Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 2, стр. 250-254

ВВЕДЕНИЕ

Формирование каналов генерации в лазерных диодах (ЛД) выявлено давно [1, 2]. Это явление было обнаружено экспериментально в ЛД планарной технологии с двойной гетероструктурой (ДГС) [2], где были исследованы маломощные ЛД (до 1 мВт) с широким контактом (ЛДШК) более 50 мкм. Причиной возникновения этого явления служат сильные нелинейности в активной среде ЛД, возникающие даже при небольшой мощности излучения. Это объяснялось, прежде всего, несовершенством технологии роста слоев ДГС при жидкофазной эпитаксии, приводящей к неравномерностям распределения примесей и дислокаций, неоднородностям толщины активного слоя в пределах ширины контакта. Экспериментально также наблюдалась многоканальная генерация, сопровождающаяся самосинхронизацией мод внутри каналов, либо пространственно-временным хаосом [2]. Современные ЛДШК с квантовой ямой (КЯ) показывают схожие режимы генерации, но при больших мощностях (от 0.5 Вт и выше) [3]. Это говорит о том, что есть фундаментальный механизм, ограничивающий размеры областей генерации в ЛДШК и не зависящий от качества изготовления полупроводниковых слоев, а именно – когерентность излучения. При этом причины образования каналов остаются теми же, что были ранее в ЛДШК без КЯ и с худшим качеством изготовления слоев. Особенности КЯ в качестве усиливающей условно двумерной среды проявляются в том, что, по сравнению с “объемными” (без квантово-размерного эффекта) активными средами, ЛД с КЯ имеет спектр излучения как минимум на порядок уже (4–6 нм по длине волны). При этом усиление в максимуме линии оказывается примерно во столько же раз больше при одинаковых плотностях тока накачки. Это обстоятельство приводит к необходимости учитывать влияние нелинейной рефракции, а также степени когерентности, на спектрально-пространственные характеристики излучения мощных ЛД [4].

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАЗЕРНЫХ ДИОДОВ

В 80-х гг. прошлого века впервые появились работы по моделированию процессов в ЛД [5, 6], послужившие основой для современных распределенных моделей. В силу своих особенностей модели для ЛДШК требуют усовершенствованных подходов к математическому моделированию динамики и статики их излучения. Современная базовая модель, описывающая самосогласованное взаимодействие излучения, накачки и многослойной активной полупроводниковой структуры описана, например, в работах [7–9]. В основе всех самосогласованных моделей ЛД лежат кинетические (скоростные) уравнения, которые описывают баланс концентраций неравновесных носителей и фотонов в активной области лазера. В распределенных моделях ЛД учитывается неоднородное по пространству взаимодействие между лазерным излучением и неравновесными носителями. Кроме того, в распределенной модели присутствует волновое уравнение для расчета оптического поля в ЛД.

Результаты расчета ближнего поля ЛДШК по модели, описанной в [7–9], при наличии трех каналов генерации в предположении о том, что число каналов известно заранее, можно найти в работах [4, 8, 9]. Экспериментальный спектр [10] ЛДШК, который показан на рис. 1а, соответствует трехканальной генерации ЛД с шириной контакта W = 100 мкм. Каждому пространственному каналу генерации соответствует своя линия в спектре излучения ЛД.

Была поставлена задача определить связь между величиной пространственной ширины одного канала генерации w₀ (или количества каналов W/w₀ для известной ширины W активной области ЛД) со спектральным диапазоном линии, отвечающей излучению одного канала, и такими параметрами лазера как длина диффузии неравновесных носителей и коэффициент нелинейной рефракции КЯ. Ширина линии спектра одного канала генерации при токе накачки 1 А, что соответствует двукратному превышению порога, в эксперименте [10, 11] составила величину около $\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}$ = 1 нм (рис. 1а). Основные параметры используемого в эксперименте ЛДШК были следующие. Длина резонатора L = 2 мм, ширина накачиваемой области W = 100 мкм, толщина КЯ d = = 12 нм, толщина волноводных слоев d_w = 2 мкм, показатели преломления слоев без накачки n_КЯ= = 3.64 и n_в= 3.52, коэффициент оптического ограничения КЯ Г = 0.012, коэффициенты отражения зеркал по интенсивности R₁ = 0.065, R₂ = 0.99, диссипативные потери α_д = 3.4 см^–1, время спонтанной рекомбинации неравновесных носителей в КЯ τ_сп = 2.7 нс.

Для расчета оптического поля мы используем одномерное волновое уравнение, подразумевающее когерентность получаемых решений. От концентрации неравновесных носителей N зависит комплексная эффективная диэлектрическая проницаемость лазерного волновода, определяемая согласно методу эффективного показателя преломления [8, 12]:

где ${{\varepsilon }^{0}}$ = 12.67 – действительная часть эффективной диэлектрической проницаемости “холодного” резонатора A, B, F – эффективные коэффициенты нелинейной рефракции, дифференциального усиления и потерь, рассчитываемые по известным соотношениям [8, 9].

Материальное соотношение (1) входит в комплексное уравнение Гельмгольца при следующей зависимости электрического поля от времени t, латеральной и аксиальной координат y и z $E(y,z,t)$ = $\psi (y)\exp (j(\omega t - \beta z)){\text{:}}$

где c – скорость света в вакууме, ${{\omega }_{j}}$ – частота моды оптического излучения, β – продольная постоянная распространения, ${{\psi }_{j}}(y)$ – латеральные собственные функции.

ДЛИНА КОГЕРЕНТНОСТИ И ШИРИНА КАНАЛА ГЕНЕРАЦИИ

Записывая уравнение (2) для оптического поля мы подразумеваем когерентное излучение ЛД. Однако, рассматривая экспериментальные спектры мощных ЛДШК [4, 10, 11, 13], можно сказать, что оказывается невозможно адекватно рассчитать распределение оптического поля на зеркале ЛД, так как каналы излучения несфазированы (некогерентны) между собой. Это заключение основано на том, что несколько линий в спектре ЛДШК соответствуют такому же количеству нефазированных пространственных каналов генерации. При ширине наблюдаемого спектра ЛДШК 6 нм [9], и характерной для ЛД длине когерентности в несколько сантиметров [14], расчет показывает, что на ширине 20–40 мкм когерентность лазерного излучения разрушается [9]. С другой стороны, существует известная связь между спектральной шириной линии излучения $\Delta {{\lambda }_{{{\text{ког}}}}}$ и длиной когерентности L_ког [15]:

Здесь λ₀ = 964 нм средняя длина волны лазерного излучения ЛДШК. Расчет по этой формуле дает значение спектральной ширины линии излучения $\Delta {{\lambda }_{{{\text{ког}}}}}$ = 0.019 нм при L_ког = 2.5 см, что не соответствует ширине спектральных линий на рис. 1, которая составляет около $\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}$ = 1 нм. Это можно объяснить тем фактом, что наблюдаемый в эксперименте спектр имел разрешение по длине волны около 0.1 нм, тогда как спектральный интервал между продольными модами в лазерном резонаторе длиной L = 2 мм составляет $\Delta {{\lambda }_{{{\text{прод}}}}}$ = = 0.065 нм. В эксперименте наблюдалась огибающая линия спектра, а не точно прописанный спектр. Близкую к спектральному межмодовому расстоянию имеет и ширина резонансов Фабри-Перо $\Delta {{\lambda }_{{{\text{линия}}\,{\text{ФП}}}}}$ = 0.043 нм, определяемая величиной добротности “холодного” резонатора [8, 9] Q_х = 2.23 ∙ 10⁴. Таким образом, оценка показывает, что в рассматриваемом ЛДШК длина когерентности соответствует ширине спектра излучения, скорее близкой к ширине резонанса Фабри-Перо, чем спектра канала генерации. При этом в одну спектральную линию канала генерации попадает излучение от ${{\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}} {\Delta {{\lambda }_{{{\text{прод}}}}}}}} \right. \kern-0em} {\Delta {{\lambda }_{{{\text{прод}}}}}}}$ = 15 мод.

Воспользуемся результатами теории оптических волноводов [12]. В работе [9] была рассчитана связь между длиной когерентности излучения L_ког и шириной когерентного канала w₀. Наиболее близкий к экспериментальным данным [4, 10, 11] результат дает использование модели планарного трехслойного волновода в рамках теории дифракции при учете отражений от ограничивающих резонатор плоских зеркал [9, 16]:

где ${{n}_{{{\text{эф}}\,{\text{0}}}}} \approx \sqrt {{{\varepsilon }^{0}}} $ – эффективный показатель преломления фундаментальной латеральной моды. Оценка по формуле (4), сделанная для величины ${{L}_{{{\text{ког}}}}}$ = 2.5 см, дает значение w₀ = 33 мкм, что соответствует трем каналам на ширине 100 мкм.

ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОЙ ТЕОРЕМЫ В МОДЕЛИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА

Учет самофокусировки излучения за счет нелинейной рефракции позволяет рассматривать в качестве приближения локальный волновод с ограниченным квадратичным профилем, изображенный на рис. 2, и также оценить ширину установившегося канала генерации через длину когерентности. При использовании модели наведенного нелинейной рефракцией параболического волновода профиль действительной части эффективной диэлектрической проницаемости записывается в следующем виде:

где y₀ – ширина модельного представления диэлектрической проницаемости, как показано на рис. 2. Величины w₀ и y₀ оказываются связаны между собой соотношением [12]: где n_{эф 0} – эффективный показатель преломления фундаментальной моды, принимаемый в расчетах равным n_{эф 0} = 3.56.

Из сравнения формул (4) и (6) следует, что ширина квадратичного модельного волновода оказывается равной длине когерентности излучения в данном канале:

Соотношение (6) соответствует случаю фундаментальной моды волновода (5), то есть основному решению уравнения (2) в виде функции Гаусса:

где учтено условие нормировки:

Для расчета ширины спектра излучения канала генерации, возникающем в результате самофокусировки можно воспользоваться вариационной теоремой [12], рассматривая малые вариации действительной части профиля диэлектрической проницаемости $\Delta \varepsilon = A \cdot \Delta N$ (1), вызванные нелинейной рефракцией при малых отклонениях профиля концентрации неравновесных носителей ∆N. Согласно вариационной теореме, учитывая (5), имеем выражение для расчета спектральной ширины линии канала:

где u = y/y₀, u₀= w₀/(2y₀) – нормированные координата и полуширина канала.

Использование модели параболического профиля волновода (5) и результатов применения вариационной теоремы (10), связывающей вариации длины волны с отклонениями диэлектрической проницаемости дает оценку для ширины спектра канала генерации: $\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}$ = 0.9 нм.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ШИРИНА КАНАЛА ГЕНЕРАЦИИ И НЕЛИНЕЙНАЯ РЕФРАКЦИЯ

Для сравнения с предыдущим расчетом рассмотрим более грубую оценку ширины спектра лазерного канала, в которой используем значения вариации концентрации неравновесных носителей ∆N, полученные при численном моделировании. Предположим, что вариации действительной части диэлектрической проницаемости (1) определяются в центре и сбоку (на расстоянии w₀/2) канала для постоянного значения номера продольной моды M, а вариации длины волны излучения $\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}$ оцениваются согласно следующему правилу:

где, согласно формуле (1), $\Delta \varepsilon = A \cdot \Delta N,$ ∆N – вариация концентрации инжектированных носителей в центре канала. Из численных расчетов при двойном превышении порога мы получили значение ∆N = 1.4 ∙ 10⁵ мкм^–3 (для сравнения, расчетное пороговое значение концентрации равно N_пор = 3.5 ∙ 10⁶ мкм^–3). Коэффициент нелинейной рефракции составлял А = 2.5 ∙ 10^–7 мкм³. Подстановка этих значений в (8) дает величину $\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}$ = 1.3 нм, что вполне согласуется с экспериментом (рис. 1а).

При такой грубой оценке ширина спектральной линии канала $\Delta {{\lambda }_{{{\text{канал}}}}}$ явно не связана с его пространственным размером w₀. Однако опосредованно эти величины должны быть зависимы из-за очевидной связи между вариацией ∆N и шириной этого волновода. При данном токе накачки должно сохраняться среднее количество “выжигаемых” носителей в единицу времени в пределах одного канала, как это предусмотрено в простейшей модели ЛД.

Приведенные выше рассуждения и оценки нужны для объяснения экспериментальных результатов, представленных на рис. 1. Обнаруженное в эксперименте увеличение числа каналов генерации (уменьшение их пространственной ширины) и насыщение спектра ЛДШК в процессе длительной эксплуатации объяснимо, если предположить рост величины параметра нелинейной рефракции А в этом процессе. Этот рост сопровождает медленную деградацию прибора. Расчеты и эксперимент показывают возможность роста величины параметра А в пределах 10^–7–10^–6 мкм³, что приводит в ЛДШК, кроме появления новых каналов в резонаторе и новых линий в спектре, к пространственному сужению и спектральному уширению уже существующих каналов генерации. В этом процессе пространственные каналы между собой “расталкиваются”, а спектральные линии начинают все больше перекрывать друг друга (рис. 1б).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, показана связь между нелинейной рефракцией, когерентностью и спектрально-пространственными размерами каналов генерации в мощных ЛДШК. Эти результаты можно использовать для экспериментального определения текущей работоспособности и ресурса работы лазерных диодов большой мощности по виду наблюдаемых пространственного и частотного спектров излучения этих устройств.