Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 8, стр. 1147-1151

ВВЕДЕНИЕ

Информация о структуре сверхтяжелых элементов важна для понимания образования и существования этих многочастичных квантовых систем. Знание плотности возбужденных уровней необходимо для вычисления выживаемости сверхтяжелых ядер, получаемых в реакциях полного слияния. Эти данные особенно интересны для планирования экспериментов по изучению “острова стабильности”, а также для предсказания поведения свойств еще не открытых более тяжелых элементов периодической таблицы. Выживаемость возбужденного ядра по отношению к эмиссии частиц (преимущественно нейтронов) определяется плотностью уровней в основном состоянии дочернего ядра, а выживаемость по отношению к делению определяется плотностью уровней на седловой точке барьера деления.

При возрастании энергии возбуждения, ядерная система переходит от состояния системы спаренных частиц к системе невзаимодействующих фермионов (газ Ферми). В феноменологической модели эффект спаривания учитывается через зависящий от температуры T параметр Δ. В модели ферми-газа среднее значение параметра плотности, который устанавливает связь между энергией возбуждения и температурой ядра, часто предполагается имеющим линейную зависимость от массового числа [1]. В реальности, параметр плотности уровней зависит от энергии и постепенно достигает асимптотического значения при энергиях выше, чем энергия отделения нейтрона. Феноменологическое выражение зависимости параметра плотности уровней от энергии и оболочечной поправки было введено в работе [2].

В нашей работе мы использовали модель Бардина–Купера–Шриффера (БКШ) [3] для расчетов плотности уровней ядер с Z = 112–120. Данный формализм успешно применялся в работах [4–6]. В расчетах использовались массы ядер и одночастичные энергии протонов и нейтронов, полученные в макроскопическо-микроскопической модели [7, 8], в которой энергия ядра рассчитывается как сумма плавно меняющейся макроскопической части (включающей в себя кулоновскую, поверхностную энергии и энергию симметрии), рассчитанной с помощью модели жидкой капли, и микроскопической поправки, учитывающей оболочечный и спаривательный эффекты [9, 10]. Оболочечная поправка вычисляется по методу Струтинского с использованием одночастичных состояний в потенциалах Вудса-Саксона, соответствующих основному состоянию ядра и седловой точки барьера деления [11, 12]. В работе [7] основное состояние и седловая точка определялись при расчете поверхности потенциальной энергии как функции параметров деформации, определяющих форму поверхности ядра. Основное состояние соответствует минимуму потенциальной поверхности.

ФОРМАЛИЗМ

В данной работе мы используем формализм сверхтекучей модели ядра [3]. В рамках этой модели ядро описывается как газ невзаимодействующих квазичастиц с энергиями ${{E}_{{k{v}}}}$ = $\sqrt {{{{({{\varepsilon }_{{k{v}}}} - {{\lambda }_{k}})}}^{2}} + {{\Delta }_{k}}^{2}} ,$ где k = Z для протонов и k = N для нейтронов. Квазичастичные энергии рассчитывались с использованием одночастичных энергий ${{\varepsilon }_{{k{\nu }}}}$ в потенциале Вудса–Саксона [7]. Для рассматриваемого нами диапазона энергий возбуждения (U = 10–40 МэВ) количество одночастичных уровней $\nu ,$ используемых в наших расчетах, достаточно ограничить равным Z для протонной системы и $N$ для нейтронной системы каждого ядра.

Величины $2{{\Delta }_{k}}$ определяют щель в спектре квазичастиц, отделяющую основное состояние системы от возбужденных состояний (иначе говоря, энергию связи нейтронных и протонных куперовских пар вблизи поверхности Ферми).

При заданной температуре $T = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \beta }} \right. \kern-0em} \beta }$ величины ${{\Delta }_{k}}$ и энергии Ферми ${{\lambda }_{k}}$ (k = Z, N) определялись путем решения системы уравнений [4, 5]:

для нейтронов и

для протонов, где ${{G}_{Z}}$ и ${{G}_{N}}$ – константы парных взаимодействий для протонов и нейтронов соответственно. В выражениях (1)−(4) суммирование производится по всем одночастичным уровням. Так как значения ${{G}_{k}}$ точно не известны, то их значения для каждого ядра выбираются так, чтобы при нулевой температуре описать экспериментальные величины энергетических щелей, полученные по разностям масс соседних ядер [3, 13]:

где $B(N,Z)$ – энергия связи ядра (N, Z). В дальнейшем значения ${{G}_{k}}$ не изменяются и не зависят от температуры.

Аналогично, с использованием тех же значений для констант спаривания, но используя одночастичный спектр в седловой точке барьера деления, вычислялись величины ${{\Delta }_{k}}$ и ${{\lambda }_{k}}$ (k = Z, N).

Величина щели уменьшается с ростом температуры и при температуре выше критической ${{T}_{{{\text{cr}}}}}$ обращается в ноль. Ядро переходит из сверхтекучего состояния в нормальное, и все термодинамические величины принимают значения, характерные для газа невзаимодействующих ферми-частиц.

Используя полученные данные Δ(T) и λ(T), были рассчитаны энергия возбуждения $U = {{U}_{Z}} + {{U}_{N}},$ энтропия $S = {{S}_{Z}} + {{S}_{N}}$ и плотности $\rho $ возбужденных состояний:

где $D$ – определитель матрицы, состоящей из вторых производных энтропии по $\beta $ и ${{\mu }_{k}} = \beta {{\lambda }_{k}}.$

При вычислении полной энергии ядер с нечетным массовым числом А был принят во внимание эффект блокировки [3], который учитывает влияние неспаренного нуклона на свойства ядра. Если на каком-либо дважды вырожденном одночастичном уровне среднего поля уже находится один нуклон, то этот уровень исключается (блокируется) при суммировании в выражениях (7) и (9).

Как правило, большая плотность одночастичных состояний вблизи поверхности Ферми в седловой точке приводит к большим парным корреляциям и, следовательно, к большему значению ${{T}_{{cr}}}$ по сравнению с основным состоянием [3]. В области ядер с Z = 112–120, рассмотренной в наших расчетах, средняя ${{T}_{{{\text{cr}}}}}$ нейтронной и протонной систем составляет до 0.48 МэВ для основного состояния и 0.6 МэВ для седловой точки. Соответствующие полные энергии возбуждения составляют ${{U}_{{cr}}} \approx 6.23$ МэВ для основного состояния и ${{U}_{{cr}}} \approx 13.44$ МэВ для седловой точки.

ПАРАМЕТРЫ ПЛОТНОСТИ УРОВНЕЙ

Для нахождения величины параметра плотности уровней необходимо описать наши расчеты моделью ферми-газа. Мы получили, что наилучшее согласие между плотностями возбужденных состояний, вычисленных в рамках сверхтекучей модели и моделью ферми-газа

можно получить при использовании параметра плотности уровней $a(U),$ зависящего от энергии возбуждения $U.$ Эту зависимость можно описать следующим феноменологическим выражением [2]:

где $\delta {{E}_{{sh}}}$ – оболочечная поправка при T = 0 и $E_{D}^{'}$ – параметр затухания оболочечных эффектов, описывающий уменьшение влияния оболочки на параметр плотности уровней с увеличением энергии, $\tilde {a}$ – асимптотическое значение параметра плотности уровней. Для каждого ядра значения $E_{D}^{'}$ и $\tilde {a}$ были получены из анализа рассчитанной энергетической зависимости параметра плотности уровней с помощью выражения (12). Значение $\tilde {a}$ плавно зависит от массового числа и параметризуется следующей функцией [2]:

Наши расчеты показывают, что выражение (12) дает хорошее согласие с микроскопическими расчетами для основного состояния, для которого значения оболочечных поправок являются значительными. В качестве примера на рис. 1 дано сравнение значений $a,$ полученных для изотопов ²⁹²Fl, ²⁹⁶Lv и ³⁰⁰120 для основного состояния, путем фитирования результатов микроскопических расчетов выражением (11) и результатов, полученных из выражения (12). Как видно, наблюдается хорошее согласие при U > 15 МэВ. Для основного состояния значения констант в (13) равны соответственно ${{\alpha }_{1}} = 0.128$ МэВ^–1 и ${{\alpha }_{2}} = - 1.098 \cdot {{10}^{{ - 4}}}$ МэВ^–1. Величина параметра затухания оболочечных эффектов $E_{D}^{'}$ варьируется между 5.26 и $20.05$ МэВ.

Для седловой точки со значениями оболочечных поправок меньшими, чем $\left| {\delta {{E}_{{sh}}}} \right| = 1.7$ МэВ, выражение (12) не может хорошо описать рассчитанные значения $a(A,U).$ В этих случаях замена параметра оболочечной поправки $\delta {{E}_{{sh}}}$ в выражении (12) на $\left( {\delta {{E}_{{sh}}} - \Delta } \right)$ приводит к лучшему согласию с результатами микроскопических расчетов. Здесь $\Delta = {{\Delta }_{N}} + {{\Delta }_{Z}}.$ На рис. 2 зависимость a(U) для ядер ²⁹²Fl, ²⁹⁶Lv и ³⁰⁰120 для седловой точки, полученная путем фитирования результатов микроскопических расчетов выражением (11) (сплошные линии), сравнивается с результатами феноменологической модели (12) с учетом (штриховые линии) и без учета (штрих-пунктирные линии) эффекта спаривания. Как показано на рис. 2, учет эффекта спаривания в выражении (12) улучшает согласие со значениями, полученными из (11).

Значения констант ${{\alpha }_{1}} = 0.075$ МэВ^–1 и α₂ = = 0.69 · 10^–4 МэВ^–1 были получены для седловой точки с учетом эффекта спаривания для изотопов с $\left| {\delta {{E}_{{sh}}}} \right| < 1.7$ МэВ. Найденные значения параметра $E_{D}^{'}$ для седловой точки варьируются от 0.1 до 13.68 МэВ.

На рис. 3а показано отношение параметра плотности уровней в седловой точке ${{a}_{{SP}}}$ для энергии возбуждения $(U - {{B}_{f}})$ (где ${{B}_{f}}$ – высота барьера деления) к его значению в основном состоянии ${{a}_{{GS}}}$ в зависимости от массового числа A изотопа ядра с Z = 114 при U = 10 МэВ (сплошная линия), 30 МэВ (штриховая линия) и 60 МэВ (точечная линия). Отношение ${{{{a}_{{SP}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{SP}}}} {{{a}_{{GS}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{GS}}}}}$ заметно меняется в зависимости от A при U = 10 МэВ. Это отражает сильное влияние оболочечной структуры на поведение отношения ${{{{a}_{{SP}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{SP}}}} {{{a}_{{GS}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{GS}}}}}$ при малых энергиях возбуждения. С ростом энергии возбуждения (U = 30, 60 МэВ) зависимость отношения ${{{{a}_{{SP}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{SP}}}} {{{a}_{{GS}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{GS}}}}}$ от A ослабевает (оболочечные эффекты затухают). Чтобы получить ${{{{a}_{{SP}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{SP}}}} {{{a}_{{GS}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{GS}}}}},$ надо учесть, что часть энергии возбуждения тратится на разрыв нуклон-нуклонной пары, т.е. в выражении (11) надо заменить U на (U – Δ), где энергия Δ = ${{24} \mathord{\left/ {\vphantom {{24} {\sqrt A }}} \right. \kern-0em} {\sqrt A }},$ ${{12} \mathord{\left/ {\vphantom {{12} {\sqrt A }}} \right. \kern-0em} {\sqrt A }},$ 0 для четно-четных, четно-нечетных и нечетно-нечетных изотопов соответственно. В области энергий возбуждения (10–40 МэВ) параметр плотности уровней слабо зависит от энергетического интервала, включенного в расчеты.

На рис. 3б приведены значения оболочных поправок в основном состоянии ядер изотопной цепочки Z = 114 (сплошная линия) и в седловой точке (штриховая линия). Высота барьера деления показана (пунктирная линия) как функция массового числа. Для основного состояния величины оболочечных поправок меняются от –5 до –9 МэВ. Для седловой точки оболочечная поправка приблизительно –3 МэВ во всех рассмотренных изотопах.

На рис. 3в приведено отношение ${{{{a}_{{SP}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{SP}}}} {{{a}_{{GS}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{GS}}}}}$ в зависимости от массового числа изотопов ядер с Z = = 114. На данном рисунке хорошо видны проявления четно-нечетного эффекта, что отражается в появлении минимумов и максимумов отношения ${{{{a}_{{SP}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{{SP}}}} {{{a}_{{GS}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{GS}}}}}$ в рассматриваемом диапазоне массовых чисел.

На рис. 4 приведены значения параметра плотности уровней нейтронов для ядер с Z от 112 до 120, которые определяются как отношение параметра ${{a}_{f}}$ материнского ядра в седловой точке к ${{a}_{n}}$ дочернего ядра после эмиссии нейтронов в основном состоянии:

В этих расчетах учтено уменьшение энергии возбуждения U в седловой точке на высоту барьера деления ${{B}_{f}}.$ На рисунке видно, что отношение (14) варьируются от 1.03 до 1.2. Стоит отметить, что на этом рисунке хорошо видно проявление четно-нечетного эффекта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассчитаны плотности уровней и параметры плотности уровней сверхтяжелых ядер с Z = 112–120. Показано, что зависимость параметров плотности уровней в основных состояниях этих ядер от энергии возбуждения и оболочечной поправки хорошо описывается известным феноменологическим выражением. Можно также использовать это выражение и в седловой точке барьера деления, учитывая эффект спаривания. Продемонстрировано, что в рассматриваемых ядрах, четно-нечетный эффект отражается в характере поведения отношения ${{{{a}_{f}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{f}}} {{{a}_{n}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{n}}}},$ изменяющимся между 1.03 и 1.2.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проекты №№ 17-52-12015, 20-02-00176). Авторы благодарны М. Ковалю за предоставление рассчитанных одночастичных спектров в сверхтяжелых ядрах.