Известия РАН. Серия физическая. T. 87, Номер 12, 2023

  1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Известия РАН. Серия физическая
  4. T. 87, № 12, 2023

Известия РАН. Серия физическая, 2023, T. 87, № 12, стр. 1759-1762

Влияние углеродных нанотрубок на образование ударных электромагнитных волн

С. В. Белибихин 1, Н. Н. Конобеева 1, *, М. Б. Белоненко 1

1 Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Волгоградский государственный университет”
Волгоград, Россия

* E-mail: yana_nn@volsu.ru

Поступила в редакцию 24.07.2023
После доработки 14.08.2023
Принята к публикации 28.08.2023

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основании укороченных уравнений Максвелла для нелинейной среды, содержащей углеродные нанотрубки полупроводникового типа, изучено образование ударных волн. Рассматривается классическая нелинейная среда с кубической нелинейностью и дисперсией. Установлено, что введение углеродных нанотрубок стабилизирует ультракороткий оптический импульс и препятствует образованию ударных волн. Вместе с тем импульс остается локализованным.

ВВЕДЕНИЕ

Под ударными электромагнитными волнами понимают волны, у которых групповая скорость зависит от интенсивности [1]. В этом случае происходит изменение формы импульса, которое сводится к большей крутизне его переднего или заднего фронта, что определяется знаком нелинейности. Образование таких волн достаточно широко освещено в литературе, см. например, [2‒5]. Отметим также важные практические применения таких волн. Так при входе электромагнитного импульса в усиливающую среду (созданную, например, при помощи инверсии заселенности) важно, чтобы перед передним фронтом импульса не было дополнительных локальных максимумов, которые снимут инверсию и ослабят усиление максимума импульса. Избавиться от таких локальных максимумов помогают ударные волны на переднем фронте импульса, что не требует применения дополнительных обрезающих устройств. Это позволяет реализовать совместное усиление и временное сжатие мощных электромагнитных импульсов в активной среде. Таким образом, упомянутые выше волны находят значительное практическое применение. Важно отметить, что ранее образование ударных электромагнитных волн рассматривалось подробно в средах с нелинейностью Керра и не затрагивало нелинейности другого типа [6, 7].

Вместе с тем достаточно полно было проведено исследование распространения ультракоротких импульсов (или пучков света при другом выборе бегущей координаты) в среде углеродных нанотрубок (УНТ). Динамика таких структур была рассмотрена в [8–10]. В этих же работах приведен подробный вывод укороченных уравнений. Несмотря на то, что нелинейность в среде углеродных нанотрубок отличается от классической, в ней возможно образование солитонов. Такие солитоны оказались устойчивыми как при допировании углеродных нанотрубок примесями, так и при воздействии на них внешних полей [11–13]. Естественным образом возникает вопрос, как скажется введение УНТ в нелинейную среду на образовании ударных электромагнитных волн. Кроме того, возникает вопрос и об устойчивости аналогов солитонных решений. Решению этих задач и посвящена настоящая работа.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Запишем уравнение для электромагнитного поля в нелинейной среде с зигзагообразными углеродными нанотрубками. Будем рассматривать одномерные ультракороткие электромагнитные импульсы, которые распространяются перпендикулярно оси нанотрубок (оси Oz). Причем вектор электрического поля параллелен оси Oy, и, следовательно, $\vec {E} = \left( {0,E\left( {z,t} \right),0} \right)$.

Волновое уравнение на векторный потенциал электрического поля импульса при учете, что $\vec {E} = - {{с}^{{ - 1}}}{{\partial{ \vec {A}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {A}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$, имеет следующий вид:

(1)
$\frac{1}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\vec {A}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = \frac{{{{\partial }^{2}}\vec {A}}}{{\partial {{z}^{2}}}} + 4\pi \vec {j}\left( {\vec {A}} \right) - \frac{{4\pi }}{c}\frac{{\partial{ \vec {P}}}}{{\partial t}},$
где c – скорость света, $\vec {j} = \left( {0,j\left( {z,t} \right),0} \right)$ – плотность электрического тока. Третье слагаемое в правой части уравнения (1) учитывает свойства среды $\vec {P} = \left( {0,P\left( {z,t} \right),0} \right)$ – поляризация.

Выражение для поляризации можно записать в виде:

(2)
$\vec {P} = {{\vec {P}}_{{\text{L}}}} + {{\vec {P}}_{{{\text{NL}}}}},$
где ${{\vec {P}}_{{\text{L}}}}$ – линейная часть поляризации, а ${{\vec {P}}_{{{\text{NL}}}}}$ – керровская нелинейная часть.

Плотность электрического тока может быть определена согласно формуле [14]:

(3)
$j = 2e\sum\limits_{s = 1}^m {\int\limits_{{\text{ZB}}} {{{\upsilon }_{s}}\left( p \right)f\left( {p,s} \right)dp} } ,$
где e – электрический заряд, p – компонента квазиимпульса электрона вдоль оси нанотрубок, ${{\upsilon }_{s}}\left( p \right) = {{\partial {{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} {\partial p}}} \right. \kern-0em} {\partial p}}$ – скорость электронов, $f\left( {p,s} \right)$ – функция Ферми, ${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)$ – закон дисперсии электронов УНТ типа (m, 0) [15]:
(4)
${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right) = \pm {{\gamma }_{0}}\sqrt {1 + 4{\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {ap} \right){\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{\pi s}}{m}} \right) + 4{\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}\left( {\frac{{\pi s}}{m}} \right)} ,$
где $s = 1, \ldots ,m$, ${{\gamma }_{0}} \approx 2.7$ эВ, $a = {{3b} \mathord{\left/ {\vphantom {{3b} {2\hbar }}} \right. \kern-0em} {2\hbar }}$, b = 0.142 · · 10–7 см.

В этом случае получаем уравнение на ненулевую компоненту векторного потенциала:

(5)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{z}^{2}}}} - \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}A}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \\ + \,\,\frac{{4\pi ae{{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}}}{c}\sum\limits_{q = 1}^\infty {{{b}_{q}}{\text{sin}}{\kern 1pt} \left( {\frac{{qaeA}}{c}} \right)} - \frac{{4\pi }}{c}\frac{{\partial P}}{{\partial t}} = 0, \\ \end{gathered} $
n0 – концентрация электронов,
(6)
${{b}_{q}} = \sum\limits_s {{{a}_{{sq}}}\int\limits_{{\text{1BZ}}} {dp{\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {pq} \right)} } \frac{{{\text{exp}}\left( { - {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} {{{k}_{{\text{B}}}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{\text{B}}}}T}}} \right)}}{{1 + {\text{exp}}\left( { - {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} {{{k}_{{\text{B}}}}T}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{\text{B}}}}T}}} \right)}},$
kB – постоянная Больцмана, T – температура, 1BZ обозначает первую зону Бриллюэна, asq – коэффициенты в разложении ${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)$ в ряд Фурье:

(7)
${{\varepsilon }_{s}}\left( p \right) = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{s = 1}^m {\sum\limits_{q = 1}^\infty {{{a}_{{sq}}}{\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {pq} \right)} } ,$
(8)
${{a}_{{sq}}} = \int\limits_{{\text{1BZ}}} {dp{\kern 1pt} {\text{cos}}{\kern 1pt} \left( {pq} \right){{\varepsilon }_{s}}\left( p \right)} .$

Отметим, что коэффициенты bq быстро уменьшаются с ростом q, что позволяет нам оставить в рассмотрении только первые несколько слагаемых [8].

Учитывая принятые выше ограничения, приведем уравнение (5) к эффективному виду. Поле импульса в среде будем считать квазимонохроматическим и опишем в рамках приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз [17, 18] с помощью замены векторного потенциала A(z, t) в виде:

(9)
$A\left( {z,t} \right) = Re\left\{ {B\left( {z,t} \right){\text{exp}}\left( {i\left( {kz - \omega t} \right)} \right)} \right\}.$

Медленное изменение величины во времени подразумевает, что характерное время tslow, за которое происходит существенное изменение данной величины, много больше временного периода изменения поля падающей электромагнитной волны, т.е. tslow$ \gg $ 2π/ω. Частота излучения ω ≈ 1015 с–1, tslow ≈ ≈ 5 · 10–13 с, что соответствует данному условию. Медленное изменение величины в пространстве означает, что характерные расстояния zslow, на которых имеют место значительные относительные изменения данной величины, существенно превосходят пространственный период (длину волны) падающего излучения, т.е. zslow$ \gg $ 2π/k (2 · 10–5 м $ \gg $ 10–6 м).

Задав пространственно-временную зависимость поля волны в форме (9), применяя условия приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз, а также производя усреднение по периоду 2π/ω падающей волны, преобразуем уравнение (5) к следующему виду:

(10)
$\begin{gathered} i\frac{{\partial B}}{{\partial \varsigma }} + \frac{D}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}B}}{{\partial {{\tau }^{2}}}} - R{{\left| B \right|}^{2}}B + i\mu \frac{{\partial \left( {{{{\left| B \right|}}^{2}}B} \right)}}{{\partial \tau }} - \\ - \,\,\frac{{\omega _{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}}}B\sum\limits_{q = 1}^\infty {\sum\limits_{l = 1}^\infty {{{b}_{q}}\frac{{{{{\left( { - 1} \right)}}^{l}}{{q}^{{2l + 1}}}{{{\left| B \right|}}^{{2l}}}}}{{l!\left( {l + 1} \right)!{{2}^{{2l}}}}}} } = 0 \\ \end{gathered} $
здесь ${{\omega }_{0}} = 2ea\sqrt {\pi {{n}_{0}}{{\gamma }_{0}}} $ – характеристическая частота, $\varsigma = {{z{{\omega }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{z{{\omega }_{0}}} c}} \right. \kern-0em} c}$, τ = ω0t – время в сопутствующей системе координат, $B = {{eaA} \mathord{\left/ {\vphantom {{eaA} c}} \right. \kern-0em} c}$, D – дисперсия групповых скоростей, R – коэффициент нелинейности, µ – параметр самообострения [19].

Более подробный вывод приведен в [20]. Данное уравнение решалось численно при помощи разностной схемы Дюфорта–Франкеля [21].

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Уравнение (10) решалось со следующими начальными условиями:

(11)
$\begin{gathered} B\left( {\tau ,0} \right) = Q{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{{\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)}}^{2}}}}{{l_{\tau }^{2}}}} \right), \\ \frac{\partial }{{\partial z}}B\left( {\tau ,0} \right) = \frac{{2Qu\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)}}{{l_{\tau }^{2}}}{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{{\left( {\tau - {{\tau }_{0}}} \right)}}^{2}}}}{{l_{\tau }^{2}}}} \right), \\ \end{gathered} $
где Q – амплитуда волны на входе в среду с УНТ, lτ определяет ее ширину, τ0 – координата максимальной интенсивности поля пучка, u – начальная скорость импульса.

Эволюция импульса представлена на рис. 1. Видно, что импульс с течением времени испытывает не только затухание, но и укручение фронта. Затем процессы нелинейности усиливаются и наступает баланс с дисперсией, что приводит к стабилизации импульса (рис. 1г).

Рис. 1.

Зависимость напряженности электрического поля импульса от координаты τ в различных точках пространства z = 0 (а); 4 (б); 8 (в); 10 (г). Единица по E соответствует 107 В/м.

Зависимость электрического поля импульса от коэффициента µ показана на рис. 2. Влияние параметра самообострения проявляется в изменении амплитуды импульса, но при этом не меняется крутизна импульса. Данный параметр отвечает за образование ударных волн, которые при наличии в среде УНТ не наблюдаются.

Рис. 2.

Зависимость напряженности электрического поля импульса от координаты τ для разных значений параметра µ = (z = 10, D = 0.01, R = 0.01) 0.001 (а); 0.01 (б); 0.1 (в). Единица по E соответствует 107 В/м, единица по D – 5 · 10–23 с2/м, единица по R – 3 Вт–1 · м–1, единица по µ – 10–12 Вт–1 · м–1 с.

Зависимость поля импульса от дисперсии групповых скоростей D показана на рис. 3. Приведенные графики показывают, что с ростом дисперсии групповых скоростей D наблюдается не только увеличение амплитуды импульса, но и уменьшение крутизны его переднего фронта. Сильное влияние дисперсии групповых скоростей прежде всего объясняется изменением баланса между дисперсией и нелинейностью, что и ведет к изменению формы и амплитуды импульса.

Рис. 3.

Зависимость напряженности электрического поля импульса от координаты τ для разных значений параметра D = (z = 10, µ = 0.1, R = 0.01): 0.001 (а); 0.01 (б); 0.005 (в). Единица по E соответствует 107 В/м, единица по D – 5 · 10–23 с2/м, единица по R – 3 Вт–1 · м–1, единица по µ – 10–12 Вт–1 · м–1 с.

Также нами были проведены исследования пространственно-энергетических характеристик импульса от коэффициента нелинейности R, которые показали, отсутствие такой зависимости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Построена модель распространения электромагнитных волн в среде с углеродными нанотрубками, в которой возможно образование ударных волн. Установлено, что введение углеродных нанотрубок стабилизирует ультракороткий оптический импульс и препятствует образованию ударных волн. При этом импульс сохраняет свою область локализации. Выявлено наибольшее влияние дисперсии групповых скоростей на процесс распространения импульса.

Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект № 23-71-00016, https://rscf.ru/project/23-71-00016/). Работа выполнена с использованием оборудования Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами МГУ имени М.В. Ломоносова.

Список литературы

  1. Островский Л.А. // ЖТФ. 1963. Т. 33. С. 1080.

  2. Wan W., Jia S., Fleischer J. // Nature Physics. 2007. V. 3. P. 46.

  3. Золотовский И.О., Семенцов Д.И. // Квант. электрон. 2005. Т. 35. С. 419; Zolotovskii I.O., Sementsov D.I. // Quantum Electron. 2005. V. 35. No. 5. P. 419.

  4. Nuño J., Finot C., Xu G. et al. // Commun. Phys. 2019. V. 2. Art. No. 138.

  5. Isoard M., Kamchatnov A.M., Pavloff N. // Phys. Rev. A. 2019. V. 99. Art. No. 053819.

  6. Wan W., Jia S., Fleischer J.W. // Nature Physics. 2007. V. 3. P. 46.

  7. Xu G., Mussot A., Kudlinski A. // Opt. Lett. 2016. V. 41. P. 2656.

  8. Belonenko M.B., Demushkina E.V., Lebedev N.G. // J. Russ. Laser Res. 2006. V. 27. P. 457.

  9. Zhukov A.V., Bouffanais R., Malomed B.A. et al. // Phys. Rev. A. 2016. V. 94. Art. No. 053823.

  10. Белоненко М.Б., Конобеева Н.Н. // Изв. РАН. Сер. физ. 2022. Т. 86. № 6. С. 792; Belonenko M.B., Konobeeva N.N. Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2022. V. 86. No. 6. P. 665.

  11. Zhukov A.V., Bouffanais R., Konobeeva N.N. et al. // EPL. 2014. V. 106. No. 3. Art. No. 37005.

  12. Янюшкина Н.Н., Белоненко М.Б., Лебедев Н.Г. // Опт. и спектроск. 2010. Т. 108. № 4. С. 658; Yanushkina N.N., Lebedev N.G., Belonenko M.B. // Opt. Spectrosс. 2010. V. 108. No. 4. P. 618.

  13. Белоненко М.Б., Конобеева Н.Н. // Изв. РАН. Сер. физ. 2020. Т. 84. № 12. С. 1739; Belonenko M.B., Konobeeva N.N. // Bull. Russ. Acad. Sci. Phys. 2020. V. 84. No. 12. P. 1479.

  14. Елецкий А.В. // УФН. 1997. Т. 167. № 9. С. 945; Eletskii A.V. // Phys. Usp. 1997. V. 40. No. 9. P. 899.

  15. Dresselhaus M.S., Dresselhaus G., Saito R. // Carbon. 1995. V. 33. No. 7. P. 883.

  16. Zhukov A.V., Bouffanais R., Fedorov E.G. et al. // J. Appl. Phys. 2013. V. 114. No. 14. Art. No. 143106.

  17. Ахмедиев Н.Н., Анкевич А. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки. М.: Физматлит, 2003.

  18. Sazonov S.V. // J. Phys. Conf. Ser. 2017. V. 859. Art. No. 012015.

  19. Золотовский И.О., Коробко Д.А., Минвалиев Р.Н. и др. // Изв. СамНЦ РАН. 2013. Т. 15. № 4(3). С. 739.

  20. Zhukov A.V., Bouffanais R., Belonenko M.B. et al. // Modern Phys. Lett. B. 2013. V. 27. No. 07. Art. No. 1350045.

  21. Liang Z., Yan Y., Cai G. // Discrete Dyn. Nat. Soc. 2014. V. 2014. Art. No. 784387.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Известия РАН. Серия физическая

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал