Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 5, стр. 645-649
О ковариантном описании упругого рассеяния продольно поляризованных лептонов ядрами c полуцелым спином
М. Я. Сафин *
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
“Российский университет дружбы народов”
Москва, Россия
* E-mail: misafin@gmail.com
Поступила в редакцию 20.11.2020
После доработки 28.12.2020
Принята к публикации 27.01.2021
Аннотация
В рамках формализма Рариты–Швингера рассмотрено упругое электрослабое рассеяние продольно поляризованных заряженных лептонов на ядрах полуцелого спина. Для ядер со спином J ≤ 5/2 построены вершинные операторы электромагнитного и слабого нейтрального токов, а также матрицы плотности неполяризованного состояния ядра. Получены выражения для мультипольных форм-факторов этих ядер через инвариантные форм-факторы эффективного электрослабого тока ядра, а также для право-левой асимметрии сечения рассеяния.
ВВЕДЕНИЕ
Электрослабые форм-факторы описывают внутреннюю структуру ядер, и их изучение представляет большой интерес как для понимания нуклон-нуклонных взаимодействий, так и для изучения фундаментальных законов взаимодействия элементарных частиц [1–5]. В упругом (когерентном) рассеянии ядро участвует как целостный объект, и при исследовании рассеяния на нем лептонов представляет интерес ковариантное описание [6–8] основного состояния ядра и, соответственно, вершинных функций электромагнитного и слабого токов. Физическая интерпретация инвариантных форм-факторов достигается путем мультипольных разложений в системе Брейта матричных элементов компонент эффективного электрослабого тока ядра. В развитие результатов работы [6] получены выражения для мультипольных форм-факторов ядер с полуцелым спином J ≤ 5/2 через инвариантные форм-факторы эффективного электрослабого тока ядра.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ ПРОДОЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЛЕПТОНОВ
Сечение упругого электрослабого рассеяния заряженных лептонов спиральности $\zeta \,$ при высокой энергии (${{{{m}_{l}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{l}}} M}} \right. \kern-0em} M},$ ${{{{m}_{l}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{l}}} E}} \right. \kern-0em} E} \ll 1$) в лабораторной системе имеет вид [6]
(1)
$\begin{gathered} \frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = {{\sigma }_{{Mott}}}\left\{ {{{W}_{1}}\left( \tau \right) + 2t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}{{W}_{2}}\left( \tau \right) - } \right. \\ \left. { - \,\,\zeta \tau \left[ {\frac{M}{E} + \left( {1 + \frac{M}{E}} \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]{{W}_{4}}\left( \tau \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $(2)
${{\sigma }_{{Mott}}} = \frac{{{{Z}^{2}}{{\alpha }^{2}}}}{{4{{E}^{2}}}}\frac{{{{{\cos }}^{2}}\frac{\theta }{2}}}{{{{{\sin }}^{4}}\frac{\theta }{2}}}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{{2E}}{M}} \right){{{\sin }}^{2}}\frac{\theta }{2}}},$$\tau = - {{{{q}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}^{2}}} {4{{M}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {4{{M}^{2}}}},$ E – энергия налетающего лептона, $\theta $ – угол его рассеяния, M – масса ядра, а структурные функции ${{W}_{i}}\left( \tau \right)$ имеют вид
(3a)
${{W}_{1}}\left( \tau \right) = \Phi _{C}^{2}\left( \tau \right) + \beta _{1}^{2}\left( J \right)\left[ {\tau \Phi _{M}^{2}\left( \tau \right) + \Phi _{{5E}}^{2}\left( \tau \right)} \right],$(3б)
${{W}_{2}}\left( \tau \right) = \beta _{1}^{2}\left( J \right)\left( {1 + \tau } \right)\left[ {\tau \Phi _{M}^{2}\left( \tau \right) + \Phi _{{5E}}^{2}\left( \tau \right)} \right],$(3в)
${{W}_{4}}\left( \tau \right) = - 4\beta _{1}^{2}\left( J \right)\sqrt {1 + \tau } \,{{\Phi }_{{int}}}\left( \tau \right).$Для эффективных форм-факторов $\Phi _{C}^{2}\left( \tau \right),$ $\Phi _{M}^{2}\left( \tau \right),$ $\Phi _{{5E}}^{2}\left( \tau \right)$ и ${{\Phi }_{{int}}}\left( \tau \right)$ ядра произвольного спина справедливы разложения по мультипольным моментам любого допустимого порядка $l \leqslant 2J{\text{:}}$
(4a)
$\Phi _{C}^{2}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\,{\text{четные}}} {{{2}^{{2l}}}\beta _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{l}}\Phi _{{Cl}}^{2}\left( \tau \right)} ,$(4б)
$\begin{gathered} \Phi _{{M,5E}}^{2}\left( \tau \right) = \\ = \,\,\sum\limits_{l\,{\text{нечетные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}\Phi _{{Ml,5El}}^{2}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $(4в)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{{int}}}\left( \tau \right) = \\ = \,\,\sum\limits_{l\,{\text{нечетные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}{{\Phi }_{{Ml}}}{{\Phi }_{{5El}}}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $(5a)
$\gamma _{l}^{2}\left( J \right) = {{\beta _{l}^{2}\left( J \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\beta _{l}^{2}\left( J \right)} {\beta _{1}^{2}\left( J \right)}}} \right. \kern-0em} {\beta _{1}^{2}\left( J \right)}},\,\,\,\,\beta _{1}^{2}\left( J \right) = {{\left( {J + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {J + 1} \right)} {3J}}} \right. \kern-0em} {3J}},$(5б)
${{\beta }_{l}}\left( J \right) = \frac{{\sqrt {2l + 1} }}{{\left( {2l + 1} \right)!!}}{{\left[ {\frac{{\left( {2J + l + 1} \right)!\left( {2J - l} \right)!}}{{\left( {2J + 1} \right)!\left( {2J} \right)!}}} \right]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$В пренебрежении вкладами чисто слабого взаимодействия, сечение (1) представляется в виде суммы электромагнитного и интерференционного сечений:
где(6a)
$\begin{gathered} \frac{{d{{\sigma }_{{em}}}}}{{d\Omega }} = {{\sigma }_{{Mott}}}\left\{ {F_{C}^{2}\left( \tau \right) + \tau \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right)} \right. \times \\ \left. { \times \,\,\left[ {1 + 2\left( {1 + \tau } \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]F_{M}^{2}\left( \tau \right)} \right\}, \\ \end{gathered} $(6б)
$\begin{gathered} \frac{{d{{\sigma }_{{int}}}}}{{d\Omega }} = - 2{{\delta }_{\zeta }}{{\sigma }_{{Mott}}}\left\{ {{{f}_{C}}\left( \tau \right) + \tau \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right)} \right. \times \\ \times \,\,\left[ {1 + 2\left( {1 + \tau } \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]{{f}_{M}}\left( \tau \right) + 2\zeta \tau \sqrt {1 + \tau } \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right) \times \\ \times \,\,\left. {\left[ {\frac{M}{E} + \left( {1 + \frac{M}{E}} \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]{{f}_{{int}}}} \right\}, \\ \end{gathered} $причем,
(7a)
$F_{C}^{2}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\,{\text{чeтные}}} {{{2}^{{2l}}}\beta _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{l}}F_{{Cl}}^{2}\left( \tau \right)} ,$(7б)
$F_{M}^{2}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\,{\text{нечeтные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}F_{{Ml}}^{2}\left( \tau \right)} ,$являются хорошо известными мультипольными разложениями зарядового и магнитного форм-факторов, а
(7в)
${{f}_{C}}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\,{\text{чeтные}}} {{{2}^{{2l}}}\beta _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{l}}{{F}_{{Cl}}}\left( \tau \right){{g}_{{Cl}}}\left( \tau \right)} ,$(7г)
$\begin{gathered} {{f}_{M}}\left( \tau \right) = \\ = \,\,\sum\limits_{l\,{\text{нечeтные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}{{F}_{{Ml}}}\left( \tau \right){{g}_{{Ml}}}\left( \tau \right)} , \\ \end{gathered} $(7д)
${{f}_{{int}}}\left( \tau \right) = \sum\limits_{l\,{\text{нечeтные}}} {{{2}^{{2l - 2}}}\left( {\frac{{l + 1}}{{2l}}} \right)\gamma _{l}^{2}\left( J \right){{\tau }^{{l - 1}}}{{F}_{{Ml}}}{{g}_{{5El}}}\left( \tau \right)} .$представляют собой корреляции электромагнитных и слабых мультипольных моментов ядра произвольного спина.
В формуле (6б) и далее принято
(8)
$\begin{gathered} {{\delta }_{\zeta }} = \frac{{{{A}^{2}}}}{Z}{{\delta }_{{0p}}}\tau \left( {{{g}_{{Vl}}} - \zeta {{g}_{{Al}}}} \right),\,\,\,\,A = \frac{M}{{{{m}_{p}}}}, \\ {{\delta }_{{0p}}} = \frac{{{{G}_{F}}m_{p}^{2}}}{{\pi \alpha \sqrt 2 }} \approx 3.14 \cdot {{10}^{{ - 4}}}. \\ \end{gathered} $Здесь ${{g}_{{Vl}}}\,$ и ${{g}_{{Al}}}\,$ – векторная и аксиально-векторная константы слабого нейтрального тока лептона.
КОВАРИАНТНОЕ ОПИСАНИЕ РАССЕЯНИЯ ЛЕПТОНОВ НА ЯДРАХ ПОЛУЦЕЛОГО СПИНА
В случае лептонов высокой энергии $\left( {E \gg {{m}_{l}}} \right)$ амплитуду рассеяния можно представить в виде произведения электромагнитного тока лептона и эффективного тока ядра:
(9)
$M = \frac{{4\pi Z\alpha }}{{{{q}^{2}}}}{{j}_{{\left( {em} \right){{\mu }}}}}J_{{eff}}^{{{\mu }}},$Электромагнитный $\left( {em} \right)$ и слабый нейтральный $\left( {nc} \right)$ токи ядра могут быть представлены в виде
(11)
$J_{{em,weak}}^{{{\mu }}} = {{\bar {U}}_{{{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}}}}\left( {p{\kern 1pt} '} \right)\Gamma _{{em,nc}}^{{{{\mu }}{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}}{{U}_{{{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}}}\left( p \right).$Здесь спин-тензорная волновая функция $U_{{{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}}}^{{{\lambda }}}\left( p \right)$ с симметричным мультииндексом (α)j = = ${{\alpha }_{1}}...{{\alpha }_{j}},$ описывающая ядро со спином $J = j + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},$ удовлетворяет уравнению Дирака, а также условиям поперечности и бесследовости (см., например, [8]).
С учетом факторизованности дираковских свойств волновой функции вершинные операторы можно представить в виде
(12)
$\Gamma _{{em,nc}}^{{{{\mu }}{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}} = \sum\limits_{n = 1}^{j + 1} {Q_{n}^{{{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}}\Gamma _{{em,nc;n}}^{{{\mu }}}} ,$(13a)
$\Gamma _{{em;n}}^{{{\mu }}} = {{\gamma }^{{{\mu }}}}F_{M}^{{\left( n \right)}} - \frac{{{{P}^{{{\mu }}}}}}{{2M}}F_{2}^{{\left( n \right)}},$(13б)
$\Gamma _{{nc;n}}^{{{\mu }}} = {{\gamma }^{{{\mu }}}}g_{M}^{{\left( n \right)}} - \frac{{{{P}^{{{\mu }}}}}}{{2M}}g_{2}^{{\left( n \right)}} + {{\gamma }^{{{\mu }}}}{{\gamma }^{5}}g_{A}^{{\left( n \right)}}.$Величины $Q_{n}^{{{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}}$ в (12) получаются путем надлежащей симметризации следующих произведений $\left( {{{t}^{{{\alpha }}}} = {{{{q}^{{{\alpha }}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}^{{{\alpha }}}}} {2M}}} \right. \kern-0em} {2M}}} \right){\text{:}}$
(14)
$Q_{{n0}}^{{{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}} = \prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {{{t}^{{{{{{\alpha }}}_{i}}}}}{{t}^{{{{{{\beta }}}_{i}}}}}} \prod\limits_{k = n}^j {{{g}^{{{{{{\alpha }}}_{k}}{{{{\beta }}}_{k}}}}}} .$Согласно (10) вершина эффективного тока ядра $J_{{eff}}^{{{\mu }}}$
(15)
$\Gamma _{{eff}}^{{{{\mu }}{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}} = \Gamma _{{em}}^{{{{\mu }}{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}} - {{\delta }_{{{\zeta }}}}\Gamma _{{nc}}^{{{{\mu }}{{{\left( {{\alpha }} \right)}}_{j}}{{{\left( {{\beta }} \right)}}_{j}}}},$а ее компоненты имеют вид
(16)
$\Gamma _{{eff;n}}^{{{\mu }}} = {{\gamma }^{{{\mu }}}}\Phi _{M}^{{\left( n \right)}} - \frac{{{{P}^{{{\mu }}}}}}{{2M}}\Phi _{2}^{{\left( n \right)}} + {{\gamma }^{{{\mu }}}}{{\gamma }^{5}}\Phi _{A}^{{\left( n \right)}},$(17)
$\begin{gathered} \Phi _{M}^{{\left( n \right)}} = F_{M}^{{\left( n \right)}} - {{\delta }_{{{\zeta }}}}g_{M}^{{\left( n \right)}},\,\,\,\,\Phi _{2}^{{\left( n \right)}} = F_{2}^{{\left( n \right)}} - {{\delta }_{{{\zeta }}}}g_{2}^{{\left( n \right)}}, \\ \Phi _{A}^{{\left( n \right)}} = - {{\delta }_{{{\zeta }}}}g_{A}^{{\left( n \right)}}. \\ \end{gathered} $МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ И ИНВАРИАНТНЫЕ ФОРМ-ФАКТОРЫ ЯДЕР ПОЛУЦЕЛОГО СПИНА
Объединим формулы (6) для чисто электромагнитного и интерференционного сечений в выражение, включающее эффективные форм-факторы:
(18)
$\begin{gathered} \frac{{d\sigma }}{{d\Omega }} = \frac{{{{\sigma }_{{Mott}}}}}{{1 + \tau }}\left\{ {\Phi _{E}^{2} + \tau \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right)\left[ {1 + 2\left( {1 + \tau } \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]} \right. \times \\ \times \,\,\left[ {\tau \Phi _{M}^{2} + \left( {1 + \tau } \right)\Phi _{{5E}}^{2}} \right] + 2\zeta \tau \left( {1 + \tau } \right)\left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right) \times \\ \times \,\,\left. {\left[ {\frac{M}{E} + \left( {1 + \frac{M}{E}} \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]{{\Phi }_{{int}}}} \right\}. \\ \end{gathered} $Обратимся сначала к простейшему и легко интерпретируемому случаю рассеяния лептонов на ядрах со спином $J = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ $\left( {j = 0} \right),$ к которому относится, в частности, интенсивно изучаемое рассеяние электронов на протонах [9, 10]. В этом случае имеются лишь три мультипольных форм-фактора: зарядовый, магнитный дипольный и аксиальный ($\Phi _{{Xl}}^{'}$ = $\sqrt {1 + \tau } \,{{\Phi }_{{Xl}}}$):
(19)
$\begin{gathered} \Phi _{{C0}}^{'}\left( \tau \right) = \Phi _{E}^{{(1)}}\left( \tau \right),\,\,\,\,\Phi _{{M1}}^{'}\left( \tau \right) = \Phi _{M}^{{(1)}}\left( \tau \right), \\ {{\Phi }_{{5E1}}}\left( \tau \right) = - \Phi _{A}^{{(1)}}\left( \tau \right),\,\,\,\,{{\Phi }_{{int}}}\left( \tau \right) = {{\Phi }_{{M1}}}\left( \tau \right){{\Phi }_{{5E1}}}\left( \tau \right). \\ \end{gathered} $Здесь и далее используются аналоги электрического и магнитного саксовских форм-факторов нуклона
(20)
$\begin{gathered} \Phi _{E}^{{(n)}}\left( \tau \right) = \Phi _{1}^{{(n)}}\left( \tau \right) - \tau \Phi _{2}^{{(n)}}\left( \tau \right), \\ \Phi _{M}^{{(n)}}\left( \tau \right) = \Phi _{1}^{{(n)}}\left( \tau \right) + \Phi _{2}^{{(n)}}\left( \tau \right). \\ \end{gathered} $Ядро мишень со спином $J = {3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ $\left( {j = 1} \right).$
В этом случае эффективный ток ядра имеет вид
(21)
$J_{{eff}}^{{{\mu }}} = {{\bar {U}}_{{{\alpha }}}}\left( {p{\kern 1pt} '} \right)\Gamma _{{eff}}^{{{{\mu }};{{\alpha \beta }}}}{{U}_{{{\beta }}}}\left( p \right),$а вершинный оператор равен
(22)
$\Gamma _{{eff}}^{{{{\mu }};{{\alpha \beta }}}} = {{g}^{{{{\alpha \beta }}}}}\Gamma _{{eff;1}}^{{{\mu }}} + {{t}^{{{\alpha }}}}{{t}^{{{\beta }}}}\Gamma _{{eff;2}}^{{{\mu }}},$Для вычисления квадрата амплитуды (9) необходима матрица плотности $\Lambda _{{{{\alpha \beta }}}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\left( p \right)$ = ${{U}_{{{\alpha }}}}\left( p \right){{\bar {U}}_{{{\beta }}}}\left( p \right)$ неполяризованного состояния ядра спина ${3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}$ [7]
(23)
$\begin{gathered} \Lambda _{{{{\alpha \beta }}}}^{{{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\left( p \right) = \left( {\hat {p} + M} \right)\left( {{{{\bar {g}}}_{{{{\alpha \beta }}}}} + \frac{1}{3}\gamma _{{{\alpha }}}^{ - }\gamma _{{{\beta }}}^{ + }} \right) = \hfill \\ = _{{}}^{{}}\left( {{{{\bar {g}}}_{{{{\alpha \beta }}}}} + \frac{1}{3}\gamma _{{{\alpha }}}^{ + }\gamma _{{{\beta }}}^{ - }} \right)\left( {\hat {p} + M} \right). \hfill \\ \end{gathered} $Здесь и далее приняты обозначения
(24)
${{\bar {g}}_{{{{\alpha \beta }}}}} = - {{g}_{{{{\alpha \beta }}}}} + \frac{{{{p}_{{{\alpha }}}}{{p}_{{{\beta }}}}}}{{{{M}^{2}}}},\,\,\,\,\gamma _{{{\alpha }}}^{ \pm } = {{\gamma }_{{{\alpha }}}} \pm \frac{{{{p}_{{{\alpha }}}}}}{M}.$В результате получим мультипольные разложения входящих в (18) эффективных форм-факторов:
(25)
$\begin{gathered} \Phi _{E}^{2} = \Phi _{{C0}}^{2} + \frac{4}{9}{{\tau }^{2}}\Phi _{{C2}}^{2},\,\,\,\,\Phi _{M}^{2} = \Phi _{{M1}}^{2} + \frac{{32}}{{75}}{{\tau }^{2}}\Phi _{{M3}}^{2}, \\ \Phi _{{5E}}^{2} = \Phi _{{5E1}}^{2} + \frac{{32}}{{75}}{{\tau }^{2}}\Phi _{{5E3}}^{2},\,\,\,\,{{\Phi }_{{int}}} = {{\Phi }_{{M1}}}{{\Phi }_{{5E1}}} + \\ + \,\,\frac{{32}}{{75}}{{\tau }^{2}}{{\Phi }_{{M3}}}{{\Phi }_{{5E3}}}. \\ \end{gathered} $Здесь электрические зарядовый ${{\Phi }_{{C0}}}$ и квадрупольный ${{\Phi }_{{C2}}},$ а также магнитные дипольный ${{\Phi }_{{M1}}}$ и октупольный ${{\Phi }_{{M3}}}$ и соответствующие аксиальные форм-факторы имеют вид:
(26a)
$\begin{gathered} \Phi _{{C0}}^{'} = \left( {1 + \frac{2}{3}\tau } \right)\Phi _{E}^{{(1)}} - \frac{1}{3}\tau \left( {1 + \tau } \right)\Phi _{E}^{{(2)}}, \\ \Phi _{{C2}}^{'} = \Phi _{E}^{{(1)}} - \frac{1}{2}\left( {1 + \tau } \right)\Phi _{E}^{{(2)}}, \\ \end{gathered} $(26б)
$\begin{gathered} \Phi _{{M{\text{1}}}}^{'} = \left( {1 + \frac{4}{5}\tau } \right)\Phi _{M}^{{(1)}} - \frac{2}{5}\tau \left( {1 + \tau } \right)\Phi _{M}^{{(2)}}, \\ \Phi _{{M3}}^{'} = \frac{3}{2}\left[ {\Phi _{M}^{{(1)}} - \frac{1}{2}\left( {1 + \tau } \right)\Phi _{M}^{{(2)}}} \right], \\ \end{gathered} $(26в)
$\begin{gathered} {{\Phi }_{{5E1}}} = - \left( {1 + \frac{4}{5}\tau } \right)\Phi _{A}^{{(1)}} + \frac{2}{5}\tau \left( {1 + \tau } \right)\Phi _{A}^{{(2)}}, \\ {{\Phi }_{{5E3}}} = - \frac{3}{2}\left[ {\Phi _{A}^{{(1)}} - \frac{1}{2}\left( {1 + \tau } \right)\Phi _{A}^{{(2)}}} \right]. \\ \end{gathered} $Ядро мишень со спином $J = {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}$ $\left( {j = 2} \right).$
В этом случае эффективный ток ядра имеет вид
(27)
$J_{{eff}}^{{{\mu }}} = {{\bar {U}}_{{{{\alpha \beta }}}}}\left( {p{\kern 1pt} '} \right)\Gamma _{{eff}}^{{{{\mu }};{{\alpha \beta \sigma \delta }}}}{{U}_{{{{\sigma \delta }}}}}\left( p \right),$а вершинный оператор согласно (12) дается выражением
(28)
$\Gamma _{{eff}}^{{{{\mu }};{{\alpha \beta \sigma \delta }}}} = Q_{1}^{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}}\Gamma _{{eff;1}}^{{{\mu }}} + Q_{2}^{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}}\Gamma _{{eff;2}}^{{{\mu }}} + Q_{3}^{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}}\Gamma _{{eff;3}}^{{{\mu }}},$в котором
(29a)
$Q_{1}^{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}} = \frac{1}{2}\left( {{{g}^{{{{\alpha \sigma }}}}}{{g}^{{{{\beta \delta }}}}} + {{g}^{{{{\alpha \delta }}}}}{{g}^{{{{\beta \sigma }}}}}} \right),$(29б)
$Q_{2}^{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}} = \frac{1}{4}\left( {{{g}^{{{{\alpha \sigma }}}}}{{t}^{{{\beta }}}}{{t}^{{{\delta }}}} + {{g}^{{{{\alpha \delta }}}}}{{t}^{{{\sigma }}}}{{t}^{{{\beta }}}} + {{g}^{{{{\sigma \beta }}}}}{{t}^{{{\alpha }}}}{{t}^{{{\delta }}}} + {{g}^{{{{\delta \beta }}}}}{{t}^{{{\sigma }}}}{{t}^{{{\alpha }}}}} \right).$(29в)
$Q_{3}^{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}} = {{t}^{{{\alpha }}}}{{t}^{{{\beta }}}}{{t}^{{{\sigma }}}}{{t}^{{{\delta }}}}.$Представим матрицу плотности $\Lambda _{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\left( p \right)$ = = ${{U}_{{{{\alpha \beta }}}}}\left( p \right){{\bar {U}}_{{{{\sigma \delta }}}}}\left( p \right)$ в виде
(30)
$\begin{gathered} \Lambda _{{{{\alpha \beta \sigma \delta }}}}^{{{5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}}}\left( p \right) = \left( {\hat {p} + M} \right)\left[ {{{{\bar {g}}}_{{{{\alpha \sigma }}}}}{{{\bar {g}}}_{{{{\beta \delta }}}}} - \frac{1}{5}{{{\bar {g}}}_{{{{\alpha \beta }}}}}{{{\bar {g}}}_{{{{\sigma \delta }}}}} + \frac{2}{5}\gamma _{{{\alpha }}}^{ + }\gamma _{{{\sigma }}}^{ - }{{{\bar {g}}}_{{{{\beta \delta }}}}}} \right] = \\ = \left[ {{{{\bar {g}}}_{{{{\alpha \sigma }}}}}{{{\bar {g}}}_{{{{\beta \delta }}}}} - \frac{1}{5}{{{\bar {g}}}_{{{{\alpha \beta }}}}}{{{\bar {g}}}_{{{{\sigma \delta }}}}} + \frac{2}{5}\gamma _{{{\alpha }}}^{ - }\gamma _{{{\sigma }}}^{ + }{{{\bar {g}}}_{{{{\beta \delta }}}}}} \right]\left( {\hat {p} + M} \right). \\ \end{gathered} $В результате получим выражения для эффективных мультипольных форм-факторов, входящих в разложения (4):
(31a)
$\begin{gathered} \Phi _{{C0}}^{'} = \left[ {1 + \frac{4}{3}\tau \left( {1 + \frac{2}{5}\tau } \right)} \right]\Phi _{E}^{{(1)}} - \frac{1}{3}\tau \left( {1 + \tau } \right) \times \\ \times \,\,\left( {1 + \frac{4}{5}\tau } \right)\Phi _{E}^{{(2)}} + \frac{2}{{15}}{{\tau }^{2}}{{\left( {1 + \tau } \right)}^{2}}\Phi _{E}^{{(3)}}, \\ \end{gathered} $(31б)
$\begin{gathered} \Phi _{{C2}}^{'} = \left( {1 + \frac{4}{7}\tau } \right)\Phi _{E}^{{(1)}} - \frac{1}{4}\left( {1 + \tau } \right)\left( {1 + \frac{8}{7}\tau } \right)\Phi _{E}^{{(2)}} + \\ + \,\,\frac{1}{7}\tau {{\left( {1 + \tau } \right)}^{2}}\Phi _{E}^{{(3)}}, \\ \end{gathered} $(31в)
$\Phi _{{C4}}^{'} = \frac{3}{2}\left[ {\Phi _{E}^{{(1)}} - \frac{1}{2}\left( {1 + \tau } \right)\Phi _{E}^{{(2)}} + \frac{1}{4}{{{\left( {1 + \tau } \right)}}^{2}}\Phi _{E}^{{(3)}}} \right],$(31г)
$\begin{gathered} \Phi _{{M1}}^{'} = \left[ {1 + \frac{8}{5}\tau \left( {1 + \frac{3}{7}\tau } \right)} \right]\Phi _{M}^{{(1)}} - \frac{2}{5}\tau \left( {1 + \tau } \right) \times \\ \times \,\,\left( {1 + \frac{6}{7}\tau } \right)\Phi _{M}^{{(2)}} + \frac{6}{{35}}{{\tau }^{2}}{{\left( {1 + \tau } \right)}^{2}}\Phi _{M}^{{(3)}}, \\ \end{gathered} $(31д)
$\begin{gathered} \Phi _{{M3}}^{'} = 3\left[ {\left( {1 + \frac{2}{3}\tau } \right)\Phi _{M}^{{(1)}} - \frac{1}{4}\left( {1 + \tau } \right)\left( {1 + \frac{4}{3}\tau } \right)\Phi _{M}^{{(2)}} + } \right. \\ \left. { + \,\,\frac{1}{6}\tau {{{\left( {1 + \tau } \right)}}^{2}}\Phi _{M}^{{(3)}}} \right], \\ \end{gathered} $(31e)
$\Phi _{{M3}}^{'} = \frac{{15}}{2}\left[ {\Phi _{M}^{{(1)}} - \frac{1}{2}\left( {1 + \tau } \right)\Phi _{M}^{{(2)}} + \frac{1}{4}{{{\left( {1 + \tau } \right)}}^{2}}\Phi _{M}^{{(3)}}} \right],$Выражения для мультипольных форм-факторов ${{\Phi }_{{5El}}}$ получаются из соответствующих выражений для ${{\Phi }_{{Ml}}}$ умножением на $ - \sqrt {1 + \tau } $ и заменой $\Phi _{M}^{{(n)}} \to \Phi _{A}^{{(n)}}.$
Приведенные формулы позволяют вычислить P-нечетную асимметрию процесса упругого рассеяния продольно поляризованных заряженных лептонов, обусловленную интерференцией электромагнитного и слабого взаимодействия электронов с ядром
(32)
${{A}_{{RL}}} = \frac{{d\sigma \left( {\zeta = + 1} \right) - d\sigma \left( {\zeta = - 1} \right)}}{{d\sigma \left( {\zeta = + 1} \right) + d\sigma \left( {\zeta = - 1} \right)}}.$Воспользовавшись формулами (6), получим:
(33)
$\begin{gathered} {{A}_{{RL}}} = - 2\frac{{{{A}^{2}}}}{Z}{{\delta }_{{0p}}}\tau \left\{ {2{{g}_{{Vl}}}\tau \sqrt {1 + \tau } \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right)} \right. \times \\ \left[ {\frac{M}{E} + \left( {1 + \frac{M}{E}} \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]{{f}_{{int}}} - {{g}_{{Al}}}{{f}_{C}}\left( \tau \right) + \tau \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right) \times \\ \left. {\left[ {\left( {1 + 2\left( {1 + \tau } \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right){{f}_{M}}\left( \tau \right)} \right]} \right\} \times \\ \times {{\left\{ {F_{C}^{2}\left( \tau \right) + \tau \left( {\frac{{J + 1}}{{3J}}} \right)\left[ {1 + 2\left( {1 + \tau } \right)t{{g}^{2}}\frac{\theta }{2}} \right]F_{M}^{2}\left( \tau \right)} \right\}}^{{ - 1}}}. \\ \end{gathered} $ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В развитие результатов, полученных в работе [6] по ковариантному описанию упругого рассеяния продольно поляризованных заряженных лептонов на ядрах полуцелого спина в формализме Рариты–Швингера, построены явные выражения для вершинных операторов электромагнитного и слабого нейтрального токов, а также для матриц плотности неполяризованного состояния ядер со спином $J \leqslant {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 2}} \right. \kern-0em} 2}.$
Вычислены квадраты амплитуд упругого рассеяния лептонов на этих ядрах, и на их основе в системе Брейта (системе нулевой передачи энергии) получены выражения для мультипольных форм-факторов ядер через инвариантные форм-факторы эффективного электрослабого тока ядра.
Получено выражение для право-левой асимметрии дифференциального сечения упругого рассеяния продольно поляризованных заряженных лептонов, представленного в виде суммы электромагнитного и интерференционного вкладов, содержащих соответствующие мультипольные форм-факторы.
Публикация подготовлена при поддержке Программы РУДН “5–100”.
Список литературы
Engel J., Ramsey-Musolf M.J., van Kolck U. // arXiv: nucl-th/1303.2371v1. 2013.
Haxton W.C., Liu C.P., Ramsey-Musolf M.J. // arXiv: nucl-th/0109014v1. 2001.
Erler J., Horowitz C.J., Mantry S., Souder P.A. // arXiv: hep-ph/1401.6199v2. 2014.
Akimov D., Albert J.B., An P. et al. // Science. 2017. V. 357. No. 6356. P. 1123.
Bertulani C.A. // arXiv: nucl-th/0607024v1. 2006.
Сафин М.Я. // Изв. РАН. Сер. физ. 2020. Т. 84. № 4. С. 525; Safin M.Ya. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2020. V. 84. No. 4. P. 406.
Богданов Ю.П., Керимов Б.К., Сафин М.Я. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1980. Т. 44. № 11. С. 2337.
Богданов Ю.П., Керимов Б.К., Сафин М.Я. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1983. Т. 47. № 1. С. 103.
Liyanage A., Armstrong W., Kang H. et al. // arXiv: nucl-ex/1806.11156v2. 2018.
Koshchii O., Afanasev A. // arXiv: nucl-th/1705.00338v1. 2017.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Серия физическая
Пн.-пт.: 10.00-19.00