Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 5, стр. 700-703

ВВЕДЕНИЕ

Для материалов полупроводниковой оптоэлектроники одним из наиболее информативных является катодолюминесцентное (КЛ) излучение, интенсивность $I$ которого на фиксированной длине волны пропорциональна концентрации $c\left( {M(x,y,z),t} \right)$ неравновесных неосновных носителей заряда (ННЗ) в точке $M(x,y,z)$ мишени в момент времени t [1]. Для стационарного случая облучения полупроводниковой мишени, реализующегося в стандартной методике КЛ измерений, можно считать, что

Здесь $\alpha $ – коэффициент поглощения монохроматического КЛ излучения в объеме полупроводника. В прямоугольной декартовой системе координат оси $x$ и $y$ обычно располагают на плоской поверхности мишени, а ось $z$ направляют вглубь полупроводника.

При использовании широкого электронного пучка для возбуждения КЛ излучения задача вычисления распределений генерированных электронами неравновесных ННЗ и интенсивности КЛ, возникающей при излучательной рекомбинации ННЗ, сводится к одномерной. В то же время даже для одномерной модели трудности реализации необходимых вычислений позволили моделировать КЛ лишь в двухслойных [2–4] и трехслойных [5] структурах.

В настоящей работе рассмотрены некоторые возможности использования аналитического матричного метода для моделирования распределений ННЗ в многослойных полупроводниковых структурах и обсуждены некоторые возможности использования полученных результатов для моделирования КЛ, возбуждаемой в таких структурах.

Изначально матричный метод, предлагаемый к рассмотрению для расчeтов КЛ, был описан применительно к задачам теплопроводности в составных пластинах в [6]. Он сводился к последовательному умножению функциональных матриц, описывающих процесс теплопроводности в рассматриваемых объектах. Однако для решения задач тепломассопереноса в многослойных средах он не получил распространения, возможно из-за того, что формулы аналитического решения получались исключительно сложными. Системы символьных вычислений в то время только начинали зарождаться и потому численные методы были предпочтительными. В частности, в [6] авторы указывают на ценность матричного метода, если использовать численные значения элементов матриц.

Ранее в наших работах аналитический матричный метод был применeн совместно с аппаратом обобщенных степеней Берса [7], что позволило успешно описать в единой форме процесс тепломассопереноса в многослойных средах с различной геометрией (плоских, осесимметричных и слоев с центральной симметрией) [8–10]. Отметим, что как численный, матричный метод применялся ранее для нахождения распределений ННЗ, генерированных широким электронным пучком, после их диффузии в однородном полупроводнике [11].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В случае одномерной диффузии в конечный полупроводник вдоль оси ОZ, перпендикулярной поверхности n-слойной полупроводниковой структуры $\left( {z \in \left[ {0,l} \right]} \right),$ распределение ННЗ по глубине находится как решение дифференциального уравнения

с граничными условиями

Верхний индекс в скобках указывает номер слоя. Для многослойной структуры обозначим: ${{z}_{1}} = 0,$ ${{z}_{{n + 1}}} = l$ – внешние границы полупроводника, ${{z}_{2}},{{z}_{3}},...,{{z}_{n}}$ – координаты границ раздела слоёв; ${{D}^{{(i)}}},$ ${{L}^{{(i)}}},$ ${{\tau }^{{(i)}}}$ – электрофизические параметры: коэффициент диффузии, диффузионная длина и время жизни ННЗ в i-м слое соответственно, при этом ${{L}^{{(i)}}} = \sqrt {{{D}^{{(i)}}}{{\tau }^{{(i)}}}} .$ На границах полупроводника (при $z = 0$ и при $z = l$) приведенные скорости поверхностной рекомбинации ${{S}^{{(1)}}} = {{{{L}^{{(1)}}}\nu _{s}^{{(1)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}^{{(1)}}}\nu _{s}^{{(1)}}} {{{D}^{{(1)}}}}}} \right. \kern-0em} {{{D}^{{(1)}}}}},$ ${{S}^{{(n)}}} = {{{{L}^{{(n)}}}\nu _{s}^{{(n)}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{L}^{{(n)}}}\nu _{s}^{{(n)}}} {{{D}^{{(n)}}}}}} \right. \kern-0em} {{{D}^{{(n)}}}}},$ где $\nu _{s}^{{(1)}}$ и $\nu _{s}^{{(n)}}$ – скорости поверхностной рекомбинации ННЗ в первом и n-ом слоях соответственно. Функция $\Delta {{p}^{{(i)}}}\left( z \right)$ описывает распределение по глубине в i-м слое неравновесных ННЗ, генерированных внешним энергетическим воздействием, после их диффузии в полупроводнике. Функция ${{\rho }^{{(i)}}}\left( z \right)$ – зависимость от координаты плотности ННЗ, генерированных электронным пучком в полупроводниковой мишени до их диффузии. Для широкого электронного пучка ${{\rho }^{{(i)}}}\left( z \right)$ может быть найдена из выражения для плотности энергии электронного пучка ${{\rho }^{{ * (i)}}}\left( z \right),$ выделяемой в мишени в единицу времени до начала процесса диффузии [12–14].

АЛГОРИТМ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ

Введем вектор-столбцы V, W и матрицу K на каждом слое [8–11]:

где ${{J}^{{(i)}}}(z) = - {{D}^{{(i)}}}\Delta {{p}^{{(i)}}}(z)$ – поток, ${{w}^{{(i)}}}(z)$ – некоторое частное решение уравнения (1) для i-го слоя. Тогда решение уравнения (1) для i-го слоя при известных $\Delta {{p}^{{(i)}}}({{z}_{i}})$ и ${{J}^{{(i)}}}({{z}_{i}})$ имеет вид

Применяя с первого слоя последовательно формулу (3) и, считая контакт слоeв идеальным, т.е. ${{V}^{{(i)}}}({{z}_{{i + 1}}})$ = ${{V}^{{(i + 1)}}}({{z}_{{i + 1}}}),$ получим

где ${{W}^{{(0)}}}({{z}_{1}}) = 0,$ ${{L}^{{(i,k)}}}(z,{{z}_{j}})$ = ${{K}^{{(i)}}}(z,{{z}_{i}}){{K}^{{(i - 1)}}}({{z}_{i}},{{z}_{{i - 1}}})...$ …${{K}^{{(k)}}}({{z}_{{k + 1}}},{{z}_{k}}),$ ${\text{ }}i \geqslant k,$ ${{z}_{i}} \leqslant z \leqslant {{z}_{{i + 1}}}.$

В конечной точке системы слоeв согласно (4) получим

Формула (5) связывает значения потенциала $\Delta {{p}^{{(i)}}}(z)$ и потока ${{J}^{{(i)}}}(z)$ в первой и последней точке системы слоев, что позволяет в общем случае сводить решение краевой задачи первого, второго или третьего типа при любом конечном числе слоев к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, после чего рассчитывается КЛ от многослойной структуры.

Отметим, что для аналитического решения рассматриваемой задачи диффузии ННЗ в многослойной среде необходимо знать частное решение уравнения (1). В случае, если частное решение найти не удается или оно имеет очень сложный вид, можно по данному алгоритму получить приближенное решение задачи (1), (2), аппроксимировав правую часть, например линейными функциями [11].

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Некоторые возможности предлагаемого метода показаны на рис. 1–3. На рис. 1 представлены результаты расчeтов по глубине относительных величин плотности потерь энергии электронами пучка, рассчитанные для однородных монокристаллических ${\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}$ (кривая 1) и CdTe (кривая 2) при энергии электронов пучка 20 кэВ. На рис. 2 представлены распределения ННЗ, генерированных электронным пучком в двухслойной полупроводниковой структуре ${{{\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}} {{\text{CdTe}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{CdTe}}}}$ толщиной 0.4 мкм (0.1 мкм – ${\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}$ и 0.3 мкм – CdTe) для различных энергий электронов пучка: 5 (кривая 1), 10 (2), 15 (3), 20 (4), 25 (5) и 30 кэВ (6). Расчеты проведены для электрофизических параметров, характерных для твeрдого раствора кадмий-ртуть-теллур (КРТ). Результаты расчeтов аналитическим методом и численным методом конечных разностей практически совпадают и потому на рисунке не выделены. На рис. 3 представлены зависимости интенсивности монохроматической КЛ твердого раствора ${\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}$ толщиной 0.1 мкм двухслойной структуры ${{{\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{C}}{{{\text{d}}}_{{{\text{0}}{\text{.2}}}}}{\text{H}}{{{\text{g}}}_{{{\text{0}}{\text{.8}}}}}{\text{Te}}} {{\text{CdTe}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{CdTe}}}}$ от энергии электронов пучка для различных коэффициентов поглощения в плeнке КРТ: 10 (кривая 2) и 10⁴ см^–1 (кривая 1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Описаны результаты изучения возможностей приложения аналитического матричного метода к моделированию КЛ, обусловленной широким электронным пучком в планарной многослойной полупроводниковой структуре с произвольным числом слоев. Предложенный матричный метод позволяет проводить расчеты распределений неравновесных неосновных носителей заряда и монохроматической КЛ с точностью, достаточной для практического использования в электронно-зондовых технологиях.

Исследования проведены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 19-03-00271), а также РФФИ и правительства Калужской области (проект № 18-41-400001).