Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 12, стр. 1701-1706

ВВЕДЕНИЕ

Оптические солитоны в квадратично нелинейных средах были впервые теоретически получены в [1]. Поскольку устойчивые солитонные режимы в квадратичных оптических средах формируются при меньших интенсивностях, чем в средах с кубической нелинейностью, двухцветные пространственно-временные солитоны (световые пули) при квадратичной нелинейности вызывают большой интерес исследователей [2]. В настоящем исследовании мы рассматриваем многомерные многокомпонентные квадратичные солитоны, которые интенсивно изучаются, в частности, потому что, в отличие от многомерных кубических солитонов, многомерные солитоны в квадратичной среде могут быть устойчивыми [2, 3].

Световые пули довольно подробно изучались как теоретически, так и экспериментально (см., например, [2, 4, 5]). Известно, что такие солитоны устойчивы в однородных квадратичных средах в диапазоне аномальной дисперсии групповой скорости. Однако, возможно формирование световых пуль при нормальной дисперсии в градиентной нелинейной среде в режиме самофокусировки [6]. В работе [7] с помощью метода усредненного Лагранжиана аналитически получены световые пули в однородной квадратично нелинейной среде и аналитически и численно показана возможность их устойчивого распространения при аномальной дисперсии. При расширении диапазона частот, включая также нормальную дисперсию, можно получить пространственно-временные солитонные структуры в средах с пространственной неоднородностью – градиентных волноводах [8]. С помощью численного моделирования в [8] также продемонстрировано возникновение солитоно-подобных режимов распространения даже, если волновод вводится только на основной частоте. Важно, что в [8] рассматривались планарные градиентные волноводы с одним центром на каждой частоте.

Суммируя сказанное выше, отметим, что оптические солитоны и их применение широко исследуются в последнее время (см. также [9–13]).

В настоящей работе мы продолжаем исследование [8], изучая формирование и распространение двухцветных световых пуль в связанных планарных градиентных волноводах, как на основной, так и на удвоенной частотах.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Мы используем описание процесса генерации второй оптической гармоники в квазиоптическом приближении. Для представления геометрии волновода мы записываем линейную частотную восприимчивость ${{\chi }_{\omega }}(r)$ в виде ${{\chi }_{\omega }}(r)$ = $\chi _{\omega }^{{\left( 0 \right)}}\left[ {1 + {{f}_{\omega }}(r)} \right]$, где ${{r}_{{}}}$ – радиус-вектор, перпендикулярный центральной оси волновода, $\chi _{\omega }^{{\left( 0 \right)}}$ – линейная восприимчивость среды в одном из центров поперечного сечения волновода, безразмерная функция ${{f}_{\omega }}(r)$ описывает профиль волновода. Таким образом, следуя [8], в случае планарного волновода мы приходим к системе связанных уравнений:

В уравнениях (1) ${{A}_{{1,2}}}$ – медленно меняющиеся комплексные амплитуды гармоник, $\tau = t$ – $ - \,\,\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\nu _{g}^{{(\omega )}}}} + \frac{1}{{\nu _{g}^{{(2\omega )}}}}} \right)$, t – время, $\nu _{g}^{{(\omega )}}$ и $\nu _{g}^{{(2\omega )}}$ – линейные групповые скорости на основной $\omega $ и удвоенной $2\omega $ частотах в центре волновода, причем $\left| {\nu _{g}^{{(2\omega )}} - \nu _{g}^{{(\omega )}}} \right| \ll \nu _{g}^{{(2\omega )}},$ $\nu _{g}^{{(\omega )}}$. В дальнейшем мы считаем, что групповые скорости гармоник совпадают $\nu _{g}^{{(\omega )}}$ = $\nu _{g}^{{(2\omega )}} = {{\nu }_{g}}$.

${{f}_{\omega }}\left( x \right)$ и ${{f}_{{2\omega }}}\left( x \right)$ – безразмерные функции, описывающие профили волноводов. ${{k}_{1}} = k(\omega )$ и ${{k}_{2}} = k(2\omega )$ – волновые числа для основной и удвоенной частот. ${{\beta }_{\omega }}$ и ${{\beta }_{{2\omega }}}$ – параметры дисперсии групповой скорости в центре волновода, $n_{\omega }^{{(0)}}$ и $n_{{2\omega }}^{{(0)}}$ – показатели преломления гармоник, с – скорость света в вакууме, ${{\alpha }_{\omega }}$ = $\frac{{2\pi \omega }}{{cn_{\omega }^{{(0)}}}}{{\chi }^{{(2)}}}(2\omega , - \omega )$, ${{\alpha }_{{2\omega }}}$ = $\frac{{4\pi \omega }}{{cn_{{2\omega }}^{{(0)}}}}{{\chi }^{{(2)}}}(\omega ,\omega )$, ${{\chi }^{{(2)}}}(2\omega , - \omega )$ и ${{\chi }^{{(2)}}}(\omega ,\omega )$ – коэффициенты нелинейной восприимчивости второго порядка в центре волновода. Первые два слагаемых в правых частях обоих уравнений (1) описывают поперечную неоднородность (волновода) на фазовой и групповой скорости гармоник. Показатели преломления $n_{{\omega ,2\omega }}^{{\left( 0 \right)}}$ выражаются через функции профиля волновода $n_{{\omega ,2\omega }}^{{\left( 0 \right)2}}\left( x \right)$ = $1 + \left( {n_{{\omega ,2\omega }}^{{\left( 0 \right)2}} - 1} \right)~\left( {1 + {{f}_{{\omega ,2\omega }}}\left( x \right)} \right)$.

Для проведения численного моделирования (1) мы вводим безразмерные параметры ${{A}_{{1,2}}} = {{\bar {A}}_{{1,2}}}{{A}_{{{\text{in}}}}}$, $z = \bar {z}{{l}_{{nl}}}$, $x = \bar {x}{{R}_{{{\text{in}}}}}$, $\tau = \bar {\tau }{{\tau }_{{{\text{in}}}}}$, $\Delta \bar {k} = \Delta k{{l}_{{nl}}}$, $\Delta k = 2{{k}_{1}} - {{k}_{2}}$, ${{l}_{{nl}}} = {{({{\alpha }_{\omega }}{{A}_{{{\text{in}}}}})}^{{ - 1}}}$, ${{a}_{{\omega ,2\omega }}} = {{R}_{{{\text{in}}}}}{{\bar {a}}_{{\omega ,2\omega }}}$. ${{A}_{{{\text{in}}}}}$ – пиковое значение входной амплитуды излучения основной гармоники, ${{R}_{{{\text{in}}}}}$ и ${{\tau }_{{{\text{in}}}}}$ – начальные ширины оптического сигнала по пространству и по времени. Чтобы записать уравнения системы (1) в безразмерном виде, мы вводим также следующий набор параметров: ${{D}_{{q1}}} = \frac{{2\pi \omega {{l}_{{nl}}}}}{{cn_{\omega }^{{(0)}}\bar {a}_{\omega }^{2}}}\chi _{\omega }^{{(0)}}$, D_q2 = $\frac{{4\pi \omega {{l}_{{nl}}}}}{{cn_{{2\omega }}^{{(0)}}\bar {a}_{{2\omega }}^{2}}}\chi _{{2\omega }}^{{(0)}}$, ${{D}_{{\tau 1}}} = \frac{{{{\beta }_{\omega }}{{l}_{{nl}}}}}{{2\tau _{{{\text{in}}}}^{2}}}$, ${{D}_{{\tau 2}}} = \frac{{{{\beta }_{{2\omega }}}{{l}_{{nl}}}}}{{2\tau _{{{\text{in}}}}^{2}}}$, D_x1 = = $\frac{{c{{l}_{{nl}}}}}{{2\omega n_{\omega }^{{(0)}}R_{{{\text{in}}}}^{2}}}$, D_x2 = $\frac{{c{{l}_{{nl}}}}}{{4\omega n_{{2\omega }}^{{(0)}}R_{{{\text{in}}}}^{2}}}$, $\gamma = {{{{\alpha }_{{2\omega }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\alpha }_{{2\omega }}}} {{{\alpha }_{\omega }}}}} \right. \kern-0em} {{{\alpha }_{\omega }}}}$. В результате имеем

В дальнейшем мы будем использовать обозначения безразмерных переменных без черты над ними.

В ходе вычислений на левую границу среды подается сигнал следующего вида:

где ${{x}_{{\text{w}}}}$ – безразмерная координата центра волновода, ${{E}_{{11}}}$ и ${{E}_{{12}}}$ – начальные амплитуды на основной частоте в правом и левом волноводах, ${{E}_{{21}}}$ и ${{E}_{{22}}}$ – начальные амплитуды на второй гармонике в правом и левом волноводах, ${{\tau }_{{10}}}$ и ${{\tau }_{{20}}}$ – начальные временные сдвиги, ${{\varphi }_{{11}}}$, ${{\varphi }_{{12}}}$, ${{\varphi }_{{21}}}$, ${{\varphi }_{{22}}}$ – начальные сдвиги фаз. Функция профиля волноводов имеет вид:

При такой волноводной функции показатели преломления имеют минимумы вблизи $x = \pm {{x}_{{\text{w}}}}$. Оптический пучок удерживается вблизи центра волновода, однако его хвостовые части проникают в зону между волноводами. За счет этого осуществляется взаимодействие между пучками в разных волноводах. Характерная ширина волноводов равна $a_{{\omega ,2\omega }}^{{}}$.

При нулевых граничных условиях по поперечному направлению x cистема (2) имеет следующие интегралы движения (сохранение энергии и изменение фаз гармоник) [8]:

${{\phi }_{{1,2}}}$ – фазы гармоник.

Мы проводим расчеты на основе (2)–(3), используя численный метод, описанный в [8]. Важно, что этот метод гарантирует сохранение интегралов (5), которые контролируются в процессе вычислений.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проведено численное моделирование системы (2) с учетом начальных условий (3) и волноводного профиля формы (4). При этом рассматривался режим генерации, когда на вход подается либо только гауссов пучок основной частоты (${{E}_{{21}}} = 0$, ${{E}_{{22}}} = 0$), либо одновременно гауссовы пучки основной частоты и второй гармоники. Стоит отметить, что подача одновременно двухчастотного сигнала не задает сразу солитон в волноводе, поскольку он имеет более сложный амплитудный и фазовый профиль. Устойчивое состояние формируется уже в процессе распространения, хотя и несколько эффективнее, чем при генерации только пучком основной частоты. В расчетах пучки в разных волноводах могли иметь как одинаковую начальную фазу (${{\varphi }_{{11}}} = {{\varphi }_{{12}}} = 0$), так и различные фазы. Кроме того, между пучками в разных волноводах мог быть временной сдвиг, когда ${{\tau }_{{10}}} \ne {{\tau }_{{20}}}$.

В расчетах использовались следующие параметры волновода: ${{x}_{w}} = 2$, ${{a}_{\omega }} = {{a}_{{2\omega }}} = 2$, ${{D}_{{q1}}} = 10$, ${{D}_{{q2}}} = 10$. Коэффициенты дифракции принимались равными ${{D}_{{x1}}} = 0.1$, ${{D}_{{x2}}} = 0.05$. Дисперсию положили равной ${{D}_{{\tau 1}}} = 0.05$, ${{D}_{{\tau 2}}} = 0.1$, что соответствует диапазону нормальной дисперсии (${{D}_{{\tau 1,2}}} > 0$). Коэффициент нелинейности положили равным $\gamma = 0.5$, расстройку фазовых скоростей $\Delta k = 0$.

На рис. 1 приведены результаты моделирования в случае генерации синхронными (${{\tau }_{{10}}} = {{\tau }_{{20}}} = 0$) синфазными (${{\varphi }_{{11}}} = {{\varphi }_{{12}}} = 0$) пучками основной частоты ${{E}_{{11}}} = 0.5$, ${{E}_{{12}}} = 0.5$, ${{E}_{{21}}} = 0$, ${{E}_{{22}}} = 0$. Начальные параметры пучков в правом и левом волноводах совпадают, поэтому возникающее решение симметрично относительно центра координат. На рис. 1а приведены пиковые интенсивности пучков основной частоты и второй гармоники в правом и левом волноводе. На начальном этапе происходит генерация второй гармоники, ее интенсивность возрастает. Затем формируются солитоноподобные осциллирующие пучки в правом и левом волноводах. На рис. 1б–1г показаны амплитудные профили основной частоты и второй гармоники при $\tau = 0$ для $z = 0$, $z = 50$, $z = 250$ соответственно. Можно видеть, что при $z = 250$ амплитуда пучка основной частоты между волноводами существенно отличается от нуля, что говорит о том, что пучки в волноводах взаимодействуют между собой. На рис. 1д и 1е приведено распределение интенсивностей при $z = 250$ по времени и поперечной координате основной частоты и второй гармоники соответственно. Можно выделить солитоноподобные пучки вблизи $\tau = 0$ и $x = \pm 2$. Однако, кроме этого, можно отметить, что часть энергии находится в волноводах при других значениях $\tau $. Из графика зависимости интенсивности видно, что пиковая интенсивность осциллирует. Возникшее решение не является точным солитоном, его параметры меняются со временем. В процессе этих изменений небольшая часть энергии отходит от основного пучка, но его интенсивность уменьшается незначительно. В данном случае можно говорить о солитоноподобном решении.

На рис. 2 приведены результаты расчета при генерации несинхронными (${{\tau }_{{10}}} = 0.5$, ${{\tau }_{{20}}} = - 0.5$) синфазными (${{\varphi }_{{11}}} = {{\varphi }_{{12}}} = 0$) пучками основной частоты ${{E}_{{11}}} = 0.5$, ${{E}_{{12}}} = 0.5$, ${{E}_{{21}}} = 0$, ${{E}_{{22}}} = 0$. В отличие от предыдущего случая, существует начальный временной сдвиг между пучками. Графики интенсивностей, приведенные на рис. 2а аналогичны предыдущему случаю. На рис. 2б и 2в приведены соответственно временные и пространственные координаты максимумов интенсивности в правом и левом волноводах. Поперечные координаты максимумов испытывают небольшие осцилляции, но сильно не отклоняются от центров волноводов. Временные координаты максимумов также испытывают осцилляции, но в целом они отдаляются от $\tau = 0.$ Это говорит о том, что пучки в волноводах взаимно отталкиваются. Тот, что прошел раньше, начинает двигаться быстрее, а тот, что позже, медленнее. Распределение интенсивностей при z = 250 основной частоты и второй гармонии на рис. 2г и 2д соответственно подтверждают сделанный вывод.

На рис. 3 приведены результаты расчета генерации солитонов несинхронными (${{\tau }_{{10}}} = 0.5$, ${{\tau }_{{20}}} = - 0.5$) противофазными (${{\varphi }_{{11}}} = 0$, ${{\varphi }_{{12}}} = {{\varphi }_{{22}}}$ = = ${{\varphi }_{{21}}} = \pi $) пучками основной частоты ${{E}_{{11}}} = 0.5$, ${{E}_{{12}}} = 0.5$ и второй гармоники ${{E}_{{21}}} = 0.25$, ${{E}_{{22}}} = 0.25$. Структура рисунка аналогична рис. 2. Динамика пиковой интенсивности показывает, что начальный сигнал гауссовой формы на основной и удвоенной частоте заметно отличается от солитонного. В результате на раннем этапе происходит ряд осцилляций, при которых в волноводах формируются солитоноподобные пучки, аналогичные предыдущему случаю. В целом интенсивность возникающих солитонов несколько выше, за счет того, что изначально присутствующая вторая гармоника удерживает пучок основной частоты от расплывания. Это также подтверждается распределением амплитуды при $z = 250$ (рис. 3 г и 3д). По сравнению с предыдущим случаем интенсивность отделившихся от основного пучка частей заметно меньше.

Динамика поперечной координаты максимумов интенсивности аналогична предыдущему случаю, они испытывают небольшие осцилляции вблизи центров волноводов. Временные координаты максимумов, в отличие от предыдущего случая не удаляются друг от друга, а осциллируют вблизи и несколько притягиваются. Это говорит о том, что изначально противофазные пучки обладают притяжением друг к другу, то есть сигнал, запущенный раньше, начинает двигаться медленнее, а более поздний сигнал – быстрее.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрено формирование и распространение пространственно-временных солитонов в паре связанных оптических волноводов в плоском квадратично-нелинейном кристалле. Показано, что такие солитоны могут существовать в диапазоне нормальной дисперсии групповой скорости, тогда как в отсутствие волноводов это невозможно. С помощью численного моделирования получено, что синфазные солитоны отталкиваются, а противофазные – притягиваются. За счет этого групповая скорость солитонов в каждом волноводе может меняться в зависимости от наличия солитона в другом волноводе и разнице фаз между ними.

Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета “Фотонные и квантовые технологии. Цифровая медицина”.