Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 2, стр. 207-209

Известно, что в природе существуют не только регулярные структуры типа кристаллических решеток, которые обычно описываются в физике твердого тела, но также встречается достаточно широко и другая их организация – фрактальная [1, 2]. Традиционно теория самоорганизации магнитных систем магнитных систем разрабатывается для регулярных структур (доменная структура), но фрактальные магнитные структуры в экспериментах также рассматриваются [3, 4]. Кроме того, наблюдаются динамические структуры, обладающие фрактальной симметрией, в магнитных системах под воздействием переменных магнитных полей [5, 6].

Согласно принципу наименьшей энергии, система намагниченных частиц в состоянии равновесия имеет ориентационную конфигурацию с наименьшей возможной энергией [7–9]. Тогда система, находящаяся в таком состоянии, будет наиболее устойчива [10–13]. Воспользовавшись принципом наименьшей энергии можно найти равновесное распределение ориентаций магнитных моментов системы, перебирая все возможные состояния и выбирая из них равновесное состояние с наименьшим значением энергии. В этой работе с использованием данного принципа выполнено математическое моделирование намагничивания двумерной дискретной системы взаимодействующих магнитных диполей внешним магнитным полем и фрактальных магнитных структур.

Пусть имеется система магнитных точечных диполей, расположенных на плоскости. Предположим, что каждый магнитный точечный диполь зафиксирован на плоскости в узлах квадратных ячеек с периодом $a$. Каждый точечный диполь в состоянии равновесия может ориентироваться только перпендикулярно плоскости. Таким образом, магнитный момент $i$-го диполя ${{\vec {p}}_{i}}$ может иметь только две проекции на координатную ось $Z,$ равные $ \pm p,$ где $p = \left| {{{{\vec {p}}}_{i}}} \right|.$

Вектор магнитной индукции ${{\vec {B}}_{{ij}}},$ наводимой $i$‑м диполем в точке расположения $j$-го диполя, может быть найден по формуле [14]:

В модели, предложенной в данной работе, дипольный момент ${{\vec {p}}_{i}}$ перпендикулярен плоскости $X0Y,$ поэтому ${{\vec {p}}_{i}}{{\vec {R}}_{{ij}}} = 0.$ Магнитное поле всех $n = {{n}_{x}} \cdot {{n}_{y}}$ диполей в точке местоположения $j$‑го диполя, будет равно [15]

Для магнитостатической энергии взаимодействия магнитных точечных диполей системы согласно (2) имеем

Если магнитные моменты находятся во внешнем магнитном поле с магнитной индукцией ${{\vec {B}}_{0}},$ направленной вдоль оси $Z,$ то энергия взаимодействия магнитных моментов с этим полем задается выражением

Представим суммарную магнитную энергию системы как

Характерную энергию взаимодействия двух ближайших магнитных точечных диполей ${{W}_{0}}$ определим как

Проведем нормирование суммарной магнитной энергии системы (5) на величину характерной энергии взаимодействия двух ближайших магнитных точечных диполей ${{W}_{0}},$ тогда для безразмерной энергии системы получим выражение

Нами выполнен численный расчет энергии $\varepsilon $ от параметра $\beta $ для всех возможных комбинаций ориентаций $n$ векторов ${{\vec {p}}_{i}}$ относительно координатной оси $Z.$ Проведен расчет зависимости средней нормированной проекции магнитного момента на ось $Z$ $M* = \frac{{\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{p}_{{{{i}_{z}}}}}} }}{{n \cdot p}}$ от внешнего магнитного поля ${{B}_{0}}.$

Далее проведено исследование перемагничивания магнитной структуры, обладающей фрактальной симметрией. В качестве основы для ее описания было взято канторово множество [1]. С математической точки зрения канторово множество формируется многократным (в пределе – бесконечным) последовательным делением отрезков за счет удаления их средней части (см. рис. 1). В нашем случае генерация фрактальной магнитной системы происходила после i-ой итерации процедуры деления: каждому полученному отрезку мы сопоставляли магнитный диполь, величина момента которого пропорциональна длине отрезка. В этом случае образуются 2ⁱ магнитных диполя. В качестве отправной точки для нашего исследования были взяты системы, полученные для i = 2 и i = 3, были рассчитаны их магнитные энергии, а также исследовано их перемагничивание внешним магнитным полем ${{B}_{0}}.$ На рис. 2 представлен результат сравнения процесса изменения намагниченности для i = 2 итераций формирования канторова множества от безразмерной напряженности внешнего магнитного поля $H* = \frac{{{{B}_{0}}4\pi {{a}^{3}}}}{{{{\mu }_{0}}p}}.$

Рис. 1.

Общий вид фрактальной структуры.

Рис. 2.

График зависимости средней нормированной проекции магнитного момента на ось Z для i = 2. Красной линией на рисунке для сравнения изображена перемагничеваемость линейной одномерной дипольной структуры.

На рис. 3 представлено изменение намагниченности для i = 3 итераций формирования канторова множества. Из рисунков видно, что имеется существенное различие в процессе перемагничивания системы с обычной линейной структурой от системы с фрактальной упорядоченностью: система с фрактальной упорядоченностью обладает существенно большей стабильностью.

Рис. 3.

График зависимости средней нормированной проекции магнитного момента на ось для i = 3.