1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 84, № 5, 2020

Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 5, стр. 695-698

Явные решения аналогов временных уравнений Шрёдингера c гамильтоновой системой Н4+1

В. А. Павленко 1, 2, Б. И. Сулейманов 3, *

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования “Башкирский государственный аграрный университет”
Уфа, Россия

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования “Башкирский государственный университет”,
Уфа, Россия

3 Институт математики с вычислительным центром – обособленное структурное подразделение Федерального государственного бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Уфа, Россия

* E-mail: bisul@mail.ru

Поступила в редакцию 28.11.2019
После доработки 19.12.2019
Принята к публикации 27.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Строятся совместные решения двух аналогов временных уравнений Шрёдингера, определяемых гамильтонианами ${{H}_{{{{s}_{k}}}}}\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}},{{q}_{1}},{{q}_{2}},{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$ $\left( {k = 1,~2} \right)$ гамильтоновой системы ${{H}^{{4 + 1}}},$ являющейся представителем известной иерархии вырождений системы Гарнье, описанной Х. Кимурой в 1986 г.

Настоящая статья продолжает серию исследований [1–3], в которых построены cовместные решения пар эволюционных уравнений вида

(1)
$\varepsilon \frac{{\partial {\Psi }}}{{\partial {{s}_{k}}}} = {{H}_{{{{s}_{k}}}}}\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}},r,\rho ,--\varepsilon \frac{\partial }{{\partial r}},--\varepsilon \frac{\partial }{{\partial \rho }}} \right){\Psi }\left( {k = 1,2} \right),$
где $\varepsilon $ – вещественные постоянные, а дифференциальные операторы правых частей соответствуют гамильтонианам ${{H}_{{{{s}_{k}}}}}\left( {{{s}_{1}},{{s}_{2}},{{q}_{1}},{{q}_{2}},{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right)$ совместных систем гамильтоновых обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

(2)
$\begin{gathered} \left( {{{q}_{j}}} \right)_{{{{s}_{k}}}}^{'} = \left( {{{H}_{{{{s}_{k}}}}}} \right)_{{{{p}_{j}}}}^{'},\,\,\,\,\left( {{{p}_{j}}} \right)_{{{{s}_{k}}}}^{'} = \\ = \left( {{{H}_{{{{s}_{k}}}}}} \right)_{{{{q}_{j}}}}^{'}\,\,\,\,\left( {k = 1,~2} \right)\left( {j = 1,~2} \right) \\ \end{gathered} $

иерархии изомонодромных вырождений системы Гарнье из [4]. Данные эволюционные уравнения из временных уравнений Шредингера возникают при формальной замене постоянной Планка $h$ чисто мнимым числом $ - 2\pi i\varepsilon .$

В представленной работе решения пар аналогов временных уравнений Шрёдингера вида (1), схожие по своим свойствам с решениями из [1‒3] и [5], строятся для представителя иерархии изомонодромных вырождений системы Гарнье из первоначального списка Х. Кимуры, которая в терминологии [4] называется гамильтоновой системой ${{H}^{{4 + 1}}}.$ При построении этих решений (1) важную роль играет выписываемая ниже замена (15). Подобная замена применялась в [1–3, 5] и ранее, в других целях, в [10].

Решения гамильтоновой системы ${{H}^{{4 + 1}}}$ выражаются через совместные решения расщепленного нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)

(3)
$i{{p}_{t}} + {{p}_{{xx}}}--8{{p}^{2}}q = 0,\,\,\,\,i{{q}_{t}}--{{q}_{{xx}}} + 8p{{q}^{2}} = 0,$

и системы ОДУ

(4)
$\begin{gathered} i\beta {{q}_{{xxx}}}--8t{{q}_{{xx}}} + 64tp{{q}^{2}}--24i\beta pq{{q}_{x}}-- \\ - \,\,4iq--4ix{{q}_{x}} + 8i\gamma q = 0, \\ \end{gathered} $
(5)
$\begin{gathered} i\beta {{p}_{{xxx}}} + 8t{{p}_{{xx}}}--64t{{p}^{2}}q--24i\beta pq{{p}_{x}}-- \\ - \,\,4ip--4ix{{p}_{x}}--8i\gamma p = 0. \\ \end{gathered} $

(Согласно [6], среди решений (3)–(5) вероятно находится семейство решений НУШ –ipt = pxx + + 2δ|p|2p, которое было описано в [7]).

Совместные решения (3)–(5) относятся к классу изомонодромных [8] решений расщепленного НУШ (3), так как на них линейные уравнения

(6)
$\begin{gathered} {{{\Psi }}_{x}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {--i\lambda }&{2ip} \\ {--2iq}&{i\lambda } \end{array}} \right){\Psi }, \\ {{{\Psi }}_{t}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {--2i{{\lambda }^{2}}--4ipq}&{4i\lambda p--2{{p}_{x}}} \\ {--4i\lambda q--2{{q}_{x}}}&{2i{{\lambda }^{2}} + 4ipq} \end{array}} \right){\Psi ,} \\ \end{gathered} $

совместны также с линейной системой ОДУ

(7)
${{{\Psi }}_{{\lambda }}} = {{{\lambda }}^{2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {--i\beta }&0 \\ 0&{i\beta } \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {--4it}&{2i\beta p} \\ {--2i\beta q}&{4it} \end{array}} \right) + \,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {--2i\beta pq--ix}&{8itp--\beta {{p}_{x}}} \\ {--8itq--\beta {{q}_{x}}}&{2i\beta pq + ix} \end{array}} \right) + \frac{1}{\lambda }{{A}_{3}},$
где

${{A}_{3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {--\beta p{{q}_{x}} + \beta {{p}_{x}}q--8itpq + \gamma }&{--\frac{{i\beta {{p}_{{xx}}}}}{2}--4t{{p}_{x}} + 2ixp + 4i\beta {{p}^{2}}q} \\ {\frac{{i\beta {{q}_{{xx}}}}}{2}--4t{{q}_{x}}--2ixq--4i\beta p{{q}^{2}}}&{\beta p{{q}_{x}}--\beta {{p}_{x}}q + 8itpq--\gamma } \end{array}} \right).$

Определитель матрицы-коэффициента ${{A}_{3}}$ постоянен: ${\text{Det}}{{A}_{3}} = --\frac{{k_{0}^{2}--1}}{4}.$

В статье [4] система ${{H}^{{4 + 1}}}$ представлена в двух видах:

1) в виде пары совместных между собой изомонодромных гамильтоновых систем (2) с гамильтонианами

(8)
$\begin{gathered} {{H}_{1}} = {{K}_{1}} = \frac{{{{\lambda }_{1}}}}{{{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}}}\mu _{1}^{2}--\frac{{{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}}}\mu _{2}^{2}-- \\ - \,\,\frac{1}{{{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}}}\left( {\lambda _{1}^{3} + {{t}_{2}}\lambda _{1}^{2} + {{t}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{\kappa }_{0}}} \right){{\mu }_{1}} + \\ + \,\,\frac{1}{{{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}}}\left( {\lambda _{2}^{3} + {{t}_{2}}\lambda _{2}^{2} + {{t}_{1}}{{\lambda }_{2}} + {{\kappa }_{0}}} \right){{\mu }_{2}} + \\ + \,\,{{\kappa }_{\infty }}\left( {{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}}} \right), \\ \end{gathered} $
(9)
$\begin{gathered} {{H}_{2}} = {{K}_{2}} = \frac{{\left( {{{\lambda }_{1}} + {{t}_{2}}} \right)\left( {{{\lambda }_{2}}\mu _{2}^{2}--{{\lambda }_{1}}\mu _{1}^{2}} \right)}}{{2\left( {{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}} \right)}} + \frac{{{{\lambda }_{2}} + {{t}_{2}}}}{{2\left( {{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left( {\lambda _{1}^{3} + {{t}_{2}}\lambda _{1}^{2} + {{t}_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{\kappa }_{0}}--\frac{{{{\lambda }_{1}}}}{{{{\lambda }_{2}} + {{t}_{2}}}}} \right){{\mu }_{1}}-- \\ - \,\,\frac{{{{\lambda }_{1}} + {{t}_{2}}}}{{2\left( {{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}} \right)}}\left( {\lambda _{2}^{3} + {{t}_{2}}\lambda _{2}^{2} + {{t}_{1}}{{\lambda }_{2}} + {{\kappa }_{0}}--\frac{{{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}} + {{t}_{2}}}}} \right) \times \\ \times \,\,{{\mu }_{2}} + \frac{{{{\kappa }_{\infty }}}}{2}\left( {{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} + {{t}_{2}}\left( {{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}}} \right)} \right),~ \\ \end{gathered} $

с координатами ${{q}_{i}} = {{\lambda }_{i}},$ импульсами ${{p}_{i}} = {{\mu }_{i}}$ и временами ${{s}_{i}} = {{t}_{i}};$

2) в виде пары совместных гамильтоновых систем с гамильтонианами

(10)
$\begin{gathered} {{H}_{1}} = p_{1}^{2}--2{{s}_{2}}{{p}_{1}}{{p}_{2}}--\left( {{{q}_{2}} + {{s}_{2}}{{q}_{1}} + {{s}_{1}}--\frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right)p_{2}^{2}-- \\ - \,\,\left( {{{q}_{1}}\left( {{{q}_{1}} + {{s}_{2}}} \right)--{{q}_{2}}} \right){{p}_{1}}-- \\ - \,\,\left( {{{q}_{1}}{{q}_{2}} + \left( {{{s}_{1}}--\frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right){{q}_{1}} + {{s}_{2}}{{q}_{2}} + 1--{{\kappa }_{0}}} \right){{p}_{2}} + {{\kappa }_{\infty }}{{q}_{1}}, \\ \end{gathered} $
(11)
$\begin{gathered} {{H}_{2}} = --{{s}_{2}}p_{1}^{2}--2\left( {{{q}_{2}} + {{s}_{2}}{{q}_{1}} + {{s}_{1}}--\frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right){{p}_{1}}{{p}_{2}}-- \\ - \,\,\left( {\left( {{{q}_{1}}--{{s}_{2}}} \right)\left( {{{q}_{2}} + {{s}_{2}}{{q}_{1}} + {{s}_{1}} + \frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right)--s_{2}^{3}} \right)p_{2}^{2}-- \\ - \,\,\left( {{{q}_{1}}{{q}_{2}} + \left( {{{s}_{1}}--\frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right){{q}_{1}} + {{s}_{2}}{{q}_{2}} + 1--{{\kappa }_{0}}} \right){{p}_{1}}-- \\ - \,\,\left( {q_{2}^{2}--\left( {{{\kappa }_{0}}--1 + {{s}_{2}}\left( {{{s}_{1}}--\frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right)} \right){{q}_{1}} + \left( {{{s}_{1}}--\frac{{s_{2}^{2}}}{2}} \right){{q}_{2}}} \right) \times \\ \times \,\,{{p}_{2}} + {{\kappa }_{\infty }}{{q}_{2}}. \\ \end{gathered} $

В [4] приведено преобразование, связывающее эти две системы:

(12)
$\begin{gathered} {{q}_{1}} = {{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} + {{t}_{2}}, \\ {{q}_{2}} = {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} + \frac{{{{t}_{2}}}}{2}\left( {{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} + {{t}_{2}}} \right)--{{t}_{1}}, \\ {{s}_{1}} = {{t}_{1}}--\frac{{{{t}^{2}}}}{2},\,\,\,{{s}_{2}} = --\frac{{{{t}_{2}}}}{2}. \\ \end{gathered} $

А в [9] приведено еще одно представление системы ${{H}^{{4 + 1}}}$ в виде пары совместных гамильтоновых систем (2) с временами ${{s}_{i}} = {{y}_{i}},$ координатами ${{q}_{i}} = {{Q}_{i}},$ импульсами ${{p}_{i}} = {{P}_{i}}$ и гамильтонианами

(13)
$\begin{gathered} {{H}_{1}} = {{{\Lambda }}_{1}} = P_{1}^{2}--\left( {{{Q}_{1}} + {{y}_{1}}} \right){{p}_{1}} + \theta _{1}^{\infty }{{Q}_{1}} + \\ + \,\,{{P}_{2}}{{Q}_{2}}\left( {{{Q}_{1}}--{{Q}_{2}} + {{y}_{2}}} \right) + {{P}_{1}}{{P}_{2}} + {{\theta }^{0}}{{Q}_{2}}, \\ \end{gathered} $
(14)
$\begin{gathered} {{H}_{2}} = {{{\Lambda }}_{2}} = --P_{2}^{2}{{Q}_{2}}--{{y}_{2}}{{P}_{2}}Q_{2}^{2} + y_{2}^{2}{{P}_{2}}{{Q}_{2}} + \\ + \,\,{{\theta }^{0}}{{T}_{2}}{{Q}_{2}}--\theta _{1}^{\infty }{{P}_{2}} + {{P}_{1}}{{P}_{2}}\left( {{{Q}_{1}}--2{{Q}_{2}} + {{y}_{2}}} \right) + \\ + \,\,{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}\left( {{{P}_{2}}{{Q}_{2}}--{{\theta }^{0}}} \right) + {{\theta }^{0}}{{P}_{1}} + {{y}_{1}}{{P}_{2}}{{Q}_{2}}. \\ \end{gathered} $

Для соответствующих гамильтоновых систем ОДУ (2) в [9] выписаны три линейных ОДУ, для которых эти гамильтоновы системы являются условием совместности. Выписанная выше совместная система линейных ОДУ (6), (7) легко сводится к данной системе трех линейных ОДУ из [8]. В результате этого сведения устанавливается возможность явного выражения ${{P}_{i}}$ и ${{Q}_{i}}$ через совместные решения $p(x,t),$ $q(x,t)$ уравнений (3)–(5).

Гамильтоновы системы с гамильтонианами (8), (9) и (13), (14) связаны друг с другом каноническим преобразованием (мы благодарим Х. Каваками за личное сообщение, в котором он указал это преобразование)

$\begin{gathered} {{Q}_{1}} = --{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}--\frac{{{{t}_{2}}}}{2}, \\ ~{{P}_{1}} = \frac{{\lambda _{1}^{3}--\lambda _{2}^{3}--{{\mu }_{1}}{{\lambda }_{1}} + {{\mu }_{2}}{{\lambda }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}}} + {{t}_{1}} + \\ + \,\,\left( {{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}}} \right){{t}_{2}},\,\,\,\,{{y}_{1}} = {{t}_{1}}--\frac{{t_{2}^{2}}}{4}, \\ {{Q}_{2}} = \frac{{{{\kappa }_{0}}}}{{{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}}}--{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}--{{t}_{2}} + \frac{{{{\mu }_{1}}--{{\mu }_{2}}}}{{{{\lambda }_{1}}--{{\lambda }_{2}}}}, \\ {{P}_{2}} = {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}},\,\,\,\,{{y}_{2}} = --\frac{{{{t}_{2}}}}{2}. \\ \end{gathered} $

Сделаем замены

$\begin{gathered} \beta = \frac{i}{{2k_{1}^{3}}},\,\,\,\,\gamma = \frac{{{{\kappa }_{0}} + 1}}{2},\,\,\,\,\zeta = {{k}_{1}}r, \\ \eta = {{k}_{1}}\rho ,\,\,\,\,x = \beta k_{1}^{2}{{t}_{1}},\,\,\,\,t = \frac{{\beta {{k}_{1}}{{t}_{2}}}}{4}, \\ \end{gathered} $

и по фундаментальным совместным решениям ОДУ (6), (7) образуем матрицу

(15)
$\begin{gathered} {\Psi } = {{\left( {r--\rho } \right)}^{{--1}}}{{\left( {r\rho } \right)}^{{\frac{{1--{{{\kappa }}_{0}}}}{2}}}}{{e}^{{S\left( {x,t} \right)--f\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}},r,{\rho }} \right)}}}{{{\Phi }}^{{--1}}} \times \\ \times \,\,\left( {x,t,\eta } \right){\Phi }\left( {x,t,\zeta } \right), \\ \end{gathered} $
где

$\begin{gathered} f\left( {{{t}_{1}},{{t}_{2}},r,\rho } \right) = \frac{{t_{1}^{3}}}{{12}} + \frac{{{{\kappa }_{0}} + 1}}{4}{{t}_{1}}{{t}_{2}} + \frac{{{{r}^{3}} + {{\rho }^{3}}}}{6} + \\ + \,\,\frac{{{{t}_{2}}\left( {{{r}^{2}} + {{\rho }^{2}}} \right)}}{4} + \frac{{{{t}_{1}}\left( {r + \rho } \right)}}{2}, \\ \end{gathered} $

а функция S удовлетворяет равенствам (${{A}_{{k,ij}}}$ – элементы матриц ${{A}_{k}}$)

$\begin{gathered} {{S}_{x}} = --\frac{1}{\beta }\left( {{{{\left( {{{A}_{{2,11}}}} \right)}}^{2}} + {{A}_{{2,12}}}{{A}_{{2,21}}}--8it{{A}_{{3,11}}}--} \right. \\ \left. { - \,\,2i\beta q{{A}_{{3,12}}} + 2i\beta p{{A}_{{3,21}}}} \right),\,\,\,\,{{S}_{t}} = --\frac{2}{\beta } \times \\ \times \,\,\left( {--2{{A}_{{3,11}}}{{A}_{{2,11}}} + {{A}_{{3,12}}}{{A}_{{2,21}}} + {{A}_{{3,12}}}{{A}_{{2,12}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{8t}}{{{{\beta }^{2}}}}\left( {{{{\left( {{{A}_{{2,11}}}} \right)}}^{2}} + {{A}_{{2,12}}}{{A}_{{2,21}}} + 4it{{A}_{{3,11}}}--} \right. \\ \left. { - \,\,2i\beta q{{A}_{{3,12}}} + 2i\beta {{A}_{{3,21}}}} \right) + \frac{{8t{{x}^{2}}}}{{{{\beta }^{2}}}} + \frac{{4i\gamma x}}{\beta }. \\ \end{gathered} $

Матрица ${\Psi }$ есть совместное решение пары эволюционных уравнений

(16)
$\begin{gathered} \left( {r--\rho } \right){{{\Psi }}_{{{{t}_{1}}}}} = r{{{\Psi }}_{{rr}}}--\rho {{{\Psi }}_{{{\rho \rho }}}} + \\ + \,\,\left( {{{r}^{3}} + {{t}_{2}}{{r}^{2}} + {{t}_{1}}r + {{\kappa }_{0}}} \right){{{\Psi }}_{r}}-- \\ - \,\,\left( {{{\rho }^{3}} + {{t}_{2}}{{\rho }^{2}} + {{t}_{1}}\rho + {{\kappa }_{0}}} \right){{{\Psi }}_{{\rho }}} + \,{{\kappa }_{\infty }}\left( {{{r}^{2}} - {{\rho }^{2}}} \right)\Psi , \\ \end{gathered} $
(17)
$\begin{gathered} 2\left( {r--\rho } \right){{{\Psi }}_{{{{t}_{2}}}}} = --r\left( {\rho + {{t}_{2}}} \right){{{\Psi }}_{{rr}}} + \rho \left( {r + {{t}_{2}}} \right){{{\Psi }}_{{{\rho \rho }}}} + \\ + \,\,\left( {\left( {\rho + {{t}_{2}}} \right)\left( {{{r}^{3}} + {{t}_{2}}{{r}^{2}} + {{t}_{1}}r + {{\kappa }_{0}}} \right)--1} \right){{{\Psi }}_{r}}-- \\ - \,\,\left( {\left( {r + {{t}_{2}}} \right)\left( {{{\rho }^{3}} + {{t}_{2}}{{\rho }^{2}} + {{t}_{1}}\rho + {{\kappa }_{0}}} \right)--1} \right){{{\Psi }}_{{\rho }}} - \\ - \,\,{{\kappa }_{\infty }}\left( {r - \rho } \right)\left( {r\rho + {{t}_{2}}\left( {r + \rho } \right)} \right)\Psi . \\ \end{gathered} $

Эти эволюционные уравнения можно символически записать в виде уравнений (1) с $\varepsilon = 1,$ которые соответствуют гамильтонианам (3), (4) гамильтоновых систем (2) с временами ${{s}_{i}} = {{t}_{i}}.$ А после замены независимых переменных

$\begin{gathered} y = r + ~\rho + {{t}_{2}},\,\,\,\,z = r\rho + \frac{1}{2}{{t}_{2}}\left( {r + \rho + {{t}_{2}}} \right)--{{t}_{1}}, \\ {{s}_{1}} = {{t}_{1}}--\frac{1}{8}t_{2}^{2},\,\,\,\,{{s}_{2}} = --\frac{1}{2}{{t}_{2}}, \\ \end{gathered} $

представляющей собой квантовый вариант преобразования (12), уравнения (16), (17) переходят в аналоги временных уравнений Шрёдингера

(18)
$\begin{gathered} {{{\Psi }}_{{{{s}_{1}}}}} = {{{\Psi }}_{{yy}}}--2{{s}_{2}}{{{\Psi }}_{{yz}}}--\left( {z + {{s}_{2}}y + {{s}_{1}}--\frac{1}{2}s_{2}^{2}} \right){{{\Psi }}_{{zz}}} + \\ + \,\,\left( {{{y}^{2}} + {{s}_{2}}y--z} \right){{{\Psi }}_{y}} + \\ + \,\,\left( {zy + y\left( {{{s}_{1}}--\frac{1}{2}s_{2}^{2}} \right) + {{s}_{2}}z + 1--{{\kappa }_{0}}} \right){{{\Psi }}_{z}} + {{\kappa }_{\infty }}y\Psi , \\ \end{gathered} $
(19)
$\begin{gathered} {{{\Psi }}_{{{{s}_{2}}}}} = --{{s}_{2}}{{{\Psi }}_{{yy}}}--2\left( {z + {{s}_{2}}y + {{s}_{1}}--\frac{1}{2}s_{2}^{2}} \right){{{\Psi }}_{{yz}}} + \\ + \,\,\left( {\left( {{{s}_{2}}--y} \right)\left( {z + {{s}_{2}}y + {{s}_{1}} + \frac{1}{2}s_{2}^{2}} \right)--s_{2}^{3}} \right){{{\Psi }}_{{zz}}} + \\ + \,\,\left( {yz + y\left( {{{s}_{1}}--\frac{1}{2}s_{2}^{2}} \right) + {{s}_{2}}z + 1--{{\kappa }_{0}}} \right){{{\Psi }}_{y}} + \\ + \,\,\left( {{{z}^{2}}--y\left( {{{s}_{1}}{{s}_{2}}--\frac{1}{2}s_{2}^{3} + {{\kappa }_{0}}--1} \right) + z\left( {{{s}_{1}}--\frac{1}{2}s_{2}^{2}} \right)} \right){{{\Psi }}_{z}} + \\ + {{\kappa }_{\infty }}z\Psi \\ \end{gathered} $

вида (1) с $\varepsilon = 1,$ соответствующих полиномиальным гамильтонианам (10), (11).

В статье [2] решения уравнений вида (1), подобные сконструированным выше решениям пар уравнений (16), (17) и (18), (19), были предъявлены для пар гамильтонианов, определяющих классическую изомонодромную систему Гарнье. Эти явные решения эволюционных уравнений из [2] одновременно задают и решения известных уравнений Белавина–Полякова–Замолодчикова конформной теории поля в случае центрального заряда, равного единице. Решения пар эволюционных уравнений (16), (17) и (18), (19), определяемые гамильтоновыми изомонодромными вырождениями системы Гарнье, задают также и решения уравнений, являющихся, вероятно, некоторыми вырождениями этих уравнений Белавина–Полякова–Замолодчикова. Отметим также то обстоятельство, что решения уравнений вида (1) представляют потенциальный интерес для некоторых задач диффузии проблем теоретико-вероятностного характера (см. по этому поводу Замечание 1 в [2]).

Список литературы

  1. Сулейманов Б.И. // Функц. анализ и его прил. 2014. Т. 48. № 3. С. 52; Suleimanov B.I. // Func. Anal. Appl. 2014. V. 48. № 3. P. 198.

  2. Новиков Д.П, Сулейманов Б.И. // ТМФ. 2016. Т. 187. № 1. С. 39; Novikov D.P., Suleimanov B.I. // Thеor. Math. Phys. 2016. V. 187. № 1. P. 479.

  3. Павленко В.А., Сулейманов Б.И. // Уфимский мат. журн. 2018. Т. 10. № 4. С. 92; Pavlenko V.A., Suleima-nov B.I. // Ufa Math. J. 2018. V. 10. № 4. P. 92.

  4. Kimura H. // Ann. Matem. Pura Appl. IV. 1989. V. 155. № 1. P. 25.

  5. Павленко В.А., Сулейманов Б.И. // Уфимский мат. журн. 2017. Т. 9. № 4. С. 100; Pavlenko V.A., Suleima-nov B.I. // Ufa Math. J. 2018. V. 9. № 4. P. 97.

  6. Сулейманов Б.И. // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обзоры. ВИНИТИ РАН. 2019. Т. 163. С. 81.

  7. Haberman R., Sun Ren-ji. // Proc. 5th Int. Conf. on Boundary and Interior Layers. (Shanghai, 1988).

  8. Итс А.Р. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т. 49. № 3. С. 530; Its A.R. // Math. USSR-Izv. 1986. V. 26. № 3. P. 497.

  9. Kawakami H., Nakamura A., Sakai H. // arXiv: 1209.3836. 2012.

  10. Новиков Д.П. // ТМФ. 2009. Т. 161. № 2. С. 191; Novikov D.P. // Thеor. Math. Phys. 2009. V. 161. № 2. P. 1485.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал