. Цель настоящей работы – расчет статистических характеристик кинетики переключения состояний протяженных квазиодномерных систем при совместном действии гетерогенного и гомогенного механизмов возникновения доменов новой фазы.

1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ

Рассматривается одномерная система, поддерживаемая в однородном состоянии. Для наглядности можно представлять себе цепочку спинов, ориентированных магнитным полем в одном направлении. Затем изменение внешних условий в момент времени t = 0 приводит к возникновению иного, более предпочтительного состояния, которое, однако, отделено от исходного барьером, отсутствующим лишь на границе системы. В используемом наглядном примере магнитное поле меняет знак, но сцепление каждого спина с двумя соседями препятствует их мгновенному перевороту. На границе это сцепление слабее и граничный спин переворачивается относительно быстро. Для примыкающего спина силы сцепления с соседями компенсируют друг друга, а магнитное поле вынуждает к перевороту с подстраиванием под новое направление. Последовательные перевороты соседних спинов приводят к образованию краевого домена с перемещающейся в глубь образца доменной стенкой.

Возвращаясь к общему типу квазиодномерных систем, будем характеризовать перемещение доменной стенки некоторой скоростью v. Кинетике перемещения фронтов при наличии флуктуаций или шумов уделялось много внимания [9]. Рассчитывались как детерминистический вклад в перемещение границы, так и более тонкие эффекты диффузионного типа. В настоящей работе рассматривается случай относительно небольшой плотности центров зарождения объемных доменов, так что длины пробегов доменных стенок велики, и детерминистические вклады преобладают. На той стадии процесса, когда начинаются столкновения фронта с объемными доменами, коалесценция доменов дает определяющий вклад в разброс положений фронта переключения, и диффузионные вклады в смещения доменных стенок можно не учитывать. Это приближение соответствует теориям Колмогорова и др. [3–5], в которые также закладывается постоянная скорость движения доменных границ. Вопрос, который мы изучаем, заключается в том, как на расширение краевого домена влияют флуктуации, приводящие к спонтанному образованию доменов нового состояния в глубине протяженной системы на случайно расположенных активных центрах. В роли таких активных центров могут выступать определенного типа локальные дефекты, хаотически распределенные с некоторой средней плотностью I на единицу длины системы. Для простоты и наглядности рассматривается полубесконечная система, условно расположенная горизонтально с одной границей, находящейся на левом краю (x = 0), как это изображено на рис. 1. Пространственно-временная картина развития нового состояния в бесконечной системе детально изучалась в работах [10–12], и мы воспользуемся некоторыми полученными там результатами.

Рис. 1.

Схема эксперимента по исследованию движения доменной границы, введенной на левом конце образца, между измерительными катушками, расположенными в позициях 1 и 2. H – переключающее поле, M – намагниченность, M_s – намагниченность насыщения. Символы обозначают активные центры, на которых зарождаются домены новой фазы. Штриховые линии – начальное состояние, сплошные линии – конфигурация доменов спустя какое-то время с учетом поглощения фронтом переключения состояния домена новой фазы, образованного на ближайшем активном центре.

Будем называть доменную стенку, наследующую границу краевого домена, возможно после коалесценции с объемными доменами, фронтом переключения состояния. Ввиду случайного расположения центров зарождения доменов новой фазы перемещение фронта переключения с учетом коалесценции доменов представляет собой стохастический процесс, как это иллюстрируется результатами моделирования методом клеточных автоматов на рис. 2. Этот процесс должен, вообще говоря, характеризоваться некоторой функцией распределения p_b(x,t) – вероятностью нахождения границы в момент t в интервале между x и x + dx.

Рис. 2.

Зависимость от времени длины пробега фронта переключения состояния. Ломаные линии – результат моделирования для различных конкретных случайных расположений дефектов, гладкая штриховая линия – средняя длина пробега (x₀ = 1/I – среднее расстояние между дефектами, t₀ = 1/vI).

В имеющихся публикациях большое внимание уделялось расчетам кинетики размеров доменов новой фазы в неограниченной среде на единицу длины системы, характеризуемой плотностью вероятности g(x,t) [10–12]. Отметим, что минимальное смещение границы ко времени t есть $null$, поэтому p_b(x,t) = 0 при x < $null$. Аналогично, минимальный размер домена новой фазы, растущего в две стороны, есть 2$null$, поэтому g(x,t) = 0 при x < 2$null$. В настоящей работе рассматривается полубесконечная среда с существенным вкладом границы в переключение состояния.

2. КИНЕТИКА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ФРОНТА ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Вероятность домену, растущему от границы образца, к моменту времени t не столкнуться с объемным доменом и иметь невозмущенную длину пробега $null$ равна вероятности отсутствия активного центра на расстоянии суммарного пробега двух доменных стенок 2$null$. При хаотическом распределении центров эта вероятность есть exp(–2$null$). Соответственно, в плотности вероятности положения фронта переключения состояния имеется сингулярный вклад exp(–2$null$)δ(x – $null$). Получаем, что несингулярная составляющая вероятности положения фронта при x > $null$, возникающая в результате столкновений с объемными доменами, удовлетворяет условию нормировки $null$ = 1 – exp(–2$null$). Для плотности вероятности p_b(x,t) краевой доменной стенке быть в момент t в интервале dx можно написать кинетическое уравнение

Первое слагаемое в правой части (1) описывает расширение краевого домена, второе слагаемое представляет уход домена данного размера в большие размеры из-за столкновений с объемными доменами, интеграл описывает образование домена данного размера вследствие коалесценции краевого и объемного доменов меньших размеров. Последнее слагаемое представляет вклад от единственного столкновения первоначального краевого домена, находящегося в точке x₀= $null$, с объемным. Здесь g(x,t) – плотность объемных доменов нового состояния с размерами от x до x + dx. Начальное условие есть p_b(x,t = 0) = 0. Граничное условие p_b(x = 0,t) = Iexp(–2$null$) получается из условия баланса в результате интегрирования уравнения (1) по всем допустимым значениям x. Очевидно также, что p_b(x,t) = 0, если x меньше детерминированного предела $null$ распространения краевого домена ко времени t.

Заменим в уравнении (1) x на x₁ = x – $null$ и преобразуем его по Лапласу

Решение ищем в виде

Используя полученное в [12] выражение для g(p,t) – лапласовского образа от g(x,t)

находим

3. СРЕДНЯЯ ДЛИНА ПРОБЕГА ФРОНТА ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Полученное решение для p_b(p,t) является производящей функцией для нахождения различных моментов случайных пробегов фронта переключения состояния системы. Вычислим с ее помощью среднее смещение фронта переключения состояния, распространяющегося от границы системы

Вклад в среднее смещение от доли не претерпевших столкновений фронтов есть

Вклад претерпевших столкновения фронтов выражается через рассчитанную производящую функцию p_b(p,t) как

Таким образом, полное среднее смещение фронтов есть

При малом времени 〈x〉 ≈ $null$, при большом t 〈x〉 ≈ ≈ $null$ exp(2$null$). Общее поведение длин пробегов в зависимости от времени для различных плотностей активных центров зарождения доменов нового состояния иллюстрирует рис. 3. Наглядно видно, как зарождение доменов новой фазы в объеме материала повышает длины пробега фронта, что, соответственно, уменьшает время переключения состояния системы.

Рис. 3.

Зависимость средней длины пробега фронта переключения состояния от времени для различных концентраций центров зарождения доменов I, указанных цифрами у кривых (условные единицы), x₀ = 1/I, t₀ = 1/$null$. Штриховая линия отвечает свободному распространению фронта в отсутствие активных центров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенный расчет показал, что переключение состояний квазиодномерных систем может быть значительно ускорено в условиях наличия активных центров зарождения дополнительных доменов новой фазы. Это может быть полезным в приложениях для повышения быстродействия наноустройств записи и хранения информации. Такой цели, как показывают эксперименты, могут служить определенные дефекты материала.

Качественное объяснение наблюдаемому повышению эффективной скорости переключения состояний может дать предложенный в работе [13] “тандемный” механизм движения доменной стенки. Модельный вариант подобного механизма с передачей “эстафеты” положения фронта переключения при столкновениях с доменами, образующимися в объеме материала, рассчитан в настоящей работе. Близкий по духу эффект влияния нелинейных возмущений, возникающих перед движущейся доменной границей и приводящих к возрастанию скорости перемещения фронта, изучался в многочисленных работах, посвященных так называемому стохастическому резонансу. Это контринтуитивное явление заключается в том, что увеличение уровня непредсказуемых флуктуаций, например, хаотического шума, вызывает повышение качества прохождения сигнала, а не понижение (см. обзоры в [9, 14]). Обсуждаются интересные перспективы для приложений стохастического резонанса в биологии, в частности, при передаче нервных импульсов. В то же время наблюдаемая существенная стохастичность кинетики переключения состояний для надежной расшифровки лежащих в основе механизмов требует получения значительного объема статистических данных, чтобы сделать возможным количественное сопоставление с теоретическими моделями, принимающими во внимание неупорядоченность исследуемых материалов.