1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 86, № 1, 2022

Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 1, стр. 68-72

Трехмерные световые пули в оптически анизотропном фотонном кристалле с углеродными нанотрубками

Ю. В. Двужилова 1, И. С. Двужилов 1, *, М. Б. Белоненко 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

* E-mail: dvuzhilov.ilya@volsu.ru

Поступила в редакцию 24.08.2021
После доработки 06.09.2021
Принята к публикации 22.09.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Выполнено теоретическое и численное исследование распространения трехмерных предельно коротких оптических импульсов в оптически анизотропном фотонном кристалле на основе полупроводниковых углеродных нанотрубок. Установлено, что импульсы распространяются стабильно. Выявлены зависимости формы и скорости группового пакета импульса от параметров фотонного кристалла, а также от угла между осью нанотрубок и направлением электрического поля импульса. Показан эффект двойного лучепреломления при прохождении импульса в оптически анизотропной среде.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование оптического излучения с веществом, например, для разработки элементной базы устройств опто- и наноэлектроники на основе материалов с контролируемыми свойствами. В качестве материалов с заданными свойствами можно рассматривать фотонные кристаллы, в которых существует фотонная запрещенная зона [1]. Основной особенностью фотонного кристалла является пространственная переменность показателя преломления, что в свою очередь обеспечивает идеальную нелинейную среду для исследования динамики и свойств различных солитоноподобных импульсов, в том числе, предельно коротких оптических импульсов [2].

Под предельно короткими оптическими импульсами (ПКОИ) мы понимаем импульсы, которые содержат 1–5 колебаний электрического поля, фемтосекундной длительностью, энергия которых остается локализованной в пространстве [3–6]. Для устойчивого распространения ПКОИ необходимо, чтобы среда обладала нелинейными свойствами. Таким образом, в качестве подходящего материала могут быть использованы углеродные нанотрубки (УНТ), обладающие нелинейными свойствами в оптическом диапазоне [7, 8]. Также интересной задачей является учет оптически анизотропных свойств среды и управление распространением импульса в ней. Учет анизотропии среды может приводить к различным эффектам, например, резонансу Захарова–Бенни [9].

В настоящей работе будет исследовано влияние анизотропии фотонного кристалла из УНТ, включая двойное лучепреломление. Для этого систему уравнений необходимо дополнить слагаемым на вторую поляризацию и учесть разные величины компонент скорости. Под двойным лучепреломлением понимается раздвоение светового луча при прохождении через анизотропную среду, обусловленное зависимостью показателя преломления (а, следовательно, и скорости волны) от ее поляризации и ориентации волнового вектора относительно кристаллографических осей, т.е. от направления распространения.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Исследование зонной структуры УНТ, проводится в приближении сильной связи в рамках анализа динамики π-электронов [10]:

Отметим, что поскольку типичный размер УНТ и расстояние между ними много меньше чем типичный размер пространственной области, в которой локализован предельно короткий импульс, можно использовать приближение сплошной среды и считать ток распределенным по объему. Геометрия задачи показана на рис. 1.

Рис. 1.

Геометрия задачи. V0 – скорость обыкновенного луча, Ve – скорость необыкновенного луча, α – угол между осью УНТ и вектор-потенциалом электрического поля импульса.

Уравнение на компоненту вектор-потенциала электрического поля трехмерного ПКОИ, записанное в калибровке Кулона (E = –∂A/c∂t), имеет вид:

(1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \frac{{{{n}^{2}}(x,y,z)}}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4\pi }}{c}j(A) = 0;$

здесь n(x, y, z) – пространственно-переменный показатель преломления среды, т.е. фотонный кристалл; с – скорость света; A = (Ax(x, y, z, t), Ay(x, y, z, t), 0) – вектор-потенциал электрического поля импульса, j = (jx(x, y, z, t), jy(x, y, z, t), 0) – плотность электрического тока.

Для плотности тока воспользуемся стандартным выражением [11]:

(2)
$j = 2e\sum\limits_{s = 1}^m {\int\limits_{ZB} {{{\nu }_{s}}\left( p \right)f\left( {p,s} \right)dp} } ,$

здесь е – заряд электрона; ${{\nu }_{s}}(p) = \frac{{\partial {{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)}}{{\partial p}}$ – групповая скорость электронов; ${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)$ – закон дисперсии; f(p, s) – функция распределения, которая в начальный момент времени совпадает с функцией распределения Ферми. Интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна.

Запишем уравнения на компоненты вектор-потенциала электрического поля в цилиндрической системе координат, причем слагаемым, зависящим от угла поворота можно пренебречь [12, 13]:

(3)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{A}_{x}}}}{{\partial r}}} \right) - \frac{{{{n}^{2}}(z,r)}}{{{{c}_{x}}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \\ + \,\,\frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a\sin \alpha }}{c}\sum\limits_{q = 1} {{{b}_{q}}} \times \\ \times \,\,\cos \left( {\frac{{aeq\left( {{{A}_{x}}\cos \alpha + {{A}_{y}}\sin \alpha } \right)}}{c}} \right)\frac{{aeq}}{c} = 0, \\ \frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {{A}_{y}}}}{{\partial r}}} \right) - \frac{{{{n}^{2}}(z,r)}}{{{{c}_{y}}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \\ \end{gathered} $
(4)
$\begin{gathered} + \,\,\frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a\sin \alpha }}{c}\sum\limits_{q = 1} {{{b}_{q}}} \times \\ \times \,\,\cos \left( {\frac{{aeq\left( {{{A}_{x}}\cos \alpha + {{A}_{y}}\sin \alpha } \right)}}{c}} \right)\frac{{aeq}}{c} = 0, \\ r = \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} , \\ {{b}_{q}} = \sum\limits_{s = 1} {{{a}_{{sq}}}} \int\limits_{ZB} {\cos \left( {pq} \right)\frac{{\exp \left\{ { - \frac{{{{\varepsilon }_{s}}(p)}}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}{{1 + \exp \left\{ { - \frac{{{{\varepsilon }_{s}}(p)}}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}dp} , \\ \end{gathered} $

здесь n0 – концентрация электронов; kB – постоянная Больцмана; T – температура.

Коэффициенты разложения закона дисперсии электронов в ряд Фурье (asq) имеют вид:

$\begin{gathered} {{a}_{{sq}}} = \int\limits_{ZB} {dp{\text{cos}}\left( {pq} \right){{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} , \\ {{\varepsilon }_{s}}\left( p \right) = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{s = 1}^m {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{{a}_{{sq}}}{\text{cos}}\left( {pq} \right)} } . \\ \end{gathered} $

В данной задаче на электроны в УНТ действует сумма проекций на ось нанотрубки электрических полей, которые направлены вдоль осей х и у среды. В этом случае именно это электрическое поле и изменяет квазиимпульс электронов. Соответственно возникающий при этом ток в УНТ надо учесть, как слагаемое с током в соответствующих уравнениях Максвелла для х и у компонент электрического поля. Проектируя возникающий ток на оси в итоге и получаем приведенные выше уравнения.

Поскольку, поле предельно короткого импульса, при распространении в фотонном кристалле из УНТ, неоднородно, следовательно, может возникнуть неоднородность тока, из-за чего возможно накопление заряда в какой-то области. Однако, проведенные ранее расчеты [14, 15] показали, что эффектом накопления заряда для фемтосекундных импульсов можно пренебречь. Вследствие этого можно считать, что сохраняется цилиндрическая симметрия в распределении поля, и, следовательно, производной по углу можно пренебречь. Отметим, что вследствие убывания коэффициентов bq с ростом q, в сумме можно ограничиться первыми 15 неисчезающими слагаемыми и получить обобщенное уравнение sin-Gordon [16, 17].

Начальные условия на вектор-потенциал электрического поля трехмерного ПКОИ (6) и показатель преломления оптически анизотропного фотонного кристалла (7) выглядят следующим образом:

(6)
$\begin{gathered} {{\left. {{{A}_{x}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{A}_{{0x}}}\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{\gamma _{r}^{2}}}} \right)\exp \left( { - \frac{{{{z}^{2}}}}{{\gamma _{z}^{2}}}} \right); \\ {{\left. {\frac{{d{{A}_{x}}}}{{dt}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{A}_{{0x}}}\frac{{2uz}}{{\gamma _{z}^{2}}}\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{\gamma _{r}^{2}}}} \right)\exp \left( { - \frac{{{{z}^{2}}}}{{\gamma _{z}^{2}}}} \right); \\ {{\left. {{{A}_{y}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0;\,\,\,\,{{\left. {\frac{{d{{A}_{y}}}}{{dt}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0; \\ \end{gathered} $
(7)
$n\left( {z,r} \right) = 1 + \mu \cos \left( {\frac{{2\pi z}}{\chi }} \right),$
где γz, γr – параметры, определяющие ширину импульса по осям z и r соответственно, t0 – начальный момент времени, u – начальная скорость импульса при входе в среду, μ – глубина модуляции показателя преломления, χ – период модуляции показателя преломления.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Эволюция поля трехмерного предельно короткого оптического импульса при прохождении оптически анизотропного фотонного кристалла на основе полупроводниковых УНТ показана на рис. 2. Результаты дают основание полагать, что импульс в среде оптически анизотропного фотонного кристалла распространяется устойчиво, сохраняя свою энергию локализованной в ограниченной области пространства. Однако его форма претерпевает значительные изменения.

Рис. 2.

Динамика компоненты Ex трехмерного ПКОИ в анизотропном фотонном кристалле из УНТ в фиксированные моменты времени: 4 (а), 10 (б), 16 пс (в). Параметры модуляции показателя преломления: глубина модуляции μ = 0.25, период модуляции χ = 2.5 мкм. По осям абсцисс и ординат отложены координаты в мкм.

Влияние параметров оптически анизотропного фотонного кристалла (глубины и периода модуляции показателя преломления) на динамику импульса показано на рис. 3. Видно, что параметры модуляции показателя преломления оптически анизотропного фотонного кристалла оказывают влияние на форму огибающей импульса и групповую скорость его волнового пакета. С увеличением периода импульс начинает распространяться быстрее, поскольку процессы интерференции, при его столкновении с узлами фотонного кристалла, происходят реже. Таким образом, если период модуляции показателя преломления будет бесконечным, из-за отсутствия интерференционных процессов, импульс будет распространяться с максимально возможной скоростью.

Рис. 3.

Зависимость компоненты электрического поля Ex от координат (продольный срез при r = 0) в момент времени 10 пс, при различных значениях параметров показателя преломления оптически анизотропного фотонного кристалла: глубины модуляции показателя преломления (а), периода модуляции показателя преломления (б). По оси абсцисс отложена координата в мкм, по оси ординат значение компоненты электрического поля в 108 В/м.

Далее, мы продемонстрировали зависимость динамики трехмерного ПКОИ, распространяющего в среде анизотропного фотонного кристалла, от угла между вектор-потенциалом электрического поля импульса и осью углеродных нанотрубок (рис. 4).

Рис. 4.

Зависимость компоненты электрического поля Ex от координат в момент времени 10 пс, при различных значениях угла между электрическим полем импульса и осью УНТ: α = π/6 (а), π/3 (б), π/2 (в). По осям отложены координаты в мкм.

Из рис. 4, следует, что угол между вектор-потенциалом электрического поля импульса и осью УНТ оказывает значительное влияние на форму ПКОИ. Его энергия перекачивается на передний фронт, импульс сужается. Таким образом, появляется возможность контролировать форму импульса, меняя направление анизотропии фотонного кристалла, что является особенно важным результатом для практического применения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнено исследование эволюции трехмерного предельно короткого оптического импульса в оптически анизотропном фотонном кристалле из углеродных нанотрубок. Показано, что трехмерный ПКОИ распространяется устойчиво в оптически анизотропном фотонном кристалле из УНТ. Форма импульса претерпевает незначительные изменения, после его прохождения образуется “хвост”. Период и глубина модуляции показателя преломления анизотропного фотонного кристалла оказывают влияние на форму и групповую скорость предельно короткого оптического импульса. Обнаружено, что угол между вектор-потенциалом электрического поля импульса и осью УНТ оказывает существенное влияние на форму импульса.

Полученные результаты характеризуются практической значимостью, поскольку они открывают возможность контролировать форму, скорость и уменьшить область локализации энергии импульса, т.е. стабилизировать импульс.

Двужилова Ю.В. и Двужилов И.С. выражают благодарность за поддержку Совету по грантам Президента РФ (проект № МД-3173.2021.1.2).

Список литературы

  1. Mekis A., Chen J.C., Kurland I. et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 3787.

  2. Sazonov S.V., Ustinov N.V. // Phys. Rev. A. 2018. V. 98. Art. No. 063803.

  3. Fibich G., Ilan B. // Opt. Lett. 2004. V. 29. P. 887.

  4. Желтиков A.M. // УФН. 2007. Т. 50. № 7. С. 737; Zheltikov A.M. // Phys. Usp. 2007. V. 50. No. 7. P. 705.

  5. Mihalache D. // Rom. J. Phys. 2017. V. 69. P. 403.

  6. Pakhomov A.V., Arkhipov R.M., Babushkin I.V. et al. // Phys. Rev. A. 2017. V. 95. Art. No. 013804.

  7. Iijima S. // Nature. 1991. V. 56. P. 354.

  8. Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. № 9. С. 945; Eletskii A.V. // Phys. Usp. 1997. V. 40. P. 899.

  9. Сазонов С.В., Соболевский А.Ф. // Квант. электрон. 2005. Т. 35. № 11. С. 1019.

  10. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996. 965 p.

  11. Belonenko M., Demushkina E.V., Lebedev N.G. et al. // J. Russ. Laser Res. 2006. V. 27. P. 457.

  12. Fedorov E.G., Zhukov A.V., Bouffanais R. et al. // Phys. Rev. A. 2018. V. 97. No. 4. Art. No. 043814.

  13. Zhukov A.V., Bouffanais R., Malomed B.A. et al. // Phys. Rev. A. 2016. V. 94. No. 5. Art. No. 053823.

  14. Zhukov A.V., Bouffanais R., Fedorov E.G., Belonenko M.B. // J. Appl. Phys. 2013. V. 114. Art. No. 143106.

  15. Двужилова Ю.В., Белоненко А.М., Двужилов И.С., Белоненко М.Б. // Изв. РАН. Сер. физ. 2020. Т. 84. № 12. С. 1743; Dvuzhilova Yu.V., Belonenko A.M., Dvuzhilov I.S., Belonenko M.B. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2020. V. 84. No. 12. P. 1483.

  16. Li P., Mihalache D., Malomed B.A. // Phil. Trans. R. Soc. A. 2018. V. 376(2124). Art. No. 20170378.

  17. Бадикова П.В., Глазов С.Ю. // Учен. зап. физ. фак. МГУ. 2015. № 4. С. 154314.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал