1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 86, № 12, 2022

Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 12, стр. 1700-1703

Рассеяние предельно короткого импульса на углеродной нанотрубке

Н. Н. Конобеева 1, *, М. Б. Белоненко 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

* E-mail: yana_nn@volsu.ru

Поступила в редакцию 29.07.2022
После доработки 15.08.2022
Принята к публикации 22.08.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучены особенности взаимодействия электромагнитного поля со средой с нелинейностью 3–5–7 порядков без приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз. Проанализирована эволюция предельно коротких оптических импульсов при их рассеянии на углеродной нанотрубке, помещенной в диэлектрическую среду. Показано, что наличие в среде одной углеродной нанотрубки приводит к сжатию импульса, что важно с практической точки зрения, например, для обнаружения нанотрубок и их типов, а также примесей на них.

ВВЕДЕНИЕ

Углеродные нанотрубки (УНТ) представляют собой квазиодномерные макромолекулы углерода [1] и вызывают повышенный интерес исследователей в связи с их уникальными свойствами, открывающими широкие перспективы для создания элементной базы новых устройств в различных прикладных областях. Непараболичность закона дисперсии электронов нанотрубок определяет ярко выраженную нелинейность отклика нанотрубок на воздействие электромагнитных полей умеренной интенсивности [2]. Это обстоятельство позволяет наблюдать ряд уникальных физических явлений в средах с УНТ в потенциально легко достижимых экспериментальных условиях, включая солитоны.

С другой стороны, важной задачей современных исследователей солитонов [3, 4] является обобщение существующих моделей с целью их приближения к реальным физическим задачам. Это можно сделать с учетом нелинейности разных видов, причем не только третьего, но и более высоких порядков [5, 6]. Нелинейность этого типа можно обнаружить в совершенно разных средах, например, в воздухе, оптическом стекле и т.д.

Распространение и самолокализация многомерных нелинейно-оптических структур [7] представляют большой интерес как для фундаментальной, так и для прикладной науки. Наиболее распространенным является случай учета кубической нелинейности [8, 9]. В работе [10] авторы анализируют устойчивость трехмерных диссипативных солитонов с собственной завихренностью S в среде 3–5 степени в комплексном уравнении Гинзбурга–Ландау. Показано, что необходимым условием устойчивости всех вихревых солитонов (кроме S = 0) является наличие ненулевой диффузии в поперечной плоскости. Получены условия устойчивости одномерных вихревых решений в среде с нелинейностью 3–5–7 порядков [11]. Существование и устойчивость солитонов брэгговской решетки в среде с нелинейностью 3–5 порядков показано в работе [12]. Введение нелинейности позволяет предотвратить пространственно-временной коллапс предельно коротких импульсов с аномальной дисперсией в плоском волноводе с чисто керровской нелинейностью [13].

В данной работе исследуется распространение двумерного предельно короткого оптического импульса (ПКОИ) в нелинейной среде 3–5–7 порядков с учетом рассеяния на УНТ. Отметим, что порядок нелинейности относится именно к диэлектрической матрице, в которую помещена УНТ. Важным вопросом в данной работе является изучение влияния концентрации углеродных нанотрубок в среде. А именно, есть ли эффекты при учете только одной нанотрубки.

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Волновой вектор электромагнитного поля импульса направлен перпендикулярно оси УНТ (вдоль оси OY), само поле вдоль оси нанотрубки (ось OZ).

Запишем уравнение Максвелла для электромагнитного поля в следующем виде:

(1)
$\frac{\varepsilon }{{{{с}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\vec {E}}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}\vec {E}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\vec {E}}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}\vec {P}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \frac{{4\pi }}{c}\vec {j},$
где ε – диэлектрическая проницаемость среды, с – скорость света.

Поляризация $\vec {P}$ состоит из двух компонент (линейной и нелинейной):

(2)
$\vec {P} = {{\vec {P}}_{L}} + {{\vec {P}}_{{NL}}}.$

При этом линейная часть учтена в диэлектрической проницаемости.

Для нелинейной части выбрана модель в виде конкурирующих нелинейностей 3, 5 и 7 порядков:

(3)
${{\vec {P}}_{{NL}}} = \alpha {{\left| {\vec {E}} \right|}^{2}}\vec {E} - \beta {{\left| {\vec {E}} \right|}^{4}}\vec {E} + \gamma {{\left| {\vec {E}} \right|}^{6}}\vec {E}$
здесь α, β, γ – соответствующе коэффициенты при нелинейных слагаемых. В декартовой системе координат векторы $\vec {E}$ и $\vec {P}$ имеют вид: $\vec {E} = \left( {0,0,E\left( {x,y,t} \right)} \right)$ и $\vec {P} = \left( {0,0,P\left( {x,y,t} \right)} \right).$

Авторами неоднократно исследовалось распространение предельно короткого импульса в среде, содержащей массив углеродных нанотрубок [14, 15]. Уравнение (1) для компоненты электрического поля, направленной вдоль оси УНТ (с учетом $\vec {E} = {{с}^{{ - 1}}}{{\partial{ \vec {A}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {A}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$) имеет вид:

(4)
$\begin{gathered} \frac{\varepsilon }{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{t}^{2}}}} - \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{y}^{2}}}}} \right) + \alpha {{\left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}}} \right)}^{3}} - \beta {{\left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}}} \right)}^{5}} + \gamma {{\left( {\frac{{\partial A}}{{\partial t}}} \right)}^{7}} = \\ = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{4\pi e{{n}_{0}}{{f}_{k}}}}{c}{\text{sin}}\left( {\frac{{kaeA}}{c}} \right)} , \\ {{f}_{k}} = \sum\limits_s {{{a}_{{sk}}}} \int\limits_{BZ} {dp{\text{cos}}\left( {pk} \right)} \frac{{{\text{exp}}\left( { - {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right)}}{{{\text{exp}}\left( { - {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} {{{k}_{B}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{B}}T}}} \right) + 1}}, \\ {{a}_{{sk}}} = \int\limits_{BZ} {dp{\text{cos}}\left( {pk} \right){{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} , \\ \end{gathered} $
где e – заряд электрона, ${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)$ – закон дисперсии УНТ, p – компонента квазиимпульса электрона проводимости вдоль оси нанотрубки, s – число атомов по периметру УНТ, ask – коэффициенты в разложении закона дисперсии электронов в ряд Фурье. Интегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна. В этом случае выражение для плотности электрического тока имеет вид правой части уравнения (4). Отметим, что в сумме по k мы учитываем первые 10 слагаемых в виду убывания коэффициентов fk [16].

Отметим, что приведенная модель учитывает, что в среде находится массив УНТ. В случае же одной трубки, необходимо умножить правую часть уравнения (4) на:

(5)
$\frac{1}{{\pi {{g}_{x}}{{g}_{y}}}}{\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{{x - {{x}_{{cnt}}}}}{{{{g}_{x}}}}} \right)}}^{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{{y - {{y}_{{cnt}}}}}{{{{g}_{y}}}}} \right)}}^{2}}} \right),$
где (xcnt, ycnt) = (15 отн. ед., 27 отн. ед.) – координаты нанотрубки в среде, gx, gy – дисперсия нормального распределения вдоль обоих направлений. Данная формула описывает падение нелинейности в присутствии УНТ. В сглаженной форме заменена на функцию Гаусса. Отметим, что при дисперсии, стремящейся к нулю, выражение (5) переходит в дельта-функцию.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Уравнение (5) решалось численно [17]. Начальное условие выбиралось в гауссовом виде:

(6)
$\begin{gathered} A\left( {x,y,0} \right) = \\ = \,\,Q{\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{{x - {{x}_{0}}}}{{{{\gamma }_{x}}}}} \right)}}^{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{{y - {{y}_{0}}}}{{{{\gamma }_{y}}}}} \right)}}^{2}}} \right), \\ \frac{{dA\left( {x,y,0} \right)}}{{dt}} = 2Qu\frac{{y - {{y}_{0}}}}{{\gamma _{y}^{2}}} \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{{x - {{x}_{0}}}}{{{{\gamma }_{x}}}}} \right)}}^{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - {{{\left( {\frac{{y - {{y}_{0}}}}{{{{\gamma }_{y}}}}} \right)}}^{2}}} \right) \\ \end{gathered} $
здесь Q – начальная амплитуда импульса, γx, γy определяют ширину импульса, (x0, y0) – начальное смещение центра импульса.

Ниже приводятся рисунки с эволюцией импульса в среде, содержащей массив УНТ (рис. 1), и одну УНТ (рис. 2).

Рис. 1.

Эволюция импульса в случае массива УНТ: t = 3 (a), 7 (б), 10 (в), 13 (г). Единица по времени соответствует 2 · 10–14 с, единица по координате – 2 · 10–5 м. Imax – максимальное значение интенсивности в начальный момент времени.

Рис. 2.

Эволюция импульса в случае одной УНТ: t = 3 (a), 7 (б), 10 (в), 13 (г). Единица по времени соответствует 2 · 10–14 с, единица по координате – 2 · 10–5 м. Imax – максимальное значение интенсивности в начальный момент времени.

Из рисунков видно, что при рассеянии на одной углеродной нанотрубке наблюдается увеличение скорости импульса. Также можно отметить, что при распространении предельно короткого импульса в среде с массивом УНТ, он распадается на несколько, отличающихся по амплитуде, причем большая часть энергии сосредоточена в основном импульсе. В случае одной УНТ этот распад происходит медленнее. “Хвост”, образующийся за основным импульсом, как в случае с массивом УНТ, не появляется. Это способствует локализации энергии импульса в продольном направлении.

На рис. 3 показано изменение ширины импульса со временем. Рисунок 3a иллюстрирует, что при распространении импульса в нелинейной среде с неоднородностью в виде одной углеродной нанотрубки, дисперсия в направлении распространения импульса меньше, чем в среде, содержащий массив УНТ. В тоже время за счет рассеяния на нанотрубке поперечная ширина импульса больше (рис. 3б).

Рис. 3.

Зависимость продольной (L1) (а) и поперечной (L2) (б) ширины импульса от времени. Сплошная линия соответствует массиву УНТ, пунктирная – одной нанотрубке. Единица по времени соответствует 2 · 10–14 с, единица по ширине – 2 · 10–5 м.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, разработана модель распространения ПКОИ в нелинейной среде 3–5–7 порядков, содержащей углеродные нанотрубки. Установлено, что при рассеянии на одной нанотрубке “хвост” за импульсом не образуется, в отличие от случая с массивом УНТ. Можно управлять скоростью и шириной импульса за счет концентрации углеродных нанотрубок в среде.

Авторы выражают благодарность Министерству науки и высшего образования Российской Федерации за поддержку численного моделирования и параллельных вычислений в рамках темы государственного задания (проект № 0633-2020-0003).

Список литературы

  1. Iijima S. // Nature. 1991. V. 354. P. 56.

  2. Yamashita S. // APL Photonics. 2019. V. 4. Art. No. 034301.

  3. Silberberg Y. // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.

  4. Kanashov A.A., Rubenchik A.M. // Physics D. 1981. V. 4. P. 122.

  5. Bagnato V.S., Frantzeskakis D.J., Kevrekidis P.G. et al. // Rom. Rep. Phys. 2015. V. 67. P. 5.

  6. Farina A., Saut K.-C. Stationary and time dependent Gross-Pitaevskii equations. Providence: American Mathematical Society, 2008. 180 p.

  7. Mihalache D. // Rom. Rep. Phys. 2017. V. 69. P. 403.

  8. Cao X.D., Agrawal G.P., McKinstrie C.J. // Phys. Rev. A. 1994. V. 49. P. 4085.

  9. Brtka M., Gammal A., Malomed B.A. // Phys. Rev. A. 2010. V. 82. Art. No. 053610.

  10. Mihalache D., Mazilu D., Lederer F. et al. // Phys. Rev. A. 2007. V. 76. Art. No. 045803.

  11. Reyna A.S., Malomed B.A., de Araújo C.B. // Phys. Rev. A. 2015. V. 92. Art. No. 033810.

  12. Atai J., Malomed B.A. // Phys. Lett. A. 2001. V. 284. P. 247.

  13. Fibich G., Ilan B. // Opt. Lett. 2004. V. 29. No. 8. P. 887.

  14. Конобеева Н.Н., Белоненко М.Б. // Изв. РАН. Сер. физ. 2021. Т. 85. № 12. С. 1706; Konobeeva N.N., Belonenko M.B. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2021. V. 85. No. 12. P. 1359.

  15. Konobeeva N.N., Fedorov E.G., Rosanov N.N. et al. // J. Appl. Phys. 2019. V. 126. Art. No. 203103.

  16. Belonenko M.B, Demushkina E.V., Lebedev N.G. // J. Russ. Laser Res. 2006. V. 27. P. 457.

  17. LeVeque R.J. Finite difference methods for ordinary and partial differential equations: steady-state and time-dependent problems. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007. 356 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал