Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 1, стр. 25-29

ВВЕДЕНИЕ

Большой интерес вызывают в последние десятилетия вопросы, связанные с генерацией терагерцового излучения. С одной стороны, это обусловлено наличием у терагерцового излучения многочисленных приложений в медицине, системах восстановления изображений, системах безопасности и других областях. С другой стороны, особенности взаимодействия терагерцового излучения с различными средами все еще остаются недостаточно исследованными.

Одним из наиболее эффективных методов генерации терагерцового излучения является метод, основанный на эффекте оптического выпрямления в квадратично-нелинейном кристалле [1–3]. Эффективность генерации этим методом будет наибольшей при выполнении условия синхронизма Захарова–Бенни ${{\nu }_{g}} = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {{{n}_{T}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{T}}}}$ [4], где $c$ – скорость света в вакууме, ${{\nu }_{g}} = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\left( {{{n}_{\omega }} + {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} {\partial \omega }}} \right. \kern-0em} {\partial \omega }}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{n}_{\omega }} + {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} {\partial \omega }}} \right. \kern-0em} {\partial \omega }}} \right)}}$ – групповая скорость оптического импульса, соответствующая его несущей частоте $\omega ,$ ${{n}_{\omega }}$ и ${{n}_{T}}$ – показатели преломления кристалла на несущей частоте $\omega $ и в терагерцовом диапазоне частот соответственно. Другими словами, условие Захарова–Бенни состоит в том, что групповая скорость оптической (коротковолновой) компоненты должна быть равна фазовой скорости терагерцовой (длинноволновой) составляющей.

В реальных средах условие Захарова–Бенни, как правило, не выполняется. Поэтому для повышения эффективности генерации терагерцового излучения в экспериментальных условиях используют лазерные импульсы с наклонными волновыми фронтами [5–8]. В этом случае условие наиболее эффективной генерации переходит из условия Захарова–Бенни в черенковское условие [9]

где $\theta $ – угол между фазовыми и групповыми фронтами лазерного сигнала. Так как обычно ${{\nu }_{g}} > {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {{{n}_{T}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{T}}}},$ то, подбирая угол $\theta ,$ можно удовлетворить условию (1).

В ходе теоретического рассмотрения процесса генерации часто считают, что интенсивность терагерцового сигнала значительно ниже интенсивности оптического импульса, и, как следствие, пренебрегают обратным воздействием генерируемого терагерцового сигнала на оптический импульс. Однако, в настоящее время относительная эффективность генерации по энергии уже достигает нескольких процентов. В таком случае динамику оптического и терагерцового сигналов необходимо описывать самосогласованным образом.

Спектр входного оптического импульса пикосекундной длительности имеет ярко выраженную несущую частоту. То есть, входной импульс является квазимонохроматическим и, следовательно, к нему с хорошей точностью применимо приближение медленно меняющейся огибающей (ММО). В то же время спектр генерируемого терагерцового сигнала не имеет несущей частоты и является широкополосным. Относительная длительность терагерцового импульса составляет порядка одного или даже половины периода электромагнитных колебаний [10]. Такой сигнал обладает свойствами предельно короткого импульса [11]. Поэтому здесь неприменимо приближение ММО. Для понижения порядка волнового уравнения здесь можно использовать приближение однонаправленного распространения (ОР) [12].

Генерация терагерцового излучения оптическими импульсами с наклонными волновыми фронтами рассматривалась в рамках самосогласованного подхода в работах [13–15]. При этом к волновому уравнению для терагерцовой компоненты применялось приближение ОР. Использование этого приближения предполагает, что угол $\theta $ мал. Однако, для сред, у которых значение электрооптического коэффициента, определяющего эффективность генерации терагерцового излучения, велико, угол $\theta $ в равенстве (1) оказывается большим [8]. Таким образом, отказ от приближения ОР позволяет исследовать среды, у которых угол $\theta $ уже не является малым. Процесс генерации без использования этого приближения был рассмотрен в [16]. Следуя предложенному в [16] подходу, мы продолжаем исследование генерации терагерцового излучения в квадратично-нелинейных средах.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ТИПА ЗАХАРОВА–БУССИНЕСКА

Будем считать, что плоские фазовые волновые фронты лазерного импульса параллельны оптической оси $x$ одноосного кристалла и распространяются вдоль перпендикулярной к ней оси $z.$ При этом электрическое поле $E$ импульса лежит в плоскости $(x,z)$ необыкновенной волны, называемой плоскостью главного сечения. В этом случае плоскость поляризации импульса в кристалле не изменяется. Тогда для оптической ${{E}_{\omega }}$ и терагерцовой ${{E}_{T}}$ компонент электрического поля справедливо волновое уравнение

где P_ω и P_T – оптическая и терагерцовая компоненты поляризационного отклика кристалла, ${{\Delta }_{ \bot }} = {{{{\partial }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}} {\partial {{x}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{x}^{2}}}} + {{{{\partial }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}} {\partial {{y}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{y}^{2}}}}$ – поперечный лапласиан, $y$ – ось декартовой системы координат $(x,y,z).$

Для суммарного электрического поля $E$ импульса и суммарного поляризационного отклика $P$ кристалла имеем

Обозначая через $\psi (z,x,t)$ медленно меняющуюся комплексную огибающую электрического поля оптического импульса с несущей частотой $\omega ,$ для оптической компоненты поля в точке с радиус-вектором $\vec {r}$ запишем

где $k$ – волновое число, соответствующее несущей частоте $\omega .$

Учитывая временную дисперсию, для суммарного поляризационного отклика нелинейного прозрачного кристалла будем иметь

где ${{\chi }_{1}}(t{\kern 1pt} ')$ и ${{\chi }_{2}}\left( {t_{1}^{'},t_{2}^{'}} \right)$ – соответственно линейная и нелинейная временные восприимчивости.

Так как в оптической и терагерцовой областях прозрачности дисперсия и нелинейность относительно слабы, в линейной части поляризационного отклика используем разложения

а в нелинейной части положим

Используя (3)–(8), после пренебрежения быстро осциллирующими слагаемыми, будем иметь

где ${{\chi }_{\omega }} \equiv \int_0^\infty {{{\chi }_{1}}(t{\kern 1pt} '){{e}^{{ - i\omega t{\kern 1pt} '}}}dt{\kern 1pt} '} $ – линейная восприимчивость среды, соответствующая частоте $\omega ,$ ${{\chi }_{T}} \equiv {{\chi }_{0}} = \int_0^\infty {{{\chi }_{1}}(t{\kern 1pt} ')dt{\kern 1pt} '} $ – терагерцовая линейная восприимчивость среды, а нелинейные частотные восприимчивости второго порядка определяются из выражения ${{\chi }^{{(2)}}}({{\omega }_{1}};{{\omega }_{2}}) = \int_0^\infty {{{\chi }_{2}}\left( {t_{1}^{'},t_{2}^{'}} \right){{e}^{{ - i\left( {{{\omega }_{1}}t_{1}^{'} + {{\omega }_{2}}t_{2}^{'}} \right)}}}dt_{1}^{'}dt_{2}^{'}} .$

При подстановке (9) в (2) сохраним в правой части производные по времени от линейных по $\psi $ слагаемых не выше второго порядка, а в нелинейном слагаемом положим $\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{E}_{T}}\psi {{e}^{{i(\omega t - kz)}}}} \right) \approx $ $ \approx - {{\omega }^{2}}{{E}_{T}}\psi {{e}^{{i(\omega t - kz)}}}.$ В результате из (3), (9) и (10) придем к нелинейной системе

Здесь ${{\nu }_{g}} = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\left( {{{n}_{\omega }} + {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} {\partial \omega }}} \right. \kern-0em} {\partial \omega }}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{n}_{\omega }} + {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\omega \partial {{n}_{\omega }}} {\partial \omega }}} \right. \kern-0em} {\partial \omega }}} \right)}},$ ${{n}_{\omega }} = \sqrt {1 + 4\pi {{\chi }_{\omega }}} ,$ ${{n}_{T}} = \sqrt {1 + 4\pi {{\chi }_{T}}} ,$ $\beta = {{{{\partial }^{2}}k} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}k} {\partial {{\omega }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{\omega }^{2}}}}$ – параметр дисперсии групповой скорости оптической компоненты, $k = {{{{n}_{\omega }}\omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{\omega }}\omega } c}} \right. \kern-0em} c},$ $\gamma = {{2\pi {{{\left( {{{{{\partial }^{2}}{{\chi }_{\omega }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}{{\chi }_{\omega }}} {\partial {{\omega }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{\omega }^{2}}}}} \right)}}_{{\omega = 0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi {{{\left( {{{{{\partial }^{2}}{{\chi }_{\omega }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\partial }^{2}}{{\chi }_{\omega }}} {\partial {{\omega }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {\partial {{\omega }^{2}}}}} \right)}}_{{\omega = 0}}}} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}$ – параметр дисперсии терагерцевой составляющей, коэффициенты $\alpha ,$ $\mu $ и $\sigma $ выражаются через нелинейные частотные восприимчивости второго порядка: $\alpha = {{4\pi \omega {{\chi }^{{(2)}}}(\omega ;0){{\nu }_{g}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi \omega {{\chi }^{{(2)}}}(\omega ;0){{\nu }_{g}}} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}},$ $\mu = {{4\pi {{\chi }^{{(2)}}}(0;0)} \mathord{\left/ {\vphantom {{4\pi {{\chi }^{{(2)}}}(0;0)} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}},$ $\sigma = {{8\pi {{\chi }^{{(2)}}}(\omega ; - \omega )} \mathord{\left/ {\vphantom {{8\pi {{\chi }^{{(2)}}}(\omega ; - \omega )} {{{c}^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}^{2}}}}.$

Как линейные, так и нелинейные восприимчивости в оптическом и терагерцевом диапазонах имеют различную физическую природу. В оптическом диапазоне восприимчивости среды при воздействии на них фемтосекундных импульсов обусловлены электронно-оптическими квантовыми переходами в атомах или молекулах. В терагерцевом же диапазоне восприимчивости формируются, главным образом, в результате взаимодействия импульса с оптическими колебательными модами ионов в узлах кристаллической решетки [17, 18].

В одномерном случае (${{\Delta }_{ \bot }}\psi = {{\Delta }_{ \bot }}{{E}_{T}} = 0$) при $\mu = \gamma = 0$ система (11), (12) переходит в одномерный вариант уравнений Захарова [4, 19]. Если $\psi = 0,$ то уравнение (11) дает тождество $0 = 0.$ Если к тому же ${{\Delta }_{ \bot }}{{E}_{T}} = 0,$ то (12) переходит в уравнение Буссинеска [4]. По этой причине система (11), (12) была названа в [16] уравнениями типа Захарова–Буссинеска.

Заметим, что если к уравнению (12) применить приближение ОР вдоль оси $z,$ то система (11), (12) перейдет в систему уравнений, подробно изученную в [13–15]. Однако, как было отмечено выше, такой подход не позволяет рассматривать оптико-терагерцовые солитоны с большими углами наклона волновых фронтов оптических компонент.

ОПТИКО-ТЕРАГЕРЦОВЫЕ СОЛИТОНЫ С НАКЛОННЫМИ ВОЛНОВЫМИ ФРОНТАМИ

Рассмотрим солитонную стадию режима генерации терагерцового излучения на основе решений системы уравнений (11), (12). При этом выделяются два случая.

В первом случае имеем решение системы (11), (12) следующего вида:

где амплитуды компонент равны

Групповая скорость $\nu $ солитона, нелинейная постоянная распространения $\kappa $ и угол наклона $\theta $ фазовых волновых фронтов оптической компоненты определяются соответственно выражениями

Солитоноподобное решение, представленное выше, имеет один свободный параметр, в качестве которого удобно взять временную длительность ${{\tau }_{p}}$ оптико-терагерцового импульса.

Интересным частным случаем решения (13) является решение, соответствующее условиям $\beta = \gamma = 0.$ Групповая скорость такого солитона равна линейной фазовой скорости терагерцовой волны. Так как такой двухкомпонентный солитон с наклонными волновыми фронтами формируется в отсутствие дисперсии, то он был назван бездисперсионным солитоном [16].

Отметим, что временные солитоны (уединенные импульсы, локализованные в направлении распространения) формируются за счет взаимной компенсации нелинейного самосжатия и дисперсионного уширения. Так как бездисперсионный солитон является импульсом, локализованным в направлении распространения, то его следует отнести к временным солитонам. Возможность формирования бездисперсионного солитона обусловлено влиянием дифракции оптической компоненты с наклонными волновыми фронтами. Известно, что дифракция способствует формированию пространственных солитонов, компенсируя самофокусировку световых пучков. Дифракционное искривление наклонных волновых фронтов, распространяющихся вдоль оси $z,$ приводит к уширению оптического волнового пакета в проекции на ось $z{\kern 1pt} ' = z\cos \theta + x\sin \theta ,$ что равносильно наличию эффективной дисперсии. Таким образом можно сказать, что двухкомпонентные дисперсионные солитоны с наклонными волновыми фронтами у оптической компоненты обладают свойствами как временных, так и пространственных солитонов.

Во втором случае система (11), (12) имеет следующее решение:

где

При этом величина угла наклона $\theta $ фазовых волновых фронтов оптической компоненты определяется соотношением

Решение (14) имеет один свободный параметр, в качестве которого тоже возьмем временную длительность ${{\tau }_{p}}$ импульса. Интересной особенностью этого решения является то, что угол наклона $\theta $ и скорость $\nu $ солитона не зависят от длительности ${{\tau }_{p}}.$

Отметим, что бездисперсионный солитон вида (14) тоже может существовать. Но при этом должна отсутствовать собственная нелинейность терагерцовой компоненты, а именно $\beta = 0$ и $\gamma \to 0$ совместно с $\mu \to 0.$

Общепринятое мнение в отношении приближения ОР состоит в том, что оно не влияет существенно на динамику импульсов. В качестве примера приведем редуцированные уравнения Максвелла–Блоха [4] и уравнения Шефера–Вейна [20, 21]. Динамика солитонов этих уравнений и динамика импульсных решений исходных уравнений весьма схожи. В целом, такая же ситуация имеет место для системы (11), (12) и системы уравнений, полученной из нее в [13–15] с помощью приближения ОР, в случае импульсов вида (13). Однако, для импульсов вида (14) ситуация существенно отличается. У системы, полученной из (11), (12) с помощью приближения ОР, импульсы вида (14) могут существовать, только если выполняется ограничение на физические параметры. Мы видим, что если приближение ОР не применяется, то ограничений на параметры нет, а его использование приводит к появлению ограничения на физические параметры. Заметим, что это ограничение соответствует равенству $\cos \theta = 1$ в соотношении (15). Возможно, что такая неоднозначная роль приближения ОР в рассматриваемой здесь задаче обусловлена тем, что его корректное использование предполагает малость угла наклона $\theta $ фазовых волновых фронтов оптической компоненты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследован солитоноподобный режим распространения оптико-терагерцового солитона с наклонными волновыми фронтами у оптической составляющей. Углы наклона волновых фронтов не предполагаются малыми. В этом случае генерация терагерцового сигналов описывается системой связанных нелинейных уравнений типа Захарова–Буссинеска.

Важным представляется вопрос, связанный с устойчивостью рассмотренных здесь солитоноподобных решений. Соответствующее исследование выходит за рамки настоящей работы и будет проведено отдельно.

Помимо решений при учете дисперсии обеих компонент, найдены солитоноподобные решения в условиях, когда этими дисперсиями можно пренебречь. Существование таких нетривиальных решений объясняется возникновением эффективной дисперсии групповой скорости из-за дифракции оптического импульса с наклонными волновыми фронтами. Можно показать [16], что для формирования бездисперсионных оптико-терагерцовых солитонов важным является то обстоятельство, что нелинейные восприимчивости второго порядка в спектральных областях оптических и терагерцовых частот должны иметь противоположные знаки. Таким образом, принципиальную роль в этом процессе играет частотная дисперсия нелинейной восприимчивости.