1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 83, № 7, 2019

Известия РАН. Серия физическая, 2019, T. 83, № 7, стр. 885-887

Намагничивание и деформация капли магнитной жидкости в переменном магнитном поле

А. Н. Тятюшкин *

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова”, Научно-исследовательский институт механики
Москва, Россия

* E-mail: tan@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 07.09.2018
После доработки 31.01.2019
Принята к публикации 27.03.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Теоретически исследуются намагничивание и малые установившиеся деформационные колебания капли магнитной жидкости в переменном магнитном поле. Капля взвешена в несмешивающейся с ней другой магнитной жидкости. Изменение магнитного поля настолько медленное, что могут быть использованы приближение квазистационарного магнитного поля и приближение квазиустановившегося течения.

Переменное магнитное поле, приложенное к капле магнитной жидкости, взвешенной в обычной жидкости, или к капле обычной жидкости, взвешенной в магнитной жидкости, вызывает намагничивание магнитной жидкости, сопровождающееся деформацией капли и движением жидкости внутри и вне капли. Исследование этого явления представляет интерес с точки зрения приложения к активации движения жидкостей в различных устройствах, в том числе использующихся в микрофлюидике. Кроме того, изучение этого явления представляет интерес с точки зрения фундаментальной науки.

Результаты экспериментального исследования поведения капель магнитной жидкости в переменных магнитных полях представлены в ряде работ (см. [1] и цитируемые там работы). Изучалось также поведение в переменном магнитном поле капель обычной жидкости, взвешенных в магнитной жидкости [2].

Для теоретического описания поведения капли магнитной жидкости в переменном магнитном поле использовались модели, основанные на довольно сильных допущениях о форме капли и течениях внутри и вне ее [1]. Цель данной работы – решить задачу о форме капли и течении без использования подобных допущений. В рамках такого подхода форма капли, магнитное поле и течение определяются при помощи асимптотических методов из системы уравнений и граничных условий, определяющих магнитное поле и течение. При этом для того, чтобы асимптотические методы можно было применять, деформации капли считаются малыми.

Рассмотрим каплю несжимаемой вязкой магнитной жидкости, взвешенную в несмешивающейся с ней несжимаемой вязкой магнитной жидкости, к которой приложено однородное переменное магнитное поле напряженностью ${{\vec {H}}_{a}}.$ Будем считать жидкости достаточно вязкими, чтобы выполнялось приближение малых чисел Рейнольдса, а их коэффициенты электропроводности достаточно малыми, чтобы выполнялось приближение феррогидродинамики [3]. Изменения магнитного поля – настолько медленные, что можно использовать приближение квазистационарного поля и приближение квазиустановившегося течения. Пусть ηi, μi, ηe и μe – коэффициенты вязкости и магнитные проницаемости жидкости капли и окружающей ее жидкости соответственно. Будем считать поверхностное натяжение границы раздела жидкостей σs достаточно большим, чтобы деформации капли можно было считать малыми. Пусть a – радиус недеформированной капли.

Система уравнений, позволяющая найти напряженность магнитного поля, скорость и давление как функции радиус-вектора и времени при сделанных выше предположениях, состоит из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости, уравнения движения в приближении малых чисел Рейнольдса, уравнений Максвелла в квазистационарном приближении и приближении феррогидродинамики и материального соотношения, связывающего магнитные величины в среде.

Граничные условия на границе раздела жидкостей включают в себя условия непроницаемости и непроскальзывания, условие для скачка нормальной составляющей вектора напряжений, условие непрерывности его тангенциальной составляющей, условие непрерывности тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля и условие непрерывности нормальной составляющей магнитной индукции. Кроме того, скорость, давление и напряженность магнитного поля должны удовлетворять граничным условиям на бесконечности и условиям ограниченности.

Для решения задачи используются представление магнитного поля в виде мультипольного разложения [4] и общее решение Лэмба [5], выраженное через неприводимые тензоры. При таком подходе напряженность магнитного поля, скорость и давление ищутся в виде рядов со скалярными, векторными и тензорными коэффициентами, для которых получаются соотношения, позволяющие определить эти коэффициенты. С использованием этих соотношений коэффициенты ищутся в виде асимптотических разложений по параметру

${\alpha } = \frac{{9a{{{\mu }}_{e}}H_{{am}}^{{\text{2}}}}}{{32\pi {{\sigma }_{s}}}},$

малость которого обеспечивает малость деформаций капли. Здесь Ham – максимальное значение модуля напряженности приложенного поля.

Скорость течения и давление в нем, напряженность магнитного поля и форма капли ищутся с точностью до членов второго порядка по α.

С точностью до членов первого порядка в колеблющемся магнитном поле с напряженностью ${{\vec {H}}_{a}}$ = ${\text{ }}{{H}_{{am}}}{\text{cos(}}\omega t{\text{)}}\vec {k},$ где t – время, ω – угловая частота, $\vec {k}$ – некоторый единичный вектор, поверхность капли представляет собой вытянутый эллипсоид вращения с осью, направленной вдоль вектора $\vec {k},$ и с полуосями a1, a2 и a3, которые зависят от времени следующим образом

$\begin{gathered} {{a}_{1}} = {{a}_{2}} = \\ = a\left\{ {1 - \frac{\alpha }{6}{{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}}^{2}}\left[ {1 + \frac{{\cos \left( {2\omega t - 2\phi } \right)}}{{\sqrt {1 + 4{{\tau }^{2}}{{\omega }^{2}}} }}} \right]} \right\}, \\ \end{gathered} $
${{a}_{3}} = a\left\{ {1 + \frac{\alpha }{3}{{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}}^{2}}\left[ {1 + \frac{{\cos \left( {2\omega t - 2\phi } \right)}}{{\sqrt {1 + 4{{\tau }^{2}}{{\omega }^{2}}} }}} \right]} \right\},$
где

$\tau = \frac{{\left( {16{{\eta }_{e}} + 19{{\eta }_{i}}} \right)\left( {3{{\eta }_{e}} + 2{{\eta }_{i}}} \right)}}{{10{{{\left( {{{\eta }_{e}} + {{\eta }_{i}}} \right)}}^{2}}}}\frac{{a\left( {{{\eta }_{e}} + {{\eta }_{i}}} \right)}}{{4{{\sigma }_{s}}}},$
$\phi = \frac{{\arctan \left( {2\tau \omega } \right)}}{2}.$

Таким образом, капля совершает деформационные колебания с угловой частотой 2ω и запаздыванием по фазе 2ϕ. При ω → ∞ капля стремится принять форму неизменяющегося вытянутого эллипсоида вращения.

Во вращающемся магнитном поле с напряженностью ${{\vec {H}}_{a}}$ = ${{H}_{{am}}}\left[ {{\text{cos(}}\omega t{\text{)}}\vec {i} + \sin {\text{(}}\omega t{\text{)}}\vec {j}} \right]$ с точностью до членов первого порядка капля принимает форму эллипсоида общего вида с полуосями

${{a}_{1}} = a\left[ {1 - \frac{\alpha }{3}{{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}}^{2}}} \right],$
${{a}_{2}} = a\left[ {1 + \frac{\alpha }{6}{{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}}^{2}}\left( {1 - \frac{3}{{\sqrt {1 + 4{{\tau }^{2}}{{\omega }^{2}}} }}} \right)} \right],$
${{a}_{3}} = a\left[ {1 + \frac{\alpha }{6}{{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}}^{2}}\left( {1 + \frac{3}{{\sqrt {1 + 4{{\tau }^{2}}{{\omega }^{2}}} }}} \right)} \right].$

Эллипсоид вращается вокруг своей малой оси, направленной вдоль $\vec {k}$ = $\vec {i} \times \vec {j},$ с угловой скоростью ω так, что его большая ось отстает от ${{\vec {H}}_{a}}$ на угол ϕ. Здесь $\vec {i},$ $\vec {j}$ и $\vec {k}$ образуют тройку ортонормальных векторов. При ω → ∞ капля стремится принять форму неизменяющегося сплюснутого эллипсоида вращения.

В основном приближении, т.е. при α → 0, капля обладает лишь дипольным магнитным моментом. В первом приближении по α капля приобретает некоторую поправку к дипольному моменту и октупольный магнитный момент.

Отметим, что с точностью до членов первого порядка во вращающемся магнитном поле частицы жидкости совершают колебательные движения, т.е. жидкость не совершает вращение вокруг оси, проходящей через центр капли.

С точностью до членов второго порядка вращающееся магнитное поле вызывает вращение жидкости внутри и вне капли. Вращательные составляющие поправок второго порядка к скорости жидкости внутри и вне капли в точке с радиус-вектором $\vec {r}$, отложенным от центра недеформированной капли, имеют вид

${{\vec {v}}_{{i2}}} = {{\vec {\Omega }}_{i}} \times \vec {r},$
${{\vec {v}}_{{e2}}} = \frac{{{{a}^{3}}{{{\vec {\Omega }}}_{e}} \times \vec {r}}}{{{{r}^{3}}}},$
где

$\begin{gathered} {{{\vec {\Omega }}}_{i}} = {{\alpha }^{2}}\frac{{38\eta _{e}^{2} + 112{{\eta }_{i}}{{\eta }_{e}} + 95\eta _{i}^{{\text{2}}}}}{{100\left( {{{\eta }_{e}} + {{\eta }_{i}}} \right){{\eta }_{e}}}} \times \\ \times \,\,{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}^{4}}\frac{{\omega \vec {k}}}{{1 + 4{{\tau }^{2}}{{\omega }^{2}}}}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{{\vec {\Omega }}}_{e}} = {{\alpha }^{2}}\frac{{\left( {16{{\eta }_{e}} + 19{{\eta }_{i}}} \right)\left( {5{{\eta }_{e}} + 2{{\eta }_{i}}} \right)}}{{100\left( {{{\eta }_{e}} + {{\eta }_{i}}} \right){{\eta }_{e}}}} \times \\ \times \,\,{{\left( {\frac{{{{\mu }_{i}} - {{\mu }_{e}}}}{{{{\mu }_{i}} + 2{{\mu }_{e}}}}} \right)}^{4}}\frac{{\omega \vec {k}}}{{1 + 4{{\tau }^{2}}{{\omega }^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

При ω = 1/(2τ) Ωi и Ωe принимают максимальные значения. Таким образом, при такой угловой частоте приложенного вращающегося магнитного поля имеет место наиболее эффективное вращение жидкости магнитным полем.

Частично поддержано проектами РФФИ № 19‑01‑00056 и № 17-01-00037.

Список литературы

  1. Lebedev A.V., Engel A., Morozov K.I., Bauke H. // New J. Phys. 2003. V. 5. Art. № 57.

  2. Диканский Ю.И., Закинян А.Р. // ЖТФ. 2010. Т. 80. № 8. С. 8.

  3. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. М.: Мир, 1989. 357 с.

  4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 509 с.

  5. Лэмб Г. Гидродинамика. М.–Л.: ОГИЗ, 1947. 928 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал