Известия РАН. Серия физическая, 2022, T. 86, № 9, стр. 1278-1282

ВВЕДЕНИЕ

Открытые диэлектрические резонаторы (ДР), изготовленные из современных керамических материалов, сочетающих высокую относительную диэлектрическую проницаемость (ε_r ≈ 30–40), малые потери (tg δ ≈ 10^–4–5 · 10^–5) и температурную стабильность параметров в широком диапазоне частот [1, 2] в последнее время представляют значительный интерес при создании различных активных и пассивных СВЧ устройств [3–7].

Основной характеристикой ДР является его добротность: отношение запасенной энергии к суммарным потерям (тепловым и радиационным). Обычно для снижения радиационных потерь ДР экранируют, что увеличивает вносимые тепловые потери. При этом возникает понятие эффективная добротность ДР Q_эф, которая зависит не только от тепловых потерь внутри ДР, но и от потерь в металлических стенках экранов, что затрудняет возможность ее априорной оценки. Задача прогнозирования добротности ДР в устройствах СВЧ осложняется недостаточной точностью определения tg δ керамических материалов с высоким значением ε_r в диапазоне СВЧ. Например, в ГОСТ Р 8.623–2015 погрешность измерения tg δ составляет т.е. при указанных выше tg δ = 10^–4–5 ⋅ 10^–5, величина собственной добротности ДР (Q₀ = (tg δ)^–1) определяется с погрешностью 40–70%, что усложняет численный анализ характеристик СВЧ устройств с применением ДР.

В работе проведен анализ свойств ДР на базе частотных характеристик линий передачи с ДР и рассмотрен алгоритм определения добротностей ДР, расположенных в экранированной линии передачи (волноводе) с неидеальными стенками. Анализ линии передачи с ДР, проведен традиционным методом на основе матриц рассеяния, допускающим как приближенные аналитические, так и численные подходы [8–11]. Особенностью развиваемого алгоритма расчета является учет влияния на добротность ДР помимо тепловых потерь в материале и в стенках линии передачи с конечной проводимостью, также запасенной энергии во внешних полях ДР.

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР В СОГЛАСОВАННОМ ВОЛНОВОДЕ

В соответствии с [9] рассмотрим регулярную линию передачи (полый металлический волновод) с ДР и одним основным видом волны (рис. 1).

На рис. 1 поверхность S ограничивает объем V линии с ДР. Плоскости z = z₁ и z = z₂ выбираются на таком расстоянии от ДР (z = z₀), где можно пренебречь высшими нераспространяющимися видами волн, излучаемыми вторичными токами поляризации ДР. Тогда в плоскостях z = z₁ и z = z₂ будет только падающая $\left( {{{{\vec {E}}}^{0}},{{{\vec {H}}}^{0}}} \right),$ отраженная $\left( {{{{\vec {E}}}^{ - }},{{{\vec {H}}}^{ - }}} \right)$ и прошедшая $\left( {{{{\vec {E}}}^{ + }},{{{\vec {H}}}^{ + }}} \right)$ волны.

В этой модели резонансным является весь рассматриваемый объем V линии с ДР. Запасенная энергия в объеме V определяется энергией внутри и вне ДР. Энергия вне ДР определяется в основном высшими нераспространяющимися видами волн. Мощность потерь в объеме V определяется потерями в диэлектрике (tg δ) и металлических стенках линии, т.е. проводимостью металла (σ_м).

В случае высокой добротности миниатюрных ДР (tg δ $ \ll $ 1, ε_r $ \gg $ 1), пренебрегая “нерезонансным” возмущением ДР линии передачи, коэффициент отражения вблизи резонансной частоты ДР (ω ≈ ω_р) для основного вида волны в плоскости z = z₀ согласно [9]:

где Ψ – фазовый коэффициент, определяемый ориентацией и положением ДР; β = P_и/P_т – коэффициент связи линии передачи с ДР по основному виду волны; P_и – излучаемая мощность из объема V на резонансной частоте ω_р; P_т – мощность тепловых потерь в ДР и в металлических стенках линии передачи на резонансной частоте ω_р.

Частотный коэффициент $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\kappa } \left( {j{{\omega }}} \right)$ в (1) при ω ≈ ω_р записывается в виде

где ${{Q}_{{{\text{эф}}}}} = {{{{\omega }_{{\text{р}}}}{{W}_{{\text{з}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{{\text{р}}}}{{W}_{{\text{з}}}}} {{{P}_{{\text{т}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{{\text{т}}}}}}$ – эффективная добротность ДР (добротность объема V c ДР), W_з – запасенная энергия электромагнитного поля в объеме V.

Эффективная добротность Q_эф в соответствии с (1) и (2) может быть определена по частотной характеристике ${{S}_{{11}}}(\omega ) = \left| {{{{\underline S }}_{{11}}}(j\omega )} \right|$ как ${{Q}_{{{\text{эф}}}}} = {{{{\omega }_{{\text{р}}}}(1 + \beta )} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\omega }_{{\text{р}}}}(1 + \beta )} {\Delta \omega }}} \right. \kern-0em} {\Delta \omega }},$ где Δω – ширина резонансной кривой S₁₁(ω) по уровню половинной мощности; β определяется из (1) при ω = ω_р.

Проанализируем выражение для Q_эф с точки зрения разделения электромагнитного поля ДР на внешнее и внутреннее. Разобьем весь объем V на внутренний объем ДР V_вн и объем снаружи V_нар, тогда

где W_{з, вн} и P_{т, вн} – запасенная энергия и мощность тепловых потерь в ДР; W_{з, нар} и P_{т, нар} – запасенная энергия снаружи ДР и мощность потерь в стенках линии; Q₀= ω_рW_{з, вн}/P_{т, вн} = 1/tg δ – собственная (внутренняя) добротность ДР; Q_e = ω_рW_{з, нар}/P_{т, нар} – внешняя добротность ДР; K_W = W_{з, нар}/W_{з, вн}.

При высокой добротности ДР (Q₀ $ \gg $ 1) и малых потерях в стенках линии передачи (Q_e $ \gg $ 1) структура полей в объеме V вблизи резонансной частоты (ω ≈ ω_р) не зависит от Q₀, отсюда K_W и Q_e также не зависят от Q₀. Зависимость Q_эф от Q₀ согласно (3) имеет вид, показанный на рис. 2. Согласно рис. 2 в случае Q₀ > Q_e получим Q_эф < Q₀, при Q₀ < Q_e получим Q_эф > Q₀ и в особом случае Q₀ = Q_e = Q_эф.

Измерение добротности ДР в согласованном волноводе связано со сложностью учета “нерезонансного” возмущения" [8, 12]. Нерезонансное возмущение приводит к отличию реальных частотных характеристик измерительного тракта с ДР от классических резонансных кривых. Малое возмущение может быть приближенно учтено, но это требует дополнительной математической обработки результатов измерений.

Нерезонансное возмущение можно существенно уменьшить, располагая ДР в короткозамкнутом волноводе, например, в минимуме электрического поля стоячей волны.

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР В КОРОТКОЗАМКНУТОМ ВОЛНОВОДЕ

Поместим ДР в короткозамкнутый волновод. Расстояние от ДР до короткозамкнутой стенки выберем кратным половине длины волны в волноводе, тем самым ДР будет находится в узле электрического поля, что минимизирует нерезонансное возмущение ДР волновода.

Резонансный объем V в этом случае включает в себя весь отрезок волновода от короткозамкнутой стенки (z = z₂) до некоторого сечения (z = z₁), где можно пренебречь нераспространяющимися видами волн волновода, возбуждаемыми токами поляризации ДР.

Коэффициент отражения по основному виду волны [8]:

где β определено по (1), $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\kappa } (j\omega )$ по (2). Выводы (3) для Q_эф верны и в этом случае.

При ω = ω_р

$\beta = \frac{{1 - {{S}_{{11{\text{р}}}}}}}{{1 + {{S}_{{11{\text{р}}}}}}}$ при $\beta < 1;$ $\beta = \frac{{1 + {{S}_{{11{\text{р}}}}}}}{{1 - {{S}_{{11{\text{р}}}}}}},$ при $\beta > 1;$ $\beta = 1,$ при ${{S}_{{11{\text{р}}}}} = 0.$

Коэффициент отражения по уровню половинной мощности из (4)

Эффективная добротность Q_эф определяется формулой

Численный эксперимент проводился в среде СВЧ моделирования CST Studio Suite (Student Edition). Дисковый ДР с H_01δ видом колебания располагался в прямоугольном короткозамкнутом волноводе, как показано на рис. 3.

Сечение волновода a × b = 28.5 × 12.6 мм, материал стенок – медь (σ_м = 6 ⋅ 10⁷ См ⋅ м^–1). Параметры дискового ДР: диаметр D = 4.9 мм, высота H = 2.4 мм, относительная диэлектрическая проницаемость материала ε_r = 40, резонансная частота f₀ = 10 ГГц. Угол поворота ДР φ = 7°.

Результаты численного эксперимента при изменении Q₀ для двух различных расстояний λ_в/2 и λ_в от ДР (z = z₀) до короткозамкнутой стенки (z = = z₂) приведены в табл. 1 и 2.

Численное моделирование задачи подтверждает возможность разбиения поля ДР на внешнее и внутреннее, а также достоверность формулы (3) для Q_эф.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Открытые ДР формируют колебательные системы современных СВЧ устройств. Основной характеристикой ДР является добротность. Она зависит не только от тангенса угла диэлектрических потерь, но и от вносимых потерь в окружающих конструкциях и энергии, запасенной во внешних полях объемов с ДР. Причем, на практике разработчиков СВЧ устройств чаще всего интересуют свойства ДР в экранированных объемах и линиях, ограничивающих потери на излучение. Поэтому представленный в работе анализ влияния на добротность ДР экранов, проведенный на примере волноводных линий, представляет практический интерес.

Результаты численного эксперимента указывают на высокую достоверность рассмотренного алгоритма расчета добротности ДР.