Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 4, стр. 559-565

ВВЕДЕНИЕ

За десятилетия, прошедшие со времени описания механизма спаривания сверхпроводящего типа в атомных ядрах [1], было накоплено значительное количество экспериментальных данных и построено большое число эффективных моделей для описания роли спаривания тождественных нуклонов в формировании различных свойств ядер [2‒4]. Однако постоянное развитие экспериментальных возможностей позволило увеличить диапазон изучаемых ядер, находящихся вдали от долины стабильности, и с лучшей точностью измерить свойства известных изотопов, что привело к новой волне теоретических исследований структуры и динамики атомных ядер. Важной является роль нейтрон-протонных корреляций в ядрах [5‒9]. Традиционно основным объектом исследования np-корреляций является последовательность ядер c N = Z. Ядра этой последовательности демонстрируют яркий пример изоспиновой симметрии нуклон-нуклонного взаимодействия, являющейся следствием зарядовой независимости ядерных сил.

Одним из способов изучения структуры атомных ядер, в том числе эффектов спаривания нуклонов, является систематическое исследование массовой поверхности атомных ядер, ее глобального поведения и локальных флуктуаций. Это важный источник информации, поскольку экспериментальные значения масс ядер определены с высокой точностью и число изотопов, для которых доступна данная информация, постоянно увеличивается [10]. Массовые соотношения позволяют выделять необходимую информацию о величине взаимодействия между нуклонами в зависимости от массового числа A и степени заселенности внешней оболочки. Например, хорошо известно, что спаривание тождественных нуклонов приводит к расслоению массовой поверхности и может быть количественно определено из величины четно-нечетного эффекта (even-odd staggering – EOS) [11–13]. Детально изучены различные варианты оценки энергии спаривания тождественных нуклонов в четно-четных изотопах на основе масс соседних ядер, однако, несмотря на длительную историю изучения проблемы, до сих пор дискутируется вопрос о том, какое соотношение наиболее точно соответствует парному взаимодействию тождественных нуклонов [14–19].

Массовые соотношения для оценки величины спаривания нейтрона и протона более разнообразны, но при этом в основном они рассматриваются для нечетно-нечетных ядер, принадлежащих цепочке N = Z. Но поскольку существуют предположения, что изоскалярное np-спаривание в тяжелых ядрах вносит существенный вклад в коллективные эффекты, имеет смысл провести также анализ массовых соотношений для ядер с нейтронным избытком. Данные характеристики могут дать информацию о величине np-спаривания и возможность рассмотрения np-пар как дейтроноподобных образований в ядрах.

В настоящей работе рассматривается феноменология некоторых используемых в литературе массовых соотношений для оценки np-корреляций в ядрах. Сравнение поведения рассматриваемых характеристик проводится на различных цепочках ядер N – Z = const. Параметризация энергий связи в рамках оболочечной модели дает более ясное представление о структуре массовых соотношений и их связи с нейтрон-протонным взаимодействием и другими эффектами ядерной структуры.

МАССОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ

В литературе рассматривается большое число массовых соотношений, используемых для оценки величины np-корреляций в ядрах (см., например, [5–9, 14]), и обсуждается вопрос о соответствии различных характеристик ядра величине изовекторного или изоскалярного спаривания нуклонов. По определению, энергия np-спаривания выражается как разность между энергиями отделения np-пары ${{S}_{{np}}}(N,Z)$ и одиночных нуклонов ${{S}_{n}}(N,Z - 1),$ ${{S}_{p}}(N - 1,Z){\text{:}}$

где $S(N,Z)$ – энергия отделения нуклона(-ов), $B(N,Z)$ – энергия связи ядра. Схема расчета ${{\Delta }_{{np}}}$ по энергиям связи ядер представлена на рис. 1а. Предложенное в работе [20] определение энергии np-спаривания для нечетно-нечетных ядер в дальнейшем получило широкое использование в литературе для любых ядер независимо от четности [21–29 ]. Соотношение (1) может быть выражено как разность энергий отделения протона S_p(N) (нейтрона S_n(Z)) в соседних ядрах цепочки изотопов (изотонов):

На рис. 2 представлены энергии отделения нейтрона и протона в изотопах олова Sn $(Z = 50)$ и сурьмы Sb $(Z = 51)$ как функции числа нейтронов. Хорошо известно, что пилообразный характер зависимостей ${{S}_{n}}(N)$ обусловлен спариванием нейтронов в ядрах. Зависимости ${{S}_{p}}(N)$ также осциллируют несмотря на постоянное число протонов в пределах одной цепочки изотопов, что интерпретируется как результат взаимодействия протона с нечетным нейтроном [31].

Посредством усреднения ${{\Delta }_{{np}}}$ (1) по двум или четырем соседним ядрам могут быть получены усредненные соотношения $\Delta _{{np}}^{{(7)}},$ $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}},$ $\Delta _{{np}}^{{(6,p)}}.$ В случае нечетно-нечетного ядра для усреднения используются характеристики, рассчитанные для ядер с другими числами N и Z. Наглядные диаграммы расчета данных соотношений приведены на рис. 1б–1г. Если в случае $\Delta _{{np}}^{{(7)}}$ усреднение происходит между нечетно-нечетным и четно-четным ядром (A четное), то для $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}},$ $\Delta _{{np}}^{{(6,p)}}$ используется значение ${{\Delta }_{{np}}}$ для соседнего ядра с нечетным значением A, тем самым данные соотношения должны отражать сложную структуру np-корреляций, а не только парное взаимодействие нейтрона и протона.

На рис. 3 показаны зависимости ${{\Delta }_{{np}}}(A)$ для цепочек N = Z + 4 и N = Z + 5. В случае ядер с четным A (N = Z + 4) получаемые оценки соответствуют зависимости 12 МэВ/A^1/2, в то время как для ядер с нечетным A (N = Z + 5) значения Δ_np(A) лежат на 1 МэВ ниже. Как следствие, $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}}$ и $\Delta _{{np}}^{{(6,p)}},$ являющиеся усреднениями ${{\Delta }_{{np}}}$ по двум соседним цепочкам с четным и нечетным количеством нуклонов, также лежат ниже зависимости 12 МэВ/A^1/2 и не демонстрируют изменения поведения для цепочек с четными и нечетными A. Значения $\Delta _{{np}}^{{(7)}}$ близки к ${{\Delta }_{{np}}}$ и имеют сходную зависимость от A как для четных, так и для нечетных значений A.

Наиболее усредненная характеристика, связанная с оценкой энергии np-взаимодействия, получена в анализе расщепления массовой поверхности (EOS-эффект). В соотношение для разности энергий четно-четного и нечетно-нечетного ядра помимо энергий спаривания тождественных нуклонов входит поправка для нечетно-нечетных ядер [12]. В работе [13] данное соотношение записывается как:

Величины $\Delta _{n}^{{(5)}},$ $\Delta _{p}^{{(5)}}$ отвечают спариванию тождественных нуклонов, нейтронов или протонов:

где $\Delta _{n}^{{(5)}}$ рассчитывается при Z = const, $\Delta _{p}^{{(5)}}$ – при N = const. Поправка ${{\delta }_{{np}}}$ трактуется как взаимодействие между неспаренным внешним протоном и внешним нейтроном. Из диаграммы для расчета ${{\delta }_{{np}}},$ представленной на рис. 1д, видно, что данное определение np-корреляций фактически является усреднением $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}}(A)$ по двум соседним ядрам. Представленная на рис. 3 зависимость ${{\delta }_{{np}}}$ характеризуется существенными флуктуациями и согласуется с $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}},$ $\Delta _{{np}}^{{(6,p)}}$ независимо от того, является ли A четным или нечетным.

ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ

Для выявления взаимосвязи между различными массовыми соотношениями используются различные модельные подходы, например, параметризация энергии связи ядра, основанная на оболочечном подходе. Рассмотрим ядро с N' нейтронами на оболочке ${{j}_{n}}$ и Z' протонами на оболочке ${{j}_{p}}$ сверх замкнутого остова $\left( {{{N}_{0}},{{Z}_{0}}} \right).$ Энергия связи такого ядра может быть записана в виде [30]:

где ${{\varepsilon }_{n}},$ ${{\varepsilon }_{p}}$ – одночастичные энергии нейтронов и протонов на оболочках ${{j}_{n}},$ ${{j}_{p}}$ соответственно; члены $W({{j}_{n}})$ и $W({{j}_{p}})$ характеризуют вклады от взаимодействия нейтронов и протонов в пределах своих оболочек, член I(j_n, j_p) связан с взаимодействием между нейтронами и протонами на оболочках j_n и j_p. Взаимодействие нейтронов между собой может быть записано в виде суммы:

Первый член в сумме отражает спаривание тождественных нуклонов, характеризуемое величиной взаимодействия ${{\pi }_{n}}.$ Второй член отражает дополнительное отталкивающее взаимодействие ${{d}_{n}},$ не зависящее от взаимной ориентации спинов нуклонов, т.е. не относящееся напрямую к спариванию. Два слагаемых, связанных с ${{\pi }_{n}}$ и ${{d}_{n}},$ проявляются как две характерные особенности поведения ${{S}_{n}}(N)$ в изотопах – пилообразный эффект и общий убывающий наклон соответственно (рис. 1). Энергия парных корреляций ${{\pi }_{n}}$ определяется разностью значений энергии отделения нейтрона в соседних изотопах с четным и нечетным значением $N.$ Отрицательная величина ${{d}_{n}}$ может быть получена из расчета разности ${{S}_{n}}(N + 1) - {{S}_{n}}(N - 1).$ Более подробно соотношения для оценки спаривания тождественных нуклонов были рассмотрены нами ранее в работе [19].

Взаимодействие между нейтронами и протонами на оболочках ${{j}_{n}},$ ${{j}_{p}}$ может быть записано в виде суммы [30]:

где параметры ${{I}^{0}},$ $I{\text{'}}$ имеют интерпретацию, аналогичную параметрам ${{\pi }_{n}},$ ${{d}_{n}}$ соответственно в формуле (6). Вклад ${{I}^{0}}$ не связан с взаимной ориентацией спинов нейтрона и протона, в то время как вклад $I{\text{'}}$ зависит от полного момента $J$ пары нуклонов и возникает лишь в нечетно-нечетных изотопах.

Таким образом, соотношение (5) может быть переписано в виде

где член $\delta $ имеет вид:

Для получения зависимости параметров π и d от числа нуклонов A можно использовать массовые соотношения для спаривания тождественных нуклонов. Например, для спаривания нейтронов в четно-четном ядре имеем:

Таким образом, в рамках оболочечной модели величина ${{\Delta }_{{nn}}}$ для четных $N$ всегда меньше, чем для нечетных $N$ в силу ${{d}_{n}}$ < 0; обратное справедливо для $\Delta _{{nn}}^{{(3)}},$ в то время как усредняющая характеристика $\Delta _{{nn}}^{{(5)}}$ позволяет выделить энергию парного взаимодействия нейтронов ${{\pi }_{n}}$. В свою очередь оценка ${{d}_{n}}$ может быть получена, например, с помощью расчета величины ${{\left( {{{\Delta }_{{nn}}} - \Delta _{{nn}}^{{(3)}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{\Delta }_{{nn}}} - \Delta _{{nn}}^{{(3)}}} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$

НЕЙТРОН-ПРОТОННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В РАМКАХ ОБОЛОЧЕЧНОЙ МОДЕЛИ

Рассмотрим введенные выше массовые соотношения в рамках данной параметризации. Оценки ${{\Delta }_{{np}}}$ и $\Delta _{{np}}^{{(7)}}$ зависят от ядра:

Ранее отмечалось хорошее соответствие результатов расчета по этим массовым соотношениям между собой (рис. 3). Заметим, что хотя $\Delta _{{np}}^{{(7)}}$ является усреднением ${{\Delta }_{{np}}}$ по двум ядрам, эта оценка не позволяет произвести разделение параметров $I{\text{',}}$ ${{I}^{0}}.$

Аналогично формулам для спаривания тождественных нуклонов, величина параметра $I'$ соответствует усредненным характеристикам $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}},$ $\Delta _{{np}}^{{(6,p)}},$ ${{\delta }_{{np}}}{\text{:}}$

Используя формулы (13)–(15), можно получить выражение I ⁰ через энергии связи. Схемы расчета различных вариантов массовых соотношений приведены на рис. 4. Наиболее интересным в данном случае является результат для разделения $\Delta _{{np}}^{{(7)}}$ на параметры $I{\text{'}}$ и I⁰. Соотношение для ${{I}^{0}}{\text{:}}$

совпадает с характеристикой $\delta {{V}_{{np}}},$ введенной в работе [32] для оценки np-спаривания.

Важным является вопрос не только о величине введенных параметров, но и о показателе их степенной зависимости от A. В табл. 1 представлены коэффициенты аппроксимации параметров $\pi ,$ $d$ функцией $C \cdot {{A}^{{ - b}}}.$ Параметры фитировались без учета магических и самосопряженных ядер в соответствии с правилами отбора из [13]. Величина фиксированного параметра $b$ выбиралась наиболее близкой к результату аппроксимации с двумя свободными параметрами: $C$ и $b.$ Для параметров спаривания нейтронов ${{\pi }_{n}}$ и протонов ${{\pi }_{p}}$ значения $b$ составляли 0.30 ± 0.01 и 0.32 ± 0.01, что соответствует широко используемой зависимости A^−1/3. Для параметров ${{d}_{n}},$ ${{d}_{p}}$ значение $b$ было выбрано равным единице, что согласуется со значением $b = 0.93 \pm 0.03,$ полученным при фитировании ${{d}_{n}}$ с двумя свободными параметрами. В случае протонов отличие подгоняемого параметра $b$ от единицы гораздо значительнее вследствие кулоновского взаимодействия ($b = 0.56 \pm 0.01$).

Величины коэффициентов $C$ аппроксимации ${{I}^{0}}$ и $I{\text{'}}$ степенной зависимостью $C{{A}^{{ - b}}}$ для различных значений показателя степени $b$ представлены в табл. 2. Фиксированные значения $b$ позволяют нам сравнить вклады np-корреляций ${{I}^{0}}$ и $I{\text{'}}$ между собой, а также с величинами вкладов корреляций тождественных нуклонов $\pi $ и $d.$ Аппроксимация степенной зависимостью со свободным показателем степени $b,$ равным 0.83 ± 0.01 и 0.67 ± 0.02 для ${{I}^{0}}$ и $I{\text{'}}$ соответственно. Таким образом, параметру ${{I}^{0}}$ наилучшим образом соответствует зависимость ${C \mathord{\left/ {\vphantom {C A}} \right. \kern-0em} A},$ а $I{\text{'}}$ – зависимость ${C \mathord{\left/ {\vphantom {C {{{A}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{A}^{{{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 3}} \right. \kern-0em} 3}}}}}}.$ Для всех рассмотренных вариантов $b$ коэффициенты $C$ для ${{I}^{0}}$ и $I{\text{'}}$ имеют сопоставимые значения и ${{I}^{0}} > I{\text{'}}.$

Численные оценки, проведенные в работе [30] в области стабильных ядер, показывают, что значение ${{d}_{n}}$ ≈ –0.1 МэВ, ${{d}_{p}} \approx - 0.5$ МэВ, ${{I}^{0}} \approx 0.3$ МэВ. Следует также отметить выполнение соотношений:

что следует из зарядовой независимости ядерных сил. Погрешности данных соотношений имеют порядок 1 МэВ, что видно из табл. 1 и 2.

Дополнительная информация о величине парных корреляций может быть извлечена посредством анализа мультиплета основного состояния (ground state multiplet – GSM), образующегося в спектрах низколежащих состояний ядер в результате спаривания нуклонов. Так в рамках модели модифицированных поверхностных сил спаривания MSDI можно показать, что степень расщепления GSM в четно-четных ядрах отвечает величине спаривания тождественных нуклонов [33], а в нечетно-нечетных ядрах – величине np-корреляций ${{\Delta }_{{np}}}$ [34]. Спектры возбужденных состояний ядер $^{{134}}{\text{Sb}}$ и $^{{210}}{\text{Bi}}$ приведены на рис. 5. В первом приближении данные ядра можно рассмотреть в виде дважды магического остова с внешней np-парой, при этом расщепление GSM ~0.7 и 0.6 МэВ соответственно. Сопоставление этих величин с различными оценками ${{\Delta }_{{np}}},$ рассмотренными ранее, позволяет сделать вывод о том, что наиболее реалистичным является описание нуклонных корреляций с помощью соотношения ${{\Delta }_{{np}}} = I{\text{'}} + {{I}^{0}}.$ В случае np-спаривания, таким образом, важны вклады обеих составляющих взаимодействия $I{\text{'}}$ и ${{I}^{0}};$ в то же время использование соотношений типа $\Delta _{{np}}^{{(6n)}} = I{\text{'}}$ уменьшает оценку в два раза вследствие сопоставимости величин $I{\text{'}}$ и ${{I}^{0}},$ что приводит к заниженной оценке расщепления GSM в данных ядрах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассмотрены некоторые массовые соотношения для оценки энергии спаривания нейтрона и протона ${{\Delta }_{{np}}}$ для четно-четных и нечетно-нечетных ядер. Для анализа структуры полученных характеристик использована параметризация энергии связи атомного ядра в рамках оболочечной модели. Этот подход учитывает как взаимодействие тождественных нуклонов в пределах подоболочек, так и взаимодействие между нуклонами на различных подоболочках, в том числе взаимодействие внешних нейтронов и протонов между собой. Использование такой параметризации позволяет выделять вклады различных эффектов ядерной структуры и нагляднее прослеживать взаимосвязь тех или иных оценок на основе масс ядер.

В рамках указанной параметризации взаимодействие тождественных нуклонов описывается двумя членами:

первый из которых отвечает за парное взаимодействие тождественных нуклонов с энергией спаривания π, в то время как второй член описывает дополнительное взаимодействие тождественных нуклонов величины d, не зависящее от относительной ориентации их спинов и имеющее характер отталкивания. Поскольку эмпирическая оценка величины параметра π существенно больше величины d, то можно показать, учет d или его отсутствие не сказывается на оценках величины спаривания тождественных нуклонов существенным образом. Аналогичным образом, в рамках данного подхода взаимодействие нейтронов и протонов может быть представлено как сумма двух слагаемых:

одно из которых, $I{\text{',}}$ зависит от взаимной ориентации спинов протона и нейтрона и присутствует только в нечетно-нечетных ядрах. Вследствие приближенного равенства величин I⁰ и $I{\text{'}}$ учет лишь одного из них изменяет результат оценки энергии np-спаривания в два раза. Данная картина наблюдается при сопоставлении оценок ${{\Delta }_{{np}}}$ с $\Delta _{{np}}^{{(6,n)}},$ $\Delta _{{np}}^{{(6,p)}}$ и ${{\delta }_{{np}}},$ значения которых составляют примерно половину от ${{\Delta }_{{np}}}.$

Были подобраны степенные зависимости и проведена аппроксимация параметров парного взаимодействия как тождественных нуклонов, так и нейтрон-протонной пары. Аппроксимация параметров I⁰ и $I'$ степенной функцией С/A^b с различными фиксированными значениями b позволяет наглядно продемонстрировать соотношение различных параметров на всем современном массиве ядер. Так, коэффициенты C параметров d_n, d_p и I⁰ в аппроксимации C/A сопоставимой величины и удовлетворяют соотношению

Параметры π_n(p) хорошо описываются зависимостью C/A^1/3 со значением C ≈ 10 МэВ. Значение коэффициента C для аппроксимации $I'$ той же зависимостью почти на порядок ниже и составляет 1.38 ± 0.02 МэВ, что дает понятие о соотношении корреляций тождественных нуклонов с np-корреляциями в данном подходе.