Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 1, стр. 43-47

ВВЕДЕНИЕ

Спиновое расщепление электронных состояний в 2D-материалах приводит к формированию в их зонной структуре так называемых дираковких (конических) точек, характерных для двумерных (2D) дираковских (графеноподобных) кристаллов [1–3]. Спиновые состояния электронов в полупроводниковых структурах и проблемы спиновой динамики являются объектами повышенного внимания исследователей в связи с интенсивным развитием спинтроники и технологии гетероструктур [4–6]. Одной из основных задач этих областей является создание электронных устройств с перестраиваемыми характеристиками [7–10]. Современные достижения как в области физики твердого тела, так и в области наноэлектроники, дают возможность управления электронными свойствами дираковских 2D-структур и топологических изоляторов за счет изменения внешних электромагнитных (ЭМ) полей [10–18].

Изучение спин-зависимых явлений в низкоразмерных системах играет важную роль в разработке устройств хранения и обработки информации [19]. Преимуществом низкоразмерных систем является зависимость интенсивности спин-орбитального взаимодействия от параметров структуры [4, 20, 21] (геометрические размеры, интенсивность удержания, эффективная масса и т.д.). Например, в [22] предложено использование циркулярно поляризованного оптического излучения для управления спинами электронов в квантовых точках.

Исследования плазменных волн и коллективных возбуждений, называемых плазмонами, в дираковских 2D-кристаллах и топологических изоляторах актуальны как с фундаментальной [23], так и с практической точек зрения [20]. Фундаментальный интерес объясняется тем фактом, что такие квантовомеханические объекты как плазмоны не имеют аналогов в классической теории. Более того, учет взаимодействия носителей заряда в дираковских 2D-кристаллах с плазмонами в ряде ситуаций является определяющим для объяснения особенностей формирования электрон-плазмонных [24, 25] и магнитоплазмонных [26] комплексов. Практический интерес к таким объектам связан с возможностью увеличения быстродействия электронных устройств, использующих в своей работе плазмонную динамику [27, 28]. Последнее объясняется тем фактом, что групповая скорость плазмонов превышает дрейфовую скорость электронов на несколько порядков.

ЭНЕРГИЯ ПЛАЗМОНОВ В 2D-КРИСТАЛЛАХ С РАСЩЕПЛЕНИЕМ РАШБЫ

Считаем, что 2D-структура лежит в плоскости $xy$. Учет спин-орбитального взаимодействия и размерное квантование вдоль оси $Oz$ приводят к появлению линейных по квазиимпульсу $\vec {p}$ слагаемых в спектре носителей заряда, которые имеют вид [4, 23] (модель Рашбы):

где ${{\hat {\sigma }}_{{x,y,z}}}$ – матрицы Паули, ${{v}_{{{\text{SO}}}}}$ – параметр, ответственный за спин-орбитальное взаимодействие в кристалле и зависящий от интенсивности конфайнмента в направлении оси $Oz$ (${{v}_{{{\text{SO}}}}}$ ∼ 10⁷ см ∙ с^–1 [23]). Собственные значения гамильтониана (1) равны

Согласно (2) состояние с $p = 0$ $\left( {\varepsilon = 0} \right)$ оказывается вырожденным по спину и соответствует пересечению двух дисперсионных ветвей ($n$ = 1, 2). Плазмонные возбуждения в 2D-структурах с расщеплением Рашбы исследовались в приближении случайных фаз (ПСФ) в работе [23] для случая высоких концентраций электронов, когда уровень Ферми превышал энергию, отвечающую $p = 0$ $\left( {{{\varepsilon }_{{\text{F}}}} > 0} \right).$ Ниже исследуется зависимость энергии плазмонов от положения уровня Ферми в том случае, когда последний оказывается ниже значения $\varepsilon = 0.$ Кроме того, изучается влияние ВЧ ЭМ-излучения на энергию плазмонов в 2D-кристалле с расщеплением Рашбы. Температуры электронного газа предполагаются предельно низкими.

В рамках ПСФ закон дисперсии для плазмонов находится из уравнения

где $V\left( {\vec {k}} \right) = {{2\pi {{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{e}^{2}}} k}} \right. \kern-0em} k}$ – потенциал неэкранированного взаимодействия электронов, которое предполагается кулоновским [24, 28], $\Pi \left( {\omega ,\vec {k}} \right)$ – поляризационный оператор, вычисляемый по формуле

${{G}_{0}}\left( {\varepsilon ,\vec {p}} \right)$ – причинная функция Грина для электрона, ${{\vec {p}}_{ \pm }} = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {p} \pm {{\hbar \vec {k}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar \vec {k}} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ ${{\varepsilon }_{ \pm }} = \varepsilon \pm {{\hbar \omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar \omega } 2}} \right. \kern-0em} 2}.$ В случае предельно низких температур существование плазмонов возможно, если выполняется условие ${{\varepsilon }_{{\text{F}}}} > - {{\Delta }_{{{\text{SO}}}}},$ где ${{\Delta }_{{{\text{SO}}}}} = {{m{v}_{{{\text{SO}}}}^{{\text{2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m{v}_{{{\text{SO}}}}^{{\text{2}}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}.$ В противном случае уровень Ферми оказывается внутри запрещенной зоны. После некоторых преобразований имеем следующее выражение:

Здесь $\theta \left( x \right)$ – ступенчатая функция, ${{v}_{{n,i}}} = {{v}_{n}}\left( {{{p}_{i}}} \right),$ ${{v}_{n}} = {{\partial }_{p}}{{\varepsilon }_{n}},$ ${{\varepsilon }_{n}}\left( p \right)$ – электронный спектр (2), ${{p}_{i}}$ – корни уравнения $\varepsilon \left( p \right) = {{\varepsilon }_{{\text{F}}}},$ равные

Известно, что в длинноволновом приближении закон дисперсии плазмонов в 2D-структурах имеет вид $\omega \propto \sqrt k ,$ где $\vec {k}$ – волновой вектор плазмона. Коэффициент пропорциональности определяет групповую скорость плазменных волн и зависит от электронных свойств материала. Данный коэффициент пропорционален кривизне дисперсионной линии для плазмонов в точке $k = 0.$

В длинноволновом приближении ($\hbar k \ll m{{{v}}_{{{\text{SO}}}}}$) вместо (5) приходим к следующему выражению

С помощью соотношения (3) находим энергию плазмона:

Зависимость энергии плазмона от энергии Ферми показана на рис. 2 (пунктирная линия, $\hbar k = 0.1m{{v}_{{{\text{SO}}}}}$). На графике видна точка излома A, которая, согласно (8), достигается, когда уровень Ферми пересекает значение $\varepsilon = 0.$

ВЛИЯНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДИСПЕРСИОННУЮ ЛИНИЮ ПЛАЗМОНОВ

Известно, что внешние возмущения могут приводить к снятию вырождения. Здесь в качестве внешнего воздействия на 2D-материал рассматривается высокочастотное (ВЧ) ЭМ-излучение, которое приводит к расщеплению состояний с квазиимпульсом $p = 0,$ отвечающим пересечению ветвей закона дисперсии (1). Предполагается, что ЭМ-излучение с частотой $\Omega $ и с амплитудой напряженности электрического поля ${{E}_{0}}$ распространяется вдоль оси $Oz$ так, что в плоскости $xy$ векторный потенциал этого поля имеет вид:

Спинор $\psi ,$ описывающий движение 2D-электрона в поле ЭМ-волны удовлетворяет следующему уравнению:

Здесь $\hat {\vec {\pi }} = \hat {\vec {p}} + {{e\vec {A}} \mathord{\left/ {\vphantom {{e\vec {A}} c}} \right. \kern-0em} c}.$ Решение уравнения (10) подчиняется теореме Флоке:

где $u\left( t \right)$ – спинор, компоненты которого ${{u}_{ \uparrow }}\left( t \right)$ и ${{u}_{ \downarrow }}\left( t \right)$ являются периодическими функциями времени с периодом ${{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \Omega }} \right. \kern-0em} \Omega },$ $\tilde {\varepsilon }$ – квазиэнергия, которая может трактоваться как спектр связанного электрон-фотонного состояния [10]. Предполагаем далее, что выполняется условие $\hbar \Omega \gg {{\Delta }_{{{\text{SO}}}}}.$ В результате стандартной процедуры усреднения по ВЧ-полю (например, [10–14]), поиск квазиэнергии сведется к стационарной задаче на собственные значения ${{\hat {H}}_{{eff}}}{{u}_{0}} = \tilde {\varepsilon }{{u}_{0}}.$ Здесь ${{u}_{0}}$ – постоянная составляющая спинора $u\left( t \right),$ ${{\hat {H}}_{{eff}}}$ – эффективный гамильтониан, равный

${{\Delta }_{0}} = {{p_{{{\text{EM}}}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_{{{\text{EM}}}}^{2}} {2m}}} \right. \kern-0em} {2m}},$ ${{p}_{{{\text{EM}}}}} = {{e{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{e{{E}_{0}}} \Omega }} \right. \kern-0em} \Omega },$ Δ_EM = ${{p_{{{\text{EM}}}}^{2}v_{{{\text{SO}}}}^{{\text{2}}}\sin \varphi } \mathord{\left/ {\vphantom {{p_{{{\text{EM}}}}^{2}v_{{{\text{SO}}}}^{{\text{2}}}\sin \varphi } {\hbar \Omega }}} \right. \kern-0em} {\hbar \Omega }}.$ Собственные значения (12) имеют вид:

В отсутствие ВЧ-поля $\left( {{{E}_{0}} = 0} \right)$ формула (13) дает закон дисперсии (2), состоящий из двух ветвей, пересекающихся в точке $\vec {p} = 0$ [4, 23], что соответствует вырождению состояния по спину. В присутствии ВЧ-поля $\left( {{{E}_{0}} \ne 0} \right)$ происходит разделение этих ветвей в указанной точке, что связано со снятием вырождения (рис. 1), а также смещение спектра вверх по энергии на величину ${{\Delta }_{0}}.$ Величина расщепления в окрестности точки $\vec {p} = 0$ равна $2{{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}.$ При фиксированной интенсивности волны максимальное расщепление возникает в случае круговой поляризации $\left( {\varphi = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right).$ Для линейно поляризованной волны $\left( {\varphi = 0} \right)$ ${{\Delta }_{{{\text{EM}}}}} = 0.$

Поляризационный оператор с учетом (13) равен

где ${{\tilde {\varepsilon }}_{{\text{F}}}} = {{\varepsilon }_{{\text{F}}}} - {{\Delta }_{0}},$ ${{\tilde {v}}_{{n,i}}} = {{\tilde {v}}_{n}}\left( {{{p}_{i}}} \right),$ ${{\tilde {v}}_{n}} = {{\partial }_{p}}{{\tilde {\varepsilon }}_{n}},$ ${{p}_{i}}$ – корни уравнения $\tilde {\varepsilon }\left( p \right) = {{\varepsilon }_{{\text{F}}}},$ равные

С помощью соотношения (3) находим энергию плазмона:

Зависимость энергии плазмона от энергии Ферми, построенная по формуле (16), показана на рис. 2 (сплошная линия, $\hbar k = 0.1m{{v}_{{{\text{SO}}}}}$). На графике видно, что действие ВЧ-поля приводит к возникновению двух точек излома вместо одной, как это было в отсутствие излучения. Разница энергий, отвечающих этим точкам, равна $2{{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}.$ Причиной этого эффекта является, во-первых, снятие вырождения по спину в точке $p = 0$ и, во-вторых, образование в окрестности этой точки области с отрицательными эффективными массами. Действительно, если ${{\varepsilon }_{{\text{F}}}} < {{\Delta }_{0}} - {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}},$ уровень Ферми пересекает нижнюю дисперсионную ветвь (сплошная линия на рис. 3) в двух точках ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$, одна из которых $\left( {{{p}_{1}}} \right)$ приходится на область отрицательных эффективных масс. По мере увеличения энергии Ферми точка пересечения, отвечающая квазиимпульсу ${{p}_{1}},$ смещается вверх, пока не наступит условие ${{\varepsilon }_{{\text{F}}}} = {{\Delta }_{0}} - {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}.$ В этом случае вклад электронов из области отрицательных эффективных масс прекратится. Последнее равенство, таким образом, определяет первую точку излома в функциональной зависимости энергии плазмона от энергии Ферми. В ситуации, когда уровень Ферми оказывается внутри области расщепления между верхней и нижней дисперсионными линиями $\left( {{{\Delta }_{0}} - {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}} < {{\varepsilon }_{{\text{F}}}} < {{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}} \right),$ вклад в плазменные колебания вносят только электроны с импульсом ${{p}_{2}}.$ Равенство ${{\varepsilon }_{{\text{F}}}} = {{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}$ определяет вторую точку излома. Начиная с момента, когда уровень Ферми становится по энергии выше значения ${{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}},$ вклад в плазменные колебания начинают давать электроны, дисперсия которых определяется верхней дисперсионной линией (пунктирная линия на рис. 1).

Отметим, что, согласно (16), кривизной дисперсионной линии плазмонов, а также их групповой скоростью можно управлять, меняя интенсивность ВЧ-излучения. Последнее может представлять интерес для приложений, использующих устройства с перестраиваемыми характеристиками, работу которых определяет динамика плазмонов. Графики зависимости энергии плазмона от интенсивности ВЧ-излучения, построенные для различных значений частоты $\Omega $, показаны на рис. 3, где также видны точки излома, обозначенные буквой A. В частности, если амплитуда ВЧ-излучения удовлетворяет неравенству $p_{{{\text{EM}}}}^{2} > 2m\left( {{{\Delta }_{{{\text{SO}}}}} + {{\varepsilon }_{{\text{F}}}}} \right),$ то плазменные колебания подавляются (здесь предполагается, что $\hbar \Omega \gg {{\Delta }_{{{\text{SO}}}}}$).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Нами было исследовано влияние спин-орбитального взаимодействия и ВЧ-излучения на дисперсионную линию для плазмонов в 2D-кристаллах с расщеплением Рашбы. Показана возможность изменения характера зависимости от энергии Ферми энергии плазмонов в том случае, когда уровень Ферми проходит через состояние, вырожденное по спину. Кроме того, продемонстрировано изменение энергии плазмонов с фиксированным значением волнового числа путем изменения интенсивности ВЧ-излучения, которому подвергается образец. Для этой функциональной зависимости характерно наличие двух точек излома (рис. 3). Наличие ЭМ-излучения приводит к расщеплению по энергии двух дисперсионных ветвей, отвечающих различным проекциям спина в точке $p = 0.$ Величина расщепления равна $2{{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}$ (рис. 1). Если интенсивность ВЧ-поля и концентрация носителей заряда таковы, что выполняется неравенство ${{\varepsilon }_{{\text{F}}}} > {{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}},$ то уровень Ферми пересекает обе дисперсионные ветви, описываемые формулой (13). На рис. 1 точкам пересечения соответствуют состояния с квазиимпульсами ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}.$ По мере увеличения интенсивности волны дисперсионные ветви смещаются вверх по энергии, а величина расщепления ${{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}$ растет так, что импульс ${{p}_{1}}$ стремится к нулю, и при ${{p}_{1}} = 0$ (${{\varepsilon }_{{\text{F}}}} = {{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}$) вклад электронов, состояния которых отвечают верхней дисперсионной ветви (пунктирная линия на рис. 1), прекращается. Этот факт определяет первую точку излома в функциональной зависимости энергии плазмона от интенсивности волны. В ситуации, когда уровень Ферми лежит между верхней и нижней дисперсионными линиями $\left( {{{\Delta }_{0}} - {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}} < {{\varepsilon }_{{\text{F}}}} < {{\Delta }_{0}} + {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}} \right),$ вклад в плазменные колебания вносят только электроны с импульсом ${{p}_{2}}.$ Условие, при котором уровень Ферми начинает пересекать нижнюю дисперсионную линию (сплошная линия на рис. 1) в двух точках, одна из которых приходится на область отрицательных эффективных масс, определяет вторую точку излома $\left( {{{\varepsilon }_{{\text{F}}}} = {{\Delta }_{0}} - {{\Delta }_{{{\text{EM}}}}}} \right).$

Описанная выше зависимость энергии плазмонов от интенсивности падающего излучения дает возможность для управления кривизной дисперсионной линии плазмонов, а также их групповой скоростью путем изменения амплитуды ВЧ-поля. Последнее может представлять интерес для приложений, использующих устройства с перестраиваемыми характеристиками, работу которых определяет динамика плазмонов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках проектной части государственного задания, код проекта: 3.2797.2017/4.6.