Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 8, стр. 1205-1211

ВВЕДЕНИЕ

Форма атомных ядер одна из важнейших характеристик ядер. Деформацию формы атомных ядер характеризуют моментами распределения плотности нуклонов в ядрах или параметрами деформации ядер. Экспериментальные данные указывают на наличие квадрупольных моментов у значительной части известных атомных ядер [1, 2]. Теоретические и экспериментальные исследования проявлений существования октупольных деформаций (грушевидных форм) атомных ядер рассмотрены в работах [3–5]. В этих работах, в частности, показано, что ядра с октупольной деформацией формы по сравнению с ядрами, обладающими квадрупольной деформацией представлены небольшими областями Z и А.

Микроскопические согласованные подходы к изучению свойств ядер, основанные на методе Хартри–Фока–Боголюбова (ХФБ) или методе Хартри–Фока (ХФ) [6, 7] с эффективными силами, либо на релятивистской теории Хартри–Боголюбова (РХБ) [8–10] широко применяются для описания свойств больших совокупностей ядер. Эти же подходы применяются для расчетов свойств ядер с учетом возможной октупольной деформации в работах [11–15]. Последние достижения в изучении возможности существования ядер с октупольной деформацией представлены в работах [14, 15], в которых на основе ХФБ и РХБ подходов проведено исследование грушевидных форм четно-четных ядер с различными наборами взаимодействий не только для ранее известных областей ядер по Z и А, но предсказано существование новых областей ядер, обладающих грушевидной формой.

Приведенные в работах [14, 15] расчеты показывают, что несмотря на большой массив исследований проявлений октупольной деформации ядер в ХФБ и РХБ подходах недостаточно исследовано влияние выбора параметров сил спаривания, как на вычисляемые величины параметра октупольной деформации, так и на величину области существования ядер, обладающих октупольной деформацией.

Целью настоящей работы является исследование влияния выбора параметров силы спаривания на величину октупольной деформации. Для этого нами рассматривались изотопы радия и тория в приближении ХФБ c взаимодействием Скирма в диапазоне массовых чисел A = 218–230, а также в окрестности границы нейтронной стабильности с A = 280–290.

МЕТОДОЛОГИЯ

Для изучения свойств основного состояния четно-четных изотопов радия и тория на основе метода ХФБ с зависящим от плотности нуклонов эффективным взаимодействием Скирма мы применили пакет программ HFBTHO v2.00d [16]. Это позволило нам решать систему стационарных уравнений ХФБ в предположении аксиальной симметрии формы ядра с сохранением или нарушением отражательной симметрии в ядре. В пакете программ HFBTHO v2.00d используется разложение однонуклонных волновых функций по базису волновых функций аксиально деформированного гармонического осциллятора. В разложении однонуклонных волновых функций нами учитывались все базисные волновые функции гармонического осциллятора, для которых главное осцилляторное квантовое число не превышает N₀ = 18. Сравнение с расчетами N₀ = 20 показывают, что размерность базиса N₀ = 18 для рассматриваемой области массовых чисел ядер является достаточной. Это минимизирует влияние выбора осцилляторных параметров базиса на результаты расчетов. Для вычисления матричных элементов нами использовались квадратурные формулы Гаусса–Лягерра и Гаусса–Эрмита. При нарушении отражательной симметрии в ядре используется удвоенное количество узлов квадратурных формул Гаусса–Эрмита.

Данный пакет программ позволяет решать систему уравнений ХФБ с наложенными условиями на мультипольные моменты ядер, а также допускает решение уравнений без наложенных условий на моменты деформации. В наших расчетах мы использовали наложенные условия на дипольную, квадрупольную и октупольную деформации ядер. Во всех наших расчетах наложенные условия на массовый дипольный момент ядра: Q₁₀ = 0. Параметры квадрупольной и октупольной деформаций плотности распределения нуклонов определены аналогично работе [14]:

где Q₂₀ и Q₃₀ массовые квадрупольный и октупольный моменты ядер как в [14], A – число нуклонов в ядре и ${{R}_{0}} = 1.2{{A}^{{1{\text{/}}3}}}$ фм.

В наших расчетах мы использовали наборы параметров сил Скирма SkM* [17] и SLy4 [18]. Спаривание нуклонов описывается зависящими от плотности нуклонов силами спаривания нулевого радиуса действия. Мы использовали следующую форму для сил спаривания [16, 19]:

где ${{V}_{{{\tau }}}}$ – параметр сил спаривания (МэВ фм³) для нейтронов (${{\tau }} = n$) и протонов (${{\tau }} = p$), ${{\alpha }}$ – параметр, определяющий тип спаривания (${{\alpha }}$ = 0, 0.5, 1 – объемный, смешанный и поверхностный типы спаривания соответственно), ${{{{\rho }}}_{0}} = 0.16$ фм^–3, $\vec {r} = {{\vec {r}}_{1}} - {{\vec {r}}_{2}},$ $\vec {R} = {{({{{\vec {r}}}_{1}} + {{{\vec {r}}}_{2}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{{\vec {r}}}_{1}} + {{{\vec {r}}}_{2}})} 2}} \right. \kern-0em} 2}$ – относительный радиус-вектор и радиус-вектор центра масс взаимодействующих нуклонов. Наборы параметров сил спаривания, которые мы использовали в наших расчетах, приведены в табл. 1. Для описания парных корреляций обычно используют спаривательную энергетическую щель ${{\Delta }_{{{\tau }}}}$ для нейтронов и протонов. Для энергетической щели мы использовали следующее выражение [10, 20]: где ${{\Delta }_{{k,{{\tau }}}}}$ диагональные матричные элементы парного поля в каноническом базисе, а $u_{{k,{{\tau }}}}^{2}$ и $\nu _{{k,{{\tau }}}}^{2}$ числа заполнения уровней энергий в каноническом базисе для протонов и нейтронов. Это же выражение для ${{\Delta }_{{{\tau }}}}$ используется в программном коде HFBTHO v2.00d.

Для поиска ХФБ решения с силами Скирма SkM*, соответствующего наиболее связанному состоянию ядра, нами выполнены расчеты поверхностей полных энергий ядер E с наложенными условиями на массовые параметры квадрупольной β₂ и октупольной β₃ деформаций. В дальнейшем под энергией связи ядра В мы будем понимать В = –E. Расчеты поверхностей полных энергий ядер проводились в диапазоне значений параметров квадрупольной деформации –0.4 ≤ ≤ β₂ ≤ 1.0 и октупольной деформации 0 ≤ β₃ ≤ 0.3. Было показано, что в изотопах радия и тория с различными наборами сил спаривания параметр квадрупольной деформации β₂ в минимумах поверхностей полных энергий ядер E(β₂, β₃) слабо отличается по величине от вычисленной ${{\beta }}_{2}^{'}$ без учета октупольной деформации (такой же результат был получен и в работе [22]).

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В качестве примера расчетов с наложенными условиями на рис. 1 приведены кривые зависимости изменения полной энергии изотопов радия ^{222, 224}Ra $\Delta E = E({{{{\beta }}}_{2}},{{{{\beta }}}_{3}}) - E\left( {{{\beta }}_{2}^{'},{{\beta }}_{3}^{'} = 0} \right),$ вычисленные с взаимодействием Скирма SkM*, от параметра деформации β₃ для различных наборов сил спаривания. При этом начальные значения β₂ задавались вблизи минимумов полных энергий, полученных из расчетов с наложенными условиями на β₂ и β₃, и варьировались в процессе расчета, обеспечивая минимум полной энергии ядра при данном значении параметра деформации β₃. Параметры сил спаривания V1–V5, V3₀, V3₁, которые мы использовали при расчетах с взаимодействием Скирма SkM*, приведены в табл. 1. Параметры типа V1–V5 в литературе называются силами спаривания смешанного типа, для которых α = 0.5. Параметры типа V3₀ имеют значение α = 0 и называются параметрами спаривания объемного типа, а параметры типа V3₁ имеют значение α = 1 и называются параметрами спаривания поверхностного типа. Параметры V1 предложены в работе [23]. Параметры V2 используется в оригинальном коде HFBTHO v2.00d [16] с взаимодействием Скирма SkM*. Наборы параметров V3, V4 и V5 получены нами умножением параметров V2 соответственно на 1.025, 1.05 и 1.1. Из рис. 1 видно, что для ^{222, 224}Ra самые слабые силы спаривания V1, из рассмотренных нами сил, обеспечивают наиболее глубокий минимум ΔE. Наши расчеты показали, что этот результат имеет место и для всех рассмотренных нами изотопов радия и тория. Увеличение силы спаривания в изотопах радия и тория приводит к уменьшению глубины минимума зависимости $\Delta E$ от β₃, либо к его полному исчезновению.

После расчетов с наложенными условиями для всех рассматриваемых в работе изотопов радия и тория со всеми вариантами сил спаривания из табл. 1 нами проводились расчеты без наложенных условий на β₂ и β₃ в окрестности минимума зависимости E(β₂, β₃). Это позволяет более точно определить минимальные значений полных энергий ядер. Результаты таких уточненных расчетов без наложенных условий на β₂ и β₃ приведены ниже на рис. 2–4.

Средние значения энергетических щелей ядер (3) для нейтронов ${{\Delta }_{n}}$ и протонов ${{\Delta }_{p}}$ можно использовать для оценки влияния сил спаривания на рассчитываемые свойства изотопов радия и тория если сравнить их с энергетическими щелями, вычисленными из четно-нечетных разностей масс соседних ядер. Для расчета значений $\Delta _{n}^{{{\text{(4)}}}}$ и $\Delta _{p}^{{{\text{(4)}}}}$ энергетических щелей четно-четных ядер из четно-нечетных разностей масс ядер мы использовали различия четырех энергий связи соседних ядер, выраженные через одночастичные энергии отделения нейтрона ${{S}_{n}}$ или протона ${{S}_{p}}$ в соседних ядрах [20, 25]:

Одночастичные энергии отделения нейтрона ${{S}_{n}}$ или протона ${{S}_{p}}$ в ядрах взяты из работы [25].

На рис. 2 приведено сравнение энергетических щелей ${{\Delta }_{n}}$ и ${{\Delta }_{p}}$ (3) изотопов радия, вычисленных с наборами параметров сил спаривания V1–V5 и с силами SkM*, со значениями энергетических щелей, вычисленных из четно-нечетных разностей масс соседних ядер (4), (5). Из рис. 2 видно, что ${{\Delta }_{n}},$ вычисленные с параметрами сил спаривания V1 и V5, дают соответственно заниженные и завышенные величины по сравнению с Δ⁽⁴⁾. Для ${{\Delta }_{p}}$ силы спаривания V5 также дают завышенное значение энергетической щели, а расчеты с силами V1 показывают отсутствие спаривания протонов в рассматриваемых изотопах радия. Расчеты с силами спаривания V2–V4 приблизительно с одинаковым качеством согласуются со значениями Δ⁽⁴⁾. Наилучшее согласие с Δ⁽⁴⁾ дают силы спаривания V2, V3.

На рис. 3 приведены результаты расчетов с силами Скирма SkM* для изотопов Ra и Th параметров деформации ядер β₂ и β₃, а также величина $\Delta {{E}_{3}} = E({{{{\beta }}}_{2}},{{{{\beta }}}_{3}}) - E\left( {{{\beta }}_{2}^{'},{{\beta }}_{3}^{'} = 0} \right).$ Энергию $\Delta {{E}_{3}},$ которая представляет собой вклад в полную энергию ядра от учета октупольной деформации ядер, будем называть октупольной энергией ядра. Приведенные на рис. 3 расчеты выполнены с различными наборами параметров сил спаривания, которые обсуждались выше. Как видно из рис. 3 выбор величины сил спаривания существенно влияет на значения параметров деформации β₂ и β₃, а также на величину октупольной энергии $\Delta {{E}_{3}}.$ Силы спаривания V5 для SkM* настолько сильны, что это приводит к исчезновению как квадрупольной, так и октупольной деформации некоторых изотопов радия и тория. Результаты приведенные на рис. 3 показывают, что увеличение силы спаривания приводит к уменьшению или полному исчезновению квадрупольной и октупольной деформации ядер, а также соответственно к уменьшению или полному исчезновению октупольной энергии. Поэтому при расчетах необходимо контролировать величину сил спаривания, проводя сравнение вычисленных энергетических щелей с их эмпирическими значениями. В наших расчетах такое сравнение позволяет отдать предпочтение для сил Скирма SkM* силам спаривания V2, V3.

Как уже отмечалось выше в работах [14, 15] при проведении расчетов свойств больших совокупностей ядер на основе ХФБ и РХБ подходов предсказывается существование новых ранее неизвестных областей ядер обладающих октупольной деформацией и, в частности, в области, примыкающей к границе нейтронной стабильности. В настоящей работе для изотопов радия и тория в области ядер с большим нейтронным избытком в окрестности границы нейтронной стабильности мы исследовали влияние выбора параметров сил спаривания на возможность проявления октупольной деформации. На рис. 4 приведены результаты расчетов β₂, β₃ и $\Delta {{E}_{3}}$ изотопов Ra и Th для A = 280–290. Условия вычислений для этих ядер полностью совпадают с условиями вычислений для ядер представленных на рис. 3. Из рис. 4 видно, что выбор параметров сил спаривания V1, V2 или V3 существенно влияет как на величины β₂, β₃ и $\Delta {{E}_{3}},$ так и на характер их изменения с ростом массового числа А. Для диапазона массовых чисел A = 280–290 не представляется возможным оценить величину Δ⁽⁴⁾ для выбора предпочтительного типа константы спаривания V, так как нет экспериментальных данных для ядер с таким большим избытком нейтронов.

В ХФБ расчетах используются различные типы спаривания нулевого радиуса действия [16, 19]. Для сравнения с результатами расчетов со спариванием смешанного типа V3 (${{\alpha }}$ = 0.5) и оценки влияния выбора типа сил спаривания на результаты расчета нами проведены дополнительные расчеты с силами спаривания объемного типа V3₀ (${{\alpha }}$ = 0) и поверхностного типа V3₁ (${{\alpha }}$ = 1) для изотопа ²²⁴Ra. Результаты такого сравнения приведены в табл. 2. Параметры сил V3₀ и V3₁ подбирались таким образом, чтобы получить в расчетах для ²²⁴Ra такие же значения энергетических щелей ${{\Delta }_{n}}$ и ${{\Delta }_{p}}$ как и с силами V3. Из табл. 2 видно, что выбор типа сил спаривания влияет на величины β₂, β₃ и $\Delta {{E}_{3}},$ а наибольшее значение этих величин соответствует объемному типу сил спаривания.

Для изучения зависимости полученных результатов от выбора параметров взаимодействия Скирма, нами были проведены такие же вычисления для изотопов радия с взаимодействием Скирма SLy4. Эти расчеты проводились в том же диапазоне массовых чисел, что и в расчетах с силами SkM*. Расчеты с взаимодействием Скирма SLy4 показали, что увеличение силы спаривания в изотопах радия так же как и в случае взаимодействия SkM* приводит к уменьшению глубины минимума зависимости $\Delta E$ от β₃, либо к его полному исчезновению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведены расчеты в приближении ХФБ в предположении аксиальной симметрии ядер с силами Скирма SkM* и SLy4 для изотопов Ra и Th с A = 218–230 и A = 280–290. Спаривание нуклонов в ядрах описывается силами спаривания нулевого радиуса действия с различными наборами констант сил спаривания. В расчетах использовались наложенные условия на параметры квадрупольной и октупольной деформаций ядер.

Показано, что для рассмотренных изотопов радия и тория октупольная деформация ядер сильно зависит от выбора параметров силы спаривания нуклонов. Для Ra и Th с A = 218–230 выбраны предпочтительные значения констант сил спаривания нейтронов и протонов. Завышенные значения констант сил спаривания приводят к уменьшению или полному исчезновению квадрупольной и октупольной деформации в рассмотренных ядрах.