Известия РАН. Серия физическая, 2021, T. 85, № 6, стр. 794-798

ВВЕДЕНИЕ

Жидкие суспензии наночастиц представляют собой интересные в физическом и прикладном отношении среды. Такие взвеси могут иметь искусственное происхождение, но часто реализуются и естественным путем (например, в виде суспензий вирусов). Существенной особенностью таких сред является высокая подвижность частиц суспензии в электромагнитном поле. Это свойство позволяют эффективно управлять пространственным распределением частиц суспензии и, тем самым, формировать среды с необходимыми физическими свойствами.

Благодаря высокой интенсивности электромагнитного поля весьма перспективным для исследования подобных сред, в том числе вирусных суспензий, представляется внутрирезонаторная спектроскопия. При этом в отличие от спектроскопии мутных аэрозолей здесь возникает целый ряд специфических физических задач. Одной из принципиальных проблем является вопрос о пространственном распределении и кинетике наночастиц в световых полях различной пространственной структуры. Особенно актуальным это становится при напряженностях внутрирезонаторного поля порядка 100–1000 ед. СГСЭ, когда энергия дипольного электромагнитного взаимодействия становится сравнимой с тепловой энергией частиц.

Число работ, посвященных различным аспектам электродинамики жидких суспензий диэлектрических наночастиц достаточно велико (см., например, [1–6]). В указанных работах поведение наночастиц в электромагнитном поле рассматривалось без учета его воздействия на возбуждающее поле. В то же время, пространственная конфигурация поля существенно определяется наличием такой обратной связи (например, в оптическом резонаторе), что влияет как на динамику частиц, так и на режим установления поля в системе. Заметим, что подобная ситуация возникает при рассмотрении практически всех нелинейных оптических процессов в резонаторах. При этом характер генерации в системе существенно определяется методом возбуждения резонатора. Так, например, при рассмотрении вынужденного рассеяния Мандельштама–Бриллюэна в оптическом резонаторе с внешним возбуждением возникает ряд физически интересных особенностей по сравнению с аналогичной генерацией в лазерном резонаторе [7, 8].

В настоящей работе исследуется ряд существенных аспектов нелинейного возбуждения поля в оптическом резонаторе с внешним возбуждением, полностью заполненном жидкой суспензией диэлектрических наночастиц. В отличие от ранее применяемых упрощенных моделей нами на основе максвеллова тензора натяжений для электромагнитного поля в плоском оптическом резонаторе с внешним возбуждением получены уравнения движения для диэлектрических наношаров в жидком растворителе под действием пондеромоторных сил.

ДИНАМИКА НАНОЧАСТИЦ В ОПТИЧЕСКОМ РЕЗОНАТОРЕ

Рассмотрим добротный открытый оптический резонатор, полностью заполненный жидкой суспензией наночастиц. Будем предполагать, что рассматриваемые частицы представляют собой шары с диэлектрической проницаемостью, мало отличающейся от диэлектрической проницаемости ε_l раствора. Для простоты будем считать ε_l близкой к 1. Резонатор возбуждается внешней световой волной частоты ω, совпадающей с некоторой собственной частотой резонатора. Предполагается, что в ширину линии, отвечающей собственной частоте попадает одна пространственная мода. В описанных условиях рассеяние падающей волны на шаре будет мало, и действующее поле вблизи поверхности шара при не слишком большой плотности дисперсной фракции будет совпадать с макроскопическим внутрирезонаторным полем в чистом растворителе.

Таким образом, вектор напряженности $\vec {E}\left( {\vec {x},t} \right)$ действующего поля в резонаторе можно записать в виде:

где $\vec {E}\left( {\vec {x}} \right)$ – пространственное распределение моды резонатора с собственной частотой возбуждающего лазерного излучения.

Для определенности будем считать, что поле $\vec {E}\left( {\vec {x},t} \right)$ линейно поляризовано по оси x₁ (используется декартова система координат x₁, x₂, x₃).

Усредненный по времени максвеллов тензор натяжений электромагнитного поля [9] на поверхности диэлектрического шара будет иметь диагональный вид

где T⁽¹⁾ = $\frac{1}{{8\pi }}{{\varepsilon }_{p}}{{E}^{2}}(\vec {x});$ T^{(2, 3)} = –T⁽¹⁾, δ_ij – символ Кронекера.

Составляющая F_i результирующей пондеромоторной силы, действующей на шар, определяется интегралом

где ds – элемент поверхности частицы.

Интеграл берется по поверхности шара, $\vec {n}$ – внешняя нормаль к поверхности, суммирование по i не производится.

Удобно ввести локальную декартову систему координат ${{\vec {x}}^{'}}$ с началом в центре шара ${{\vec {x}}_{0}},$ оси которой параллельны осям основной системы координат: ${{x}_{i}} = {{x}_{{i0}}} + x_{i}^{'}.$

Если характерный масштаб неоднородности поля превосходит радиус шара R: $\frac{1}{E}\frac{{\partial E}}{{\partial {{x}_{i}}}}R < 1,$ то плотность электрического поля в (2), (3) можно разложить в ряд по степеням $x_{i}^{'}.$ В первом порядке малости по данному параметру

Тогда

Интеграл берется по верхней части полусферы $x_{j}^{{'2}} = {{R}^{2}},$ знак (–) относится к F₁, две остальные компоненты положительны. Постоянный член ${{E}^{2}}\left( {{{{\vec {x}}}_{0}}} \right)$ в (4) не дает вклада в интеграл (3), вклад в двойной интеграл (5) линейных слагаемых (4) отличен от нуля только для $x_{j}^{'} = x_{i}^{'}.$

Интеграл (5) вычисляется элементарно, и окончательно получаем:

Для дальнейшего необходимо конкретизировать вид и параметры оптического резонатора. Будем рассматривать плоский резонатор с расстоянием (по оси z) L между зеркалами.

Собственную аксиальную моду электромагнитного поля в резонаторе с частотой ω, совпадающей с частотой возбуждающего излучения можно представить в виде:

здесь $k = \frac{\pi }{L}m,$ m – большое целое число, ω ≈ ≈ $\frac{{\pi c}}{{L\sqrt {{{\varepsilon }_{L}}(\omega )} }}m,$ $g({{\vec {r}}_{ \bot }})$ – поперечное распределение поля моды, зависящее от номера моды, длины резонатора L, формы и размера зеркал, ${{\vec {r}}_{ \bot }}$ – поперечная часть радиус-вектора $\vec {r}$. В (7) мы перешли к обычному обозначению векторов (x, y, z), ε_L – линейная часть диэлектрической проницаемости суспензии (см. ниже), c – скорость света.

Исходя из (7), рассмотрим, например, движение дисперсной частицы вдоль оси резонатора. Заметим, что в обычных условиях $\frac{{\partial g}}{{\partial {{{\vec {r}}}_{ \bot }}}}\frac{1}{k} < 1,$ и для описания продольного движения частицы можно использовать одномерное приближение. Из (6), (7) для координаты центра шара получаем:

где с учетом присоединенной массы для сферических частиц ${{\rho }} = {{{{\rho }}}_{s}} + {{{{{{\rho }}}_{l}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\rho }}}_{l}}} 2}} \right. \kern-0em} 2},$ ${{{{\rho }}}_{s}}$ – плотность вещества частицы, ${{{{\rho }}}_{l}}$ – плотность растворителя. Положение равновесия частицы определяется одним из равенств kz = πn или kz = π/2 + πn.

Анализ показывает, что устойчивому положению равновесию отвечает второе соотношение.

Линеаризуя (8) вблизи устойчивого положения равновесия, получаем ожидаемый результат. В отсутствие диссипации частица будет совершать продольные гармонические колебания с частотой ${{{{\Omega }}}^{2}} = \frac{{{{E}^{2}}}}{{8{{\pi \rho }}}}{{k}^{2}}.$

Под действием диссипативных сил, например вязкости, частицы с некоторым временем установления придут в механическое и термодинамическое равновесие. Разумеется, во всем предыдущем рассмотрении предполагалось: ${{{{\alpha }}}_{s}}{{V}_{s}}{{E}^{2}} > kT,$ где ${{V}_{s}}$ – объем частицы примеси, α_s – поляризуемость единицы объема материала примеси.

Если тепловая энергия примесных частиц превышает их энергию в поле, то очевидно примесные частицы можно рассматривать как идеальный газ. Тогда сохраняется физический смысл химического потенциала ${{\theta }}$ для подсистемы примесных частиц: ${{\theta }} = kT\ln n{{V}_{q}},$ где $n$ – концентрация примесных частиц, ${{V}_{q}}$ – квантовый объем частицы с учетом присоединенной массы.

Пространственная конфигурация частиц в таких условиях будет иметь Больцмановское распределение с энергией равной энергии поляризованной частицы в поле резонатора. Перераспределение частиц в электромагнитном поле приведет, очевидно, к возникновению добавочной нелинейной поляризации, изменению динамики генерации в системе и значений амплитуд стационарных колебаний поля. Рассмотрим эти вопросы более подробно.

С учетом ранее сказанного, электромагнитное поле в резонаторе имеет вид:

где $E\left( t \right),$ $E\left( {\vec {r}} \right)$ – временная и пространственная части электромагнитного поля. Напомним, что падающая волна и поле в резонаторе поляризованы по оси x.

Наночастицы в рассматриваемых условиях имеют Больцмановское пространственное равновесное распределение:

Здесь $n{\kern 1pt} ',{{n}_{0}}$ – плотности частиц дисперсной фазы, при этом ${{n}_{0}} = {{n}_{0}}\left( {\overline {{{E}^{2}}\left( t \right)} } \right),$ $\overline {{{E}^{2}}\left( t \right)} $ – усредненная по времени плотность энергии поля.

Учитывая, как было указано ранее, $\frac{{{{\alpha }_{s}}{{V}_{s}}\overline {{{E}^{2}}(t)} }}{{kT}}$ < < 0.1, (10) может быть разложено в ряд. Из условия сохранения полного числа частиц примеси в объеме резонатора V: $\int {n{\kern 1pt} 'd\vec {r}} = nV,$ где V – объем резонатора, n – однородная плотность частиц до включения поля, после интегрирования с точностью до первого порядка малости по параметру $\frac{{{{\alpha }_{s}}{{V}_{s}}\overline {{{E}^{2}}(t)} }}{{kT}}$ находим:

Найдем поляризуемость смеси α. Объем растворителя в единичном объеме смеси составляет величину (1 – n'V_s), а его поляризуемость p_l = α_l(1 – n'V_s) Подставляя сюда n' из (10), (11) и учитывая поляризацию, вносимую диэлектрическими частицами, получаем

Первое слагаемое в (12) дает линейную часть поляризуемости α_L, определяющую частоту ω собственных колебаний электромагнитного поля в резонаторе (7): ε_L = 1 + 4πα_L.

Уравнение Максвелла для поля в резонаторе имеет обычный вид:

Здесь P_ins сторонняя поляризация, создаваемая лазерным излучением ${{P}_{{ins}}}\left( {\vec {r},t} \right)$ = $\frac{1}{2}\left( {{{P}_{{ins}}}\left( {\vec {r}} \right){{e}^{{ - i{{\omega }}t}}} + {\text{к}}{\text{.c}}.} \right),$ Q – добротность резонатора на частоте ω, определяемая дифракционными потерями на краях зеркал, их коэффициентами пропускания и пассивными потерями в веществе резонатора.

При выводе (13) мы учли, что в обычных условиях поле в резонаторе плавно меняется в поперечной плоскости $\frac{{\partial E}}{{E\partial {{r}_{ \bot }}}}\frac{c}{{{\omega }}} < 1$ и пренебрегли градиентным членом $\nabla {{r}_{ \bot }}{\text{div[}}\alpha E(\vec {r},t)]$ по сравнению с $\frac{1}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{\alpha }}E}}{{\partial {{t}^{2}}}}.$

Уравнение (13) описывает систему, близкую к консервативной. Для исследования периодических решений перейдем на плоскость Ван-дер-Поля, сделав замену:

где Y(t) – медленно меняющаяся амплитуда. Подставляя (14) в (13), умножая обе части равенства скалярно на $E\left( {\vec {r}} \right)$ после интегрирования по z, получаем уравнение для Y(t):

Здесь ${{\mu }} = \frac{1}{2}\frac{{{\omega }}}{Q},$ Q – добротность резонатора на частоте ω.

СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ОПТИЧЕСКОМ РЕЗОНАТОРЕ, ЗАПОЛНЕННОМ ЖИДКОЙ СУСПЕНЗИЕЙ НАНОЧАСТИЦ

Рассмотрим стационарный режим генерации, положив $\dot {Y} = 0,$ тогда (15) переходит в:

где ${{\chi }} = {{{\Gamma }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\Gamma }} {{\mu }}}} \right. \kern-0em} {{\mu }}};$ Z_L – стационарная амплитуда колебаний электромагнитного поля в резонаторе при данной интенсивности возбуждающего излучения в условиях пространственно-однородного распределения наночастиц в суспензии: ${{Z}_{L}} = \frac{{iW}}{{{\mu }}}.$

Фаза Y стационарных колебаний зависит от фазы Z_L, которая, в свою очередь, определяется фазой возбуждающей световой волны. В большинстве случаев интерес представляет плотность энергии электромагнитных колебаний $I = {{\left| Y \right|}^{2}},$ при этом фазу Z_L можно задавать произвольно, удобным для вычисления способом. Наиболее наглядным образом влияние нелинейности в рассматриваемой системе проявляется в отклонении истинной плотности энергии колебаний поля I от значения плотности энергии колебаний I₀ в отсутствии нелинейности при том же уровне накачки. Для безразмерной величины q = I/I₀ получено неполное кубическое уравнение:

Сделаем следующее замечание. Отказ от принятых выше во избежание громоздкости, ограничений, за исключением требования разложимости больцмановского распределения (10) в ряд по степеням плотности электромагнитного поля, приводит лишь к изменению величин коэффициентов в (15), не меняя вида (17) и, тем самым, качественной картины динамики поля в резонаторе. При этом, во всех физических ситуациях, мы можем придавать параметру ${{\chi }}{{I}_{0}}$ любые численные значения, не противоречащие требованию малости экспоненты в (10).

На рис. 1 приведена зависимость коэффициента трансформации q от безразмерного параметра нелинейности ${{({{\chi }}{{I}_{0}})}^{2}}$ в системе. Кривая монотонна. Таким образом, в системе реализуется мягкий режим самовозбуждения.

В условиях точного согласования частоты накачки с собственной частотой резонатора (см. (7)), при условии близости поперечного распределения возбуждающего излучения к поперечному распределению резонансной моды при слабом затухании поля в веществе резонатора и его зеркалах для плотности энергии I_T прошедшего пучка с достаточной степенью точности можно записать: ${{I}_{T}} = {{T}^{2}}I = q{{T}^{2}}{{I}_{0}} \approx q{{I}_{{ins}}},$ где T – коэффициент пропускания по полю выходного зеркала, ${{I}_{{ins}}}$ – плотность энергии возбуждающего излучения.

Сделаем численные оценки. Примем радиус R сферической наночастицы 10^–5 см. При комнатной температуре больцмановский фактор (10) оказывается порядка ~10^–1I₀, при этом при концентрации наночастиц n ~ 10¹³ см^–3 и добротности резонатора Q $~ \approx {{10}^{5}}$ (что отвечает времени установления в системе $\tau \approx {{10}^{{ - 10}}}$ с) параметр нелинейности ${{\chi }}{{I}_{0}} \approx 4{{I}_{0}},$ и заметное отклонение от линейного режима возникает при ${{I}_{0}}\sim ~0.25$ CGSE. Еще раз напомним, что речь идет о плотности энергии ${{I}_{0}}$ поля в резонаторе. При высокой добротности внутрирезонаторное поле намного превышает поле возбуждающего излучения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, проведено исследование наиболее принципиальных физических аспектов общей динамики наночастиц в жидких невязких средах во внешнем электромагнитном поле с пространственной конфигурацией, отвечающей хорошо разрешенным модам оптического резонатора и одновременно исследована нелинейная стационарная генерация поля в таком резонаторе при индуцированном концентрационном перераспределении частиц дисперсной фазы. Полученные результаты, в частности, показывают, что нелинейная модификация стационарной динамики поля в резонаторе с заполнением жидкой суспензией наночастиц может быть использована для эффективного определения концентрации частиц примеси. Другим практически важным аспектом использования полученных результатов является возможность селекции наночастиц по размерам в нанодисперсной жидкой суспензии, помещенной в резонатор.

Работа была частично поддержана РФФИ (проекты № 18-52-16016, 19-02-00013, 20-02-00172).