Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 4, стр. 580-585

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы проводятся активные исследования короткодействующих нуклонных корреляций (КНК) в ядрах (см. обзор [1] и ссылки в нем). При этом под КНК понимается пара нуклонов с небольшим импульсом центра масс и большими (больше характерного импульса Ферми для тяжелых ядер ${{p}_{{\text{F}}}}$ = 250 МэВ · с^–1) противоположно направленными импульсами входящих в пару нуклонов ${{\vec {p}}_{1}} = - {{\vec {p}}_{2}}.$ Экспериментальное исследование КНК-пар с использованием электронных и протонных пучков показало, что такие корреляции существуют в ядрах, причем вероятность найти в ядре коррелированную np-пару примерно в 20 раз выше, чем вероятность обнаружить pp- или nn-пару [2]. Это доминирование pn-состояний в КНК-парах может быть связано с действием тензорных сил в спин-триплетной np-паре, отсутствующих в спин-синглетном ¹S₀-состоянии pp- и nn-пар. Результаты измерений показывают (см. [3] и ссылки там), что при достаточно больших относительных импульсах в паре ${{q}_{{rel}}} > {{p}_{{\text{F}}}}$ и небольших значениях импульса центра масс пары k_cm импульсное распределение КНК-пар в ядрах факторизуется в виде $n({{\vec {p}}_{1}},{{\vec {p}}_{2}})$ ≈ ${{C}_{A}}{{n}_{{cm}}}({{\vec {k}}_{{cm}}}){{n}_{{rel}}}({{\vec {q}}_{{rel}}}),$ где ${{n}_{{cm}}}({{\vec {k}}_{{cm}}})$ – распределение по импульсу центра масс ${{\vec {k}}_{{cm}}},$ а ${{n}_{{rel}}}({{\vec {q}}_{{rel}}})$ – распределение по внутреннему относительному импульсу в паре ${{\vec {q}}_{{rel}}}.$ Для широкого класса ядер от ⁴He до ²⁰⁸Pb распределение ${{n}_{{rel}}}({{\vec {q}}_{{rel}}})$ при $\left| {{{{\vec {q}}}_{{rel}}}} \right| \gg {{p}_{{\text{F}}}}$ и $\left| {{{{\vec {k}}}_{{cm}}}} \right| < \left| {{{{\vec {q}}}_{{rel}}}} \right|$ является универсальной функцией короткодействующей части NN-взаимодействия, близкой к квадрату волновой функции дейтрона c реалистическим NN-потенциалом, а параметр C_A плавно зависит от массового числа A. Экспериментальные данные об импульсном распределении ${{n}_{{cm}}}({{\vec {k}}_{{cm}}}),$ хорошо аппроксимируются трехмерным симметричным гауссианом с параметром σ = 140‒160 МэВ · с^–1 ([3]). Следует отметить, что, в отличие от реакций квазиупругого выбивания дейтронов (p, pd) [4], разрешение по энергии возбуждения остаточного ядра E* в этих экспериментах не позволяло отделить переходы на уровни с разрушенной и неразрушенной s-оболочкой, так как фактически энергия возбуждения находилась в интервале E* = = 0‒30 МэВ.

Новый эксперимент по исследованию КНК в ядре ¹²С выполнен на BM@N [5], и его результаты в настоящее время находятся в стадии обработки. Отличительной особенностью этого эксперимента является инверсная кинематика, в которой пучок ядер ¹²С с импульсом 4 ГэВ · с^–1 на нуклон падает на жидкую водородную мишень, что позволяет более надежно регистрировать ядерные фрагменты в конечном состоянии. Все три вылетающих нуклона в конечном состоянии этой реакции также регистрируются, при этом выбираются такие кинематические условия, когда выбиваемый из КНК-пары протон имеет достаточно большой начальный импульс в системе центра масс (СЦМ) пары >250 МэВ · с^–1, который приблизительно равен импульсу нуклона отдачи с противоположным знаком. Кроме того, c целью подавления эффектов схода с массовой поверхности в pp-рассеянии выбирается большой угол рассеяния внешнего протона на протоне из КНК в системе центра масс pp-пары, $\theta _{{cm}}^{{pp}}$ ~ $90^\circ \pm 30^\circ .$

Цель данной статьи дать разработку математического формализма для анализа обсуждаемой реакции ¹²С + p → p + p + N + ¹⁰A в простейшей модели импульсного приближения, отвечающей полюсным диаграммам (рис. 1). Для расчета амплитуды вероятности нахождения в ядре A NN-пары в заданном состоянии внутреннего движения при определенном внутреннем состоянии остаточного ядра A – 2 и определенном состоянии относительного движения центров масс пары и ядра A – 2 используется трансляционно-инвариантная модель оболочек (ТИМО) [6] с промежуточной связью [7]. Как известно [8], эта модель позволяет успешно описывать данные по реакциям квазиупругого выбивания кластеров и передачи кластеров. Учет короткодействующего характера корреляций в квазидейтронной NN-паре при больших значениях относительного импульса ${{q}_{{rel}}}$ осуществляется путем замены оболочечной функции NN-пары на реалистическую волновую функцию дейтрона. Далее, если не оговорено особо, под $\langle NN\rangle $-кластером при больших внутренних импульсах ${{q}_{{rel}}}$ понимается дейтрон. При больших значениях импульса ${{p}_{r}}$ нуклона отдачи, что соответствует большим значениям ${{q}_{{rel}}} \sim {{p}_{r}},$ важен учет релятивистских эффектов. Для этого в данной работе при расчете матричного элемента процесса p + $\langle NN\rangle $ → p + N + N используется динамика светового фронта. Поскольку выбивание нуклонных кластеров из внутренних оболочек подавлено взаимодействием в конечном состоянии, в данной работе мы ограничиваемся рассмотрением переходов на состояния ядра-остатка с неразрушенной s-оболочкой и, соответственно, c небольшими энергиями возбуждения этого ядра $E* \leqslant 5$ МэВ.

ЭЛЕМЕНТЫ ФОРМАЛИЗМА

Матричный элемент перехода, соответствующий фейнмановской диаграмме (рис. 1а), включает произведение трех множителей,

каждый из которых является релятивистским инвариантом и поэтому может быть вычислен в любой системе отсчета; здесь $M(A \to B + \langle NN\rangle $) – амплитуда виртуального распада ядра A на $\langle NN\rangle $-пару и ядро B в заданных внутренних состояниях и определенном состоянии относительного движения их центров масс; ${{\left( {p_{{\langle NN\rangle }}^{2} - m_{{\langle NN\rangle }}^{2} + i\varepsilon } \right)}^{{ - 1}}}$ – пропагатор NN-пары; ${{p}_{{\langle NN\rangle }}}$ (${{m}_{{\langle NN\rangle }}}$) – 4-импульс (масса) $\langle NN\rangle $-пары, $M(p\langle NN\rangle \to pNN)$ – амплитуда процесса выбивания нуклона из NN-пары внешним протоном. Амплитуда $M(A \to B + \langle NN\rangle $ в системе покоя ядра A может быть представлена в виде

где $S_{A}^{x}$ – спектроскопический фактор кластера x ($x = \langle NN\rangle $) в ядре $A,$

являющийся интегралом перекрывания полностью антисимметричной внутренней волновой функции ядра A, ${{\Psi }_{A}},$ и произведения внутренних волновых функций кластера x, ${{\Psi }_{x}},$ ядра-остатка B, ${{\Psi }_{B}},$ и волновой функции относительного движения центров масс кластера и ядра-остатка, ${{\Phi }_{{\nu \Lambda }}}\left( {{{{\vec {R}}}_{{A - x}}} - {{{\vec {R}}}_{x}}} \right).$ Комбинаторный фактор в выражении (3) учитывает тождественность нуклонов в формализме изоспина. B выражении (2) ${{\Phi }_{{{\nu }\Lambda {{M}_{\Lambda }}}}}({{\vec {k}}_{{cm}}})$ есть волновая функция относительного движения в канале $B + \langle NN\rangle $ в импульсном представлении в состоянии с числом осцилляторных квантов $\nu ,$ орбитальным моментом $\Lambda $ и его проекцией M_Λ; ${{\vec {k}}_{{cm}}}$ – относительный импульс, $\varepsilon _{A}^{{B + \langle NN\rangle }}$ – энергия связи, $\mu $ – приведенная масса в канале $B + \langle NN\rangle ;$ ${{m}_{j}}$ – масса ядра (кластера) $j$ ($j$ = $A,$ $B,$ $\langle NN\rangle $). Пропагатор NN-пары также вычисляется в системе покоя ядра A, при этом в выражении (1) он компенсируется с точностью до константы $2{{m}_{{\langle NN\rangle }}}$ множителем $\varepsilon _{A}^{{B + \langle NN\rangle }}$ + ${{p_{B}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{p_{B}^{2}} {2\mu }}} \right. \kern-0em} {2\mu }}$ из выражения (2).

Используя модель ТИМО [6] для ядерных волновых функций ${{\Psi }_{A}},$ ${{\Psi }_{B}},$ ${{\Psi }_{x}},$ получаем следующее выражение для амплитуды перехода (1):

Здесь использованы стандартные обозначения для коэффициентов Клебша–Гордана, коэффициентов Рака и 9j-символов группы вращений, а также генеалогические коэффициенты ТИМО $\left\langle {{A{{\alpha }_{i}}}} \mathrel{\left | {\vphantom {{A{{\alpha }_{i}}} {A - 2{{\alpha }_{f}},N\Lambda ;x}}} \right. \kern-0em} {{A - 2{{\alpha }_{f}},N\Lambda ;x}} \right\rangle $ и коэффициенты промежуточной связи для волновой функции начального $\left( {\alpha _{i}^{{A{{J}_{i}}{{T}_{i}}}}} \right)$ и конечного $\left( {\alpha _{f}^{{A - 2{{J}_{f}}{{T}_{f}}}}} \right)$ ядер; ${{L}_{j}},$ ${{S}_{j}},$ ${{J}_{j}},$ ${{T}_{j}}$ – орбитальный момент, спин, полный угловой момент и изоспин ядра (кластера) j соответственно, ($j = i$ для начального ядра A, $j = f$ для ядра-остатка B, $j = x$ для кластера x). Схема векторной связи угловых моментов в генеалогических коэффициентах в (4) имеет вид

Коэффициенты Рака и 9j-символы в выражении (4) осуществляют переход к схеме связи ${{\vec {L}}_{f}}$ + + ${{\vec {S}}_{f}} = {{\vec {J}}_{f}},$ ${{\vec {L}}_{0}} + {{\vec {S}}_{x}} = \vec {\bar {J}},$ ${{\vec {L}}_{i}} + {{\vec {S}}_{i}} = {{\vec {J}}_{i}},$ ${{\vec {J}}_{f}} + \vec {\bar {J}} = {{\vec {J}}_{i}}.$

Матричный элемент перехода $p\langle NN\rangle \to pNN,$ соответствующий фейнмановской диаграмме на рис. 1б, в системе бесконечного импульса NN-пары, что эквивалентно использованию динамики светового фронта, в бесспиновом приближении имеет вид [9]:

где переменные светового фронта ξ и ${{\vec {k}}_{ \bot }}$ определены через импульсы конечных частиц следующими соотношениями:

при этом в вершине $\langle NN\rangle \to {{p}_{{\text{r}}}} + {{p}_{N}}$ сохраняются “плюс"-компонента $p_{{\langle NN\rangle }}^{ + } = p_{N}^{ + } + p_{r}^{ + }$ и поперечная компонента ${{\vec {p}}_{{\langle NN\rangle \bot }}} = {{\vec {p}}_{{N \bot }}} + {{\vec {p}}_{{r \bot }}}$ импульса, при этом ось OZ направлена по импульсу начального протона в системе покоя центра масс NN-пары [9]. Для дейтронного кластера $\langle NN\rangle = d$ релятивистская волновая функция $\psi _{d}^{{{\text{LFD}}}}({{\vec {k}}_{ \bot }},\xi ) \equiv \psi _{d}^{{{\text{LFD}}}}(\vec {q})$ связана с нерелятивистской функцией дейтрона $\varphi _{d}^{{nr}}(\vec {q})$ соотношением $\psi _{d}^{{{\text{LFD}}}}(\vec {q})$ = $\sqrt {\varepsilon (\vec {q})} \varphi _{d}^{{nr}}(\vec {q}),$ где $\varepsilon (\vec {q})$ = $\sqrt {m_{N}^{2} + {{{\vec {q}}}^{2}}} .$ Модуль внутреннего импульса $\vec {q}$ определяется квадратом инвариантной массы pN-системы, образующейся при виртуальном распаде $\langle NN\rangle \to N + {{p}_{r}},$ $M_{{pN}}^{2} = \frac{{m_{N}^{2} + \vec {p}_{{N \bot }}^{2}}}{{\xi (1 - \xi )}},$ и связан с ней условием ${{M}_{{pN}}} = 2\varepsilon (\vec {q}),$ что дает ${{\vec {q}}^{2}} = {{M_{{pN}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{M_{{pN}}^{2}} {4 - m_{N}^{2}}}} \right. \kern-0em} {4 - m_{N}^{2}}}.$ Волновые функции $\varphi _{d}^{{nr}}(\vec {q})$ и ${{\Phi }_{{\nu \Lambda {{M}_{\Lambda }}}}}({{\vec {k}}_{B}})$ нормированы условиями:

Связь матричных элементов переходов ${{M}_{{fi}}}$ в выражениях (1), (4, 5) с соответствующими инвариантными сечениями реакций $a + b \to 1 + 2 + \cdots n$ дается выражением

где $I = \sqrt {{{{({{p}_{a}}{{p}_{b}})}}^{2}} - m_{a}^{2}m_{b}^{2}} $ – потоковый фактор, ${{p}_{j}}({{m}_{j}})$ – 4-импульс (масса) частицы $j;$ произведение по индексу $j$ в правой части выражения (8) проводится по значениям $j = 1, \cdots ,n.$ Распределение по импульсу ядра-остатка ${{\vec {p}}_{B}}$ и нуклона отдачи ${{\vec {p}}_{r}}$ может быть записано в виде где ${{\vec {q}}_{{12}}}$ – относительный импульс пары нуклонов ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$, ${{s}_{{12}}} = {{({{p}_{1}} + {{p}_{2}})}^{2}}$ –квадрат инвариантной массы этой пары, ${{E}_{r}}$$({{E}_{B}})$ – энергия нуклона ${{p}_{r}}$ (ядра-остатка B); $d{{\Omega }_{{{{{\vec {q}}}_{{12}}}}}}$ – элемент телесного угла в направлении импульса ${{\vec {q}}_{{12}}}.$

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Численные оценки выполнены здесь для реакции ¹²C(p, ppn)¹⁰B при энергии протона 4 ГэВ в системе покоя ¹²C с образованием ядра-остатка ¹⁰B в состояниях с небольшой энергией возбуждения $E* \leqslant 5$ МэВ, полным угловым моментом ${{J}_{f}}$ и изоспином ${{T}_{f}}.$ Рассмотрены переходы на состояния c ${{T}_{f}} = 0$ и ${{T}_{f}} = 1,$ приведенные в табл. 1. В волновую функцию основного состояния ядра ¹²C конфигурация ¹¹S со схемой Юнга [444] входит с амплитудой $\alpha _{i}^{{{{T}_{i}} = 0\,\,{{J}_{i}} = 0}}$ = 0.840, а конфигурация ¹³P [444] – c амплитудой $\alpha _{i}^{{{{T}_{i}} = 0\,\,{{J}_{i}} = 0}}$ = 0.492 [7]. Для приводимых здесь оценок мы используем только доминирующую конфигурацию ¹¹S [444]. При малых значениях импульса ядра-остатка (в системе покоя начального ядра ¹²C имеем ${{\vec {k}}_{{cm}}} = {{\vec {p}}_{B}}$) наибольшее сечение взаимодействия соответствует переходам на уровни $E{\text{*}}$ = 2.15 и 0.717 МэВ с ${{T}_{f}} = 0,$ допускающим значение орбитального момента $\Lambda $ = 0, при этом переход на уровень 1.74 МэВ с ${{T}_{f}} = 1$ подавлен примерно на порядок изоспиновым фактором. Переходы на остальные рассмотренные уровни с $\Lambda = $2 подавлены на несколько порядков величины, но при увеличении импульса ядра-остатка вклады этих уровней увеличиваются и при импульсе ${{p}_{B}}$ ~ 0.3 ГэВ · с^–1 становятся сравнимы c вкладами остальных уровней. Этот результат следует из того, что осцилляторные волновые функции относительного движения ${{\Phi }_{{\nu \Lambda {{M}_{\Lambda }}}}}({{\vec {p}}_{B}})$ для квантовых чисел $\nu \Lambda $ = 22 и 20 различаются поведением при малых ${{p}_{B}}{\text{:}}$ состояние $\nu \Lambda $ = 20 имеет максимум, а состояние $\nu \Lambda $ = 22 подавлено как $ \sim {\kern 1pt} p_{B}^{2}.$

Влияние релятивистских эффектов в процессе выбивания протона из КНК-пары видно на рис. 2 и 3. На рис. 2 приведен относительный импульс, вычисленный по нерелятивистским правилам (${{q}_{{nr}}},$ штриховая кривая) и по правилам динамики светового фронта (${{q}_{{{\text{LFD}}}}},$ сплошная линия) в зависимости от импульса нуклона-отдачи в лабораторной системе ${{p}_{r}}.$ Видно, что при малых значениях импульса нуклона отдачи ${{p}_{r}} \leqslant 0.2$ ГэВ · с^–1 разница между релятивистским и нерелятивистским расчетами пренебрежимо мала, но с ростом импульса ${{p}_{r}}$ различие существенно возрастает. Так, при ${{p}_{r}} \approx {{q}_{{nr}}}$ = 0.8 ГэВ · с^–1 имеем ${{q}_{{{\text{LFD}}}}} = 0.6$ ГэВ · с^–1, R = 2.8, а при ${{p}_{r}} \approx {{q}_{{nr}}}$ = 1 ГэВ · с^–1 – ${{q}_{{{\text{LFD}}}}} = 0.7$ ГэВ · · с^–1, $R \approx {{10}^{2}};$ здесь R – отношение квадрата волновой функции дейтрона при ${{q}_{{{\text{LFD}}}}}$ и ${{q}_{{nr}}},$ определенное следующим соотношением

Здесь u (w) – S (D)-компонента волновой функции дейтрона, ${{\vec {q}}_{{nr}}} = {{({{{\vec {p}}}_{N}} - {{{\vec {p}}}_{r}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{\vec {p}}}_{N}} - {{{\vec {p}}}_{r}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ = $ - {{\vec {p}}_{{\text{r}}}} - {{{{{\vec {p}}}_{B}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\vec {p}}}_{B}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ – нерелятивистский относительный импульс, где ${{\vec {p}}_{k}}$ $(k = r,N,B)$ – 3-импульс нуклона (ядра) в системе покоя исходного ядра. Расчет величины R выполнен для волновых функций дейтрона с разными моделями для NN-потенциала – парижским [10], боннским [11] и СD Bonn [12] и приведен на рис. 3. Из рисунка следует, что при значениях импульса нуклона отдачи ${{p}_{r}}$ меньше 0.4 ГэВ · с^–1 отношение R близко к единице, что указывает на незначительное влияние релятивистских эффектов в этой области, но при ${{p}_{r}}$ > 0.5‒1.0 ГэВ · с^–1R быстро возрастает с ростом ${{p}_{r}},$ достигая на границе этого интервала значений ~10‒10², и существенно зависит от типа потенциала NN-взаимодействия.

На рис. 4 приведены результаты расчета числа событий $N({{p}_{r}},{{\theta }_{1}})$ (в относительных единицах) для перехода на уровень 0.717 МэВ в зависимости от угла вылета рассеянного нуклона ${{\theta }_{1}}$ при разных значениях импульса нуклона-спектатора ${{p}_{r}}$ = = 0.5‒1.0 ГэВ · с^–1 для парижского (штриховая линия) и СD Bonn (сплошная) потенциалов NN-взаимодействия. Углы вылета нуклона-спектатора p_r и ядра-остатка в системе покоя ядра-мишени равны ${{\theta }_{r}} = 6^\circ ,$ ${{\varphi }_{r}} = 0,$ ${{\theta }_{B}} = 36^\circ ,$ ${{\varphi }_{B}} = 180^\circ $ соответственно; импульс ядра-остатка ${{p}_{B}}$ положен равным 1 МэВ · с^–1. Переходу на этот уровень соответствует S-волновая функция относительного движения центров масс NN-пары и ядра-остатка с квантовыми числами $\nu \Lambda = 20.$ Уменьшение скорости счета с ростом угла ${{\theta }_{1}}$ связано с ростом угла рассеяния $\theta _{{cm}}^{{pp}}$ в квазисвободном процессе $pN \to pN$ в верхней вершине полюсной диаграммы на рис. 1а от $ \approx {\kern 1pt} 30^\circ $ до $ \approx {\kern 1pt} 90^\circ $ и, соответственно, с уменьшением сечения свободного pp-рассеяния, которое берется из экспериментальных данных [13]. Из рисунка видно, что при больших импульсах ${{p}_{r}}$ > 0.7 ГэВ · с^–1 результат существенно зависит от типа NN-потенциала, изменяясь примерно в 2 раза при переходе от парижского потенциала [10] к модели CD Bonn [11]. Кроме того, при больших импульсах  p_r = 0.8‒1.0 ГэВ · с^–1, что эквивалентно большим значениям относительного импульса нуклонов в NN-паре ${{q}_{{{\text{LFD}}}}}$ ~ 0.6‒0.7 ГэВ · с^–1, величина сечения свободного pp-рассеяния существенно зависит от способа вывода амплитуды на массовую поверхность. А именно, угол pp-рассеяния $\theta _{{cm}}^{{pp}}$ при заданной инвариантной массе $\sqrt s $ можно вычислить либо по квадрату переданного 4-импульса $t = {{(p - {{p}_{1}})}^{2}},$ либо по $\bar {t} = {{({{p}_{N}} - {{p}_{2}})}^{2}}.$ Для рассеяния вне массовой поверхности эти значения различны, и различие тем больше, чем больше внутренний импульс ${{q}_{{{\text{LFD}}}}}.$ При ${{p}_{r}}$ = = 0.8‒1.0 ГэВ · с^–1 это приводит к различию в дифференциальном сечении pp-рассеяния с фактором ~2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В приближении плоских волн в работе развит формализм для расчета сечения реакции ¹²С + p → → p + p + N + ¹⁰A в предположении механизма квазиупругого выбивания нуклона протоном из коррелированной двухнуклонной пары. Развитый формализм может быть использован для описания реакций типа ¹²C(p, 3N)¹⁰A. Численные оценки показывают, что релятивистские эффекты во внутреннем движении нуклонов в коррелированной NN-паре становятся существенными при импульсе нуклона-отдачи (нуклона-спектатора) ${{p}_{r}} \geqslant 0.5$ ГэВ · с^–1. При таких значениях импульса${{p}_{r}}$ становится существенной зависимость сечения процесса от типа потенциала NN-взаимодействия на малых расстояниях. При этом в расчет вероятности подпроцесса $p + \langle NN\rangle \to p + N + N$ при ${{q}_{{rel}}} \geqslant 0.6$ ГэВ · с^–1 вносится неопределенность с фактором ~2, если квадрат амплитуды pN-рассеяния вне массовой поверхности заменяется в импульсном приближении дифференциальным сечением свободного упругого pN-рассеяния. Таким образом, получение данных о распределении по внутреннему импульсу ${{q}_{{rel}}}$ в КНК-парах при больших импульсах ${{q}_{{rel}}} \geqslant 0.6$ ГэВ · с^–1 является очень важной задачей, но представляет серьезную проблему даже в случае простейшего полюсного механизма реакции.

Автор признателен М. Пацюк и Э. Пиасецкому за обсуждение работы. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 18-02-40046).