Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 1, стр. 7-10

ВВЕДЕНИЕ

Внимание к поверхностным волнам на границе раздела топологических сред вызвано их необычными свойствами, главное из которых – это невзаимность: волна распространяется в одном направлении, но не распространяется в противоположном направлении [1–3]. Такие волны называют однонаправленными волнами [4–7]. Распространение нелинейной волны вдоль края фотонного кристалла теоретически рассмотрено в [8–10], где было выведено нелинейное уравнение Шредингера, описывающее эволюцию одной из компонент электромагнитной волны. Моды нелинейной поверхностной волны были получены в [11, 12]. Устойчивость таких волн (с постоянной амплитудой и дисперсионным соотношением, зависящим от потока мощности излучения) в настоящее время в полной мере не исследована.

В работе из дисперсионного соотношения для нелинейной моды выведено приближенное эволюционное уравнение для двух компонент электрического поля поверхностной волны. Пренебрегая дисперсией групповых скоростей, можно найти решение системы уравнений, которое описывает периодическую волну, бегущую вдоль границы раздела линейного топологического изолятора и нелинейного диэлектрика.

ПОВЕРХНОСТНАЯ ВОЛНА. ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

Система координат выбрана так, что ось X направлена нормально к поверхности раздела двух сред, оси Y и Z лежат в плоскости раздела, ось Z выбрана вдоль вектора постоянной распространения поверхностной волны. В такой системе координат напряженности всех полей зависят только от переменных x, z и времени t. В этом случае для компонент электрического поля ${{E}_{y}}$ и магнитного поля ${{H}_{y}}$ можно записать волновые уравнения, а остальные компоненты выразить через ${{E}_{y}}$ и ${{H}_{y}}.$ Система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для фурье-компонент напряженностей этих полей. Детали анализа системы существенных уравнений представлены в [12]. Оказывается, что лучше использовать поперечное ${{E}_{y}}(z,x;\omega ) = {{e}_{y}}(x,\omega )\exp (i\beta z)$ и продольное ${{E}_{z}}(z,x;\omega ) = {{e}_{z}}(x,\omega )\exp (i\beta z)$ поля, где $\beta $ – постоянная распространения, $\omega $ – частота. Система уравнений для комплексных огибающих ${{e}_{y}}(x,\omega )$ и ${{e}_{z}}(x,\omega )$ имеет в области x > 0, заполненной нелинейным диэлектриком с линейной диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{2}},$ следующий вид:

В этих уравнениях используется параметр ${{p}^{2}} = {{\beta }^{2}} - k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{2}} > 0$ и ${{\varepsilon }_{K}}$ – параметр, пропорциональный нелинейной восприимчивости третьего порядка. В области x < 0, заполненной линейной средой с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{1}},$ система уравнений для огибающих ${{e}_{y}}(x,\omega )$ и ${{e}_{z}}(x,\omega )$ имеет такой же вид, но с заменой $p$ на $q,$ где ${{q}^{2}} = {{\beta }^{2}} - k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{1}},$ и ${{\varepsilon }_{K}} = 0.$ Решения этих уравнений сшиваются на границе раздела при $x = 0$ с учетом условий непрерывности напряженностей полей и различия индукций [11–13].

Если обозначить $A$ – амплитуду поля ${{e}_{y}}$ и $B$ – амплитуду поля ${{e}_{z}}$ при $x = 0,$ то условия сшивки сводятся к паре уравнений

где ${{k}_{0}} = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c},$ $\kappa = {{\alpha \theta } \mathord{\left/ {\vphantom {{\alpha \theta } {4\pi }}} \right. \kern-0em} {4\pi }},$ $\theta $ – аксионное поле [14] (в рассматриваемом случае $\theta = 1 + 2n,$ $n$ – целое число), $\alpha = {{{{e}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}} {c\hbar }}} \right. \kern-0em} {c\hbar }}$ – постоянная тонкой структуры, $\tilde {p} = p\tanh (p{{x}_{0}}),$ ${{x}_{0}}$ – координата максимума электрического поля. Для рассмотренного случая имеем ${{x}_{0}} < 0,$ иначе решения уравнений (1) и (2) сингурярны в области их определения (см. [12]). Непрерывность касательной компоненты электрического поля при $x = 0$ приводит к определению параметра ${{x}_{0}}$: ${{a}^{2}}{{\left| A \right|}^{2}}{{\cosh }^{2}}(p{{x}_{0}}) = 1,$ где $a = {{k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{K}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{K}}} {2{{p}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {2{{p}^{2}}}}.$ Полагая, что нелинейная поправка к диэлектрической проницаемости ${{\varepsilon }_{2}}$ мала, и учитывая, что ${{x}_{0}} < 0,$ можно записать $\tilde {p} = - p\left( {{{1 - a{{{\left| A \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{1 - a{{{\left| A \right|}}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right).$

Поскольку $\kappa \ll 1,$ уравнения (3) и (4) с точностью до первых поправок по ${{\varepsilon }_{K}}$ и $\kappa $ можно переписать в следующем виде

где сделана замена $iB \to B$ и введен параметр $\mu = {{k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{K}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k_{0}^{2}{{\varepsilon }_{K}}} {4{{p}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {4{{p}^{2}}}}.$ Чтобы избежать в последующих выкладках излишне громоздких выражений, можно ввести следующие коэффициенты:

Уравнения (5) и (6) преобразуются в эквивалентную систему уравнений

Если среды линейные, т.е. $\mu = 0,$ система будет иметь нетривиальное решение при условии $f(\beta ,\omega ) \equiv ({{a}_{{11}}}{{a}_{{22}}} - {{a}_{{12}}}{{a}_{{21}}}) = 0,$ что приводит к дисперсионному соотношению для линейной поверхностной волны $\beta = \beta (\omega )$ или $\omega = \omega (\beta ).$ Надо отметить, что при $f(\beta ,\omega ) = 0$ правая часть уравнений (7) и (8) приводит опять к соотношению $f(\beta ,\omega ) = 0.$ Это означает, что в рассматриваемых приближениях линейные и нелинейные волны, описываемые уравнениями (7) и (8), имеют одно и то же дисперсионное соотношение.

Существует метод построения уравнения, отвечающего данному дисперсионному уравнению (см. например, в [15–17]). Если рассматривается квазигармоническая волна u(x, t) = = $\tilde {u}(x,t)\exp (i{{k}_{c}}x - i{{\omega }_{c}}t),$ где $\tilde {u}(x,t)$ – медленно меняющаяся по сравнению с несущей волной огибающая, то фурье-компоненты квазигармонической волны и ее огибающей связаны соотношением $\tilde {u}(k,\omega ) = u({{k}_{c}} + k,{{\omega }_{c}} + \omega ),$ при этом справедливы условия ${{k}_{c}} \gg k,$ ${{\omega }_{c}} \gg \omega ,$ которые отражают медленное изменение огибающей. Далее, если имеет место уравнение $f(k,\omega )u(k,\omega ) = h(k,\omega ;u),$ в котором $h$ – малое возмущение, то для $\tilde {u}(k,\omega )$ можно записать

Все производные в левой части этого выражения вычисляются в точке $({{k}_{c}},{{\omega }_{c}}),$ а многоточия обозначают более высокие порядки разложения по $k$ и $\omega .$ Необходимо использовать соотношение¹¹

справедливое в окрестности точки $({{k}_{c}},{{\omega }_{c}}).$ Замены $\omega $ на ${{i\partial } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\partial } {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}},$ $k$ на ${{ - i\partial } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\partial } {\partial z}}} \right. \kern-0em} {\partial z}}$ и $\tilde {u}(k,\omega )$ на $\tilde {u}(x,t)$ приводят к эволюционному уравнению для медленно меняющейся огибающей $\tilde {u}(x,t).$

Электрические поля поверхностной волны даются выражениями

где ${{\omega }_{c}}$ – частота несущей волны, ${{\beta }_{c}}$ – постоянная распространения несущей волны, а $\tilde {A}(z,t)$ и $\tilde {B}(z,t)$ – медленно меняющиеся огибающие поверхностной волны. Фурье-компоненты этих величин, $\tilde {A}(\beta ,\omega )$ и $\tilde {B}(\beta ,\omega ),$ связаны с фурье- компонентами полей $A$ и $B$, входящих в уравнения (3), (4) (и также в (7), (8)), соотношениями

Воспользовавшись уравнениями (7) и (8), можно записать для величин $\tilde {A}(\beta ,\omega )$ и $\tilde {B}(\beta ,\omega )$ систему уравнений

Если пренебречь дисперсией групповых скоростей второго порядка, то надо ограничиться первыми поправками по $\beta $ и $\omega .$ В этом случае можно получить систему эволюционных уравнений для медленно меняющихся огибающих $\tilde {A}(z,t)$ и $\tilde {B}(z,t)$ поверхностной волны (9):

где

Это система приближенных уравнений, при выводе которых существенно учитывалось, что волновые пакеты $\tilde {A}(z,t)$ и $\tilde {B}(z,t)$ настолько узкие, что дисперсия нелинейных слагаемых пренебрежимо мала. Обычно электромагнитные импульсы длительностью более сотен пикосекунд удовлетворяют этому условию. Другим ограничением является принятая модель нелинейной среды, которая использовалась в работах [18–20], посвященных нелинейным поверхностным волнам в обычных диэлектрических средах. Следует отметить, что эта система уравнений, имеет решение, которое описывает поверхностную волну с постоянной амплитудой, как в случае нелинейной моды, полученной в [12]. Слабая амплитудная модуляция этой волны не приводит к развитию неустойчивости данной волны.

СТАЦИОНАРНАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ВОЛНА

Если перейти к характеристическим независимым переменным $\zeta = {{{{(t - z} \mathord{\left/ {\vphantom {{(t - z} {{{v}_{g}}}}} \right. \kern-0em} {{{v}_{g}}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{(t - z} \mathord{\left/ {\vphantom {{(t - z} {{{v}_{g}}}}} \right. \kern-0em} {{{v}_{g}}}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и ξ = = ${{({{t + z} \mathord{\left/ {\vphantom {{t + z} {{{v}_{g}}}}} \right. \kern-0em} {{{v}_{g}}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{t + z} \mathord{\left/ {\vphantom {{t + z} {{{v}_{g}}}}} \right. \kern-0em} {{{v}_{g}}}})} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ то система уравнений (12), (13) примет следующий вид

Определяются вещественные переменные

и новая независимая переменная τ = = $({\mu \mathord{\left/ {\vphantom {\mu {\alpha {}_{{21}}}}} \right. \kern-0em} {\alpha {}_{{21}}}})\sqrt {{{\varepsilon }_{1}}{{\alpha }_{{12}}}{{\alpha }_{{21}}}} {\kern 1pt} \zeta .$ В новых переменных система уравнений (14) и (15) относительно комплексных величин распадается на четыре вещественных уравнения, из которых только три уравнения: для вещественных огибающих $a(\zeta ),$ $b(\zeta )$ и разности фаз $\Phi (\zeta ) = {{\varphi }_{2}}(\zeta ) - {{\varphi }_{1}}(\zeta ),$ являются существенными. Эти уравнения образуют следующую систему нелинейных уравнений

где введен параметр

Из уравнений (16) и (17) следует первый интеграл системы уравнений

Если умножить обе части уравнения (18) на $\sin \Phi $ и учесть (16) и (17), то можно получить второй интеграл движения

Два интеграла движения позволяют найти общее решение системы уравнений (16)–(18). Взяв в качестве начального условия при $\tau = 0$ значения полей $a(0) = {{a}_{0}}$ и $b(0) = 0,$ можно из общего решения системы уравнений получить

Других стационарных волн в рамках рассмотренного приближения нет. Надо заметить, что первый интеграл движения исключает существование уединенных волн с нулевыми асимптотиками. Волна, описываемая выражениями (19)–(21), представляет собой поверхностную волну, поляризация которой периодически меняется.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе были получены уравнения, описывающие эволюцию поверхностной волны на границе раздела нелинейного диэлектрика и топологического изолятора, который предполагался оптически линейной средой. Для описания нелинейных свойств диэлектрика использована модель Аграновича–Бабиченко–Черняка [18], в которой предполагается сильная анизотропия нелинейной восприимчивости третьего порядка. В пренебрежении дисперсией групповых скоростей второго (и выше) порядка найдено, что полученные уравнения имеют только периодическое в пространстве и времени стационарное решение. Это позволяет считать, что представленная в [11, 12] поверхностная волна с постоянной амплитудой электрического поля является устойчивой, но не асимптотически устойчивой волной. Проводя аналогию с гармоническим осциллятором или маятником, можно сказать, что статическая волна из [11, 12] отвечает положению равновесия (неподвижный маятник), тогда как представленные здесь волны отвечают малым колебаниям с постоянной амплитудой около положения равновесия.

Учет дисперсии групповых скоростей второго порядка может изменить характер поверхностной волны. Можно ожидать, что волны с постоянной амплитудой станут модуляционно неустойчивыми. Конкуренция дисперсии групповых скоростей и эффекта нелинейной компрессии часто приводит к образованию устойчивых уединенных волн. Изучение возможности образования уединенных поверхностных волн на границе раздела нелинейного диэлектрика и топологического изолятора и изучение характеристик таких волн может привести к развитию новых методов диагностики топологических материалов. Параметры, определяющие поведение периодических или уединенных поверхностных волн, зависят от топологических характеристик среды. Измерение их будет давать информацию об этих характеристиках.

Полученные решения (19)–(21) позволяют определить ${{T}_{0}}$ – период колебаний огибающей поверхностной волны, положив $a_{0}^{2}{{T}_{0}} = \pi .$ Результат имеет вид

Параметры$p$ и $q,$ определяющие как амплитуда поверхностной волны уменьшается с ростом поперечной координаты $x,$ связаны друг с другом и с $\kappa $ дисперсионным соотношением. Следовательно, период ${{T}_{0}}$ сложным образом зависит от $\theta $ – определяющей характеристики топологического изолятора. Измерение периода осцилляций огибающей (или поляризации) поверхностной волны даст информацию о величине $\theta $. Поскольку $\theta = 1 + 2n$ ($n$ – целое число), можно ожидать дискретный характер периода ${{T}_{0}}.$

Исследование выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-02-00921).