1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 4, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 4, стр. 586-589

Изучение применимости квазиклассического подхода к трехтельным распадам

О. М. Сухарева 1, *, Л. В. Григоренко 2, Д. А. Костылева 3, М. В. Жуков 4

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Омский государственный технический университет”
Омск, Россия

2 Международная межправительственная организация Объединенный институт ядерных исследований, Лаборатория ядерных реакций имени Г.Н. Флёрова
Дубна, Россия

3 Центр по изучению тяжелых ионов имени Гельмгольца
Дармштадт, Германия

4 Технический университет Чалмерса
Гётеборг, Швеция

* E-mail: suhareva_om@mail.ru

Поступила в редакцию 30.10.2019
После доработки 25.11.2019
Принята к публикации 27.12.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Метод гиперсферических гармоник хорошо подходит для изучения истинно трехчастичных распадов. Редукция системы гиперсферических уравнений к одноканальному приближению дает возможность использовать стандартное квазиклассическое выражение для определения ширин резонансов. Мы показываем, что сам квазиклассический подход достаточно точен в приложении к трехчастичным эффективным потенциалам. Однако редукция до одного канала в результате приводит к значительной переоценке ширины распада.

ВВЕДЕНИЕ

Общепринятые методы определения ширин резонансных состояний, такие как зависимость упругого фазового сдвига от энергии или положение полюса S-матрицы в комплексной энергетической плоскости, могут оказаться технически сложными для очень малых ширин $\Gamma \ll E.$ Поэтому изучение таких радиоактивных распадов требует специфических методов определения ширин. Среди таких методов упомянем “естественное” определение ширины через волновую функцию с асимптотикой чистой выходящей волны [1], интегральные формулы типа Кадменского [2] и квазиклассический подход Гамова [3].

Гамовский подход в последние годы часто использовался для определения ширин трехчастичных распадов, например, в работах [3, 4]. Использование квазиклассического подхода требует сведения задачи трех тел к задаче о движении одной эффективной частицы в некотором (сильно деформированном) поле. Здесь необходимо обсуждать отдельно как саму справедливость усечения задачи до одночастичного подхода, так и применимость квазиклассического приближения для барьеров специфичной формы, характерных для физики нескольких тел.

ШИРИНА ДВУХПРОТОННОГО РАСПАДА ПЕРВОГО ВОЗБУЖДЕННОГО СОСТОЯНИЯ 17Ne 3/2–

В данной работе применимость гамовского приближения обсуждается на примере первого возбужденного состояния 17Ne 3/2–. Это ядро известно как испытывающее истинно двухпротонный распад [1, 5]. Примеров таких распадов среди легких ядер весьма немного. Двухпротонная ширина этого состояния важна для определения скорости захвата в астрофизической реакции радиоактивного захвата 15O + p + p → 17Ne + γ, дающей возможность обхода точки ожидания 15O [6, 7].

Теоретические расчеты этой ширины, представляемые разными научными группами в течение значительного промежутка времени, весьма противоречивы [2–4, 8]. Недавно эта спорная величина была заново оценена экспериментально [9] с полученным верхним пределом Γ < 8.8 ⋅ 10–13 МэВ.

В случае трехтельного распада, когда два протона испускаются одновременно, стандартное квазиклассическое приближение (ВКБ-приближение) требует обобщения. В методе гиперсферических гармоник (МГГ) движение такой системы может рассматриваться в определенном приближении как движение одной частицы массой M (масса нуклона) по гиперрадиусу ρ в поле эффективного потенциала ${{V}_{{eff}}}.$ Тогда интеграл Гамова по подбарьерной траектории может быть определен как

(1)
$\Gamma = {{\left( {2M\int\limits_{{{\rho }_{1}}}^{{{\rho }_{2}}} {\frac{{d\rho }}{p}} } \right)}^{{ - 1}}}\exp \left( {2i\int\limits_{{{\rho }_{2}}}^{{{\rho }_{3}}} {pd\rho } } \right),$
где $p(\rho ) = \sqrt {2M\left[ {{{E}_{T}} - {{V}_{{eff}}}(\rho )} \right]} $ – гиперимпульс, ${{\rho }_{1}},$ ${{\rho }_{2}}$ – внутренние и ${{\rho }_{3}}$ – внешняя классические точки поворота для потенциала ${{V}_{{eff}}}(\rho ).$

Существует несколько более сложный подход для определения ширин распадов, основанный на использовании интегральной формулы (иногда упоминаемой как формула Кадменского) [2], позволяющий решать уравнение Шрёдингера только для одной (резонансной) энергии. Его мы используем для перекрестной проверки результатов, полученных в квазиклассическом подходе. Ширина по интегральной формуле (ИФ) в простом случае определяется как

(2)
$\Gamma = \frac{{4M}}{k}{{\left| {\int\limits_0^{{{\rho }_{{in}}}} {{{F}_{l}}(k\rho )} \left( {{{V}_{{eff}}} - \bar {V}} \right){{{\tilde {\psi }}}_{l}}(k\rho )d\rho } \right|}^{2}},$
где k – импульс при энергии резонанса, ${{\rho }_{{in}}}$ – гиперрадиус, начиная с которого выполняется Veff – $\overline V \equiv 0,$ $\overline V = {{V}_{{{\text{Coul}}}}} + {{V}_{{cf}}}$ = ${{{{Z}_{{eff}}}\alpha } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{Z}_{{eff}}}\alpha } \rho }} \right. \kern-0em} \rho } + {{l(l + 1)} \mathord{\left/ {\vphantom {{l(l + 1)} {2M\rho }}} \right. \kern-0em} {2M\rho }},$ ${{F}_{l}}$ – регулярная в нуле кулоновская функция, ${{\tilde {\psi }}_{l}}(k\rho )$ – квазистационарная волновая функция, нормированная на единицу во “внутренней области” ${{\rho }_{{in}}}$ и полученная решением уравнения Шредингера с потенциалом ${{V}_{{eff}}}$ и квазистационарным граничным условием ${{\tilde {\psi }}_{l}}(k{{\rho }_{{in}}}) \sim {{G}_{l}}(k{{\rho }_{{in}}}),$ где ${{G}_{l}}$ – нерегулярная в нуле кулоновская функция. В МГГ эффективный угловой момент $l = K + {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ и для 17Ne 3/2– нужно использовать гипермомент $K \geqslant 2$ (т.к. это возбужденное состояние).

В первую очередь мы тестируем совпадение результатов, получаемых обоими методами, в широком диапазоне энергий на примере двухчастичных резонансов (с ядерным взаимодействием, описываемым потенциалом Вудса–Саксона). Результаты, показанные на рис. 1, позволяют заключить, что квазиклассическая формула достаточно точна сама по себе (расхождение с интегральной формулой от нескольких процентов до нескольких десятков процентов), причем точность повышается с увеличением барьера и с уменьшением энергии. Также нет проблем с использованием потенциалов с большими диффузностями, которые характерны для случая эффективных трехчастичных потенциалов.

Рис. 1.

Зависимость ширины распада от энергии двухчастичного резонанса. Черные линии – расчет в квазиклассическом приближении (1), серые – по интегральной формуле (2). а – Система 2n + 2n с параметрами ядерного потенциала ${{r}_{0}}$ = 4 фм и диффузностью a = 0.001 фм для следующих значений углового момента: 1 – l = 1, 2 – l = 2, 3 – l = 3; б – система 15F → → 14O + p с ${{r}_{0}}$ = 2.96 фм и a = 0.001 фм для 1 – l = 0, 2 – l = 1, 3 – l = 2; в – та же система 15F → 14O + p с ${{r}_{0}}$ = = 2.96 фм и угловым моментом l = 0 для следующих значений диффузности: 1 – a = 0.75 фм, 2 – a = 1.5 фм, 3 – a = 3.0 фм.

При использовании квазиклассического подхода для трехчастичных распадов необходимо сформировать эффективный потенциал в гиперсферическом пространстве, что можно сделать, например, в рамках метода гиперсферического адиабатического разложения (МГАР) [3, 4] или метода гиперсферических гармоник [10].

В работе [4], использующей МГАР, приведены результаты расчетов ширины двухпротонного распада состояния 17Ne 3/2– в ВКБ-приближении. Прежде всего, мы обнаружили, что не можем связать значения ширин, приведенные в [4], с кривыми потенциалов, представленными в этой работе, см рис. 2 и табл. 1. Наши квазиклассические расчеты и расчеты по интегральной формуле с теми же Veff хорошо согласуются друг с другом, но находятся в сильном противоречии с результатами, приведенными в [4]. Потенциал, приведенный как финальный результат этого исследования (сплошная черная кривая на рис. 2) дает для распада состояния 17Ne 3/2– (согласно нашим расчетам) значение ширины Γ = 6.3 ⋅ 10–12 МэВ. Эта величина на порядок превосходит недавний экспериментальный предел [9]. Все это позволяет сделать предположение об ошибочности либо результатов расчета ширин, либо эффективных потенциалов, приведенных в [4].

Рис. 2.

Эффективные одноканальные потенциалы для квазиклассических расчетов ширины двухпротонного распада состояния 17Ne 3/2–. Энергия двухпротонного распада ${{E}_{T}}$ = 0.34 МэВ показана горизонтальной штриховой линией. Серые линии – потенциалы, полученные диагонализацией матрицы потенциалов, рассчитанных в МГГ [2], для разных размеров базиса Kmax; черные линии – потенциалы, полученные в рамках МГАР [4]. Соответствующие размеры базиса (а также угловые моменты для МГАР) указаны на графике.

Таблица 1.  

Ширины состояния 17Ne 3/2– (в МэВ), приведенные авторами [4] и полученные нами с помощью уравнения (1) и (2) для гиперсферических адиабатических эффективных потенциалов Veff из [4]

  ${{K}_{{max}}} = 70,\;\,{{l}_{x}},{{l}_{y}} \leqslant 2$ ${{K}_{{max}}} = 70,\;\,{{l}_{x}},{{l}_{y}} \leqslant 9$ ${{K}_{{max}}} = 20,\;\,{{l}_{x}},{{l}_{y}} \leqslant 10$
[4] 3.6 ⋅ 10–12 1.7 ⋅ 10–14 5.4 ⋅ 10–16
ВКБ (1) 5.6 ⋅ 10–6 6.3 ⋅ 10–12 7.2 ⋅ 10–14
ИФ (2) 5.1 ⋅ 10–6 5.7 ⋅ 10–12 7.7 ⋅ 10–14

Чтобы исключить вариант ошибочного представления потенциалов в [4], мы провели собственные расчеты одноканальных эффективных потенциалов с помощью МГГ для различных размеров гиперсферического базиса. Полученные потенциалы также приведены на рис. 2. Несмотря на то, что эти потенциалы получены в рамках другого теоретического метода, имеются большие области совпадения с потенциалами из [4], и размер областей совпадения увеличивается с ростом размера гиперсферического базиса Kmax. Результаты расчета ширин по этим потенциалам для некоторых значений Kmax приведены в табл. 2. Колонка “Асимпт.” содержит величины, полученные возможными экстраполяциями к бесконечному базису. Значения ширин, вычисленные обоими способами (как ВКБ, так и ИФ), хорошо согласуются друг с другом, что позволяет сделать вывод о применимости квазиклассического подхода для потенциалов, форма которых характерна для трехчастичных взаимодействий.

Таблица 2.  

Ширина состояния 17Ne 3/2– в единицах 10–15 МэВ как функция размера гиперсферического базиса Kmax

Kmax 12 16 20 24 32 40 48 Асимпт.
ИФ (2) 14.1 27.0 49.9 81.7 171 285 420 1100
ВКБ (1) 9.83 21.8 42.2 71.0 151 251 369 971
МГГ [2] 0.91 1.32 1.70 2.15 3.04 3.86 4.55 6.90
Отношение ВКБ/МГГ 10.8 16.5 24.9 33.0 49.6 65.0 81.0 141

Однако, если мы посмотрим на результаты полностью динамических трехчастичных расчетов из работы [2], также приведенные в табл. 2, то увидим, что они дают существенно меньшие значения ширин. Видно, что результаты, полученные квазикласически с диагонализованными гиперсферическими потенциалами из [2], более чем на порядок превышают результаты полного трехчастичного расчета [2], выполненного динамически. Поэтому мы заключаем, что сведение задачи к одноканальному приближению приводит к значительному повышению ширины распада по сравнению с полностью динамическими трехчастичными расчетами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наши результаты показывают некорректность применения квазиклассического подхода для определения значений ширин двухпротонного распада состояния 17Ne 3/2–. Этот результат также ставит под вопрос правильность всех результатов, касающихся трехчастичных ширин, полученных в квазиклассическом приближении.

Работа частично поддержана РНФ (проект № 17-12-01367).

Список литературы

  1. Pfützner M., Karny M., Grigorenko L.V., Riisager K. // Rev. Mod. Phys. 2012. V. 84. P. 567.

  2. Grigorenko L.V., Zhukov M.V. // Phys. Rev. C. 2007. V. 76. Art. № 014008.

  3. Garrido E., Fedorov D., Jensen A. // Nucl. Phys. A. 2004. V. 733. P. 85.

  4. Garrido E., Jensen A., Fedorov D. // Phys. Rev. C. 2008. V. 78. Art. № 034004.

  5. Grigorenko L.V., Johnson R.C., Mukha I.G. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 22.

  6. Parfenova Y., Grigorenko L., Egorova I. et al. // Phys. Rev. C. 2008. V. 98. Art. № 034608.

  7. Görres J., Wiescher M., Thielemann F.-K. // Phys. Rev. C. 1995. V. 51. P. 392.

  8. Grigorenko L., Mukha I., Zhukov M. // Nucl. Phys. A. 2003. V. 713. № 3–4. P. 372.

  9. Sharov P.G., Fomichev A.S., Bezbakh A.A. et al. // Phys. Rev. C. 2017. V. 96. Art. № 025807.

  10. Grigorenko L.V., Wiser T.D., Mercurio K. et al. // Phys. Rev. C. 2009. V. 80. Art. № 034602.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал