Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 1, стр. 74-77

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время актуальным является синергетическое моделирование различных биофизических процессов, в том числе включающих этапы формирования природоподобных наноструктур дендритной геометрии [1, 2]. Такие дендритные структуры нашли применение в биомедицине для лечения и диагностики различных заболеваний. Их свойства могут быть использованы при изучении проблемы возникновения жизни на Земле, при создании новых фрактальных антенн, сенсорных датчиков, природоподобных систем и устройств, а также в других приложениях науки и техники [3–6].

Несмотря на большое количество работ [2–7], выполненных в указанном направлении, недостаточно изученными оказались динамические особенности формирования дендритных структур со стохастически образующимися центрами роста, в том числе их предельные фрактальные характеристики.

Существует необходимость разработки нового комплекса алгоритмов и программ построения дендритов со спонтанно образующимися центрами роста в процессе их самоорганизации, позволяющего проводить расширенный анализ фрактальных особенностей.

Цель данной работы состоит в анализе возможностей разработанных моделей для описания качественных изменений в распределении частиц, образующих дендритные кластеры на первых этапах их формирования.

ДИНАМИКА ОБРАЗОВАНИЯ ДЕНДРИТНЫХ СТРУКТУР

Удобным инструментом моделирования роста дендритов могут служить программы определения пространственных распределений частиц с использованием свойств агрегационных моделей частица-кластер. Недостатком, ограничивающим возможные применения известных алгоритмов “ограниченная диффузией агрегация (ДОА)”, “баллистическая агрегация (БА)” и их различных модификаций [1, 2, 5, 7–10], являются трудности описания стохастического автономного образования центров роста фракталов. Предлагаемый нами новый метод построения дендритных кластеров произвольной симметрии со спонтанно образующимися центрами роста основан на комплексном использовании свойств классических агрегационных моделей ДОА и БА с учетом взаимодействия между составляющими дендрит частицами и одновременного движения нескольких частиц. Схема расчета включает также задание количественного критерия образования центров роста кластера. В программной реализации, в частности, предусмотрена возможность перехода к классическим моделям ДОА и БА с заданным центром роста [5, 9].

На первом этапе нового алгоритма задается случайное движение частиц в рабочем поле. Задание траекторий их движения осуществлялось аналогично моделям ДОА и БА [9, 10]. На рис. 1а показаны участки траектории движущейся частицы до присоединения к формируемому дендриту. Движущиеся по случайным траекториям частицы (модель ДОА) на расстоянии ${{R}_{f}}$ от новообразованного дендрита, начинают прямолинейное движение (модель БА) в его сторону и, соприкасаясь с ним, становятся неподвижными.

Рис. 1.

Ключевые фрагменты схемы алгоритма роста дендритных систем: a – участки возможной траектории движения частицы: 1 – модель “ограниченная диффузией агрегация”, 2 – модель “баллистическая агрегация”. Пунктир – граница рабочего поля; б – расчетная сетка с частицами. Стрелками показано рождение нового центра.

На втором этапе для оптимизации скорости роста дендритных образований осуществляется сеточное представление данных с разбиением рабочей области на сектора, в которых хранится информация о присутствующих в них частицах (рис. 1б). Для увеличения быстродействия алгоритма вводится эффективный радиус взаимодействия частиц ${{R}_{{int}}},$ при превышении которого этим взаимодействием можно пренебречь: ${{R}_{{int}}} < L.$ Здесь L – размер сетки, который задается таким образом, что каждая частица будет взаимодействовать только с частицами из своей же клетки и восьми соседними. Взаимодействие частиц считается обратно пропорциональным квадрату расстояния между ними.

На рис. 1б стрелками показан возможный вариант образования нового центра роста дендрита. В качестве количественного параметра вводится число частиц в одной ячейки сетки ${{N}_{{cr}}},$ при достижении, которого частицы внутри данной ячейки заменяются новым центром роста дендрита. Так, на рис. 1б в центральной ячейке ${{N}_{{cr}}} = 6.$ Отметим, что погрешность расчетного метода, обусловленная исчезновением из рассмотрения части частиц пренебрежимо мала для фрактальных дендритов с числом частиц $N > 1000.$

При движении частицы, взаимодействуя друг с другом, скапливаются случайным образом в определенном объеме пространства и образуют новый фрактальный кластер. На рис. 2 приведены результаты использования разработанной модели для получения различных 2D дендритных образований со стохастическим образованием их центров роста. На рис. 2а показан вариант модели, близкой к классическим вариантам центрально-симметричных дендритных образований [2, 5, 7–10]. Число частиц, составляющих дендритное образование $N = 12\,000.$ Разработанная программа позволяла отказаться от задания фиксированного центра роста и от расчета случайного угла, характеризующего направление движения частицы [10, 11]. В ходе расчета при каждой итерации в каждой периферийной клетке, если в ней нет неподвижных частиц, с заданной вероятностью рождается новая частица. Если частица выходит за границы рабочего поля, она исключается из рассмотрения. Для быстроты работы алгоритма моделирование начинается с сетки небольшого размера. Это приводило к образованию первого фрактального кластера примерно в центре моделируемой области. В момент, когда все периферийные клетки содержат хотя бы одну неподвижную частицу, размер сетки увеличивается и происходит перерасчет по отношению к множеству периферийных клеток.

Рис. 2.

Примеры моделирования дендритных структур: a – модификация модели “ограниченная диффузией агрегация”, б – модель “первичного бульона”.

В начальный момент времени в каждой клетке сетки с некоторой вероятностью ${{P}_{b}}$ рождаются ${{N}_{b}}$ частиц. В дальнейшем при взаимодействии они могут образовать дендритоподобные кластеры, которые растут, используя только первоначальный материал. На рис. 2б показана сформированная дендритная структура в рамках реализованной модели “первичного бульона”, предложенной в свое время академиком А.И. Опариным для описания возникновения жизни на Земле. В процессе образования кластеров формируются разветвленная и расходящиеся по всей расчетной области дендритная система полимерного типа. Такая структура может использоваться в материаловедении для синтеза и анализа новых свойств полимерных дендритов [12].

ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ДЕНДРИТНЫХ ОБЪЕКТОВ

Фрактальные свойства дендритных образований принято оценивать с помощью применения аппарата фрактальной параметризации [8, 13]. Его ключевым параметром является фрактальная размерность. В литературе часто используются разные варианты расчета фрактальной размерности (размерность подобия, клеточная размерность (размерность Минковского), корреляционная размерность, кластерная (массовая) размерность и др.) [8, 14], как правило, это связано с особенностями исследуемых объектов.

Разработанный комплекс новых оригинальных программ позволяет проводить обобщенный анализ геометрии дендритов и их фрактальных особенностей. Преимущественно он опирается на использование массового и клеточного способов определения фрактальной размерности [8, 11].

Достоверность определения фрактальных размерностей такими способами проверялась на простых тестовых объектах. Тестовые объекты представляли собой круги с равномерным и с неравномерным распределением частиц. В случае равномерного пространственного распределения частиц по кругу, клеточная ${{D}_{b}}$ и массовая D фрактальная размерность структурных образований ${{D}_{b}} \approx D \to 2$ при числе частиц N → 10⁶. Эти оценки фрактальных размерностей служат ориентиром в случае использования модели ассоциации частиц БА [1]. Неравномерное распределение частиц допускает получение различных вариантов значений фрактальных размерностей при изменении “рыхлости” сформированного круга: ${{D}_{b}},D < 2.$ Такие тестовые оценки фрактальных размерностей соответствуют двумерной модели ДОА.

Результаты моделирования формирования двумерных фрактальных дендритных структур (рис. 2) разными способами показали, что предельное значение средних фрактальных размерностей дендритных кластеров с центральной симметрией принимает значение близкое к $D \approx {{D}_{b}} = 1.71$ (число частиц N → 10⁶).

Таким образом, выполненная работа позволила вскрыть особенности динамики изменения фрактальной размерности отдельных кластеров с разной симметрией в зависимости от числа составляющих их частиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная расчетная схема формирования дендритных образований со спонтанно образующимися центрами роста является ценной альтернативой ранее использованным агрегационным моделям частица-кластер. Она позволяет создавать простым заданием входных параметров фрактальные дендритные кластеры с разной геометрией, разной степенью разреженности и разным расположением. Разработанная модель дает новые возможности целенаправленного влияния на рост дендритов со стохастическими центрами роста, что может использоваться в качестве имитации морфогенеза различных биологических объектов.

Данная работа поддержана РФФИ (проект № 19-02-00540).