Известия РАН. Серия физическая, 2020, T. 84, № 8, стр. 1174-1179

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментальные данные о возбужденных состояниях нуклидов ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ достаточно обширны [1, 2]. Их исследовали в бета-распаде и электронном захвате, в различных ядерных реакциях: ${\text{(}}n{\text{,}}\gamma {\text{),}}$ ${\text{(}}n,n{\kern 1pt} '\gamma {\text{),}}$ ${\text{(}}p,t{\text{),}}$ ${\text{(}}t,p{\text{),}}$ ${\text{(}}d,p{\text{),}}$ ${\text{(}}d,d{\kern 1pt} '{\text{),}}$ в кулоновском возбуждении ядер, неупругом рассеянии электронов и с помощью ядерной резонансной флуоресценции.

Результаты этих исследований можно суммировать следующим образом. В ядре ${}^{{158}}{\text{Gd}}$ помимо основной полосы выявлены четыре полосы, построенные на основаниях с ${{K}^{{\pi }}} = {{0}^{ + }},$ нижайшая из которых с энергией основания ${{E}_{x}} = 1196$ кэВ, интерпретируется как бета-вибрационная. Заметим, что энергии оснований полос, построенных на уровнях ${{K}^{{\pi }}} = {{0}^{ + }},$ с хорошей точностью воспроизводятся в рамках квазичастично-фононной модели ядра (КФМ) [3]. В ядре ${}^{{158}}{\text{Gd}}$ известна также гамма-полоса $({{K}^{{\pi }}} = {{2}^{ + }}).$

Наряду с полосами, построенными на основаниях ${{K}^{{\pi }}}$ = ${{0}^{ + }},$ ${{2}^{ + }},$ в ${}^{{158}}{\text{Gd}}$ имеются две полосы, построенные на уровнях ${{K}^{{\pi }}} = {{1}^{ + }}$ с энергиями ${{E}_{x}} = 1848$ и 1930 кэВ, соответственно. Энергии этих уровней также хорошо описывает КФМ [3]. В работах [4, 5] приведены энергии еще двух ${{{\text{1}}}^{{\text{ + }}}}$ состояний в этом ядре с энергиями возбуждения ${{E}_{x}}$ > > 3 МэВ. Данные о построенных на них полосах отсутствуют.

Последняя компиляция оцененных данных о возбужденных состояниях ядра ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ опубликована давно [2]. Данные о низколежащих состояниях с ${{K}^{{\pi }}} = {{0}^{ + }},$ содержащиеся в [2], были дополнены и скорректированы в последующих ${\text{(}}n,n{\kern 1pt} '\gamma {\text{)}}$ экспериментах [6–8]. Таким образом, в ядре ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ сейчас известны: основная полоса, гамма-полоса ${{K}^{{\pi }}} = 2_{1}^{ + },$ бета-полоса ${{K}^{{\pi }}} = 0_{2}^{ + }$ и еще одна полоса с ${{K}^{{\pi }}} = 0_{3}^{ + }$ (энергия основания ${{E}_{x}} = 1558$ кэВ). Заметим, что положение $0_{3}^{ + }$-уровня с хорошей точностью предсказали теоретические расчеты в рамках КФМ [3].

Состояний с ${{K}^{{\pi }}} = {{1}^{ + }}$ в ядре ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ известно около десятка. Абсолютное большинство из них, кроме состояний c энергиями возбуждения 1569 и 2109 кэВ [6], принадлежат ножничной моде и находятся в интервале энергии возбуждения 2.3 < ${{E}_{x}}$ < < 3.5 МэВ. В теоретических расчетах [3] энергия нижайшего ${{{\text{1}}}^{{\text{ + }}}}$ уровня получилась завышенной приблизительно на 300 кэВ.

Помимо энергий возбужденных состояний для ядер ${}^{{158,\,160}}{\text{Gd}}$ имеются данные об абсолютных и относительных значениях вероятностей E2-переходов между полосами [1, 2, 6–10]. Вся совокупность экспериментальных данных об энергиях состояний низколежащих полос и вероятностях E2‑переходов в ядрах ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ была проанализирована в работе [11] в рамках феноменологической модели [12], учитывающей смешивание полос из-за кориолиосова взаимодействия.

В настоящей продолжаются исследования начатые в [11]. Используя модель [12], проанализировано как смешивание полос влияет на магнитные характеристики возбужденных состояний ядер ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ – коэффициенты смеси мультиполей ${\delta }({\text{E}}2{\text{/M}}1),$ приведенные вероятности ${\text{M}}1$-переходов ${\text{B(M}}1)$и магнитные моменты возбужденных состояний основных полос ${\mu }({{I}^{ + }}{{0}_{1}}).$ Заметим, что феноменологическая модель [12] уже использовалась для описания магнитных характеристик состояний низколежащих полос в деформированных ядрах в работах [12–14].

МАГНИТНЫЕ ДИПОЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ

Основные параметры модели [12] необходимые для вычисления энергий и волновых функций возбужденных состояний ядер ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ определены и опубликованы в работе [11]. Здесь будут обсуждаться только параметры необходимые для расчетов магнитных характеристик ядерных возбуждений.

В рамках модели [12] выражение для приведенной вероятности ${\text{M}}1$-перехода из состояния ${{I}_{i}}{{K}_{i}}$ на уровень ${{I}_{f}}{{0}_{1}}$ основной (${{0}_{1}}$) полосы имеет следующий вид:

где $\hat {m}({\text{M}}1)$ – магнитный дипольный оператор.

Приведем выражение для приведенного матричного элемента ${\text{M}}1$-перехода из формулы (1):

где $m_{{1{\nu }}}^{'}$ = $\left\langle {0_{1}^{ + }\left| {\hat {m}({\text{M}}1)} \right|1_{{\nu }}^{{\text{ + }}}} \right\rangle $ – матричные элементы между внутренними волновыми функциями основной и $1_{{\nu }}^{{\text{ + }}}$-полос; $C_{{{{I}_{i}}{{K}_{i}};1({{K}_{i}} + {{K}_{f}})}}^{{{{I}_{f}}{{K}_{f}}}}$ – коэффициенты Клебша–Гордана; ${\psi }_{{K,K{\kern 1pt} '}}^{I}$ – амплитуды смешивания базисных состояний; ${{g}_{K}}$ – внутренний $g$-фактор полосы с $K \ne 0,$ ${{g}_{{\text{R}}}} = Z{\text{/}}A$ – гиромагнитный фактор, связанный с вращением. Из систематики гиромагнитных отношений для деформированных ядер редкоземельной и трансурановой области следует ${{g}_{{\text{R}}}} \approx 0.4 \pm 0.1.$

Наряду с приведенными вероятностями ${\text{M}}1$‑переходов исследуют коэффициенты смеси мультиполей ${\delta }({\text{E}}2{\text{/M}}1),$ которые вычисляют по следующей формуле:

где $\hat {m}({\text{E2)}}$ – электрический квадрупольный оператор, ${{Е}_{{\gamma }}}$ – энергия ${\gamma }$-перехода, б – барн, ${{{\mu }}_{N}}$ – ядерный магнетон.

Вычисленные и экспериментальные [6, 8, 9] значения коэффициентов смеси мультиполей δ(E2/M1) из состояний $0_{i}^{ + }$-, ${{2}^{ + }}$- и ${{1}^{ + }}$-полос для ядер ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ приведены в табл. 1 и 2, соответственно. В расчетах δ(E2/M1) теоретические значения приведенных матричных элементов $\left\langle {{{I}_{f}}{{K}_{f}}\left\| {\hat {m}({\text{E}}2)} \right\|{{I}_{i}}{{K}_{i}}} \right\rangle $ брались из работы [11]. Отметим, что в формуле (2) основной вклад в приведенные матричные элементы межполосных ${\text{M}}1$-переходов дает последний член. Рассчитывая матричные элементы ${\text{M}}1$-оператора для ядра ${}^{{158}}{\text{Gd,}}$ мы предполагали, что параметры одинаковы для всех трех ${{1}^{ + }}$-состояний. Величина параметра $m_{{\text{1}}}^{'} = 1.81{{{\mu }}_{N}}$ и его знак были определены из условия наилучшего описания экспериментальных данных о δ(E2/M1).

В расчетах для ядра ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ учитывалось смешивание с одиннадцатью состояниями ${{K}^{{\pi }}} = 1_{{\nu }}^{ + }$ и построенными на них полосами (если последние были известны). Экспериментальные значения отношений $R_{{11_{{\nu }}^{ + }}}^{{{\text{эксп}}}}$ приведенных вероятностей ${\text{M}}1$‑переходов с оснований $1_{{\nu }}^{ + }$ соответствующих полос на основное и нижайшее ${{2}^{ + }}$-состояние полосы, построенной на основном состоянии, $R_{{{\text{11}}_{{\nu }}^{{\text{ + }}}}}^{{{\text{эксп}}}}$ = ${{B({\text{M}}1;{{1}^{ + }}{{1}_{{\nu }}} \to {{2}^{ + }}{{0}_{1}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{B({\text{M}}1;{{1}^{ + }}{{1}_{{\nu }}} \to {{2}^{ + }}{{0}_{1}})} {B({\text{M}}1;{{1}^{ + }}{{1}_{{\nu }}} \to {{0}^{ + }}{{0}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {B({\text{M}}1;{{1}^{ + }}{{1}_{{\nu }}} \to {{0}^{ + }}{{0}_{1}})}}$ близки к адиабатическому значению $R_{{11_{{\nu }}^{ + }}}^{{{\text{адиаб}}}}$ (см. табл. 3). Этот экспериментальный факт свидетельствует о том, что головные уровни полос с ${{K}^{{\pi }}} = 1_{{\nu }}^{ + }$ полос являются чистыми. Действительно, кориолисовы силы смешивают состояния ротационных полос с $\Delta K = 1$ и одинаковыми значениями полного углового момента I. Во всех полосах положительной четности кроме полос с основаниями ${{K}^{{\pi }}} = 1_{{\nu }}^{ + }$ отсутствуют уровни со спином $I = 1.$ Поэтому головные уровни ${{K}^{{\pi }}} = 1_{{\nu }}^{ + }$ полос являются чистыми и отношения $R_{{11_{{\nu }}^{ + }}}^{{{\text{эксп}}.}}$ близки к адиабатическим значениям.

Для переходов из состояний первой полосы с ${{K}^{{\pi }}} = 1_{1}^{ + }$ ядра ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ в работе [6] были определены экспериментальные значения коэффициентов смеси мультиполей ${\delta ,}$ что позволило нам фиксировать значение параметра $m_{{{{1}_{1}}}}^{'} = 0.2{{{\mu }}_{N}}.$ Значения других приведенных в табл. 3 параметров определялись по адиабатической формуле

с использованием экспериментальных данных [15] для вероятностей ${\text{M}}1$-переходов из состояний ${{I}^{{\pi }}} = 1_{{\nu }}^{{\text{ + }}}$ на уровни основной полосы. Однако формула (4) не позволяет определить однозначно знаки параметров Поэтому, как и в случае ядра ${}^{{158}}{\text{Gd,}}$ мы предположили, что знаки параметров одинаковы. Положительность параметров была определена из условия наилучшего согласия вычисленных значений ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ с экспериментальными данными [6, 8]. Знаки рассчитанных коэффициентов смеси мультиполей ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ (см. табл. 1 и 2), как правило, совпадают с экспериментальными, но их абсолютные значения во многих случаях меньше экспериментальных. Тем не менее, имея в виду точность определения самих экспериментальных значений ${{{\delta }}_{{{\text{эксп}}}}},$ согласие наших расчетов с экспериментом можно считать удовлетворительным. Однако следует отметить еще один факт. Для ядра ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ известна [2] экспериментальная вероятность ${\text{M}}1$-перехода из ${{2}^{ + }}{{2}_{1}}$ состояния ${\gamma }$-вибрационной полосы на ${{2}^{ + }}{{0}_{1}}$ уровень основной полосы: $B\left( {{\text{M}}1;{{2}^{ + }}{{2}_{1}} \to {{2}^{ + }}{{0}_{1}}} \right)$ ≤ $1.3 \cdot {{10}^{{ - 6}}}$ (в единицах Вайскопфа). Рассчитанная нами вероятность этого перехода получилась равной $B\left( {{\text{M}}1;{{2}^{ + }}{{2}_{1}} \to {{2}^{ + }}{{0}_{1}}} \right)$ = $2.4 \cdot {{10}^{{ - 3}}}$ в единицах Вайскопфа, т.е. на три порядка больше экспериментальной. Возможная причина этого расхождения, равно как и заниженных значений ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}},$ – наше предположение о совпадении знаков параметров в формуле (5).

В табл. 1 и 2 приведены также адиабатические значения коэффициентов смеси мультиполей ${{{\delta }}_{{{\text{адиаб}}}}}$ для переходов из состояний ${{1}^{ + }}$-полос, которые вычислялись по следующей формуле

где значение параметра взято из работы [11]. Заметим, что значения ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ и ${{{\delta }}_{{{\text{адиаб}}}}}$ различаются не очень сильно. Исключение составляет переход ${{41}_{2}} \to {{40}_{1}}$ в ядре ${}^{{158}}{\text{Gd,}}$ для которого ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ и ${{{\delta }}_{{{\text{адиаб}}}}}$ имеют противоположные знаки и различающиеся на порядок абсолютные значения. Возможно, что причина различий ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ и ${{{\delta }}_{{{\text{адиаб}}}}}$ в теоретическом матричном элементе ${\text{E2}}$-перехода ${{41}_{2}} \to {{40}_{1}}$ из работы [11]. В пользу этого предположения говорит тот факт, что ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ для перехода ${{21}_{2}} \to {{20}_{1}}$ в этом же ядре имеет тот же знак, что ${{{\delta }}_{{{\text{адиаб}}}}},$ и этот знак, по-видимому, совпадает со знаком ${{{\delta }}_{{{\text{эксп}}}}}.$ При этом основное различие между ${{{\delta }}_{{{\text{теор}}}}}$ для двух обсуждаемых переходов сводится к вышеупомянутому матричному элементу ${\text{E2}}$-перехода.

В изотопах ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ экспериментальные значения δ(E2/M1) для переходов с состояний ${\gamma }$-полосы $\left( {{{K}^{{\pi }}} = 2_{1}^{ + }} \right)$ значительно больше по абсолютной величине, чем для переходов с состояний ${{0}_{2}},$ ${{0}_{3}}$-полос. Это связано с тем, что значения $B({\text{E}}2)$для переходов с ${\gamma }$- полосы всегда больше, чем с ${{0}_{2}}$-, ${{0}_{3}}$-полос, тогда как величины $B({\text{M}}1)$ для переходов с ${\gamma }$-, ${{0}_{2}}$- и ${{0}_{3}}$-полос сравнимы между собой (см. табл. 1 и 2).

В адиабатическом приближении ${\text{M}}1$-переходы из состояний ${{{\text{0}}}_{i}}$- и ${\gamma }$-полос на уровни основной запрещены. В рамках модели [12] эти переходы появляются благодаря примеси ${{1}^{ + }}$-состояний в их волновых функциях. В табл. 4 представлены рассчитанные значения вероятностей ${\text{M}}1$-переходов для ядра ${}^{{158}}{\text{Gd}}{\text{.}}$ Согласие с приведенными здесь же экспериментальными данными из работы [1] удовлетворительное.

МАГНИТНЫЕ ДИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ

В рамках модели [12] для магнитного момента имеет место следующее выражение

В адиабатическом приближении выражение (6) упрощается: для полос ${{K}^{{\pi }}} = 0_{{1,2}}^{ + }$

для полос $K \ne 0$ (т.е. полос ${{K}^{{\pi }}}$ = $2_{1}^{ + },$ $1_{{\nu }}^{ + }$)

Используя экспериментальное значение магнитного момента для состояния $I = 2$ основной полосы, мы определили величину ${{g}_{{\text{R}}}}$-фактора, который оказался равным ${{g}_{{\text{R}}}} = 0.42$ для ядра ${}^{{158}}{\text{Gd}}$ и ${{g}_{{\text{R}}}} = 0.36$ для ядра ${}^{{160}}{\text{Gd}}$ [1, 2].

Рассчитанные нами значения магнитных моментов состояний основных ротационных полос ядер ${}^{{158,\,\,160}}{\text{Gd}}$ и соответствующие экспериментальные данные из работ [1, 2, 15] приведены в табл. 5. Согласие теоретических и экспериментальных значений ${\mu }({{I}^{ + }}{{0}_{1}})$ хорошее.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе продолжены начатые в [11] исследования характеристик состояний полос положительной четности спектров ядер ^158, 160Gd в рамках феноменологической модели [12], учитывающей кориолисово смешивание состояний низколежащих ротационных полос. Рассчитаны коэффициенты смеси мультиполей δ(E2/M1), приведенные вероятности M1-переходов и магнитные моменты μ(I).

Теоретические значения δ(E2/M1) для переходов с уровней полос K^π = $0_{{2,3}}^{ + },$ $2_{1}^{ + },$ $1_{{\nu }}^{ + }$ на состояния основной полосы, значения $B({\text{M}}1)$ и магнитных моментов состояний основных полос ${\mu }({{I}^{ + }}{{0}_{1}})$ в целом удовлетворительно согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Эффект смешивания низколежащих полос существенно влияет на магнитные характеристики возбужденных состояний даже при низких спинах. Так, не учитывая смешивание с полосами ${{K}^{{\pi }}} = 1_{{\nu }}^{ + },$ нельзя объяснить магнитные дипольные переходы между полосами ${{K}^{{\pi }}}$ = $0_{{2,3}}^{ + },$ $2_{1}^{ + }$ и основной полосой.

С другой стороны, результаты расчетов показали, что модель [12] требует улучшения. В частности, необходимо усовершенствовать процедуру определения параметров и научиться определять их знаки.

Работа выполнена при финансовой поддержке государственной научно-технической программы фундаментальных исследований Республики Узбекистан (проект ОТ-Ф2-75).