Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 12, стр. 1754-1758

Плотность тока в нелинейной среде углеродных нанотрубок под действием бездифракционных лазерных импульсов

Ю. В. Двужилова¹, И. С. Двужилов^1, *, Н. Н. Конобеева¹, М. Б. Белоненко¹

¹ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

^* E-mail: dvuzhilov.ilya@volsu.ru

Поступила в редакцию 24.07.2023
После доработки 14.08.2023
Принята к публикации 28.08.2023

EDN: VAMRKO
DOI: 10.31857/S0367676523703027

Полный текст (PDF)

Аннотация

С использованием пространственного распределения напряженности электрического поля бездифракционных предельно коротких оптических импульсов Бесселя и Эйри–Бесселя построены картины временной эволюции плотности тока в нелинейном массиве полупроводниковых углеродных нанотрубок, имеющем пространственную модуляцию показателя преломления. Установлены зависимости максимального значения плотности тока от параметров модуляции показателя преломления среды.

ВВЕДЕНИЕ

Импульсы Бесселя и Эйри привлекают внимание теоретиков и экспериментаторов благодаря уникальным свойствам бездифракционности, т.е. распространения с сохранением своей формы [1]. Такие импульсы могут формироваться в нелинейных средах, показатель преломления которых слабо меняется периодическим образом в зависимости от длины [2].

Для моделирования нелинейной среды был выбран массив упорядоченных углеродных нанотрубок (УНТ), обладающих непараболичным законом дисперсии для π-электронов [3–5]. Отметим, что упорядоченные массивы УНТ были получены экспериментально методами химического осаждения из паровой фазы [6], нанолитографии [7] и т.д.

Исследования динамики напряженности электрического поля бездифракционных предельно коротких импульсов (ПКИ) в среде УНТ, имеющей пространственную модуляцию показателя преломления, отражены в работах [8–11].

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для исследования мы использовали следующую геометрическую модель задачи: направление распространения бездифракционного импульса совпадает с осью, вдоль которой имеется модуляция показателя преломления (ось OZ), а возникающий в среде ток и электрическое поле направлены вдоль оси УНТ, перпендикулярно оси OZ.

Ток появляется в среде благодаря взаимодействию электрического поля импульса и электронов, находящихся в зоне проводимости УНТ. Отметим, что в данной задаче можно считать, что ток распределен равномерно и использовать приближение сплошной среды.

Для определения плотности тока можно использовать полуклассическое приближением [12]. Следует заметить, что характерное время релаксации электронов в зоне проводимости УНТ τ ≈ 10^–12–10^–13 с, а временные размеры задач эволюции ПКИ ∼ 10^–14 с, таким образом становится возможным описывать ансамбль электронов при помощи кинетического уравнения Больцмана [13], которое имеет следующий вид:

(1)

$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} - \frac{q}{c}\frac{{\partial {{A}_{z}}}}{{\partial t}}\frac{{\partial f}}{{\partial p}} = \frac{{{{F}_{0}} - f}}{\tau },$

здесь q – заряд; f – функция распределения, которая неявно зависит от пространственных координат, причем в начальный момент времени совпадает с равновесной функцией распределения Ферми F₀:

(2)

${{F}_{0}} = \frac{1}{{1 + \exp \{ {{{{\varepsilon }_{s}}(\vec {p})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{s}}(\vec {p})} {{{k}_{{\text{b}}}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{\text{b}}}}T}}\} }},$

здесь T – температура, k_b – постоянная Больцмана, εs($\vec {p}$) – закон дисперсии π-электронов в полупроводниковых УНТ, описываемый выражением:

(3)

$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{s}}(\vec {p}) = \\ = \pm \gamma \sqrt {1 + 4{\kern 1pt} \cos (a\vec {p}){\kern 1pt} \cos (\pi s{\text{/}}m) + 4{\kern 1pt} {{{\cos }}^{2}}{\kern 1pt} (\pi s{\text{/}}m)} , \\ \end{gathered} $

здесь γ – интеграл перекрывания (≈2.7 эВ); а – постоянная решетки (а = 1.5b/ħ); b – расстояние между атомами углерода в УНТ (≈0.14 нм); $\vec {p}$ – квазиимпульс; s = 1, 2, …, m; m – количество гексагонов по периметру УНТ; знаки “±” описывают зону проводимости и валентную зону спектра.

Вектор-потенциал электрического поля ПКИ описывается на основании уравнений Максвелла:

(4)

$\Delta \vec {A} = \frac{{{{n}^{2}}(x)}}{{{{c}^{2}}}}{{\vec {A}}_{{tt}}} - \frac{{4\pi }}{c}\vec {j}{\text{,}}\,\,\,\,n(x) = 1 + \alpha {\kern 1pt} \cos ({{2\pi x} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi x} \chi }} \right. \kern-0em} \chi }),$

здесь Δ – оператор Лапласа; n(x) – пространственно переменный показатель преломления среды УНТ; α, χ – глубина и период модуляции показателя преломления; с – скорость света в среде УНТ. Таким образом выражение для плотности тока имеет вид:

(5)

${{j}_{z}} = \frac{q}{\pi }\sum\limits_s {\int {\nu ({{p}_{z}})fd{{p}_{z}}} } ,\,\,\,\,\nu ({{p}_{z}}) = \frac{{\partial {{\varepsilon }_{s}}(p)}}{{\partial p}}.$

В выражении (5) определена групповая скорость электронов ν(pz). Решая уравнение для плотности тока с помощью метода характеристик [14], можно получить:

(6)

${{j}_{z}}\frac{q}{\pi }\sum\limits_s {\int\limits_{{\text{ZB}}} {\nu \left[ {{{p}_{z}} - \frac{q}{c}{{A}_{z}}(t)} \right]{{F}_{0}}(\vec {p}) \cdot d{{p}_{z}}} } ,$

где ZB – первая зона Бриллюэна.

Начальные условия на вектор-потенциал выбирались в виде функции Бесселя (7) и Эйри–Бесселя (8):

(7)

$\begin{gathered} {{\left. A \right|}_{{t = 0}}} = {{A}_{0}}\exp \left( { - {{{\left( {\frac{z}{{{{\gamma }_{z}}}}} \right)}}^{2}}} \right){{J}_{0}}\left( {\left| {\frac{{r - {{r}_{0}}}}{{{{\gamma }_{r}}}}} \right|} \right) \times \\ \times \,\,\exp ( - \delta {\text{|}}r - {{r}_{0}}{\text{|}}),\,\,\,\,{{\left. {\frac{{dA}}{{dt}}} \right|}_{{t = 0}}} = \\ = {{A}_{0}}\frac{{2uz}}{{\gamma _{z}^{2}}}\exp \left( { - {{{\left( {\frac{z}{{{{\gamma }_{z}}}}} \right)}}^{2}}} \right){{J}_{0}}\left( {\left| {\frac{{r - {{r}_{0}}}}{{{{\gamma }_{r}}}}} \right|} \right)\exp ( - \delta {\text{|}}r - {{r}_{0}}{\text{|}}), \\ \end{gathered} $

(8)

$\begin{gathered} {{\left. A \right|}_{{t = 0}}} = \\ = {{A}_{0}}R\left\{ {\frac{{z - {{z}_{0}}}}{{{{\gamma }_{z}}}} + k{{{\left( {\frac{{z - {{z}_{0}}}}{{{{\gamma }_{z}}}}} \right)}}^{2}}} \right\}{{J}_{0}}\left( {\left| {\frac{r}{{{{\gamma }_{r}}}}} \right|} \right)\exp ( - \delta r), \\ {{\left. {\frac{{dA}}{{dt}}} \right|}_{{t = 0}}} = \\ = {{A}_{0}}\frac{d}{{dt}}R{{\left. {\left\{ {\frac{{z - {{z}_{0}} - ut{\kern 1pt} '}}{{{{\gamma }_{z}}}} + k{{{\left( {\frac{{z - {{z}_{0}} - ut{\kern 1pt} '}}{{{{\gamma }_{z}}}}} \right)}}^{2}}} \right\}} \right|}_{{t{\kern 1pt} ' = 0}}} \times \\ \times \,\,{{J}_{0}}\left( {\left| {\frac{r}{{{{\gamma }_{r}}}}} \right|} \right)\exp ( - \delta r),\,\,\,\,R(x) = \int\limits_x^\infty {Ai(y)dy} ; \\ \end{gathered} $

здесь А₀ – амплитуда импульса; γ_z, γ_r – ширины импульса в направлении z и r, соответственно; u – скорость входа импульса в нелинейную среду УНТ; δ – параметр обрезания бесселевой функции для получения конечной энергии пучка; k – параметр Эйри импульса; t' – длительность импульса; J₀ – функция Бесселя первого рода; Ai – функция Эйри первого рода.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

В рамках численного моделирования использовались следующие параметры, характеризующие нелинейную среду УНТ и ПКИ: период модуляции показателя преломления: χ = 2.5 мкм, глубина модуляции показателя преломления: α = 0.25; количество гексагонов по периметру УНТ: m = 13; температура: T = 293 K; скорость входа импульса в нелинейную среду УНТ: u = = 0.97с; время релаксации электронов в УНТ τ ≈ ≈ 10^–11 c; длительность импульса ≈10^–14 c; ширины импульса: ${{\gamma }_{z}} = {{\gamma }_{r}} = \sqrt {1 - {{u}^{2}}} $.

Временная эволюция плотности тока в нелинейной среде с пространственно переменным показателем преломления, содержащей массив упорядоченных УНТ, под действием бездифракционного импульса Бесселя, показана на рис. 1.

Рис. 1.

Эволюция плотности тока в нелинейной среде с УНТ под действием импульса Бесселя в фиксированные момент времени.

Далее показана эволюция плотности тока в нелинейной среде УНТ под действием бездифракционного импульса Эйри–Бесселя (рис. 2).

Рис. 2.

Эволюция плотности тока в нелинейной среде УНТ под действием импульса Эйри–Бесселя в фиксированные момент времени.

Плотность тока, как и в случае с импульсом Бесселя, образует кольцо при эволюции во времени. Однако, в отличии от импульса Бесселя под действием импульса Эйри–Бесселя, с течением времени, максимальная плотность тока концентрируется не только в месте расположения импульса, но в его модуляционной части. Такое поведение наблюдается из-за того, что импульс Эйри–Бесселя имеет сложную форму, с модуляцией вдоль оси распространения, следовательно, имеют место связанные с ней эффекты.

Графики зависимости максимального значения плотности тока от времени показан на рис. 3. Из представленной нзависимости видно, что с течением времени максимальное значение плотности тока увеличивается до определенной величины, а затем перестает изменяться, выходя на плато, это происходит в силу периодичности закона дисперсии электронов.

Рис. 3.

Зависимость максимального значения плотности тока от времени в нелинейной среде УНТ под действием импульса: (1) Бесселя, (2) Эйри–Бесселя.

Продольные срезы плотности тока при различных значениях параметров модуляции показателя преломления, в фиксированный момент времени 6 пкс, показаны на рис. 4.

Рис. 4.

Продольные срезы плотности тока в нелинейной среде УНТ под действием импульса Эйри–Бесселя от параметров модуляции показателя преломления: (1) периода модуляции, (2) глубины модуляции.

Период модуляции показателя преломления нелинейной среды упорядоченных УНТ оказывает существенное влияние на распределение плотности тока под действием бездифракционного импульса Эйри–Бесселя. В зависимости от него меняется не только максимальное значение плотности тока, но и ее пространственное распределение от круглой формы до кольцевой, т.е. варьируя период модуляции можно контролировать форму и максимальное значение тока (рис. 4(1)). В свою очередь, глубина модуляции показателя преломления среды УНТ практически не влияет на максимальное значение плотности тока. Однако, наблюдается существенное ее влияние на площадь области в которой происходит распределение тока, т.е. с увеличением глубины модуляции область пространства на которой распределяется ток – уменьшается.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом установлено, что максимальное значение плотности тока, возникающего под действием бездифракционных ПКИ Бесселя и Эйри–Бесселя, в нелинейной среде на основе массива упорядоченных УНТ, выходит на плато с течением времени. Параметры модуляции показателя преломления среды упорядоченных УНТ оказывают большое влияние на плотность тока в ней, позволяя контролировать максимальное значение, размер и форму распределения плотности тока.

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования РФ (тема FZUU-2023-0001).

Список литературы

Jarutis V., Matijošius A., Trapani P.D. // Opt. Lett. 2009. V. 34. P. 2129.
Matijošius A., Jarutis V., Piskarskas A. // Opt. Express. 2010. V. 18. P. 8767.
Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. № 9. С. 945; Eletskii A.V. // Phys. Usp. 1997. V. 40. No. 9. P. 899.
Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Eklund P.C. Science of fullerenes and carbon nanotubes. San Diego: Academic Press, 1996. 965 p.
Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы ХХI в. М.: Техносфера. 2003. 336 с.
Tu Y., Huang Z.P., Wang D.Z. et al. // Appl. Phys. Lett. 2002. V. 80. No. 21. P. 4018.
Teo K.B.K., Chhowalla M., Amaratunga G.A.J. et al. // Appl. Phys. Lett. 2001. V. 79. No. 10. P. 1534.
Belonenko M.B., Dvuzhilov I.S., Nevzorova Y.V. et al. // J. Nano. Electron. Phys. 2016. V. 8. No. 3. Art. No. 03042.
Белоненко М.Б., Двужилов И.С., Невзорока Ю.В. // Опт. и спектроск. 2016. Т. 121. № 5. С. 789; Belonenko M.B., Dvuzhilov I.S., Nevzorova Y.V. // Opt. Spectrosс. 2016. V. 121. No. 5. P. 739.
Двужилова Ю.В., Белоненко А.М., Двужилов И.С., Белоненко М.Б. // Изв. РАН. Сер. физ. 2020. Т. 84. № 12. С. 1743; Dvuzhilova Y.V., Belonenko A.M., Dvuzhilov I.S., Belonenko M.B. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2020. V. 84. No. 12. P. 1483.
Двужилова Ю.В., Двужилов И.С., Челнынцев И.А. и др. // Изв. РАН. Сер. физ. 2022. Т. 86. № 6. С. 797; Dvuzhilova Y.V., Dvuzhilov I.S., Chelnyntsev I.A. et al. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2022. V. 86. No. 6. P. 669.
Поляновский В.М. // Физ. и техн. полупровод. 1980. Т. 14. № 6. С. 1215.
Ландау Л.Д. Лившиц Е.М. Физическая кинетика. М.: Физматлит. 1979. С. 275.
Волощенко Ю.И., Рыжов Ю.Н., Сотин В.Е. // ЖТФ. 1981. Т. 51. С. 902.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал