Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 1, стр. 128-131

ВВЕДЕНИЕ

Особенности распространения уединенных электромагнитных импульсов (УЭИ) в структурах на основе графена вызывают большой интерес у исследователей нелинейных оптических явлений [1–7]. Графеновые структуры могут использоваться в качестве рабочей среды для генерации УЭИ [1], имеющих ряд приложений [8, 9]. В работе [3] изучена возможность генерации уединенных электромагнитных волн нового типа в одномерных сверхрешетках (CР) на основе графена (ГСР). В последнее время внимание исследователей сосредотачивается на изучении 2D ГСР [10–13]. В этой связи представляется актуальным исследование особенностей распространения УЭИ в 2D ГСР.

В большинстве предшествующих работ, посвященных эволюции УЭИ, изучается распространение волн вдоль характерных кристаллографических осей (например, поперек оси СР) [2, 3, 8, 14–17]. В данной работе предложена и исследована система уравнений, описывающая распространение УЭИ вдоль произвольных направлений в плоскости 2D ГСР в бесстолкновительном приближении. Кроме того, рассмотрено влияние высокочастотного электромагнитного поля на распространение УЭИ и рассчитан солитонно-электрический ток и заряд, увлекаемый солитоном в 2D ГСР.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Энергетический спектр носителей заряда в 2D ГСР на подложке из периодически чередующихся областей бесщелевого и щелевого графена в одноминизонном приближении имеет вид [10]

где p_x, p_y − компоненты квазиимпульса электрона, d_i = a_i + b_i − период ГСР, a_i и b_i − ширины ячеек бесщелевого и щелевого графена. Разные знаки относятся к минизоне проводимости и валентной минизоне. Энергетический спектр ГСР неаддитивен, поэтому существует зависимость движения носителей заряда вдоль ортогональных направлений, и непараболичен, что определяет нелинейную зависимость скорости электрона от квазиимпульса и нелинейные свойства таких структур, проявляющиеся уже в сравнительно слабых полях. Эта нелинейность и приводит к возможности распространения в такого рода структурах УЭИ [14].

Плотность электрического тока имеет вид

где $n(\vec {p})$ − невозмущенная функция распределения электронов, $\vec {\upsilon }\left( {\vec {p}} \right)$ = (∂ε/∂p_x, ∂ε/∂p_y) − скорость электронов, ${\vec {A}}(\vec {r},t)$ − векторный потенциал поля. Будем считать, что характерная длина, на которой происходит изменение электромагнитного поля, велика по сравнению с де-бройлевской длиной волны электрона и периодом ГСР, а характерное время изменения поля малым по сравнению со временем свободного пробега электрона τ и будем пренебрегать столкновениями электронов с решеткой.

Разложив скорость в двойной ряд Фурье, подставив в (2) и предполагая электронный газ невырожденным, найдем выражение для плотности тока

где n₀ − поверхностная концентрация электронов проводимости, а − толщина слоя графена, $\vec {\varphi }$ =  $\frac{e}{{c\hbar }}{\text{(}}{{{\text{A}}}_{x}}{{d}_{1}},{{{\text{A}}}_{y}}{{d}_{2}})$ − безразмерный векторный потенциал, B_nm = a_nmI_nm/I₀₀, I_nm = = $\int_{ - {\pi }}^{\pi } {\int_{ - {\pi }}^{\pi } {\cos (nx)\cos (my)\exp } } $ × × $[{{ - \sqrt {\Delta _{0}^{2} + \Delta _{1}^{2}\left( {1 - \cos (x)} \right) + \Delta _{2}^{2}\left( {1 - \cos (y)} \right)} } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - \sqrt {\Delta _{0}^{2} + \Delta _{1}^{2}\left( {1 - \cos (x)} \right) + \Delta _{2}^{2}\left( {1 - \cos (y)} \right)} } {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}]dxdy,$ T − температура, ${{a}_{{nm}}} = \frac{{\Delta _{1}^{2}{{d}_{1}}}}{{2\hbar {{\pi }^{2}}}}$ × × $\int_{ - {\pi }}^{\pi } {\int_{ - {\pi }}^{\pi } {\frac{{\sin (x)\sin (nx)\cos (my)dxdy}}{{\sqrt {\Delta _{0}^{2} + \Delta _{1}^{2}\left( {1 - \cos (x)} \right) + \Delta _{2}^{2}\left( {1 - \cos (y)} \right)} }}} } ,$ C_nm определяется аналогично B_nm через коэффициенты разложения в ряд Фурье проекции скорости электронов на ось y.

Подставим (3) в уравнение для векторного потенциала

где V = cχ^–1/2 − скорость электромагнитной волны в отсутствии электронов, χ − эффективная диэлектрическая проницаемость. Из-за существенной непараболичности спектра электронов в ГСР ток проводимости есть в общем случае нелинейная функция поля и уравнение (4) является нелинейным. Отметим, что из-за неаддитивности энергетического спектра ортогональные составляющие векторного потенциала оказываются взаимосвязанными, что существенно сказывается на эволюции УЭИ в ГСР.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Нелинейное волновое уравнение (4) в общем случае решается численно с применением метода разностных схем.

Рассмотрим далее некоторые частные случаи уравнения (4), которые имеют аналитические решения. В качестве примера выберем такие 2D ГСР, для которых влияние неаддитивности энергетического спектра слабое. В работе [13] показано, что с увеличением периода ГСР уменьшается неаддитивность энергетического спектра и при d > 5 ∙ 10^–6 см, можно с хорошей степенью точности аппроксимировать “истинный” спектр структуры аддитивной зависимостью энергии от квазиимпульса. В нашем случае, увеличение периода ГСР будет приводить к более быстрому уменьшению значений коэффициентов B_nm и C_nm с ростом индексов. Подбирая периоды d₁ и d₂ можно добиваться разной силы связи между ортогональными направлениями.

Приведем один из частных случаев, соответствующих симметричной сверхрешетке (d₁ = d₂ = = d ≈ 2 ∙ 10^–6 см, Δ₁= Δ₂= Δ ≈ 0.332Δ_SiC, Δ_SiC = 0.13 эВ, ширина запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости ε_g = 0.8573Δ_SiC; ширина запрещенной зоны между первой и второй зонами проводимости ε_g12= 0.6270Δ_SiC; ширина первой минизоны проводимости ε_e = 0.2111Δ_SiC). При разложении спектра в ряд Фурье в этом случае можно ограничиться первыми слагаемыми

где g₁ = 0.624475, g₂ = 0.1787, g₃ = 0.01306. Для рассматриваемого примера максимальное расхождение спектров составляет 2%.

С другой стороны, в выражении для плотности тока (3) коэффициенты В_nm и С_nm для рассматриваемого случая быстро убывают и можно ограничиться первыми слагаемыми. Приведенная ниже система уравнений для компонент безразмерного векторного потенциала соответствует слабой неаддитивности энергетического спектра

где $\beta = {{2{{B}_{{11}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{B}_{{11}}}} {{{B}_{{10}}}}}} \right. \kern-0em} {{{B}_{{10}}}}}$, $\tilde {t} = {{t\varpi } \mathord{\left/ {\vphantom {{t\varpi } {\sqrt \chi }}} \right. \kern-0em} {\sqrt \chi }},$ $\tilde {x} = {{x\varpi } \mathord{\left/ {\vphantom {{x\varpi } c}} \right. \kern-0em} c},$ $\tilde {y} = {{y\varpi } \mathord{\left/ {\vphantom {{y\varpi } c}} \right. \kern-0em} c},$ ${{\varpi }^{2}}$ =  ${{2\pi {{n}_{0}}{{e}^{2}}{{B}_{{10}}}d} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{n}_{0}}{{e}^{2}}{{B}_{{10}}}d} {\hbar a}}} \right. \kern-0em} {\hbar a}}.$

Если β = 0, то связь между ортогональными компонентами пропадает, и уравнения (6) представляют собой хорошо известное двумерное синус-уравнение Гордона.

Учитывая симметрию уравнений (6) и задавая симметричные начальные условия можно получить уравнение, описывающее распространение УЭИ под углом 45° к осям ГСР

где $\tilde {l} = {{\tilde {x}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde {x}} {\sqrt 2 }}} \right. \kern-0em} {\sqrt 2 }}.$ Уравнение (7) является двойным синус-уравнением Гордона, кинковое решение которого хорошо известно [15, 16] где $\xi = {{\tilde {l} - \tilde {t}u} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tilde {l} - \tilde {t}u} V}} \right. \kern-0em} V};$ ${{\xi }_{0}} = {{\sqrt {1 - {{{({u \mathord{\left/ {\vphantom {u V}} \right. \kern-0em} V})}}^{2}}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {1 - {{{({u \mathord{\left/ {\vphantom {u V}} \right. \kern-0em} V})}}^{2}}} } {\sqrt {\beta + 1} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {\beta + 1} }},$ u – скорость кинка.

Одним из проявлений существования уединенных волн может выступить эффект увлечения электронов такой волной − возникновение электрического тока в направлении распространения волны. Природа этого эффекта сходна с природой радиоэлектрического эффекта и объясняется как результат передачи импульса электромагнитной волной электронной подсистеме. В [15] для полупроводниковых СР со спектром, описываемым в модели, выходящей за рамки учета влияния только “ближайших соседей” найдена плотность солитонно-электрического тока и заряд, увлекаемый солитоном. Для нашего случая плотность тока имеет вид

где n₀ – концентрация зарядов в минизоне проводимости. Ток увлечения носит импульсный характер с длительностью одного импульса порядка ${{\xi }_{0}}$cϖ^–1u^–1. В данной ситуации наблюдаемой величиной является заряд q, переносимый через единицу площади поперечного сечения образца. Количество заряда, переносимое через единицу площади поперечного сечения образца при прохождении одного кинка ${\text{после}}$ интегрирования плотности тока по времени $q = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {jdt} $ представим в виде где $f(\beta )$ = ${{({\text{arth}}({{1 + 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 + 1} {\beta }}} \right. \kern-0em} {\beta }})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({\text{arth}}({{1 + 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 + 1} {\beta }}} \right. \kern-0em} {\beta }})} {[{\beta }(1 - f({\beta }))]{{)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}}} \right. \kern-0em} {[{\beta }(1 - f({\beta }))]{{)}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}}},$ при $\beta \ll 1$ выражение упрощается $f(\beta ) = {{1 - 8\beta } \mathord{\left/ {\vphantom {{1 - 8\beta } 3}} \right. \kern-0em} 3}.$

При распространении УЭИ вдоль оси х ГСР, для которой напряженность электрического поля совпадает с осью y, а магнитное поле перпендикулярно плоскости образца, система уравнений (6) трансформируется к уравнению

которое имеет кинковое решение в виде уединенного 2π-импульса

Уравнение (11) представляет синус-уравнение Гордона с перенормированными безразмерными координатами ${{\tilde {x}}_{1}} = \tilde {x}\sqrt {1 + \beta } ,$ ${{\tilde {t}}_{1}} = \tilde {t}\sqrt {1 + \beta } .$

Будем предполагать, что ширина уединенной волны велика по сравнению с длиной свободного пробега электрона, а время действия уединённой волны на электрон мало по сравнению со временем свободного пробега электрона, при типичных значениях параметров эти предположения выполняются. При таких условиях движение электронов в поле уединенной волны можно описывать классическим кинетическим уравнением Больцмана без учета столкновений и пространственной производной функции распределения, тем самым функция распределения предполагается локально однородной и зависящей от координаты только как от параметра (через зависимость электрического и магнитного полей). Уравнение Больцмана в этом случае имеет вид

Решением уравнения будет функция f(p, t) = = f₀(p'(t₀; p, t)), где p'(t'; p, t) − решение следующего классического уравнения движения электрона:

с начальным условием t' = t, p' = р, a f₀(p) − функция распределения в начальный момент времени t₀. Для невырожденного электронного газа функция распределения имеет вид ${{f}_{0}} = A\exp ({{\varepsilon ({{p}_{x}},{{p}_{y}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{\varepsilon ({{p}_{x}},{{p}_{y}})} {kT}}} \right. \kern-0em} {kT}}),$ где Т − температура. Поскольку скорость электрона гораздо меньше скорости уединенной волны, уравнение (14) решаем итерациями по слагаемому содержащему напряженность магнитного поля Н. В результате получим выражение для плотности тока увлечения

При экспериментальном исследовании эффекта наблюдаемой величиной является, например заряд, переносимый солитоном при его распространении

Далее рассмотрим влияние ВЧ электромагнитного поля на распространение УЭИ в 2D ГСР вдоль оси y. Внешнее однородное ВЧ-поле будем считать эллиптически поляризованным. Учет такого поля можно произвести, сделав в уравнении для векторного потенциала

замену ${{{\varphi }}_{x}} \to {{{\varphi }}_{x}} + {{\alpha }_{x}}\sin (\omega t),$ ${{{\varphi }}_{y}} \to {{\alpha }_{y}}\cos (\omega t),$ где $\vec {\alpha } = {{e\vec {E}d} \mathord{\left/ {\vphantom {{e\vec {E}d} \omega }} \right. \kern-0em} \omega },$ $\vec {E}$, ω − амплитуда и частота ВЧ-поля соответственно. После усреднения по “быстрому” времени, с периодом T = 2π/ω, много меньшим длительности импульса, получим уравнение, описывающее распространение УЭИ с учетом влияния поля накачки

где J₀(x) − функция Бесселя. Если параметры внешнего поля такие, что ${{J}_{0}}({{\alpha }_{x}}) + \beta {{J}_{0}}\left( {\sqrt {\alpha _{x}^{2} + \alpha _{y}^{2}} } \right)$ > 0, то решение полученного уравнения сводится к солитонному решению (10) перенормировкой безразмерных координат. Параметры солитона при этом будут осциллировать с изменением параметров внешнего поля. Если поле накачки удовлетворяет условию ${{J}_{0}}({{\alpha }_{x}}) + \beta {{J}_{0}}\left( {\sqrt {\alpha _{x}^{2} + \alpha _{y}^{2}} } \right)$ < 0, то для уравнения (18) существует автомодельное решение [18], отвечающее усилению УЭИ, распространяющегося через ГСР. В работе [17] данный подход применен для исследования влияния ВЧ-поля на форму солитона в 2D полупроводниковой СР с неаддитивным спектром.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получено уравнение описывающее распространение электромагнитных волн в 2D ГСР в бесстолкновительном приближении. Из-за неаддитивности энергетического спектра ортогональные составляющие векторного потенциала оказываются взаимосвязанными, что существенно сказывается на эволюции УЭИ в 2D ГСР. Рассчитан солитонно-электрический ток и заряд, увлекаемый солитоном при его распространениии. Показано, что при воздействии на систему высокочастотного электрического поля возможно усиление уединенной волны.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект № 18-42-340005) и Минобрнауки России (выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках проектной части государственного задания, код проекта: 3.2797.2017/4.6).