1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 86, № 12, 2022

Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 12, стр. 1708-1712

Вращение плоскости поляризации трехмерного предельно короткого импульса в анизотропном фотонном кристалле из углеродных нанотрубок

Ю. В. Двужилова 1, И. С. Двужилов 1, *, Т. Б. Шилов 1, И. А. Челнынцев 1, М. Б. Белоненко 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

* E-mail: dvuzhilov.ilya@volsu.ru

Поступила в редакцию 29.07.2022
После доработки 15.08.2022
Принята к публикации 22.08.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основании уравнений Максвелла получены эффективные уравнения на компоненты вектор-потенциала трехмерного предельно короткого лазерного импульса, распространяющегося в среде оптически анизотропного фотонного кристалла на основе полупроводниковых углеродных нанотрубок. Проведено численное моделирование эволюции двух компонент напряженности импульса в такой среде на временах, превышающих несколько дисперсионных длин. Показаны зависимости формы и времени задержки импульса от угла анизотропии. Показана зависимость угла поворота плоскости поляризации импульса от пройденного им расстояния.

ВВЕДЕНИЕ

Тематика работы лежит в области нелинейной оптики и фотоники, а именно, исследований взаимодействия оптического излучения с веществом. В качестве среды распространения излучения выбран фотонный кристалл (ФК), структура которого периодична, и как следствие, показатель преломления которого имеет пространственную неоднородность. Так, на основе ФК возможно создание пространственных модуляторов, переключателей, разветвителей, циркуляторов и т.д. [1, 2].

В качестве оптического излучения рассматриваются трехмерные предельно короткие импульсы (ПКИ), содержащие малое число периодов поля, частота которых лежит в ближнем ИК-диапазоне, а их длительность – фемтосекунды. Энергия таких импульсов остается локализованной в ограниченной области пространства, а также они обладают высокой направленностью их излучения, стабильностью формы и устойчивостью к возмущениям [3–5]. Отметим, что периодичность структуры ФК обеспечивает нелинейную среду, в которой ПКИ могут распространяться устойчиво, с минимальным дисперсионным и дифракционным расплыванием [6]. Дополнительную нелинейность, необходимую для стабилизации ПКИ, вносят полупроводниковые углеродные нанотрубки (УНТ), обладающие нелинейными свойствами в оптическом диапазоне [7, 8].

Особый интерес представляет учет анизотропии ФК, поскольку в такой среде возможно возникновение двулучепреломления. Учет анизотропии среды может приводить к различным эффектам, например, резонансу Захарова–Бенни [9].

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для исследования эволюции трехмерных ПКИ в оптически анизотропном ФК и построения вращения плоскости поляризации импульса была выбрана следующая геометрия: ось нанотрубок наклонена под углом α к электрическому полю импульса и возникающему в системе току, направление распространения импульса совпадает с направлением модуляции показателя преломления ФК.

Отметим, что в задаче использованы некоторые приближения:

1. Электрическое поле подложки не учитывается.

2. Используется приближение сплошной среды, считается, что ток равномерно распределен по объему фотонного кристалла. Это приближение справедливо, поскольку геометрические размеры нанотрубок и расстояния между ними, на 1–2 порядка меньше, чем размер области локализации электрического поля импульса.

3. Не учтены межзонные переходы.

Для описания эволюции трехмерного импульса в среде фотонного кристалла воспользуемся уравнениями Максвелла, с использованием Кулоновской калибровки (E = –∂A/c∂t) [10, 11]:

(1)
$\Delta {{\vec {A}}_{\beta }} - \frac{{{{n}^{2}}(z)}}{{c_{\beta }^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{{\vec {A}}}_{\beta }}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4\pi }}{c}{{\vec {j}}_{\beta }}\left( {{{{\vec {A}}}_{\beta }}} \right) = 0;$

здесь ${{\vec {A}}_{{{\beta }}}}$ = (Ax(x, y, z, t), Ay(x, y, z, t), 0) – вектор-потенциал электрического поля ПКИ; n(z) = 1 + + μcos(2πz/χ) – показатель преломления анизотропного ФК (μ – глубина модуляции показателя преломления, χ – период модуляции показателя преломления); сβ – скорость электромагнитной волны с поляризацией β; ${{\vec {j}}_{{{\beta }}}}$ = (jx(x, y, z, t), jy(x, y, z, t), 0) – плотность электрического тока, связанного с углеродными нанотрубками.

Компонента плотности тока, который образуется благодаря взаимодействию поля импульса с электронами в зоне проводимости нанотрубок, имеет вид:

(2)
${{j}_{{CNT}}} = e\sum\limits_{ps} {{{v}_{s}}(p)\left( {p - \frac{e}{c}A(t)} \right)\left\langle {c_{{ps}}^{ + }{{C}_{{ps}}}} \right\rangle ,} $
$\begin{gathered} {{v}_{s}}(p) = \frac{{\partial {{\varepsilon }_{s}}(p)}}{{\partial p}},\,\,\, \\ \varepsilon (p) = \pm {{\gamma }_{0}}{{\left( {1 + 4\cos (ap)\cos \left( {{{\pi s} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi s} m}} \right. \kern-0em} m}} \right) + {{{\cos }}^{2}}\left( {{{\pi s} \mathord{\left/ {\vphantom {{\pi s} m}} \right. \kern-0em} m}} \right)} \right)}^{{1/2}}}, \\ \end{gathered} $
где vs(p) – групповая скорость электронов; е – заряд электрона; εs(p) – закон дисперсии π-электронов в полупроводниковых нанотрубках [8]; γ0 – интеграл перекрывания (≈2.7 эВ); а – постоянная решетки углеродной нанотрубки; р – квазиимпульс электрона; m – количество гексагонов по периметру нанотрубки; $C_{{ps}}^{ + },{{C}_{{ps}}}$ – операторы рождения и уничтожения электронов с квазиимпульсом (p, s); $\left\langle {} \right\rangle $– усреднение с неравновесной матрицей плотности ρ(t): $\left\langle B \right\rangle $ = Sp(B(0)ρ(t)).

Следует заметить, что:

$\begin{gathered} {{\left\langle B \right\rangle }_{0}} = Sp\left( {B(0)\rho (0)} \right), \\ \rho (0) = \frac{{\exp \left\{ { - \frac{H}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}{{Sp\left( {\exp \left\{ { - \frac{H}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}} \right)}}, \\ \end{gathered} $
где kB – постоянная Больцмана; T – температура.

Далее, закон дисперсии электронов в углеродных нанотрубках εs(p), разложим в ряд Фурье, и подставим выражения для плотности тока нанотрубок (2) в уравнения Максвелла (1), и получим эффективное уравнение на компоненты вектор-потенциала электрического поля ПКИ в оптически анизотропном ФК:

(3)
$\begin{gathered} \Delta {{A}_{x}} - \frac{{{{n}^{2}}(z)}}{{c_{x}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{x}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a \cdot \sin \alpha }}{c} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{q = 1} {{{b}_{q}}\cos } \left( {\frac{{aeq\left( {{{A}_{x}}\cos \alpha + {{A}_{y}}\sin \alpha } \right)}}{c}} \right)\frac{{aeq}}{c} = 0, \\ \Delta {{A}_{y}} - \frac{{{{n}^{2}}(z)}}{{c_{y}^{2}}}\frac{{{{\partial }^{2}}{{A}_{y}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a \cdot \sin \alpha }}{c} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{q = 1} {{{b}_{q}}\sin } \left( {\frac{{aeq\left( {{{A}_{x}}\cos \alpha + {{A}_{y}}\sin \alpha } \right)}}{c}} \right)\frac{{aeq}}{c} = 0, \\ r = \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} , \\ {{b}_{q}} = \sum\limits_{s = 1} {{{a}_{{sq}}}\int\limits_{ZB} {\cos \left( {pq} \right)\frac{{\exp \left\{ { - \frac{{{{\varepsilon }_{s}}(p)}}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}{{1 + \exp \left\{ { - \frac{{{{\varepsilon }_{s}}(p)}}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}dp} } , \\ \end{gathered} $
здесь n0 – концентрация электронов в нанотрубках; Δ – лапласиан в цилиндрической системе координат. Однако, поле ПКИ, при распространении в ФК, неоднородно, следовательно, может возникнуть неоднородность тока, из-за чего возможно накопление заряда в какой-то области. Однако, расчеты в [12] показали, что эффектом накопления заряда для фемтосекундных импульсов можно пренебречь. Вследствие этого можно считать, что сохраняется цилиндрическая симметрия в распределении поля, и, следовательно, производной по углу можно пренебречь.

Начальные условия на вектор-потенциал электрического поля трехмерного ПКИ (6) выглядят следующим образом:

(4)
$\begin{gathered} {{\left. {{{A}_{x}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{A}_{{0x}}} \cdot \exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{\gamma _{r}^{2}}}} \right) \cdot \exp \left( { - \frac{{{{z}^{2}}}}{{\gamma _{z}^{2}}}} \right); \\ {{\left. {\frac{{d{{A}_{x}}}}{{dt}}} \right|}_{{t = 0}}} = {{A}_{{0x}}} \cdot \frac{{2uz}}{{\gamma _{z}^{2}}}\exp \left( { - \frac{{{{r}^{2}}}}{{\gamma _{r}^{2}}}} \right) \cdot \exp \left( { - \frac{{{{z}^{2}}}}{{\gamma _{z}^{2}}}} \right); \\ {{\left. {{{A}_{y}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0;\,\,\,\,{{\left. {\frac{{d{{A}_{y}}}}{{dt}}} \right|}_{{t = 0}}} = 0; \\ \end{gathered} $
где γz, γr – параметры, определяющие ширину импульса вдоль цилиндрических осей, А0х – начальная амплитуда импульса, u – начальная скорость импульса при входе в среду.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Эффективное уравнение на вектор-потенциал электрического поля ПКИ (3) решалось численно, при помощи явной конечно-разностной схемы типа “крест”, на равномерной сетке по времени и координате, со вторым порядком погрешности [13]. Шаги по времени и координате выбирались исходя из условия устойчивости Куранта, и уменьшались до тех пор, пока решение не оставалось неизменным в восьмом значащем знаке.

При численном моделировании исследуемой системы ее параметры выбирались следующим образом: m = 13, T = 293 K, время релаксации в нанотрубках ≈10–11 c; длительность импульса ≈10–14 c.

Эволюция напряженности компонент электрического поля трехмерного ПКИ при его распространении в оптически анизотропного ФК на основе нанотрубок представлена на рис. 1. Параметры модуляции показателя преломления ФК задавались следующим образом: период – 2.5 мкм, глубина – 0.25. Значения параметров анизотропии: угол между осью УНТ и вектором электрического поля импульса α = π/3; скорости импульса вдоль кристаллографических осей были выбраны, как: vx/с = 0.9, vy/с = 0.5.

Рис. 1.

Зависимости напряженностей х и у-компонент электрического поля ПКИ от цилиндрических координат в фиксированные момент времени (15, 25, 35 пс) при его распространении в анизотропном ФК на основе УНТ. По оси абсцисс отложена координата z в мкм, по оси ординат – координата r в мкм.

Из представленной на рис. 1 временной эволюции импульса можно сказать, что присутствие ФК, приводит к изменению формы импульса. Импульс сохраняет свою энергию локализованной в ограниченной пространственной области. После прохождения импульса в среде возникают электрические колебания. Также отмечается увеличение амплитуды импульса с течением времени, вследствие дисперсии электрического поля в среде УНТ. Этот факт позволяет использовать данную среду в устройствах усиления подобных импульсов.

На рис. 2 показаны срезы напряженности трехмерного ПКИ в зависимости от угла между осью нанотрубок и электрическим полем ПКИ. Видно, что угол между вектор-потенциалом электрического поля импульса и осью УНТ оказывает значительное влияние на форму ПКИ. Его энергия перекачивается на передний фронт, импульс сужается. Также отметим, что с уменьшением угла α время задержки импульса уменьшается, т.е. растет групповая скорость волнового пакета. Таким образом, появляется возможность контролировать форму импульса и его скорость, меняя направление анизотропии ФК, что является особенно важным результатом для практического применения.

Рис. 2.

Зависимости продольных срезов напряженностей х и у-компонент электрического поля ПКИ от угла между осью нанотрубок и вектор-потенциалом электрического поля импульса в фиксированный момент времени 20 пс.

Изменение параметров модуляции показателя преломления оптически анизотропного ФК приводят к изменению формы огибающей и времени задержки ПКИ. Данный результат был неоднократно подтвержден, например, в работах [14, 15].

Следующий полученный результат показывает вращение плоскости поляризации трехмерного ПКИ при его распространении в оптически анизотропном ФК на основе нанотрубок.

На основании результата, представленного на рис. 3, можно сделать вывод, что существует оптимальная длина кристалла с УНТ, при которой происходит максимальное вращение плоскости поляризации. При дальнейшем увеличении длины кристалла угол поворота плоскости поляризации уменьшается, что связано с сильной нелинейностью системы и обратной перекачкой энергии из моды с одной поляризацией в другую.

Рис. 3.

Зависимость угла поворота плоскости поляризации ПКИ, при его распространении в ФК на основе УНТ, от пройденного им расстояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из результатов, полученных в данной работе, можно сформулировать следующие выводы. Распространение трехмерного ПКИ в оптически анизотропном ФК на основе полупроводниковых УНТ является устойчивым на временах нескольких дисперсионных длин. Угол между осью нанотрубок и вектор-потенциалом электрического поля ПКИ оказывает существенное влияние на форму и время задержки импульса. Установлена длина ФК, при которой происходит максимальная поляризация импульса.

Двужилова Ю.В., Двужилов И.С. выражают благодарность Министерству науки и высшего образования РФ и Совету по грантам Президента РФ (проект № MK-2089.2021.1.2).

Список литературы

  1. Mito S., Takagi H., Lim P.B. et al. // J. Appl. Phys. 2011. V. 109. Art. No. 07E313.

  2. Wang Z., Fan S. // Opt. Lett. 2005. V. 30. P. 1989.

  3. Fibich G., Ilan B. // Opt. Lett. 2004. V. 29. P. 887.

  4. Goorjian P.M., Mihalache D. // Rom. J. Phys. 2017. V. 69. P. 403.

  5. Mihalache D. // Rom. Rep. Phys. 2021. V. 73. P. 403.

  6. Sazonov S.V., Ustinov N.V. // Phys. Rev. A. 2018. V. 98. Art. No. 063803.

  7. Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. № 9. С. 945; Eletskii A.V. // Phys. Usp. 1997. V. 40. No. 9. P. 899.

  8. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996. 965 p.

  9. Сазонов С.В., Соболевский А.Ф. // Квант. электрон. 2005. Т. 35. № 11. С. 1019.

  10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973. 509 с.

  11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 624 с.

  12. Zhukov A.V., Bouffanais R., Fedorov E.G., Belonenko M.B. // J. Appl. Phys. 2013. V. 114. Art. No. 143106.

  13. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. 632 с.

  14. Dvuzhilova Y.V., Dvuzhilov I.S., Zaporotskova I.V. et al. // Rom. Rep. Phys. 2022. V. 74. No. 1. P. 401.

  15. Белоненко А.М., Двужилова Ю.В., Двужилов И.С., Белоненко М.Б. // Изв. РАН. Сер. физ. 2022. Т. 86. № 2. С. 194; Belonenko A.M., Dvuzhilova Y.V., Dvuzhilov I.S., Belonenko M.B. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2022. V. 86. No. 2. P. 140.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал