Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 5, стр. 638-644

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что теория релятивистского среднего поля (ТРСП) успешно описывает такие статические свойства ядер как энергии связи и кулоновские форм-факторы [1–3]. В то же время имеется множество высокоточных данных (с типичной погрешностью порядка 1%) по слиянию (захвату) сложных ядер [4, 5]. Эти данные детально анализировались с помощью модели двойной свертки с эффективными нуклон-нуклонными (NN) силами M3Y [6, 7]. Поэтому представляется логичным попытаться описать те же данные, используя эффективные силы, полученные в рамках теории релятивистского среднего поля.

Это эффективное взаимодействие имеет вид [8]

Массы мезонов ${{m}_{{{\omega }}}},$ ${{m}_{{{\rho }}}},$ ${{m}_{{{\sigma }}}}$ и константы связи мезонов с нуклонами ${{g}_{{{\omega }}}},$ ${{g}_{{{\rho }}}},$ ${{g}_{{{\sigma }}}},$ ${{g}_{2}},$ ${{g}_{3}},$ полученные из подгонки статических свойств ядер, представлены в табл. 1 с соответствующими ссылками.

Структура эффективных сил, полученных на основе ТРСП, подобна структуре хорошо известного M3Y взаимодействия. Последнее имеет вид:

В работе [13] приводятся следующие значения для параметров формулы (2): ${{G}_{1}}$ = 11062 МэВ, ${{G}_{2}}$ = = 2537.5 МэВ, ${{r}_{1}}$ = 0.25 фм, ${{r}_{2}}$ = 0.40 фм, ${{J}_{{00}}}$ = = 592 МэВ ⋅ фм³ (парижское взаимодействие). Мы используем это же значение ${{J}_{{00}}}$ и для ТРСП взаимодействия. Отметим, что энергетическая зависимость этого взаимодействия не учитывается, так как она несущественна в данной задаче. Прямые части M3Y и ТРСП взаимодействий, т.е. ${{\nu }_{{NN}}}$ без слагаемых с дельта-функцией, сравниваются между собой на рис. 1. Они помечены индексом “0”: M3Y_0 и т.д. Все пять профилей ${{\nu }_{{NN}}}\left( r \right)$ похожи друг на друга, что заставляет ожидать похожих ядро-ядерных сил, полученных с использованием этих нуклон-нуклонных взаимодействий.

Рис. 1.

Прямая часть эффективного нуклон-нуклонного взаимодействия (т.е. без учета члена с дельта-функцией). Использованы следующие NN силы: сплошная линия без символов – M3Y_0, штриховая линия – NL1_0, сплошная линия с открытыми кружками – NL2_0, сплошная линия с черными квадратами – NL3_0, сплошная линия с черными треугольниками – HS_0.

ЭНЕРГИЯ ЯДРО-ЯДЕРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В настоящей работе энергия сильного ядерного взаимодействия (СиЯВ, ${{U}_{n}}$) вычисляется методом двойной свертки:

Здесь $\vec {R}$ – вектор, соединяющий центры масс сталкивающихся ядер; ${{\vec {r}}_{P}}$ и ${{\vec {r}}_{T}}$ – радиус-векторы двух взаимодействующих точек снаряда и мишени соответственно. Рисунки, иллюстрирующие этот процесс, можно найти во многих публикациях (см., например, [14, 15]). Энергия кулоновского взаимодействия вычисляется посредством двойной свертки по формуле, аналогичной формуле (3). Нуклонные и зарядовые плотности, необходимые для этих вычислений, взяты из работы [7]. Они были получены методом Хартри–Фока с силами Скирма, как описано в работе [16]. При этом учитывался тензорный характер сил и использовалась SKX параметризация [17] (далее мы ссылаемся на них как на SKX HF плотности).

Вычисленные таким образом потенциалы СиЯВ и полные потенциалы взаимодействия (т.е. с учетом кулоновской составляющей) показаны на рис. 2 для реакции ¹²C + ⁹²Zr при нулевом угловом моменте. Вычисления, результаты которых показаны на рис. 2а и 2б, проведены без учета слагаемого с дельта-функцией. Потенциалы СиЯВ на рис. 2а не убывают при уменьшении $R$ и, соответственно, потенциалы ${{U}_{{tot}}}\left( R \right)$ на рис. 2б не имеют барьеров. Стало быть, их нельзя использовать для описания данных по слиянию (захвату) при столкновении тяжелых ионов. Однако потенциалы ${{U}_{n}}$ на рис. 2а возрастают с разной скоростью: те из них, что соответствуют наборам параметров NL2_0 и HS_0 возрастают с убыванием $R$ значительно медленнее, чем два других ТРСП-потенциала, NL1_0 и NL3_0. Для сравнения на рис. 2 показаны также потенциалы, полученные с силами M3Y.

Рис. 2.

СиЯВ ((a) и (в)) и полный ядро-ядерный потенциал ((б) и (г)) в зависимости от межцентрового расстояния для реакции ¹²C + ⁹²Zr. Панели (а) и (б) соответствуют расчетам без обменного слагаемого, панели (в) и (г) – расчетам с учетом этого слагаемого. Все обозначения как на рис. 1.

В качестве следующего шага мы вычислили ТРСП ${{U}_{n}}$ потенциалы с учетом ${{J}_{{00}}}$ (т.е. с обменным слагаемым). Результаты этих расчетов снабжены индексом “Е”. Результирующие потенциалы показаны на рис. 2в и 2г. Для параметров NL1 и NL3 учет обменного слагаемого качественно не изменил картину: полные потенциалы взаимодействия по-прежнему не имеют барьеров. Однако, потенциал ${{U}_{n}}$(NL2_E) убывает подобно ${{U}_{n}}$(M3Y_E) (рис. 2в) и в результате на рис. 2г появляется барьер. Форма и высота этого барьера близки к полученным с M3Y_E нуклон-нуклонным взаимодействием. Силы HS из работы [11] также приводят к ядро-ядерному потенциалу, который убывает по мере сближения ядер (см. рис. 2в). Соответственно, полный потенциал ${{U}_{{tot}}}$ (HS_E) имеет барьер, который очень похож на барьер ${{U}_{{tot}}}$ (NL2_E) (см. рис. 2г). Поэтому мы проводим сравнение с экспериментальными данными, используя только потенциал ${{U}_{{tot}}}$ (HS_E).

Попытаемся качественно понять поведение ТРСП потенциалов СиЯВ, анализируя нуклон-нуклонные силы на рис. 1. Сравнивая кривые, соответствующие ТРСП и M3Y, можно было бы ожидать, что все ТРСП СиЯВ потенциалы будут убывать при сближении ядер, приводя к появлению барьера на графике ${{U}_{{tot}}}\left( R \right).$ В самом деле, силы ${{\nu }_{{NN}}}$(ТРСП) выглядят очень похожими на ${{\nu }_{{NN}}}$(M3Y), причем минимумы у ${{\nu }_{{NN}}}$(ТРСП) даже глубже.

Чтобы разобраться в этом кажущемся противоречии, мы показываем на рис. 3 прямые части всех пяти ν_NN-потенциалов при малых значениях аргумента. В таком представлении видно, что ${{\nu }_{{NN}}}$(NL1_0) и ${{\nu }_{{NN}}}$(NL3_0) при уменьшении $r$ возрастают гораздо быстрее, чем три остальных. Более того, $r$-зависимости ν_NN(NL2_0) и ν_NN(HS_0) при малых значениях $r$ становятся близки к ${{\nu }_{{NN}}}$(M3Y_0). Таким образом, естественно ожидать, что при использовании этих трех нуклон-нуклонных сил барьеры будут получаться близкими по высоте и радиусу.

Рис. 3.

Прямая часть эффективного нуклон-нуклонного взаимодействия (т.е. без учета члена с дельта-функцией): детальная картина для малых расстояний между нуклонами. Все обозначения как на рис. 1.

В потенциалах ${{\nu }_{{NN}}}$(NL1_0) и ${{\nu }_{{NN}}}$(NL3_0) отталкивание наступает при слишком большом расстоянии между нуклонами по сравнению c тремя потенциалами, обсуждавшимися в предыдущем абзаце. Данное наблюдение, как нам представляется, объясняет отсутствие барьеров для этих двух потенциалов.

Энергия СиЯВ вычислялась в рамках ТРСП ранее в работах [11, 12, 18]. NN-силы из работы [11] (HS_0) показаны на рис. 1 и рис. 3, а барьеры, которые получаются при использовании HS_E представлены ниже в табл. 2. Наши вычисления приблизительно воспроизводят барьер для реакции ¹⁴C + ²⁰⁸Pb (см. рис. 2 в [11]). Мы вычисляли барьер для реакции ¹²C + ²⁰⁸Pb и получили ${{U}_{{B0}}}$(NL2_E) = 58.3 МэВ и ${{U}_{{B0}}}$(HS_E) = 58.0 МэВ. Эти значения близки к ${{U}_{{B0}}} \approx 57$ МэВ (см. вставку на рис. 2 в [11]).

Сравнение наших результатов с результатами работы [18] вызывает трудности, так как подходы, использованные в этих двух работах, слишком различны. В самом деле, мы используем SKX HF плотности, тогда как в работе [18] использованы плотности, полученные в релятивистском подходе Хартри–Боголюбова. Кроме того, в [18] для NN сил использовано приближение дельта-функции, тогда как мы используем ТРСП-силы с конечными радиусами взаимодействия.

Наш результат в отношении отсутствия барьера при использовании NL3-сил как будто находится в противоречии с результатами работы [12], в которой сечения слияния вычислялись с использованием этого NN взаимодействия. Один источник кажущегося противоречия – различные плотности, использованные в [12] и в настоящей работе. А именно, в [12] плотности получались с использованием того же NL3 взаимодействия, тогда как у нас используются SKX HF плотности. Другая возможная причина состоит в том, что в сравниваемых двух работах расчеты сделаны для разных реакций. Следует заметить, что в работе [8] для реакции p + ¹²⁰Te полный потенциал взаимодействия, основанный на NL3 NN силах, не имеет барьера как и в наших расчетах. Вопрос об этом кажущемся противоречии, возможно, требует дальнейшего изучения.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ СЛИЯНИЯ

Перейдем теперь к сравнению с экспериментом. Для этой цели мы выбрали высокоточные данные по надбарьерным сечениям слияния в реакциях ¹⁶O + ⁹²Zr и ²⁸Si + ⁹²Zr [19], ¹⁶O + ¹⁴⁴Sm [20], ¹⁶O + ²⁰⁸Pb [21], ¹²C + ¹⁴⁴Sm [22] (данные зачастую взяты из базы данных [23]). Следует заметить, что экспериментальные погрешности в работах [19–21] составляют 0.5–1%, тогда как в [22] – около 5%.

Сечения слияния в данной работе вычисляются с помощью флуктуационно-диссипативной траекторной модели, разработанной в [6, 7, 24]. Эта модель подробно описана и тщательно протестирована в указанных работах, поэтому здесь приведено лишь ее краткое описание.

Физическая картина модели похожа на использованную в работе [25]: воображаемая броуновская частица с приведенной массой движется под действием консервативной, диссипативной и случайной сил. Мы изучаем процесс при энергиях столкновения заметно выше кулоновского барьера, так что квантовые эффекты (туннелирование и связь каналов) не учитываются. В рассматриваемых реакциях участвуют только сферические ядра. Эти ядра довольно жесткие, благодаря по крайней мере одной (нейтронной или протонной) замкнутой оболочке. Поэтому мы ограничиваемся моделированием с одной степенью свободы, соответствующей радиальному движению. Это движение описывается безразмерной координатой $q$, которая пропорциональна межцентровому расстоянию R. В [26] было показано, что орбитальную степень свободы можно опустить, так как ее учет влияет на сечения в пределах статистических погрешностей, которые в данной работе составляют около 1%.

В [27] было показано, что эффекты памяти в столкновениях тяжелых ионов существенны только вблизи точки касания. В наших расчетах такая конфигурация никогда не достигается, поэтому мы описываем процесс с помощью уравнений типа уравнений Ланжевена с белым шумом и мгновенным трением:

Здесь $p$ – импульс, отвечающий радиальному движению; ${{F}_{U}},$ ${{F}_{{cen}}}$ и ${{F}_{D}}$ – консервативная, центробежная и диссипативная силы соответственно. Последняя связана с потенциалом СиЯВ формулой поверхностного трения (8) [28, 29]. $\hbar L$ представляет собой проекцию орбитального углового момента на ось, перпендикулярную плоскости реакции; ${{m}_{q}}$ – инерционный параметр; ${{K}_{R}}$ обозначает амплитуду коэффициента трения; $D$ – коэффициент диффузии, пропорциональный температуре θ. Случайная сила пропорциональна приращению $dW$ винеровского процесса W; это приращение имеет нулевое среднее и дисперсию равную $dt.$ Уравнения (4), (5) решались численно методом Рунге–Кутта (см. детали в [24, 30]).

Сечения захвата вычислялись по стандартной квантово-механической формуле (см., например, [31])

Здесь ${{E}_{{c.m.}}}$ – энергия столкновения в системе центра масс; ${{m}_{R}} = {{{{m}_{n}}{{A}_{P}}{{A}_{T}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{n}}{{A}_{P}}{{A}_{T}}} {\left( {{{A}_{P}} + {{A}_{T}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{A}_{P}} + {{A}_{T}}} \right)}}$ включает в себя массу нуклона ${{m}_{n}}$ и массовые числа ядра-снаряда (${{A}_{P}}$) и ядра-мишени (${{A}_{T}}$); ${{L}_{{max}}}$ – максимальное значение углового момента, выше которого коэффициент прохождения ${{T}_{L}}$ становится достаточно малым. Коэффициент прохождения является результатом динамического моделирования, описанного выше.

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Мы вычисляем сечения слияния ${{\sigma }_{{th}}},$ варьируя амплитуду коэффициента трения ${{K}_{R}}$ в формулах (8), (9) для каждой реакции, подобно тому, как это сделано в [7, 24]. Расчетные сечения сравниваются с экспериментальными ${{\sigma }_{{exp}}}$ с помощью формулы (11)

Здесь ${{\sigma }_{{ith}}}$ соответствует значению ${{E}_{{c.m.~i~}}},$ а ${{\sigma }_{{iexp}}}$ и ${{\Delta }}{{\sigma }_{{iexp}}}$ – экспериментальное сечение и его погрешность для того же значения энергии столкновения. Оптимальное значение амплитуды коэффициента трения, ${{K}_{{Rm}}},$ соответствует минимуму величины ${{\chi }^{2}},$ $\chi _{m}^{2}.$ Полученные таким образом значения ${{K}_{{Rm}}},$ $\chi _{m}^{2},$ и ${{U}_{{B0}}}$ (высота кулоновского барьера для нулевого углового момента) собраны в табл. 2. Они сравниваются со значениями, найденными в [7]. Оптимальные значения амплитуды коэффициента трения, найденные в настоящей работе, оказываются значительно меньше значений, полученных в [7] потому, что высоты барьеров в настоящей работе получились несколько больше. Значения $\chi _{m}^{2}$ в настоящих ТРСП-расчетах оказываются примерно такими же, как и в [7], не обнаруживая никакой регулярной закономерности.

Рисунок 4 дает визуальное представление о степени согласия расчетных сечений с экспериментальными. На нем показано отношение ${{{{\sigma }_{{th}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{{th}}}} {{{\sigma }_{{exp}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\sigma }_{{exp}}}}}$ как функция ${{{{U}_{{B0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{{B0}}}} {{{E}_{{c.m.}}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{{c.m.}}}}}$ для пяти реакций из табл. 2. Теоретические сечения получены с использованием HS_E NN-сил с оптимальными значениями ${{K}_{{Rm}}}.$ Типичные статистические погрешности ланжевеновских расчетов составляют около 1%. Рисунок 4 показывает довольно хорошее качество теоретического описания данных: из 42 точек только две выходят за пределы 5%-ной полосы.

Рис. 4.

Отношение ${{{{\sigma }_{{th}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{{th}}}} {{{\sigma }_{{exp}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\sigma }_{{exp}}}}}$ как функция ${{{{U}_{{B0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{U}_{{B0}}}} {{{E}_{{c.m.}}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{{c.m.}}}}}$ для пяти реакций из табл. 2: сплошные квадраты – ¹⁶O + ⁹²Zr, открытые треугольники – ¹⁶O + ¹⁴⁴Sm, сплошные кружки – ¹²C + ²⁰⁸Pb, сплошные звездочки – ²⁸Si + ⁹²Zr, открытые ромбы – ¹²C + ¹⁴⁴Sm.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе вычислены сечения слияния для пяти реакций со сферическими ядрами при энергиях столкновения выше кулоновского барьера. Для этого использован ядро-ядерный потенциал, полученный в модели двойной свертки (см. формулу (3)) с нуклон-нуклонными (NN) силами ${{\nu }_{{NN}}},$ основанными на теории релятивистского среднего поля (ТРСП). Эти NN-силы соответствуют NL1, NL2, NL3 и HS наборам параметров ТРСП, которые встречаются в литературе. Использованные для расчетов плотности нуклонов были вычислены в хартри-фоковском подходе с силами Скирма (SKX-параметризация) с учетом тензорного характера сил.

Наши расчеты показали, что два из этих наборов параметров (NL1 и NL3) приводят к полному потенциалу ядро-ядерного взаимодействия (сильное + кулоновское), не имеющему барьера. При учете обменного слагаемого в NN-силах (такого же как в M3Y парижских силах) барьер появляется только для NL2- и HS-наборов параметров. Причину отсутствия/наличия барьера мы видим в скорости роста прямой части NN-сил при уменьшении расстояния между нуклонами. Высоты релятивистских кулоновских барьеров в наших расчетах оказались близки к полученным ранее с использованием M3Y NN-сил.

Ядро-ядерные потенциалы, рассчитанные с использованием HS ТРСП NN-сил, были использованы для вычисления сечений слияния с помощью флуктуационно-диссипативной траекторной модели с поверхностным трением, известной в литературе. Теоретические сечения сравниваются “точка в точку” с высокоточными экспериментальными сечениями (типичная погрешность около 1%) для пяти реакций. Результат сравнения демонстрирует хорошее качество согласия теории с экспериментом: типичный хи-квадрат составляет несколько единиц. Расчеты с NL2-параметрами дают сходный результат (см. [32]).