Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 12, стр. 1707-1712

ВВЕДЕНИЕ

Среды, состоящие из чередующихся слоев с генерацией и поглощением, обладают асимметричными свойствами, удовлетворяющим условиям PT-симметрии. В этих средах действительная часть диэлектрической проницаемости вдоль направления распространения волн является четной, а мнимая часть нечетной. О таких средах, искусственно созданных добавлением активных элементов, говорят, как об активных структурах, в которых нарушается консервативность. Нелинейные активные периодические среды в оптике обсуждались в [1, 2]. Исследователей привлекают перспективы улучшения управления светом в таких структурах.

Слоистые (периодические) оптические среды весьма интересны и в отсутствие усиления/поглощения и нелинейности. Здесь говорят о существовании запрещенной (брэгговской) полосы частот. В общем, этот эффект приводит к быстрому затуханию волн в соответствующем диапазоне за счет отражения от слоев. Однако, при этом можно наблюдать интересные явления, например, боковой сдвиг Гооса–Хенхен [3]. В присутствие нелинейности в периодических средах при определенных условиях формируются брэгговские (щелевые) солитоны, которые изучались для различных нелинейностей [4–6], в том числе, для квадратичной нелинейности [7, 8]. Известно, что генерация второй оптической гармоники с последующей возможностью захвата двухцветного солитона происходит при меньших интенсивностях, чем захват солитона при кубической нелинейности [9]. Недавно мы численно исследовали формирование и распространение брэгговских солитонов, рассматривая как пассивные, так и активные квадратично нелинейные среды и учитывая конечную ширину пучка в поперечном направлении [10, 11].

В настоящем исследовании мы рассматриваем отражающие свойства активной слоистой среды. Для этого, используя для описания ГВГ в такой среде систему нелинейно связанных уравнений для медленно меняющихся амплитуд прямых и обратных волн на основной и удвоенной частотах, мы проводим численное моделирование.

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Система связанных уравнений относительно нормированных медленно меняющихся амплитуд прямой и обратной волн на основной частоте (${{E}_{{1 \pm }}}$) (FF) и на частоте второй гармоники (${{E}_{{2 \pm }}}$) (SH) может быть записана в следующем виде:

В уравнениях (1)–(4) ${{E}_{{1 \pm }}} = \frac{{E_{1}^{ \pm }}}{{\sqrt {{{I}_{{10}}}} }}$, ${{E}_{{2 \pm }}} = \frac{{E_{2}^{ \pm }}}{{\sqrt {{{I}_{{10}}}} }}$ – медленно меняющиеся амплитуды взаимодействующих волн, нормированные на корень квадратный из пиковой интенсивности падающего излучения ${{I}_{{10}}}$. Параметры ${{\delta }_{1}} = \left( {{{k}_{1}} - \frac{\pi }{d}} \right)\frac{1}{{\left| \kappa \right|}},$ ${{\delta }_{2}} = \left( {{{k}_{2}} - \frac{{2\pi }}{d}} \right)\frac{1}{{\left| \kappa \right|}}$ – нормированные отстройки от брэгговского резонанса на основной и удвоенной частотах, где $\kappa = \frac{{{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\omega }_{0}}} \right)} }}\frac{{\Delta {{\varepsilon }_{R}}}}{4}$ – параметр брэгговской связи между встречными волнами на основной частоте, ${{\omega }_{0}}$ – несущая частота излучения основной гармоники, ${{k}_{1}}$, ${{k}_{2}}$ – волновые числа излучения на основной и удвоенной частотах, соответственно; $d$ – период слоистой структуры. Безразмерные параметры ${{\kappa }_{1}} = \frac{\kappa }{{\left| \kappa \right|}},$ ${{\kappa }_{2}} = \frac{{2{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}\left( {2{{\omega }_{0}}} \right)} }}\frac{{\Delta {{\varepsilon }_{{R2}}}}}{{4\left| \kappa \right|}}$ описывают брэгговскую связь между встречными волнами на основной частоте и на частоте второй гармоники, соответственно; ${{g}_{1}} = \frac{{{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}} }}\frac{{\Delta {{\varepsilon }_{I}}}}{4}\frac{1}{{\left| \kappa \right|}}$ и ${{g}_{2}} = \frac{{2{{\omega }_{0}}}}{{c\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}(2{{\omega }_{0}})} }}\frac{{\Delta {{\varepsilon }_{{I2}}}}}{4}\frac{1}{{\left| \kappa \right|}}$ соответствующие безразмерные параметры несимметричной связи между встречными волнами. Указанные параметры брэгговской связи получены в предположении периодической зависимости диэлектрической проницаемости среды вдоль координаты распространения z:

Параметры ${{\gamma }_{1}} = \frac{{4\pi }}{{{{c}^{2}}{{k}_{1}}}}\omega _{0}^{2}{{\chi }^{{(2)}}}( - {{\omega }_{0}},2{{\omega }_{0}})\frac{{\sqrt {{{I}_{{10}}}} }}{{\left| \kappa \right|}}$ и ${{\gamma }_{2}} = \frac{{2\pi }}{{{{c}^{2}}{{k}_{2}}}}4\omega _{0}^{2}{{\chi }^{{(2)}}}({{\omega }_{0}},{{\omega }_{0}})\frac{{\sqrt {{{I}_{{10}}}} }}{{\left| \kappa \right|}}$ характеризуют квадратичную нелинейность, где $^{{\left( 2 \right)}}$ – нелинейная восприимчивость среды; ${{D}_{{x,2}}} = {{\left( {2{{k}_{2}}\left| \kappa \right|a_{x}^{2}} \right)}^{{ - 1}}}$ и ${{D}_{{x,1}}} = {{\left( {2{{k}_{1}}\left| \kappa \right|a_{x}^{2}} \right)}^{{ - 1}}}$ – дифракционные параметры для волны на основной и удвоенной частоте, соответственно. Безразмерная переменная z, вдоль которой распространяется излучение, измеряется в единицах параметра брэгговской связи волн на основной частоте, ($z \to z\left| \kappa \right|$), безразмерная поперечная переменная x измеряется в единицах поперечной ширины пучка ${{a}_{x}}$ (${\text{ }}x \to {x \mathord{\left/ {\vphantom {x {{{a}_{x}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{x}}}}$), $\tau $ – безразмерное время, связанное с физическим временем t соотношением $\tau = \frac{{c\left| \kappa \right|}}{{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}({{\omega }_{0}})} }}t$.

Отметим, что при таком выборе безразмерных параметров, параметр брэгговской связи на основной частоте может принимать значения $ \pm 1$ в зависимости от знака $\Delta {{\varepsilon }_{R}}$, а значения параметров несимметричной брэгговской связи должны удовлетворять неравенствам $\left| {{{g}_{1}}} \right| < 1$, $\left| {{{g}_{2}}} \right| < \left| {{{\kappa }_{2}}} \right|$.

Система, аналогичная системе (1)–(4), но в другой нормировке, была получена в работах [7, 8] в пассивной среде и без учета дифракции по переменной x. В работах [10, 11] были приведены аналогичные уравнения в активной среде.

Мы предполагаем, что периодическая среда окружена однородной линейной средой с диэлектрической проницаемостью ${{\varepsilon }_{0}}$. Тем самым распространение лазерного излучения в такой среде (при $0 < x < {{L}_{x}}$ и $0 < z < {{L}_{{{\text{left}}}}},\,\,{{L}_{{{\text{right}}}}} < z < {{L}_{z}}$) описывается уравнениями (1)–(4), в левой части которых оставлены только два первых слагаемых. На границах рассматриваемых областей ставятся нулевые граничные условия, а при $\tau = 0$ задаются начальные условия:

Распространение двуцветного излучения в активной квадратичной слоистой среде, описываемое уравнениями (1)–(5) удовлетворяет закону изменения энергии, который в случае ${{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}}$, может быть записан в виде:

Закон изменения энергии (6) в пассивной среде (${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0$) переходит в закон сохранения энергии [7].

Уравнения (1)–(4) решаются численно с использованием консервативной нелинейной разностной схемы на характеристической сетке. Схема реализуется с помощью итерационного алгоритма.

В настоящей работе ограничимся рассмотрением случая широких по поперечной координате пучков, положив в уравнениях ${{D}_{{x,1}}} = {{D}_{{x,2}}} = 0$ и пренебрегая зависимостью от координаты x. Предполагается, что на слоистую среду падает излучение в виде пучка солитонного профиля на основной частоте, а излучение на частоте второй гармоники отсутствует:

Параметр ${{h}_{z}}$ характеризуют ширину пучка в продольном направлении, ${{L}_{0}}$ – положение центра падающего пучка.

Численное моделирование будем проводить для случая брэгговской связи волн только на основной частоте, отстройки от резонанса в окрестности правой границы брэгговской щели и большой отстройки от брэгговского резонанса волн на удвоенной частоте:

Безразмерные параметры, характеризующие квадратичную среду: ${{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = 2.2$; геометрические параметры слоистой среды: L_left = 120, L_righht = 150, ширина расчетной области L_z = 240; параметры падающего пучка: h_z = 5, L₀ = 105. Данные безразмерные параметры соответствуют пиковой интенсивности падающей волны I₁₀ = 500 МВт/см², $\kappa = 0.5$ мм^–1 и $\frac{{4\pi }}{{{{c}^{2}}{{k}_{1}}}}\omega _{0}^{2}{{\chi }^{{(2)}}}( - {{\omega }_{0}},2{{\omega }_{0}})$ ≈ 10^–3 Вт^–1/2 [7, 8].

ОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АКТИВНОЙ СЛОИСТОЙ СРЕДЫ

Отражательные свойства линейной активной периодической среды (${{\gamma }_{1}} = {{\gamma }_{2}} = 0$) характеризуются коэффициентами отражения и прохождения

которые в пассивной среде (${{g}_{1}} = 0$) переходят в хорошо известные формулы для линейной периодической среды [12].

В численном эксперименте для оценки соотношения энергий отраженных и прошедших волн на основной частоте будем использовать также отношение энергии обратной волны слева от слоистой среды к энергии падающего излучения (R_calc) и отношение энергии прямой волны справа от слоистой среды к энергии падающего излучения (${{T}_{{{\text{calc}}}}}$):

Величины (9) можно использовать для характеристики свойств отражения и пропускания слоистых сред после прохождения через среду основной части излучения. Для рассматриваемых параметров численного моделирования прохождение через среду основной части излучения наблюдается к моменту времени $\tau = 120$ (рис. 1), поэтому вычислять коэффициенты (9) будем в момент времени $\tau = 120$.

Рис. 1.

Отражение и прохождение излучения на основной частоте (а) и удвоенной частоте (б) через активную периодическую структуру (g₁ = 0.5).

Как известно, в пассивной линейной среде в случае точного брэгговского резонанса (${{\delta }_{1}} = 0$) коэффициент отражения $\left| R \right|$ равен 1, а коэффициент пропускания $\left| T \right|$ равен нулю. В активных средах в зависимости от знака параметра ${{g}_{1}}$ коэффициент отражения в случае точного брэгговского резонанса может быть как меньше 1 (в случае положительных значений ${{g}_{1}}$), так и больше 1 (в случае отрицательных значений ${{g}_{1}}$), при этом коэффициент пропускания остается равным 0 (рис. 2). Отличие от 1 коэффициента отражения связано с поглощающими/генерирующими свойствами активных сред и демонстрирует, что при ${{g}_{1}} < 0$ среда является генерирующей, а при ${{g}_{1}} > 0$ – поглощающей. Данный вывод не является тривиальным следствием закона изменения энергии (6), но тем не менее подкрепляется результатами математического моделирования, приведенными на рис. 3а, на котором изображена суммарная энергия прямой и обратной волны основной частоты в момент времени $\tau = 120$, после прохождения излучением линейной периодической структуры.

Рис. 2.

Коэффициенты отражения $\left| R \right|$ и прохождения $\left| T \right|$ для линейных активных периодических сред, построенные по формулам (8) (а, сплошные кривые); коэффициенты отражения ${{R}_{{{\text{calc}}}}}$ и пропускания ${{T}_{{{\text{calc}}}}}$, вычисленные по результатам численного моделирования для момента времени $\tau = 120$ по формулам (9) на правом краю щели, для линейных сред (маркированные кривые на рисунках a, б) и квадратичных сред (маркированные кривые на рисунке б).

Рис. 3.

Суммарная энергия четырех волн для линейной и квадратичной сред (a); распределение энергии по волнам для квадратичной среды (б) в момент времени $\tau = 120$. FF – волна на основной частоте, SH – волна на удвоенной частоте, FW – прямая волна, BW – обратная волна.

В окрестности границы брэгговской щели (${{\delta }_{1}} = 0.9$) зависимость коэффициента отражения $\left| R \right|$ от параметра ${{g}_{1}}$ совпадает с соответствующей зависимостью для ${{\delta }_{1}} = 0$ только при небольших значениях несимметричной связи ${{g}_{1}}$ (изменяющихся в интервале [–0.4, 0.4]). Для этих же значений несимметричной связи коэффициент пропускания $\left| T \right|$ близок в 0. В случае сильной ассиметричной связи коэффициенты пропускания осцилляторно зависят от параметра с, при этом коэффициент пропускания $\left| T \right|$ оказывается близким к 1 при $\left| {{{g}_{1}}} \right| \to 1$, т.е. в окрестности разрушения PT-симметрии. Коэффициент отражения $\left| R \right|$ во всех случаях не превосходит соответствующих значений коэффициента отражения для точного брэгговского резонанса.

Моделирование прохождения пучка с центральной частотой, отстоящей на ${{\delta }_{1}} = 0.9$ от частоты точного брэгговского резонанса, и полушириной ${{h}_{z}} = 5$, через линейную среду(спектр излучения приведен на рис. 4), дает похожие значения коэффициентов отражения и пропускания ${{R}_{{{\text{calc}}}}}$ и ${{T}_{{{\text{calc}}}}}$ в момент времени $\tau = 120$ (формулы (9), рис. 2а).

Рис. 4.

Коэффициент отражения для пассивной (а, ${{g}_{1}} = 0$) и активных (б, ${{g}_{1}} = 0.5$ и в, ${{g}_{1}} = 0.9$) линейных слоистых структур (сплошные кривые); спектр падающего излучения (пунктир).

Приведенные особенности зависимости коэффициентов отражения и прохождения от ассиметричной связи иллюстрируются рис. 4. На этом рисунке хорошо видно уменьшение значения коэффициента отражения $\left| R \right|$ в условиях брэгговского резонанса и сужение области полного отражения с ростом положительной ассиметричной связи.

Квадратичная нелинейность приводит к заметному уменьшению отражения и увеличению прохождения энергии волны на основной частоте по сравнению с линейной средой в области $\left| {{{g}_{1}}} \right| < 0.75$ (рис. 2б), что объясняется перекачкой части энергии волны на основной частоте в волну на удвоенной частоте. В то же время большие значения отрицательной ассиметричной связи $ - 1 < {{g}_{1}} < - 0.75$ способствуют значительному росту энергии обратной волны на обеих частотах (рис. 3б). Заметим, что в целом, отрицательная ассиметричная связь характеризуется превышением энергии отраженной волны над энергией прошедшей волны для обеих частот, тогда как для положительной ассиметричной связи характерна обратная зависимость. При этом в численном эксперименте наблюдается сильный рост энергии отраженных волн при приближении отрицательной ассиметричной связи к порогу разрушения PT-симметрии (${{g}_{1}} \to - 1$), а также исчезновение отраженных волн при приближении положительной ассиметричной связи также к порогу разрушения PT-симметрии (${{g}_{1}} \to 1$). Таким образом, можно утверждать, что положительная ассиметричная связь способствует прохождению излучения в условиях его поглощения, тогда как отрицательная ассиметричная связь усиливает отражение в условиях его генерации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, исследованы отражательные свойства активных слоистых структур с квадратичной нелинейностью. Показано, что отрицательная ассиметричная связь приводит к генерации энергии излучения на обеих частотах, причем большая часть этой энергии концентрируется в обратных волнах. Положительная ассиметричная связь в слоистой среде вызывает поглощение энергии излучения, при этом основная часть энергии излучения концентрируется в прямых волнах.

Исследование выполнено при поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета “Фотонные и квантовые технологии. Цифровая медицина”.