1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 85, № 12, 2021

Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 12, стр. 1781-1786

Об устойчивости планарных импульсов, распространяющихся в режиме туннельной ионизации

В. А. Халяпин 1, 2, *, А. Н. Бугай 3

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта”
Калининград, Россия

2 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Калининградский государственный технический университет”
Калининград, Россия

3 Международная межправительственная организация Объединенный институт ядерных исследований
Дубна, Россия

* E-mail: slavasxi@gmail.com

Поступила в редакцию 05.07.2021
После доработки 26.07.2021
Принята к публикации 27.08.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе метода моментов рассмотрена задача о динамике планарного импульса, распространяющегося в режиме туннельной ионизации. Получена система уравнений на параметры сигнала и с помощью метода Ляпунова найдены условия его квазиустойчивого распространения.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование динамики интенсивных импульсов, распространяющихся в режиме ионизации, представляет как теоретический, так и практический интерес в связи с их применением в различных областях: дистанционном зондировании атмосферы [1], управлении молниями [2], генерации суперконтинуума [3], генерации терагерцового излучения [4] и др. Хорошо известно, что решение нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) устойчиво только для одномерного случая $D = 1$, который отвечает чисто пространственным или временным импульсам. При размерности $D = 2$, что соответствует пучкам или планарным пространственно-временным импульсам и при $D = 3,$ соответствующей оптическим пулям, решения не устойчивы [5]. Для стабилизации сигналов с $D > 1$ были предложены такие механизмы как насыщающая нелинейность [6], конкурирующие нелинейности [7], дифракция или дисперсия более высокого порядка [8], градиентный волновод [9], генерация второй гармоники [10]. Было показано, что ионизация также может стабилизировать сигнал [11–18]. Эта стабилизация обусловлена балансом между самофокусировкой, дифракцией и плазменной расходимостью. Известно, что ионизация приводит к сдвигу спектра импульса в сторону более высоких частот [19–21]. Это обусловлено генерацией свободных электронов и приводит к отрицательному значению показателя преломления и, следовательно, к синему смещению спектра сигнала. Это явление противоположно хорошо известному вынужденному комбинационному саморассеянию (ВКС) [22–26]. Модель для исследования распространения импульсов в режиме туннельной ионизации была разработана в [19, 20]. Авторы вышеупомянутых работ ввели концепцию так называемых плавающих импульсов (floating pulses) с интенсивностями чуть выше порога ионизации газа, когда потери на ионизацию не слишком велики.

В настоящей работе мы покажем, что квазиустойчивое распространение планарных импульсов в среде с кубической нелинейностью возможно благодаря балансу между дисперсией и нелинейностью с одновременным подавлением дифракционной и ионизационной расходимости путем самофокусировки.

МЕТОД МОМЕНТОВ

В настоящей работе рассматривается динамика планарных сигналов, распространяющихся в режиме туннельной ионизации, с помощью метода моментов [25–28]. Уравнения, описывающие соответствующую динамику, имеют вид [19, 20]

(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \psi }}{{\partial z}} + \frac{{i{{\beta }_{2}}}}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - \frac{{{{\beta }_{3}}}}{6}\frac{{{{\partial }^{3}}\psi }}{{\partial {{\tau }^{3}}}} - i\gamma \psi {{\left| \psi \right|}^{2}} + \frac{\gamma }{\omega }\frac{\partial }{{\partial \tau }}\left( {\psi {{{\left| \psi \right|}}^{2}}} \right) + \\ + \,\,i\gamma {{T}_{R}}\psi \frac{{\partial {{{\left| \psi \right|}}^{2}}}}{{\partial \tau }} + i\eta \psi \int\limits_{ - \infty }^{{\tau }} {\delta \Theta \left( \delta \right)d\tau } - \frac{{i\mu }}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{x}^{2}}}} = 0. \\ \end{gathered} $
Здесь ω – центральная частота сигнала, k – волновое число, $z$ – координата, вдоль которой распространяется сигнал, $x$ – поперечная координата, $\tau = {{t - z} \mathord{\left/ {\vphantom {{t - z} {{{\nu }_{g}}}}} \right. \kern-0em} {{{\nu }_{g}}}}$ – время в сопутствующей системе координат, ${{\nu }_{g}}$ – групповая скорость на частоте $\omega ,$ $\mu = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 k}} \right. \kern-0em} k},$ $\Theta $ – функция Хевисайда, $\delta = {{\left| \psi \right|}^{2}} - {{\left| {{{\psi }_{{th}}}} \right|}^{2}},$ $\left| \psi \right|_{{th}}^{2}$ – величина, пропорциональная пороговой интенсивности туннельной ионизации ${{I}_{{th}}} = {{с{{n}_{0}}{{{\left| {{{\psi }_{{th}}}} \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{с{{n}_{0}}{{{\left| {{{\psi }_{{th}}}} \right|}}^{2}}} {8\pi }}} \right. \kern-0em} {8\pi }},$ $\eta = {{{{e}^{2}}{{N}_{0}}{{\sigma }_{T}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{e}^{2}}{{N}_{0}}{{\sigma }_{T}}} {4mck}}} \right. \kern-0em} {4mck}}$ – параметр, связанный с электронной плазмой, $e$ и $m$ – соответственно заряд и масса электрона, ${{N}_{0}}$ – концентрация неионизированных молекул, ${{\beta }_{2}}$ – коэффициент дисперсии групповой скорости (ДГС), ${{\beta }_{3}}$ – положительный параметр, определяющий дисперсию третьего порядка, $\gamma $ – коэффициент кубической нелинейности, ${{T}_{R}}$ – характеризует вклад ВКС. Коэффициент ${{\beta }_{2}}$ положителен, если центральная частота импульса лежит в области нормальной дисперсии групповой скорости, и отрицателен в противоположном случае. При выводе предпоследнего слагаемого в левой части (1), описывающего плазменную нелинейность, применялся подход [19, 20], согласно которому для интенсивных фемтосекундных импульсов изменение концентрации носителей ${{N}_{e}}$ записывается как ${{\partial {{N}_{e}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{N}_{e}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}} \approx W(I){{N}_{0}},$ где $I$ – интенсивность импульса, $W$ – скорость фотоионизации. Согласно теории Келдыша [29] в режиме многофотонной ионизации зависимость W от интенсивности носит степенной характер, а в туннельном режиме – экспоненциальный. В последнем случае точная формула весьма затрудняет аналитические выкладки. Поэтому авторами [19, 20] на основе сравнения с экспериментальными данными было предложено раскладывать скорость ионизации в туннельном режиме в ряд по интенсивности, ограничившись линейным членом разложения $W \approx {{\sigma }_{T}}(I - {{I}_{{th}}}),$ где ${{\sigma }_{T}}$ – коэффициент пропорциональности, определяемый из формулы Келдыша. Очевидно, что для рассматриваемого приближения должно выполняться условие $I > {{I}_{{th}}},$ то есть вводится эффективный порог, ниже которого скорость ионизации пренебрежимо мала. Несмотря на то, что в формулу входит интенсивность в первой степени, это не означает, что физический процесс является однофотонным, поскольку мы имеем дело лишь с подгоночной формулой, работающей в ограниченном интервале интенсивностей.

Медленно меняющаяся огибающая связана с электрическим полем импульса соотношением

(2)
$\varepsilon (z,x,\tau ) = \frac{1}{2}\psi (z,x,\tau )\exp \left[ { - i\left( {\omega t - kz} \right)} \right] + {\text{c}}{\text{.c}}{\text{.}}$

Анализ динамики параметров импульса проводился на основе метода моментов. Пробное решение выберем в виде

(3)
$\begin{gathered} \psi = B\operatorname{sech} \left( {\frac{{\tau - T}}{{{{\tau }_{p}}}}} \right)\exp \left[ { - \frac{1}{2}{{{\left( {\frac{x}{a}} \right)}}^{2}} + } \right. \\ + \,\,\left. {i\left( {\phi + \Omega \left( {\tau - T} \right) - C\frac{{{{{\left( {\tau - T} \right)}}^{2}}}}{{2\tau _{p}^{2}}} - \frac{{\varepsilon {{x}^{2}}}}{{2{{a}^{2}}}}} \right)} \right], \\ \end{gathered} $
где $B$ – амплитуда сигнала, ${{\tau }_{p}}$ – его длительность, $C$ – параметр, определяющий частотную модуляцию, $T$ – временное запаздывание, $\phi $ – фаза, $\Omega $ – смещение центральной частоты сигнала, $a$ – параметр, пропорциональный ширине планарного сигнала, $\varepsilon $ – описывает кривизну волновых поверхностей. Все параметры зависят от координаты $z.$ Определим моменты импульса в виде
(4)
$E = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}} dxd\tau } ,$
(5)
$C = \frac{{6i}}{{{{\pi }^{2}}E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\tau - T} \right)} \left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }}} \right)dxd\tau } ,$
(6)
$\tau _{p}^{2} = \frac{{12}}{{{{\pi }^{2}}E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left( {\tau - T} \right)}}^{2}}} {{{\left| \psi \right|}}^{2}}dxd\tau } ,$
(7)
$T = \frac{1}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty \tau {{{\left| \psi \right|}}^{2}}dxd\tau } ,$
(8)
$\Omega = - \frac{i}{{2E}}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial \tau }} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial \tau }}} \right)} dxd\tau } ,$
(9)
${{a}^{2}} = \frac{2}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{{\left| \psi \right|}}^{2}}} {{x}^{2}}dxd\tau } ,$
(10)
$\varepsilon = \frac{i}{E}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {\psi {\text{*}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} - \psi \frac{{\partial \psi {\text{*}}}}{{\partial x}}} \right)} xdxd\tau } .$
где $E$ – пропорционально числу фотонов. Следуя методу моментов, получаем систему уравнений

(11)
$E = 2{{B}^{2}}{{\tau }_{p}}a\sqrt \pi = {\text{const}},$
(12)
$\begin{gathered} \frac{{dT}}{{dz}} = - {{\beta }_{2}}\Omega + \frac{{{{\beta }_{3}}}}{2}\left( {{{\Omega }^{2}} + \left( {1 + \frac{{{{\pi }^{2}}}}{4}{{C}^{2}}} \right)\frac{1}{{3\tau _{p}^{2}}}} \right) + \\ + \,\,\frac{{\gamma E}}{{2\omega {{\tau }_{p}}a\sqrt {2\pi } }}, \\ \end{gathered} $
(13)
$\frac{{d\Omega }}{{dz}} = \frac{{4\gamma E}}{{15\tau _{p}^{3}a\sqrt {2\pi } }}\left( {{{T}_{R}} - \frac{{5C}}{{4\omega }}} \right) - \frac{{2\eta E}}{{3\pi {{\tau }_{p}}a}}\frac{{\psi _{{th}}^{3}}}{{{{B}^{3}}}}{{\left( {\frac{B}{{{{\psi }_{{th}}}}} - 1} \right)}^{2}},$
(14)
$\frac{{d{{\tau }_{p}}}}{{dz}} = \frac{{{{\beta }_{2}}C}}{{{{\tau }_{p}}}} - {{\beta }_{3}}\frac{{C\Omega }}{{{{\tau }_{p}}}},$
(15)
$\frac{{dC}}{{dz}} = \left( {\frac{4}{{{{\pi }^{2}}}} + {{C}^{2}}} \right)\frac{{\left( {{{\beta }_{2}} - {{\beta }_{3}}\Omega } \right)}}{{\tau _{p}^{2}}} + \frac{{2\gamma E}}{{{{\pi }^{2}}{{\tau }_{p}}a\sqrt {2\pi } }}\left( {1 - \frac{\Omega }{\omega }} \right),$
(16)
$\frac{{da}}{{dz}} = - \frac{{\mu \varepsilon }}{a},$
(17)
$\begin{gathered} \frac{{d\varepsilon }}{{dz}} = - \frac{\mu }{{{{a}^{2}}}}\left( {1 + {{\varepsilon }^{2}}} \right) + \frac{{\gamma E}}{{3{{\tau }_{p}}a\sqrt {2\pi } }}\left( {1 - \frac{\Omega }{\omega }} \right) - \\ - \,\,\frac{{\eta E}}{{\pi a}}\frac{{16\sqrt 2 \psi _{{th}}^{4}}}{{15{{B}^{4}}}}{{\left( {\frac{B}{{{{\psi }_{{th}}}}} - 1} \right)}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}. \\ \end{gathered} $

При расчете ионизационных слагаемых в (13), (17) мы использовали приближение ${B \mathord{\left/ {\vphantom {B {{{\psi }_{{th}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }_{{th}}}}} - 1 < 1$ [19, 20]. Из уравнений (14), (15), (17) видно, что смещение частоты входит в уравнения через нелинейность и дисперсию высших порядков. По этой причине смещение частоты будет медленно выводить систему из состояния равновесия и на начальном этапе динамики ею можно пренебречь.

СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ И ЕГО УСТОЙЧИВОСТЬ

Для того чтобы найти параметры стационарного состояния и условия его устойчивости, перепишем (14)–(17) в виде

(18)
$\frac{{d\nu }}{{d\xi }} = \frac{{{{P}_{{{\nu }}}}}}{{{{m}_{1}}}},$
(19)
$\frac{{d{{P}_{{{\nu }}}}}}{{d\xi }} = - \frac{{\partial U}}{{\partial \nu }},$
(20)
$\frac{{d\rho }}{{d\xi }} = \frac{{{{P}_{{{\rho }}}}}}{{{{m}_{2}}}},$
(21)
$\frac{{d{{P}_{{{\rho }}}}}}{{d\xi }} = - \frac{{\partial U}}{{\partial \rho }} + F.$
Здесь ${{P}_{{{\nu }}}} = {{{{m}_{1}}\partial \nu } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{1}}\partial \nu } {\partial \xi }}} \right. \kern-0em} {\partial \xi }} = {{ - {{m}_{1}}C} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{m}_{1}}C} \nu }} \right. \kern-0em} \nu },$ ${{P}_{{{\rho }}}} = {{{{m}_{2}}\partial \rho } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{2}}\partial \rho } {\partial \xi }}} \right. \kern-0em} {\partial \xi }}$ = = ${{ - {{m}_{2}}{{L}_{d}}\varepsilon } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{m}_{2}}{{L}_{d}}\varepsilon } {{{L}_{D}}\rho }}} \right. \kern-0em} {{{L}_{D}}\rho }},$ ${{m}_{1}} = \frac{{{{\pi }^{2}}}}{4},$ m2 = ${{3{{L}_{D}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{3{{L}_{D}}} {2{{L}_{d}}}}} \right. \kern-0em} {2{{L}_{d}}}},$ $\xi = {z \mathord{\left/ {\vphantom {z {{{L}_{d}}}}} \right. \kern-0em} {{{L}_{d}}}},$ ${{L}_{d}} = {{\tau _{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\tau _{0}^{2}} {\left| {{{\beta }_{2}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\left| {{{\beta }_{2}}} \right|}},$ ${{L}_{N}} = {{2\sqrt {2\pi } {{\tau }_{0}}{{a}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\sqrt {2\pi } {{\tau }_{0}}{{a}_{0}}} {\gamma E}}} \right. \kern-0em} {\gamma E}},$ LD = ${{a_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{a_{0}^{2}} \mu }} \right. \kern-0em} \mu },$ Lη = = ${{5\pi {{a}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{5\pi {{a}_{0}}} {8\sqrt 2 \eta E}}} \right. \kern-0em} {8\sqrt 2 \eta E}},$ ${{a}_{0}},$ ${{\tau }_{0}}$ – начальное значение ширины планарного сигнала и его длительности. Систему (18)–(21) можно трактовать как механическую аналогию, описывающую движение частицы по поверхности с координатными осями $\nu $ и $\rho $ в потенциальном поле

(22)
$U = \frac{1}{{2{{\nu }^{2}}}} + \frac{{3{{L}_{d}}}}{{4{{L}_{D}}{{\rho }^{2}}}} - \frac{{{{L}_{d}}}}{{{{L}_{N}}\nu \rho }}.$

Важно отметить, что масса частицы зависит от направления движения. Роль внешней силы, действующей вдоль координаты $\rho ,$ играет ионизационное слагаемое $F = \psi _{{th}}^{4}{{L}_{d}}$${{{{{\left( {{B \mathord{\left/ {\vphantom {B {{{\psi }_{{th}}} - 1}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }_{{th}}} - 1}}} \right)}}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left( {{B \mathord{\left/ {\vphantom {B {{{\psi }_{{th}}} - 1}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }_{{th}}} - 1}}} \right)}}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} {{{B}^{4}}{{L}_{{{\eta }}}}{{\rho }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{B}^{4}}{{L}_{{{\eta }}}}{{\rho }^{2}}}}.$ Найдем стационарное решение этой системы уравнений

(23)
${{L}_{d}} = {{L}_{N}},$
(24)
$\frac{{3{{L}_{d}}}}{{2{{L}_{D}}}} = \frac{{{{L}_{d}}}}{{{{L}_{N}}}} - \frac{{{{L}_{d}}}}{{{{L}_{{{\eta }}}}}}\frac{{\psi _{{th}}^{4}}}{{B_{0}^{4}}}{{\left( {\frac{{{{B}_{0}}}}{{{{\psi }_{{th}}}}} - 1} \right)}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

Отметим, что условие (23) выполняется в области аномальной дисперсии групповой скорости. Выражения (23), (24) можно переписать в виде

(25)
$B_{0}^{2} = \frac{{\sqrt 2 \left| {{{\beta }_{2}}} \right|}}{{\gamma \tau _{0}^{2}}},$
(26)
$\frac{1}{{{{a}_{0}}}} = \sqrt {\frac{{32{{\pi }^{2}}\gamma I}}{{3\sqrt 2 \lambda c{{n}_{0}}}}\left( {1 - \frac{{32\eta }}{{5\sqrt \pi \gamma }}\sqrt {\frac{{\sqrt 2 \left| {{{\beta }_{2}}} \right|c{{n}_{0}}}}{{8\pi \gamma {{I}_{{th}}}}}} {{b}^{5}}{{{\left( {\frac{1}{b} - 1} \right)}}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right)} .$

Здесь мы использовали соотношения ${B \mathord{\left/ {\vphantom {B {{{\psi }_{{th}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }_{{th}}}}}$ = = ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {b\sqrt {\nu \rho } }}} \right. \kern-0em} {b\sqrt {\nu \rho } }},$ $b = {{{{\psi }_{{th}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\psi }_{{th}}}} {{{B}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{B}_{0}}}}$ = ${{{{I}_{{th}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{I}_{{th}}}} I}} \right. \kern-0em} I},$ полученные из (11), (19).

Рассмотрим вопрос устойчивости стационарного решения (25), (26) системы (18)–(21). Следуя методу Ляпунова [30], получаем четыре собственных значения

(27)
$\lambda = \pm \sqrt {\frac{{ - \left( {{{U}_{{{{\nu \nu }}}}}{{m}_{2}} - d{{m}_{1}}} \right) \pm \sqrt {{{{\left( {{{U}_{{{{\nu \nu }}}}}{{m}_{2}} - d{{m}_{1}}} \right)}}^{2}} - 4{{m}_{1}}{{m}_{2}}\left( {h{{U}_{{{{\nu \rho }}}}} - d{{U}_{{{{\nu \nu }}}}}} \right)} }}{{2{{m}_{1}}{{m}_{2}}}}} .$

Здесь нижние индексы после запятой обозначают производную по соответствующим переменным, $h = {{F}_{{{\nu }}}} - {{U}_{{{{\nu \rho }}}}},$ $d = {{F}_{{{\rho }}}} - {{U}_{{{{\rho \rho }}}}}.$ Стационарное решение будет устойчивым, если $\lambda $ не имеет положительной действительной части. Легко показать, что $\lambda $ будет чисто мнимой, если выполняются условия

(28)
$h{{U}_{{{{\nu \rho }}}}} - d{{U}_{{{{\nu \nu }}}}} > 0,$
(29)
${{U}_{{{{\nu \nu }}}}}{{m}_{2}} - d{{m}_{1}} > 0.$

Равенство нулю действительной части означает, что вследствие малых возмущений параметры сигнала будут осциллировать в окрестности стационарных значений. Если убрать ионизационное слагаемое $\left( {F = 0} \right),$ то (28), (29) принимают вид ${{U}_{{{{\nu \nu }}}}}{{U}_{{{{\rho \rho }}}}} - {{\left( {{{U}_{{{{\nu \rho }}}}}} \right)}^{2}} > 0,$ ${{m}_{2}}{{U}_{{{{\nu \nu }}}}} + {{m}_{1}}{{U}_{{{{\rho \rho }}}}} > 0.$ Как и следовало ожидать, потенциальная функция в этом случае не имеет минимума. Если же учесть ионизацию, то из (28), (29) получаем

(30)
$\frac{{5{{L}_{d}}{{b}^{3}}}}{{{{L}_{{{\eta }}}}}}{{\left( {\frac{1}{b} - 1} \right)}^{{\frac{3}{2}}}}\left( {b - \frac{1}{2}} \right) > 0,$
(31)
${{m}_{1}} + {{m}_{2}} + {{m}_{1}}\frac{{3{{L}_{d}}{{b}^{3}}}}{{{{L}_{{{\eta }}}}}}{{\left( {\frac{1}{b} - 1} \right)}^{{\frac{3}{2}}}}\left( {b - \frac{7}{{12}}} \right) > 0.$

Проведем численные оценки. Известно, что в большинстве материалов окно аномальной групповой дисперсии лежит в среднем инфракрасном диапазоне. Так в сапфире для длины волны $\lambda = 4\,\,{\text{мкм}}$ имеем ${{\beta }_{2}} = 1.6 \cdot {{10}^{{ - 24}}}\,\,{{{\text{с}}}^{2}}\,\cdot\,\,{{{\text{м}}}^{{ - 1}}},$ γ = = 9.8 ⋅ 10–17 В–2 · м, ${{I}_{{th}}} = 4.6 \cdot {{10}^{{12}}}{\text{Вт/с}}{{{\text{м}}}^{2}},$ η = 8.1 · · 10–3 ${{{\text{В}}}^{{ - 2}}}\,\,\cdot\,\,{\text{м}}\,\,\cdot\,\,{{{\text{с}}}^{{ - 1}}}.$ Взяв $I = 5\,\,\cdot\,\,{{10}^{{12}}}\,\,{{{\text{Вт}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Вт}}} {{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}},$ из (25), (26) находим стационарные значения ${{\tau }_{0}} = 32\,\,{\text{фс,}}$ ${{a}_{0}} = 6.2\lambda = 24.8\,\,{\text{мкм}}{\text{.}}$ Легко показать, что при данных параметрах удовлетворяются условия (30), (31). На рис. 1 приведены результаты численного моделирования уравнения (1) при данных параметрах с начальным условием вида (3). Видно (рис. 1а, 1в, 1д), что при расчетных параметрах импульс распространяется на дистанции порядка 10 длин дисперсионного расплывания (примерно 6 мм в сапфире) в квазистационарном режиме, немного уменьшая свою амплитуду и испытывая слабый сдвиг своего спектра в синюю область. Для сравнения также приведен расчет (рис. 1б, 1г, 1е) для начального условия, когда радиус лазерного импульса вдвое превышает стационарное значение, рассчитываемое согласно (26). В этом случае наблюдается сложная динамика с делением импульса на филаменты и рефокусировкой, причем сдвиг спектра всей структуры в синюю область больше, чем в квазистационарном режиме.

Рис. 1.

Результаты численного интегрирования уравнения (1) с начальным условием (3) и $I = 5 \cdot {{10}^{{12}}}\,\,{{{\text{Вт}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{Вт}}} {{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}}},$ ${{\tau }_{p}} = {{\tau }_{0}} = 32\,\,{\text{фс}}$ на различных дистанциях распространения. Расчет выполнен для случаев $a = {{a}_{0}} = 25\,\,{\text{мкм}}$ (а, в, д) и $a = 50\,\,{\text{мкм}}$ (б, г, е).

Здесь следует еще раз отметить, что вклад смещения частоты, которым мы пренебрегли, и нелинейное поглощение, сопровождающее ионизацию, будут выводить систему из равновесия. По этой причине условия (30), (31) определяют лишь квазиустойчивый режим.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получено аналитическое описание методом моментов распространения планарных импульсов в режиме взаимной компенсации эффектов дифракции и ионизационной расходимости, с одной стороны, и самофокусировки, с другой. Баланс временной динамики обуславливался компенсацией дисперсионного уширения кубической нелинейностью. С помощью метода моментов проанализирована динамика планарного сигнала в режиме туннельной ионизации. Получены условия квазистационарного распространения сигнала. С помощью метода Ляпунова найдены условия устойчивого распространения (30), (31). Учет смещения частоты в красную область спектра за счет явления ВКС или в синюю, если преобладают эффекты ионизации, будет приводить к медленному выходу системы из баланса и возникновению осцилляций. Кроме того, равновесие будет нарушаться и за счет поглощения фотонов в процессе ионизации, которым мы пренебрегли в данном исследовании. Поэтому равновесие, исследованное в работе, имеет квазиустойчивый характер.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 17-11-01157).

Список литературы

  1. Rairoux P., Schillinger H., Niedermeier S. et al. // Appl. Phys. B. 2000. V. 71. P. 573.

  2. Diels J.-C., Bernstein R., Stahlkopf K., Zhao X.M. // Sci. Amer. 1997. V. 277. P. 50.

  3. Alfano R.R. The supercontinuum laser source. N.Y.: Springer, 1989. 538 p.

  4. D’Amico C., Houard A., Franco M. et al. // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 98. Art. No. 235002.

  5. Kivshar Yu.S., Agrawal G.P. Optical solitons: from fibers to photonic crystals. N.Y.: Academic Press Inc., 2003. 540 p.

  6. Edmundson D.E., Enns R.H. // Opt. Lett. 1992. V. 17. P. 586.

  7. Mihalache D., Mazilu D., Crasovan L.-C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. Art. No. 073902.

  8. Fibich G., Ilan B. // Opt. Lett. 2004. V. 29. P. 887.

  9. Raghavan S., Agrawal G.P. // 2000. V. 180. P. 377.

  10. Sazonov S.V., Kalinovich A.A., Komissarova M.V., Zakharova I.G. // Phys. Rev. A. 2019. V. 100. Art. No. 033835.

  11. Couairon A. // Eur. Phys. J. D. 1996. V. 27. P. 159.

  12. Henz S., Herrmann J. // Phys. Rev. E. 2006. V. 53. P. 4092.

  13. Sprangle P., Penano J.R., Hafizi B. // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. Art. No. 046418.

  14. Sprangle P., Esarey E., Krall J. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 4211.

  15. Penano J., Palastro J.P., Hafizi B. et al. // Phys. Rev. A. 2017. V. 96. Art. No. 013829.

  16. Couairon A., Mysyrowicz A. // Phys. Rep. 2007. V. 441. P. 47.

  17. Chekalin S.V., Dokukina E.A., Dormidonov E.A. et al. // J. Phys. B. 2015. V. 48. Art. No. 094008.

  18. Воронин А.А., Желтиков А.М. // УФН. 2016. Т. 186. № 9. С. 957; Voronin A.A., Zheltikov A.M. // Phys. Usp. 2016. V. 59. No. 9. P. 869.

  19. Saleh M.F., Chang W., Holzer P. et al. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. Art. No. 203902.

  20. Holzer P., Chang W., Travers J.C. et al. // Phys. Rev. Lett. 2011. V. 107. Art. No. 203901.

  21. Facao M., Carvalho M.I., Almeida P. // Phys. Rev. A. 2013. V. 87. Art. No. 063803.

  22. Dianov E.M., Karasik A.Y., Mamyshev P.V. // JETP Lett. 1985. V. 41(6). P. 294.

  23. Mitschke F.M., Mollenauer L.F. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 659.

  24. Gordon J.P. // Opt. Lett. 1986. V. 11. P. 662.

  25. Santhanam J., Agraval G. // Opt. Commun. 2003. V. 222. P. 413.

  26. Bugay A.N., Khalyapin V.A. // Phys. Lett. A. 2017. V. 381. P. 399.

  27. Власов С.Н., Петрищев В.А., Таланов В.И. // Изв. вузов. Радиофиз. 1971. Т. 14. № 9. С. 1453.

  28. Маймистов А.И. // ЖЭТФ. 1993. Т. 104. № 5. С. 3620; Maimistov A.I. // JETP. 1993. V. 77. P. 727.

  29. Келдыш Л.В. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 1945; Kel-dysh L.V. // Sov. Phys. JETP. 1965. V. 20. P. 1307.

  30. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал