Коллоидный журнал, 2021, T. 83, № 3, стр. 293-301

Ван-дер-ваальсово взаимодействие шара и цилиндра

Формула для силы ван-дер-ваальсова взаимодействия бесконечно протяженного цилиндра и макроскопической сферической частицы без учета эффекта запаздывания была впервые получена в [10] в аддитивном приближении методом суммирования парных степенных потенциалов. Формула имеет громоздкий вид и здесь не приводится. Для оценки адгезии частицы, находящейся в контакте с волокном, используем простую формулу, которую получим в рамках приближения Дерягина [11]:

где ${{A}_{6}}$ – константа Гамакера (10^–12–10^–13 эрг), $r$ – радиус частицы, $a$ – радиус цилиндра, $d$ − наименьшее расстояние между поверхностями цилиндра и шара. Формула (1) также получается путем разложения формулы из [10] по малому параметру d. Далее будем полагать, что в точке контакта двух тел зазор между ними равен величине, соответствующей минимуму парного потенциала Ленард-Джонса, $d$ = 0.4 нм.

Оценки по формуле (1) показывают, что сила притяжения частицы к волокну существенно превышает гидродинамическую силу сопротивления частицы, движущейся со скоростью порядка нескольких см/с, рассчитанную по формуле Стокса

где $u{\text{*}}$ – локальная скорость потока, звездочка обозначает размерную величину, μ = 1.84 × 10^–4 П − вязкость воздуха при н.у., С – поправка Каннингема–Милликена к силе Стокса [12], C = $ = 1 + {\text{1}}{\text{.246K}}{{{\text{n}}}_{{\text{p}}}}$ + ${\text{0}}{\text{.42K}}{{{\text{n}}}_{{\text{p}}}}\exp \left( { - {{{\text{0}}{\text{.87}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{0}}{\text{.87}}} {{\text{K}}{{{\text{n}}}_{{\text{p}}}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{K}}{{{\text{n}}}_{{\text{p}}}}}}} \right),$ учитывающая скольжение газа на поверхности частицы, ${\text{K}}{{{\text{n}}}_{{\text{p}}}} = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda r}} \right. \kern-0em} r}$ – число Кнудсена частицы. Например, частица с радиусом $r$ = 1 мкм и малым значением константы Гамакера ${{A}_{{\text{6}}}}$ = 10^–13 эрг притягивается в точке контакта к волокну радиусом 1 мкм с силой, равной ${{F}_{{{\text{vw}}}}}$ = –7.4 × 10^–4 дин, тогда как сила Стокса для такой частицы при $u{\text{*}}$ = 5 см/с равна ${{F}_{{{\text{St}}}}}$ = 1.7 × 10^–6 дин. Если учесть, что вблизи поверхности волокна скорость в несколько раз меньше, чем средняя скорость в фильтре, то сдува тем более не должно быть.

Формула (1) применима на расстояниях взаимодействия, малых относительно характерной длины спектра поглощения тел λ₀ ~ 100 Å. На больших расстояниях при расчете ван-дер-ваальсова взаимодействия частица–волокно необходим учет электромагнитного запаздывания [13]. Выражение для силы взаимодействия шара и цилиндра с учетом эффекта запаздывания в аддитивном приближении было получено в [14]. Оно имеет громоздкий вид и здесь не приводится. Как было отмечено в [14], при $r < a$ применима более простая формула для взаимодействия шара с плоскостью [15]

где ${{A}_{7}}$ – константа ван-дер-ваальсова взаимодействия конденсированных тел с учетом эффекта запаздывания. Оценки по (3) показывают, что в случае, когда частица находится на расстоянии от волокна, равном длине иголочек (порядка долей микрона), сила ее ван-дер-ваальсова притяжения к волокну оказывается пренебрежимо малой. И если частица не прошла в оболочку, а находится вблизи острия иголочки, то из-за малой площади контакта с острием она может быть снесена потоком, тем более что скорость потока вблизи внешней границы пористой оболочки (вблизи острия иголочки) заметно больше скорости около гладкого волокна-стержня (рис. 2). В первую очередь это утверждение относится к крупным частицам. Для иголочек малой длины вклад силы притяжения (3), наоборот, может оказаться существенным.

Ван-дер-ваальсово взаимодействие частицы с вершиной конического острия

Сила притяжения иголочки к плоской поверхности в точке контакта определяется зазором между ними и формой острия иголочки. В случае, когда площадь гипотетического контакта соответствует точке, сила будет зависеть только от угла раскрытия конического острия иголки [16]:

где $\phi $ – половина угла раскрытия конуса, $H = {{a}_{{\text{w}}}}{\text{ctg}}\phi $ – высота конуса, ${{a}_{{\text{w}}}}$ – радиус основания конуса. Для учета кривизны поверхности субмикронной частицы, касающейся острия иголочки (рис. 1), найдем энергию взаимодействия конической иголки и сферической частицы интегрированием по объему конуса энергии взаимодействия атома с макрочастицей (без учета эффекта запаздывания) [14]. Из полученного выражения в пределе малого зазора $d$ получим силу ван-дер-ваальсова взаимодействия вершины конуса с частицей в точке контакта: где Оценки показывают, что сила взаимодействия частицы с острием иголки при $d$ = 0.4 нм соизмерима с силой Стокса. Даже для иголки с большим углом раскрытия конического острия 2$\phi $ = 90° сила притяжения составит всего ${{F}_{{{\text{vw}}}}}$ = –4 × 10^–7 дин, что сопоставимо с гидродинамической силой, действующей на частицу с радиусом $r$ = 0.3 мкм при малой скорости.

Сила Стокса частицы вблизи волокна мала, поскольку мала локальная тангенциальная скорость потока. Однако по мере удаления от поверхности волокна скорость потока возрастает. Далее для расчета гидродинамической силы сопротивления частицы с помощью методов вычислительной гидродинамики найдем трехмерное поле скоростей потока в ряду волокон с иголочками.

Скорость течения на поверхности пористой оболочки на волокне

В качестве примера мы рассчитали поле скоростей стоксова потока при обтекании ряда волокон с поверхностными слоями из радиальных иголочек. Метод расчета поля течения в системе волокон с оболочками из наноцилиндров дан в нашей предыдущей работе [2]. Расчетная ячейка показана на рис. 1. Безразмерные стационарные уравнения Стокса [17]

где $p = {{p{\text{*}}a} \mathord{\left/ {\vphantom {{p{\text{*}}a} {U\mu }}} \right. \kern-0em} {U\mu }}$ – давление, ${\mathbf{u}} = (u,{v},w)$ – вектор скорости потока, решались с граничными условиями прилипания на обтекаемой поверхности волокна с иголочками, $u = {v} = w = 0.$ Здесь и далее линейный масштаб – радиус волокна $a,$ масштаб скорости – скорость потока перед фильтром $U.$ На входе в расчетную ячейку ставилось условие постоянной скорости $u = 1,$ на выходе задавалось условие отсутствия вязких напряжений. На гранях ячейки ставились условия симметрии для компонент скоростей и напряжений.

На рис. 2 показаны расчетные профили безразмерной (в единицах U) тангенциальной скорости потока на вершинах конических иголочек с углом раскрытия конуса $2\phi $ = 6° и безразмерными радиусом основания ${{a}_{{\text{w}}}}$ и высотой ${{h}_{{\text{w}}}}$ (кривая 1), а также форму “заточенного карандаша” (кругового цилиндра радиуса ${{a}_{{\text{w}}}}$ с конусом в вершине с $2\phi $ = 90°) (2) и кругового цилиндра радиуса ${{a}_{{\text{w}}}}$ (3, 4). Профили построены в зависимости от координаты $z$ при $\theta = {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 2}} \right. \kern-0em} 2},$ т.е. в случае, когда тангенциальная скорость максимальна. Параметры ряда волокон (рис. 1): ${{y}_{0}}$ = 0.2 – расстояние между слоями нановискеров на волокне, ${a \mathord{\left/ {\vphantom {a h}} \right. \kern-0em} h}$ = 0.2, где $2h$ – расстояние между осями соседних волокон. Из рис. 2 следует, что скорость вблизи вершины нановискера соизмерима со средней скоростью в модельном фильтре.

Условие сдува частицы с наноиголочки на волокне

В данной работе мы не рассматриваем задачу контактного взаимодействия, учитывающую время контакта, влажность, температуру, деформацию. Нас интересует, осядет ли частица, движущаяся в потоке, после того, как она коснется кончика иголочки. С целью ответа на этот вопрос сравним силу притяжения и гидродинамическую силу сопротивления частицы в потоке вблизи вершины иголки на волокне. Очевидно, что чем меньше радиус частицы, чем короче иголочка, и чем меньше локальная скорость потока в точке контакта, тем труднее сдуть частицу. Сравнивая силу ван-дер-ваальсова притяжения ${{F}_{{{\text{vw}}}}}$ сферической частицы радиуса $r$ по формуле (5) с силой Стокса ${{F}_{{{\text{St}}}}}$ (2) в точке контакта, можно оценить скорость перед фильтром $U,$ выше которой частица, приблизившись к острию иголочки на минимальное расстояние, не осядет на волокно:

Рассчитанные значения скорости $U,$ при которых возможен сдув для частиц с $r$ < 1 мкм с вершины конической иголки, показаны на рис. 3. Из этого рисунка следует, что равенство сил ${\text{|}}{{F}_{{{\text{vw}}}}}{\text{|}}$ и ${{F}_{{{\text{St}}}}}$ для субмикронных частиц наступает уже при обычных для HEPA-фильтрации скоростях потока газа. Заметим, однако, что мы не учитываем возможное перемещение частицы вдоль иголки, когда сила адгезии в контакте частицы с боковой поверхностью иголки на порядки превышает силу Стокса и сдува частицы при обычной скорости не произойдет. Также сдув будет затруднен с ростом угла $2\phi .$ И, более того, сдув частиц полностью невозможен с плоской вершины цилиндрического вискера при характерных для тонкой фильтрации скоростях. В этом случае сила ван-дер-ваальсова притяжения частицы к торцу цилиндра радиусом $a$ рассчитывается по формуле, которую нетрудно получить в аддитивном приближении, интегрируя энергию взаимодействия атома со сферической частицей [14] по объему цилиндра: Рассчитанные по этой формуле значения силы взаимодействия цилиндра и частицы имеют такой же порядок, как и вычисленные по (5), и намного превышают гидродинамическую силу Стокса (2).

Все сказанное выше относится к твердым частицам. В случае если частицы не твердые, как например, частицы биологического происхождения, сдув, тем более, невозможен. Это подтверждается в работе [18], в которой наблюдалось эффективное улавливание вирусов MS2 при скорости потока до 26 см/с в фильтре с волокнами, покрытыми плотным слоем тончайших алюминиевых наноиголочек диаметром $2{{a}_{{\text{w}}}}$ < 4 нм. (При высыхании капелек деионизованной воды, содержащих вирусы диаметром 28 нм, размер взвешенных частиц составлял от 10 до 400 нм.) Также сдув частиц невозможен с их осадка, который образуется на волокнах в процессе длительной работы фильтра. Следовательно, сдув с острия возможен только для крупных твердых частиц, когда оболочка на волокне состоит из большого числа твердых и острых наноиголочек и частицы не проникают внутрь оболочки.

Гидродинамическая сила сопротивления шара с оболочкой из иголочек

Оценим поправку $f$ к силе Стокса сферической частицы на дополнительное сопротивление покрывающей ее высокопористой оболочки (рис. 4)

Cилу сопротивления частицы с иголочками найдем из численного решения трехмерных уравнений Стокса (6) интегрированием по ее поверхности проекции локального полного напряжения на направление потока [17] где ${\mathbf{T}} = \left( { - p{\text{I}} + \sigma {\kern 1pt} '} \right){\mathbf{n}},$ $\sigma {\kern 1pt} '$ – тензор вязких напряжений несжимаемой жидкости, ${\text{I}}$ – единичный тензор, ${\mathbf{n}}$ – вектор внешней нормали к поверхности, $dS$ – элемент поверхности. Здесь линейный масштаб – радиус частицы r, масштаб скорости – U.

Поскольку движение частицы в неподвижной среде эквивалентно обтеканию неподвижной частицы, рассмотрим последний случай, поместив частицу в расчетную цилиндрическую ячейку (рис. 4). Учитывая симметрию задачи, расчеты ведем для одной четвертой части частицы в секторе цилиндра, как показано на рис. 4. Длина и радиус ячейки увеличивались до установления решения в модельной задаче обтекания частицы без иголочек и, аналогично, в задаче о частице с иголочками. На входе в расчетную ячейку и на внешней цилиндрической поверхности ячейки ставилось условие однородного потока $u = 1,$ на выходе – условие отсутствия вязких напряжений. На гранях ячейки задаем условия симметрии для компонент скоростей и напряжений. На поверхности частицы для компонент скорости задаем условие прилипания. Эффект скольжения газа на иголочках не учитываем, так как он существенно усложняет решение задачи.

На рис. 5 приводится зависимость поправки к силе Стокса $f = {F \mathord{\left/ {\vphantom {F {{{F}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{F}_{0}}}}$ (9) от толщины пористой оболочки (длины иголок) ${{h}_{{\text{w}}}}$ для разного числа иголок в оболочке N (кривая 1). Здесь F – сила сопротивления шара с иголками, ${{F}_{0}} = {\text{6}}\pi \mu rU$ – сила сопротивления ядра (шара без иголок). В этом примере радиально направленные иголочки были аппроксимированы вытянутыми эллипсоидами (рис. 4) с безразмерными осями 2$a$ = 2$c$ = 0.032 и $2b = {{h}_{{\text{w}}}}.$ На рис. 5 приведены также аналогичные зависимости силы сопротивления, нормированной на ${{F}_{0}},$ для композитной частицы за вычетом сопротивления пористой оболочки (ядро, экранированное оболочкой, кривая 2) и для непроницаемого шара с радиусом, равным внешнему радиусу пористой оболочки (предельный случай непроницаемой оболочки, кривая 3).

Из этого рисунка следует, что слой иголок заметно увеличивает общее сопротивление частицы только при относительно больших значениях N и ${{h}_{{\text{w}}}}.$ При этом пористый слой экранирует частицу-ядро, заметно уменьшая ее сопротивление. Отметим, что характер зависимости силы сопротивления от радиуса и проницаемости пористой оболочки без учета скольжения газа совпадает с аналитическим решением, полученным для шара с однородной проницаемой пористой оболочкой в рамках классического подхода, основанного на совместном решении уравнений Стокса и Бринкмана [19].

Условия сдува частицы с оболочкой из наноиголочек с гладкого волокна

Для определения скорости, при которой сила $F$ сопоставима с силой адгезии жесткой иголочки к гладкому волокну, рассмотрим частицу в точке контакта $\rho = 1 + {{h}_{w}} + {r \mathord{\left/ {\vphantom {r a}} \right. \kern-0em} a}$ на осевой линии за волокном при $\theta = \pi $ (рис. 6), где $\rho $ и $\theta $ – полярные координаты.

В этом случае баланс сил (6) может быть точно рассчитан, так как силы Стокса и ван-дер-ваальсова притяжения действуют разнонаправлено вдоль одной линии. Для расчета силы Стокса частицы (2) используем формулу для безразмерной радиальной компоненты скорости вблизи волокна в ячейке Кувабары для плотности упаковки волокон $\alpha = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {36}}} \right. \kern-0em} {36}}$ из работы [22]:

где ${\text{Kn}} = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda a}} \right. \kern-0em} a}$ – число Кнудсена для волокна. На рис. 7, 8 показаны скорости потока, при которых возможен сдув частиц с пористыми оболочками из иголочек, рассчитанные на основе (7), (10) в зависимости от высоты иголочек в оболочке на частице и от радиуса волокна. Здесь использована аппроксимационная формула для силы Стокса с поправкой на сопротивление пористой оболочки предложенная по результатам расчетов в интервале ${{h}_{{\text{w}}}} = 0{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1$ для частицы со слоем из N = 64 тонких эллипсоидов.

Расчеты показывают, что при уменьшении высоты иголочек начинает сказываться влияние запаздывающей силы ван-дер-ваальсова притяжения между частицей и волокном (3), что увеличивает притяжение. В этом случае сдув частицы происходит при большей скорости (рис. 7). Очевидно, что скорость сдува будет тем меньше, чем меньше угол раскрытия конического острия иголочки, т.е. чем слабее ее ван-дер-ваальсово притяжение к волокну. С увеличением высоты ультратонких иголочек $h{}_{{\text{w}}}$ частица оказывается в области, где также возрастает локальная скорость потока, а значит, и сила Стокса. Этим объясняется нисходящий характер кривых на рис. 7. Рассматривая ультратонкие иголочки с радиусом, соизмеримым со средней длиной свободного пробега молекул воздуха, логично предположить, что их вклад в общее сопротивление частицы пренебрежимо мал. В этом случае можно оценивать сопротивление частицы, отстоящей от волокна на расстоянии $\rho = {{(a + d + h_{{\text{w}}}^{*} + r)} \mathord{\left/ {\vphantom {{(a + d + h_{{\text{w}}}^{*} + r)} a}} \right. \kern-0em} a},$ по формуле (2) для силы Стокса с поправкой Каннингема (кривая 2 на рис. 8). Из рис. 8 также следует, что при уменьшении радиуса волокна скорость сдува будет меньше, поскольку проявляется эффект скольжения газа на субмикронных волокнах – увеличивается локальная скорость потока на волокне.

Таким образом, как показали оценки, существуют условия, при которых частицы с оболочками из иголочек могут не прилипать к волокнам. Это возможно при обычных для режима тонкой фильтрации скоростях потока. В дальнейших исследованиях следует учесть упругие свойства нановискеров, роль внешних условий, таких как влажность и температура, эффект скольжения газа на ультратонких вискерах и выполнить экспериментальную проверку приведенных результатов.