1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 86, № 6, 2022

Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 6, стр. 797-800

Бездифракционные импульсы Эйри–Бесселя в фотонном кристалле с углеродными нанотрубками

Ю. В. Двужилова 1, И. С. Двужилов 1, *, И. А. Челнынцев 1, Т. Б. Шилов 1, М. Б. Белоненко 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

* E-mail: dvuzhilov.ilya@volsu.ru

Поступила в редакцию 24.12.2021
После доработки 17.01.2022
Принята к публикации 21.02.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Выполнено численное исследование эволюции трехмерных бездифракционных предельно коротких оптических импульсов Эйри–Бесселя в среде, имеющей периодический показатель преломления (фотонный кристалл) на основе углеродных нанотрубок. Установлено, что такие импульсы распространяются в среде стабильно. Учтено влияние внешнего электрического поля, приложенного параллельно оси углеродных нанотрубок. Установлены зависимости динамики импульса от параметров модуляции фотонного кристалла.

ВВЕДЕНИЕ

В рамках нелинейной оптики существует большое количество оптических импульсов, профиль интенсивности которых поперечно ускоряется с течением времени. Центр тяжести таких импульсов движется прямолинейно, однако, волновой фронт следует изогнутой траектории. Такое свойство вызывает большой интерес среди исследователей. Это свойство справедливо для любой системы, где взаимодействие с внешним объектом зависит от структуры поля волнового пакета, а не от траектории, связанной с центром масс импульса. Импульсы, удовлетворяющие этому условию, имеют название – бездифракционные импульсы Эйри, которые получены экспериментально в 2007 году [1, 2], почти через 30 лет после пионерской работы Берри и Балаза [3].

Особый интерес представляет исследование распространения таких импульсов в нелинейной среде, имеющей пространственно переменный показатель преломления вдоль направления распространения импульса, такие среды принято называть фотонными кристаллами [4]. В качестве материала для построения фотонного кристалла могут выступать углеродные нанотрубки, обладающие уникальными физико-химическими свойствами [5, 6].

Все вышеперечисленные аргументы и послужили стимулом для написания данной статьи.

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Геометрическая модель исследуемой задачи рассматривается в следующем виде: периодичность показателя преломления фотонного кристалла совпадает с направлением распространения импульса (ось Z). Ось углеродных нанотрубок, электрическое поле и ток направлены перпендикулярно направлению распространения импульса (ось Y). Отметим, что в работе использовано приближение сплошной среды, поскольку размеры нанотрубок на несколько порядков меньше размера области локализации электрического поля импульса.

Для описания динамики импульса, используем уравнения Максвелла в калибровке Кулона:

(1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}\vec {A}}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\vec {A}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}\vec {A}}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \frac{{{{n}^{2}}\left( z \right)}}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\vec {A}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4\pi }}{c}\vec {j}(\vec {A}) = 0;$

здесь $\vec {A}$ = (0, A(x, y, z, t), 0) – вектор-потенциал электрического поля импульса; n(z) = 1 + + μcos(2πz/χ) – периодический показатель преломления фотонного кристалла (μ – глубина модуляции показателя преломления, χ – период модуляции показателя преломления); с – скорость света; $\vec {j}$ = (0, j(x, y, z, t), 0) – плотность электрического тока.

Плотность тока, который образуется благодаря взаимодействию поля импульса с электронами в зоне проводимости нанотрубок, имеет вид [7]:

(2)
$j = 2e\sum\limits_{s = 1}^m {\int\limits_{ZB} {{{\upsilon }_{s}}\left( p \right) \cdot f\left( {p,s} \right)dp} } $

здесь е – заряд электрона; ${{\upsilon }_{s}}\left( p \right) = \frac{{\partial {{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)}}{{\partial p}}$ – групповая скорость электронов; ${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)$ – закон дисперсии π-электронов в полупроводниковых нанотрубках [8]; f(p, s) – функция распределения, которая в начальный момент времени совпадает с функцией распределения Ферми; p – квазиимпульс электронов; s = 1, .., m; m – количество гексагонов по периметру нанотрубки; ZB – первая зона Бриллюэна.

Поскольку исследуемая задача предполагает сохранение цилиндрической симметрии, т.е. мы пренебрегаем угловой производной [9]. Таким образом, с учетом уравнения (2), получим эффективное уравнение на вектор-потенциал электрического поля трехмерного бездифракционного импульса Эйри–Бесселя в фотонном кристалле на основе углеродных нанотрубок, в цилиндрической системе координат:

(3)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{z}^{2}}}} + \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial A}}{{\partial r}}} \right) - \frac{{{{n}^{2}}\left( z \right)}}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \frac{{4e{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}a}}{c} \times \hfill \\ \times \,\,\sum\limits_{q = 1} {{{b}_{q}}} \cos \left( {\frac{{aeqА}}{c}} \right)\frac{{aeq}}{c} = 0,\,\,\,\,r = \sqrt {{{x}^{2}} + {{y}^{2}}} , \hfill \\ {{b}_{q}} = \sum\limits_{s = 1} {{{a}_{{sq}}}} \mathop \smallint \limits_{ZB} \cos \left( {pq} \right)\frac{{\exp \left\{ { - \frac{{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)}}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}{{1 + \exp \left\{ { - \frac{{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)}}{{{{k}_{B}}T}}} \right\}}}dp \hfill \\ \end{gathered} $

здесь n0 – концентрация электронов; asq – коэффициенты разложения закона дисперсии электронов в ряд Фурье [10]; kB – постоянная Больцмана; T – температура.

Начальные условия на вектор-потенциал задаются в виде функции Эйри–Бесселя и имеют вид:

(4)
$\begin{gathered} A\left( {z,r,t = 0} \right) = QR\left\{ {\frac{{z - {{z}_{0}}}}{{{{\gamma }_{z}}}} + k{{{\left( {\frac{{z - {{z}_{0}}}}{{{{\gamma }_{z}}}}} \right)}}^{2}}} \right\} \times \\ \times \,\,{{J}_{0}}\left( {\frac{r}{{{{\gamma }_{r}}}}} \right)\exp \left( { - \frac{r}{\gamma }} \right),\,\,\,\,\frac{{dA\left( {z,r,t = 0} \right)}}{{dt}} = \\ = Q\frac{d}{{dt}}R{{\left. {\left\{ {\frac{{z - {{z}_{0}} - ut{\kern 1pt} '}}{{{{\gamma }_{z}}}} + k{{{\left( {\frac{{z - {{z}_{0}} - ut{\kern 1pt} '}}{{{{\gamma }_{z}}}}} \right)}}^{2}}} \right\}} \right|}_{{t{\kern 1pt} ' = 0}}} \times \\ \times \,\,{{J}_{0}}\left( {\frac{r}{{{{\gamma }_{r}}}}} \right)\exp \left( { - \frac{r}{\gamma }} \right),\,\,\,\,R\left( x \right) = \mathop \smallint \limits_x^\infty Ai\left( y \right)dy \\ \end{gathered} $

здесь Q – амплитуда импульса; γz, γr – ширины импульса в направлении z и r соответственно, u – начальная скорость импульса, k – параметр Эйри импульса, γ – параметр обрезания, который вводится для того, чтобы импульс был физически реализуемым и нес конечную энергию, J0 – функция Бесселя первого рода.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Эффективное уравнение на вектор-потенциал трехмерного бездифракционного предельно короткого оптического импульса Эйри–Бесселя решалось численно с использованием схемы типа “крест” [11].

Результаты эволюции импульса при его распространении в фотонном кристалле из полупроводниковых углеродных нанотрубок, в присутствии внешнего электрического поля, показаны на рис. 1. Видно, что бездифракционный импульс Эйри–Бесселя стабильно распространяется в среде фотонного кристалла во внешнем электрическом поле. Энергия импульса остается локализованной в ограниченной области пространства. Большая часть энергии продолжает концентрироваться в центральной части импульса, хотя из-за дифракции наблюдается небольшое расширение. Следует обратить внимание на то, что форма импульса меняется, вследствие, взаимодействия с нелинейной средой.

Рис. 1.

Эволюция трехмерного бездифракционного предельно короткого оптического импульса Эйри–Бесселя в фотонном кристалле из углеродных нанотрубок под действием внешнего электрического поля в фиксированный момент времени: 5 (а), 10 (б) и 15 пс (в).

Далее мы рассмотрели картину распространения импульса в фиксированный момент времени 5 пс при различных значениях внешнего электрического поля (рис. 2). Влияние внешнего электрического поля сводится к изменению формы, огибающей импульса. Энергия перекачивается на передний фронт, при этом происходит увеличение амплитуды импульса на переднем фронте. Как и следовало ожидать, неоднородность фотонного кристалла в значительной степени влияет на форму импульса, а именно на его сглаживание.

Рис. 2.

Зависимость напряженности электрического поля импульса от координаты (продольный срез импульса) в присутствии внешнего электрического поля (1) и в его отсутствие (2).

Далее было рассмотрено влияние параметров модуляции показателя преломления фотонного кристалла из углеродных нанотрубок на динамику бездифракционного импульса Эйри–Бесселя (рис. 3). Момент времени, при котором происходит сравнение, равен 5 пс.

Рис. 3.

Продольные срезы бездифракционного импульса Эйри–Бесселя при r = 0 в фотонном кристалле из УНТ в зависимости от параметров показателя преломления: периода модуляции (а): 2.5 (1), 5 (2) и 10 мкм (3); глубины модуляции (б): 0.1 (1), 0.4 (2) и 0.7 (3).

Глубина модуляции показателя преломления фотонного кристалла из углеродных нанотрубок (рис. 3б) оказывает значительное влияние на форму трехмерного бездифракционного предельно короткого оптического импульса Эйри–Бесселя. Видно, что с увеличением глубины модуляции импульс сужается, также имеет место незначительное уменьшение групповой скорости волнового пакета импульса. Таким образом, можно говорить о возможности стабилизировать форму импульса за счет изменения параметров модуляции показателя преломления фотонного кристалла. Полученный результат может быть полезен для практических приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Распространение трехмерного бездифракционного импульса Эйри–Бесселя в фотонном кристалле из углеродных нанотрубок является устойчивым, как в присутствии внешнего электрического поля, так и без него. Глубина модуляции показателя преломления фотонного кристалла оказывает существенное влияние на форму огибающей импульса, сужая его.

Двужилова Ю.В., Двужилов И.С. выражают благодарность Министерству науки и высшего образования РФ за финансовую поддержку в рамках Гранта Президента РФ (проект MK-2089.2021.1.2).

Список литературы

  1. Siviloglou G.A., Christodoulides D.N. // Opt. Lett. 2007. V. 32. P. 979.

  2. Siviloglou G.A., Broky J., Dogariu A., Christodoulides D.N. // Phys. Rev. Lett. 2007. V. 99. Art. No. 213901.

  3. Berry M.V., Balazs N.L. // Amer. J. Phys. 1979. V. 47. P. 264.

  4. Шабанов В.Ф., Ветров С.Я., Шабанов А.В. Оптика реальных фотонных кристаллов. Жидкокристаллические дефекты, неоднородности. Новосибирск: Изд. СО РАН, 2005. 209 с.

  5. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. М.: Техносфера, 2003. 336 с.

  6. Дьячков П.Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2005. 196 с.

  7. Belonenko M.B., Demushkina E.V., Lebedev N.G. // J. Russ. Laser. Res. 2006. V. 27. P. 457.

  8. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996. 965 p.

  9. Zhukov A.V., Bouffanais R., Malomed B.A. et al. // Phys. Rev. A. 2016. V. 94. No. 5. Art. No. 053823.

  10. Belonenko M.B., Dvuzhilov I.S., Nevzorova Y.V., Tuzalina O. // J. Nano- Electron. Phys. 2016. V. 8. No. 3. Art. No. 03042.

  11. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975. 632 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал